Feuille 2 : Séries numériques.

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1 Feuille 2 : Séries umériques. Master Eseigemet Spécialité Maths Coseils O accordera ue importace toute particulière aux démostratios des théorèmes du cours. Certais exercices de cette feuille sot ispirés du livre d Araudiès et Fraysse (Tome II - Aalyse). O peut réviser sur u des livres de Moier, ou sur le livre de Combes Suites et séries par exemple. I Pricipaux théorèmes du cours. Du cours!! Exercice. Il faut absolumet maîtriser les poits de cours suivats. O cosidère deux séries u et v de ombres complexes. Défiir la covergece de la série u. Défiir la covergece absolue de la série u. Eocer le critère de Cauchy pour la série u. Motrer que la covergece absolue de u etraîe la covergece de u. Eocer et démotrer le théorème de comparaiso des séries à termes positifs. Motrer que si u coverge, alors u coverge vers 0. Quel lie y a-t-il etre les covergeces de u, Re(u ) et Im(u )? Soit λ C. Eocer u théorème reliat les covergeces des séries u, v et (u +λv ). Démotrer que la série de Riema coverge si et seulemet si α >. α Eocer et démotrer u théorème de comparaiso mettat e jeu u O. Eocer et démotrer u théorème de comparaiso mettat e jeu u équivalet. Eocer et démotrer la règle de d Alembert. Eocer et démotrer la règle de Cauchy. Eocer et démotrer 2 le théorème des séries alterées. Exercice 2. Notatios. O recotre les otatios u, + k=0 u k et 0 u. Que sigifietelles? Quad a-t-o le droit de les employer? Exercice 3. Exercice guidé sur les séries alterées. O ote (v ) ue suite de R + qui ted e décroissat vers 0. O défiit aisi ue foctio ζ : ], + [ R. Cette foctio s éted e u ses au pla complexe presque etier. Elle est liée à la théorie des ombres, à la répartitio des ombres premiers. Il est cojecturé que ses zéros o triviaux se trouvet sur la droite Re(z) =. Cette cojecture résiste toujours aux efforts des mathématicies, 2 et est mise à prix u millio de dollars! De 826 à 866, Riema, mathématicie allemad de géie, apporte beaucoup à la disciplie : fodemets de l aalyse, défiitio de l itégrale, séries trigoométriques, équatios différetielles, théorie des ombres. E géométrie différetielle, o étudie les surfaces de Riema... 2 A savoir retrouver tout seul...l exercice 3, guidé, propose toutefois d e retrouver la démostratio. 200/20 Cetre Toulo - La Seye /6 IUFM Célesti Freiet

2 . O défiit ue suite (u ) par l égalité u = k=0 ( )k v k. Motrer que les suites extraites s 2 et s 2+ sot adjacetes. 2. Motrer que la série ( ) v est covergete. O ote l sa limite. 3. O ote R = + k=+ ( )k v k le reste d ordre de la série covergete. Etudier le sige de R et motrer que pour tout N o a R v +. O pourra étudier selo la parité de. Exercice 4. Premier cotact avec la série harmoique. Démotrer que la série harmoique diverge. O pourra par exemple mettre le critère de Cauchy e défaut e cosidérat la somme du terme au terme 2. II Pour maipuler Ue première série de séries pour se faire la mai Exercice 5. Etudier la covergece des séries de termes gééraux : a) + b) 2 + c)! + i d) exp( 3 + ) e) l() 2 f) si()5 8 h) 2 exp(l()i) l() cosh() i) g) Arcta ( 3 2+ ( ) j) l() (l ()) ++ 2 ) k) ( ) l() l) l(2 +3) m) 3+si()i )! o) ( ) P k= k et 3 + p) 5 exp( ). Ue deuxième série de séries pour e pas perdre la mai Exercice 6. Etudier... la covergece des séries de termes gééraux : a) ( ) b) ( ) 3 2 +( ) 3 e) 2 f) ( ) ( + ) g) h) ( + ) 2 i) c) ( ) +( ) d) P k= k ( ) l() et j) ( + ) e. ( ) +0 + Exercice 7. Séries de Bertrad. O se propose d étudier la covergece des séries de Bertrad α l β ().. O suppose α >. Motrer que pour tout γ < α o a α l β () = o( ). Coclure. γ 2. O suppose α <. Motrer que pour tout γ > α il existe u etier N tel que pour tout etier supérieur à N o ait α l β () γ. Coclure. 200/20 Cetre Toulo - La Seye 2/6 IUFM Célesti Freiet

