Logique combinatoire : Partie 1

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1 1. Inroducion Lorsqu'on exprime les variables de sories uniquemen en foncion des variables d'enrées, le problème à résoudre relève de la logique combinaoire. Auremen di à chaque combinaison des variables d'enrées correspond oujours une e une seule combinaison des variables de sories. Enrées ysème combinaoire ories 2. Foncions e opéraeurs logiques 21. Foncions e opéraeurs logiques élémenaires 211. Foncion logique OUI chéma élecrique Table de vérié Equaion logique Opéraeur logique (symbole) e =e Foncion logique NON chéma élecrique Table de vérié Equaion logique Opéraeur logique (symbole) e =e Foncion logique OU (OR) chéma élecrique Table de vérié Equaion logique Opéraeur logique (symbole) e 1 =e 1 +e 2 1 e Foncion logique ET (AND) chéma élecrique Table de vérié Equaion logique Opéraeur logique (symbole) e 1 e 2 =e 1.e 2 ciences e echnologies élecriques Niveau 1 ère ciences de l ingénieur Unié ATC 1

2 22. Foncions e opéraeurs logiques dérivés 3. Opéraions booléennes ou logiques 31. Propriéés e opéraions élémenaires 32. Relaions fondamenales ciences e echnologies élecriques Niveau 1 ère ciences de l ingénieur Unié ATC 2

3 33. Théorèmes de DEMORGAN 331. Premier héorème de DEMORGAN ou complémen d un produi logique =a.b =a.b=a+b 332. Deuxième héorème de DEMORGAN ou complémen d une somme logique =a+b =a+b=a.b 4. Représenaion d une foncion logique Praiquemen, une foncion logique es représenée par : 41. a able de vérié La able de vérié précise oues les combinaisons d éas logiques possibles des enrées e l éa correspondan de la sorie. D'une façon générale, on a 2 n combinaisons pour n variables d'enrées. 42. on équaion logique L équaion logique n'es qu'une associaion de sommes e de produis logiques. 43. on logigramme Le logigramme ou diagramme logique es une représenaion symbolique, sous forme d'un schéma, formé par les différenes liaisons enres les symboles des opéraeurs élémenaires. 44. on chronogramme Le chronogramme es une représenaion graphique qui perme de visualiser en foncion du emps oues les combinaisons d éas logiques possibles des enrées e l éa correspondan de la sorie. On dédui l'équaion logique de la foncion F, à parir de la able de vérié suivan le raisonnemen suivan : Table de vérié On cherche les lignes où la foncion F es égale à 1. On noe la combinaison des enrées pour chacune de ces lignes. On somme logiquemen ces combinaisons. Ainsi, la foncion F es égale à 1 si abc OU abc OU abc OU abc, ce qui donne : F=abc + abc + abc + abc=bc+ac Chronogrammes a b Logigramme c a b c c bc F F ac ciences e echnologies élecriques Niveau 1 ère ciences de l ingénieur Unié ATC 3

4 5. implificaion ou minimisaion des foncions logiques Le foncionnemen de ou sysème echnique qui relève de la logique combinaoire peu se raduire par une équaion logique plus ou moins complexe. La compréhension du foncionnemen du sysème e la minimisaion de son coû de réalisaion imposen la recherche de l équaion la plus simple. 51. implificaion algébrique Cee méhode uilise les principes de l'algèbre de Boole, à savoir : les règles des opéraions logiques, des relaions fondamenales e des héorèmes de DEMORGAN. Exemple 1 : F=abc+abc+abc+abc F=abc+abc+abc+abc+abc+abc F=ab+bc+ac Exemple 2 : G=(x+y+z).(x+y+z).(x+y) G=xz+y 52. implificaion graphique par ableau de Karnaugh 521. Règles d éablissemen du ableau de Karnaugh Cee méhode plus simple uilise le ableau de Karnaugh pour simplifier des foncions booléennes ayan jusqu à 6 variables. Le ableau de Karnaugh d une foncion logique es la ransformaion de sa able de vérié sous forme d une able conracée à 2 dimensions (lignes e colonnes). Le passage de la able de vérié au ableau de Karnaugh se fai selon la procédure suivane : Chaque ligne (combinaison) de la able de vérié correspond à une case du ableau de Karnaugh. Pour passer d une case à une aure, une seule variable d enrée change à la fois (code GRAY). Deux cases son dies adjacenes si elles ne différen que par une seule variable. Exemple 1 : Représenaion des variables dans un ableau de Karnaugh 1 seule variable 2 variables 3 variables 4 variables Exemple 2 : Passage de la able de vérié au ableau de Karnaugh ciences e echnologies élecriques Niveau 1 ère ciences de l ingénieur Unié ATC 4

5 522. Principe de la simplificaion à l aide du ableau de Karnaugh La méhode de Karnaugh consise à faire des groupemens des cases adjacenes e symériques du ableau. Ces groupemens son de 2, 4, 8 e 16 cases (généralemen la puissance de 2). En effecuan les groupemens, on élimine les variables qui changen d éa e on garde les variables qui resen fixes Règles des groupemens a. Cases siuées en bordure du ableau (cases symériques) Dans la recherche des cases adjacenes, on doi uiliser le ableau de Karnaugh comme s il se refermai sur lui-même, à la fois dans le sens horizonal e dans le sens verical. Ainsi, deux cases siuées en bordure du ableau sur une même ligne ou sur une même colonne peuven êre considérées comme adjacenes. F=bc+bd b. Recouvremens Les groupemens les plus grands corresponden aux ermes les plus simples, on pourra donc êre amené à prendre ceraines cases dans plusieurs groupemens de façon à ce que ces groupemens soien plus grands. Une même case peu êre inroduie dans plusieurs groupemens afin de former des groupemens, des cases adjacenes, aussi imporans que possible. F=a+bc c. Cases indifférenes (ableau incomple) Il arrive fréquemmen que ceraines valeurs d une foncion logique ne soien pas définies, ou indifférenes, pour ceraines combinaisons des valeurs des variables d enrées. Le ableau de Karnaugh correspondan es di incomple. Il compore des cases indéfinies don les valeurs son dies indifférenes désignées par X. Ces valeurs indifférenes seron choisies de manière à facilier la formaion des cases adjacenes. On peu aribuer à ces cases soi la valeur 0 soi la valeur 1. F=ab+bd ciences e echnologies élecriques Niveau 1 ère ciences de l ingénieur Unié ATC 5

6 5222. Applicaions implifier les équaions logiques des foncions représenées par les ableaux de Karnaugh suivans : F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6 = F 7 = F 8 = ciences e echnologies élecriques Niveau 1 ère ciences de l ingénieur Unié ATC 6

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