3 3. O suppose que α = et o cosidère la foctio f défiie sur ], + [ par f(t) = t α l β (t). Motrer qu il existe u etier N tel que f soit décroissate sur [N, + [. Motrer que pour tout etier > N o a : + f(t)dt f() f(t)dt. 4. E déduire u ecadremet de A 5. Coclure. =N+ f() pour tout etier A > N. III Des questios à se poser... Exercice 8. Ue erreur classique.... Motrer que la série ( ) coverge. 2. Motrer de deux faços que la série ( ) coverge. 3. Démotrer que ( ) + ( ) ( ). 4. Démotrer que ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + o ( 5. Etudier très soigeusemet la covergece de la série ( ) + ( ). 6. Qu a-t-o voulu mettre e évidece das cet exercice? Exercice 9. Quizz O cosidère des séries u et v de ombres complexes. Pour chacue des propositios suivates, préciser si elle est vraie (e la démotrat) ou fausse (e doat u cotre-exemple). a) La série u coverge si et seulemet si u coverge vers 0. b) O suppose que (u ) et (v ) sot deux suites de ombres réels. Si pour tout N o a u v et si v coverge, alors u coverge. c) Si u coverge, il existe α > et N N tels que pour N o ait u α. d) La série u coverge si et seulemet si elle coverge absolumet. e) Pour tout polyôme P o a la série de terme gééral P ()e qui coverge. f) Si la suite T = 2 k=0 u k coverge, alors la série u coverge. g) O suppose que (u ) et (v ) sot deux suites de ratioels positifs. Si pour tout N o a u v et si v coverge, alors u coverge das Q. h) Si la suite T = 2 k=0 u k coverge et si u coverge vers 0, alors la série u coverge. i) Si les séries u et v sot covergetes, alors la série u v est covergete. j) Si les séries u et v sot absolumet covergetes, alors la série u v est absolumet covergete. k) Soit λ R. O suppose que u + λv est covergete. Alors + k=0 (u k + λv k ) = + k=0 u k + λ + k=0 v k. l) Si u = o(v ) et si v coverge, alors u coverge. ). IV Exercices classiques. 200/20 Cetre Toulo - La Seye 3/6 IUFM Célesti Freiet

4 Sommes classiques Exercice 0. suivates : Il faut savoir retrouver rapidemet ue expressio simple des sommes fiies a) k=0 exp(ikθ) b) k=0 si(kθ) c) k=0 k si(kθ) d) k=0 xk e) k=0 kxk et f) k=0 k2 x k. Trasformatio d Abel Exercice. O cosidère deux suites complexes (u ) et (v ). O s itéresse à la covergece de la série u v. Pour, o ote s = k=0 u k.. Rappeler commet s écrit le critère de Cauchy pour la série u v. 2. Motrer que pour tout (p, q) N 2 tels que p q o a : q q u k v k = s q v q s p v p + s k (v k v k+ ). k=p j l() C est e fait cette égalité qui est appellée trasformatio d Abel Motrer que si la suite (s ) est borée et la suite (v ) à valeurs das R +, décroissate et de limite ulle, alors u v est covergete. 4. Applicatio. Soit j la racie troisième de l uité de partie réelle strictemet positive. Motrer que la série de terme gééral est covergete. 5. Redémotrer la covergece des séries alterées à l aide de ce qui précède. 6. Ue variate... Motrer que si u coverge, (v ) est décroissate et à valeurs das R +, alors u v coverge. 7. Motrer que si (s ) est borée, (v ) coverge vers 0 et v + v coverge, alors u v coverge. k=p Exercice 2. Ue applicatio de la trasformatio d Abel. la série cos(θ) pour θ R 2πZ. α. Traiter le cas où α >. 2. Motrer que pour tout 0 o a k=0 e ikθ = ei(+)θ e iθ. O s itéresse à la covergece de 3. E déduire (avec le résultat de la questio 3 de l exercice précédet) la covergece de la série cosidérée lorsque α ]0, [. 4. Motrer que si θ Zπ, alors la série est pas absolumet covergete. 5. Motrer que pour tout 0, o a cos(θ) +cos(2θ) Motrer que si α ]0, [ alors la série est pas absolumet covergete. 7. Peut-être u peu plus dur... Motrer que la série est divergete si α = 0 puis si α 0. 3 Cette même trasformatio s applique parfois aux séries de foctios. Ue applicatio e est le théorème de covergece radiale d Abel. Que dit-il au juste? 200/20 Cetre Toulo - La Seye 4/6 IUFM Célesti Freiet

5 Produit de deux séries Exercice 3. O cosidère deux suites complexes (u ) et (v ). O leur associe la suite (w ) défiie par : N, w = u p v q p+q= Cette suite est appelée produit de covolutio 4 des deux suites (u ) et (v ). a) O ote U = k=0 u k, V = k=0 v k et W = k=0 w k les sommes partielles des trois séries. Motrer que pour tout etier aturel o a l ecadremet U E( 2 ) V E( 2 ) w U V. b) Motrer que si les séries u et v sot absolumet covergetes alors la série w est absolumet covergete, et que sa somme est le produit des sommes de u et v : + k=0 w k = ( + ) ( + u k v k ). k=0 k=0 c) E déduire e utilisat le développemet e série etière de la foctio expoetielle que pour tout (t, z) C 2 o a exp(t + z) = exp(t) exp(z). d) Soit (a, b) C 2 tels que a < et b <. E utilisat les séries a et b de sommes respectives a et b, motrer que : si a b, + =0 a + b + a b = ( a)( b) si a = b, + =0 ( + )a = e) E cosidérat par exemple les suites u = v = ( ) séries implique pas la covergete de la série produit. 5 ( a) 2. (+) 4, motrer que la covergece des V Séries et équivalets. Exercice 4. Du cours! Eocer u théorème assurat l équivalece des restes de deux séries covergetes dot les termes sot équivalets. De même, doer u théorème assurat l équivalece des sommes partielles de deux séries divergetes dot les termes sot équivalets. Etude de quelques restes. Exercice 5. Soit α >. O ote (u ) > la suite défiie par so terme gééral u = ( ) α α. 4 Commet défiit-o le produit de covolutio de deux foctios? 5 Toutefois, le théorème de Mertes (hors programme!) affirme que le résultat subsiste si ue série est covergete et l autre absolumet covergete. 200/20 Cetre Toulo - La Seye 5/6 IUFM Célesti Freiet

6 . Motrer que u α. α 2. E calculat k=2 u k, motrer que u k coverge. 3. Calculer pour tout N le reste + k=+ u k. 4. Motrer que la série coverge et doer u équivalet de la suite des restes. α Exercice 6. Préciser le reste 6 ou ue majoratio du reste das les cas :. d ue série géométrique covergete, 2. d ue série pour laquelle le critère de d Alembert s applique, 3. d ue série pour laquelle le théorème de Cauchy s applique 4. et das le cas d ue série alterée. Remarque : Il maque pour l istat u ecadremet du reste pour les séries qui se déduit de la comparaiso à ue itégrale gééralisée. Nous e parleros plus tard. Développemet asymptotique de la série harmoique. Exercice 7. Pour o ote H = k= k. Motrer que l( + ) l(). la somme partielle de la série harmoique. 2. Retrouver que H diverge vers + et que H l(). 3. O ote σ = H l(). Motrer qu o peut défiir ue suite (u ) telle que σ correspode à la somme partielle des u k, c est-à-dire telle que pour tout etier o ait σ = k= u k. 4. Motrer que u 2 2 et e déduire que la suite σ est covergete. Cette limite est otée γ et appelée costate d Euler O étudie maiteat r = γ σ. Trouver u équivalet de r et justifier le développemet asymptotique H = l() + γ + ( ) 2 + o. 6. O souhaite pousser plus loi le développemet asymptotique. O étudie alors la suite de terme gééral τ = σ γ 2 gràce à la série associée de terme gééral v = τ τ. Motrer que H = l() + γ + 2 ( ) o 2. O pourrait pousser plus loi le développemet asymptotique... 6 Ces doées pourrot être utilisées pour motrer la covergece uiforme de certaies séries de foctios. Motrer par exemple que la série P ( ) coverge uiformémet sur +x+ R+. 7 L oeuvre colossale de ce mathématicie suisse cocere u grad ombre de domaies des mathématiques et marque le dix-huitième siècle. Il laisse so om à la foctio Γ d Euler (ue foctio qui prologe e u ses et à ue partie du pla complexe la foctio factorielle), à la droite et au cercle d Euler d u triagle, à Z l idetité e ix =..., à l idicateur φ() qui compte le ombre d élémets iversibles de Z,, à ue équatio différetielle... O lui doit les otatios e, i, π, mais égalemet si, cos...! 200/20 Cetre Toulo - La Seye 6/6 IUFM Célesti Freiet

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