Analyse de variance à un facteur

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1 MAT738 Chaptre 6 Analse de varance On présente c quelques cas partculers d un modèle lnéare général dans lequel les varables explcatves sont qualtatves. Ce sont des modèles d analse de plans d expérence dans lesquels des valeurs d une varables sont classées selon les condtons dans lesquelles elles ont été observées, ou le tratement qu a été applqué. Comme, par exemple, la récolte de céréales dans pluseurs terrans, classée selon le tpe d engras utlsé. Les tratements peuvent être caractérsés par un seul «facteur» (tpe d engras, par exemple); ou par plus d un, comme, par exemple, le tpe d engras et l espèce de céréale. On parle alors d un modèle à un facteur, à deux facteurs, etc. 6. Le modèle Analse de varance à un facteur L'analse de varance à un facteur fournt un test qu généralse le «test de Student» pour comparer deux moennes: on compare moennes ( ) au leu de. Exemple 6.. Le tableau suvant présente les résultats d'une expérence conçue pour détermner s la source des proténes dans l'almentaton des poussns a un effet sur leur taux de crossance. Un groupe de 60 poussns sont réparts en 3 groupes, chacun recevant une almentaton dont les proténes provennent d'une source dfférente : bœuf, céréales, ou porc. Boeuf Céréales Porc Boeuf Céréales Porc La premère queston posée est la suvante : a-t-l des dfférences entre les dfférentes sources de proténes (quant à leur effet sur la crossance)? Le graphque suvant en donne une premère dée : REG06AnovaCourtH avrl 0

2 Pods MAT738 Analse de varance Boeuf Céréales Porc Source À premère vue, les dfférences ne semblent pas être très mportantes : les écarts entre les médanes semblent mneurs lorsqu'on les compare aux varatons de pods. Voc, pour quantfer ces observatons, les moennes et les varances de pour chaque groupe : Bœuf Céréales Porc Échantllon complet Moennes 89,6 84,9 88, 87,56667 Varances 33,763 4,836 57,64 60,354 Une étude comme celle décrte au derner exemple llustre un plan d'expérence classque destné à détermner l'effet de dfférents tratements sur les valeurs d'une varable aléatore. La démarche est la suvante : On répartt un échantllon de n ndvdus en groupes ; chaque groupe subt un tratement dfférent ; on observe les valeurs de sur toutes les untés de l'échantllon ; on décde s les dfférences entre est groupes sont sgnfcatve à la lumère des moennes des groupes et de leurs varance. Il n'est pas oblgatore, ben que préférable, que les effectfs des groupes soent les mêmes. Exemple 6.. Les données suvantes sont des ndces de la dstorson du son produt par des bandes magnétques [Battacharra, Gour K., Johnson, Rchard A. (977) Statstcal concepts and methods, Wle, New Yor, p.50]. Les bandes magnétques appartennent à 4 catégores, A, B, C et D, qu dffèrent selon le tpe d endut qu les recouvre. Le but de l'analse est de détermner s le tpe d endut a un effet sur la qualté du son, telle que mesurée par l'ndce de dstorson. Indces de dstorson de quatre tpes de bandes magnétques A B C D REG06AnovaCourtH avrl 0

3 MAT738 Analse de varance 3 Nous décrrons le modèle qu servra à l'analse. Le lecteur peut garder en mémore le derner exemple de façon à concrétser la descrpton. Les données sont classées en catégores ( = 4 dans l exemple), la e catégore aant n observatons, =,...,. Sot j la j e observaton de la catégore (dans l exemple 6.., l'ndce de dstorson de la j e bande de la catégore ). Les données peuvent être présentées dans le format suvant : T T... T Nous supposons que n Moennes.. Varances S... n n..... S j = + j où les j sont ndépendantes et j ~ (0 ; ).. S S Les paramètres nconnus du modèle sont,...,µ et. Nous acceptons c comme en régresson lnéare une hpothèse d'homoscédastcté : même varance pour tous les j. L'objectf usuel d'une analse de varance est de détermner s'l a des dfférences entre les populatons, c'est-à-dre de tester l'hpothèse L'alternatve est la négaton de H o : H o : = = = H o : au mons une des égaltés = j ( j) n est pas vérfée 6. Décomposton des sommes de carrés Défnssons. = n j j n La somme des carrés totale, SCT, est,.. SCT = = n j j n = n ( j.. ) j n Cette somme peut être décomposée en deux sommes de carrés, la somme des carrés explquée SCE, et la somme des carrés résduelle, SCR où SCE = n(... ), et SCR = Nous pouvons alors démontrer que SCT = SCE + SCR n n ( j. ) j n ( ) j j.. = n (... ) +. n ( j. ) j REG06AnovaCourtH 3 avrl 0

4 4 MAT738 Analse de varance Remarques SCT, la somme des carrés totale, est une mesure de la dsperson des j, ndépendamment des catégores. SCT = (n-)s, où S est la varance de toutes les données. La dsperson des j est en parte attrbuable au fat que les tratements sont dfférents. C'est la parte explquée SCE, une mesure des dfférences entre les dfférents tpes de bande magnétque, donc attrbuable aux tratements. On remarque que l'écart au carré globale est pondéré par la talle n du groupe. (... ) entre la moenne du groupe est la moenne SCR est la parte résduelle, la dsperson entre les bandes d'un même tpe, donc attrbuable au fat que ces mesures varent naturellement d'une bande à l'autre, même quand elles sont fabrquées de la même façon (même endut). Lorsque les µ sont égaux, les moennes échantllonnales devraent être assez rapprochées les unes des autres et SCE devrat être pette. Donc nous devrons rejeter H o s SCE est grand. Mas pour évaluer l'mportance de la somme SCE l faudrat la mettre en relaton avec la tendance naturelle que les ont à j varer, c'est-à-dre, SCR. Le test sera donc foncton du rapport SCE/SCR. 6.3 Proprétés des sommes de carrés Nous allons trer les proprétés fondamentales des sommes de carrés à partr d'un cas partculer très smple: le trage d'un seul échantllon d'une populaton normale. Théorème Sot,,, n n varables aléatores ndépendantes, toutes de lo(μ ; σ ), = n et S = n ) ~(μ ; σ /n) ) (n-)s /σ ~ n n ( ) n ) et S sont ndépendantes. Démonstratons. Alors ) Ce résultat découle du fat que toute combnason lnéare de varables normales ndépendantes est normale (Théorème..). ) Nous réécrrons la statstque (n-)s /σ sous forme matrcelle afn d'utlser les théorèmes du document 3 sur la dstrbuton de formes quadratques. Le vecteur = [ ; ; ; n ]' est de lo normale multdmensonnelle de moenne μe (où e est un vecteur de n ) et de matrce de covarance = σ I. On a, tout d'abord, (n-)s /σ n = ( ) = C où C = I-ee'/n, n car ( ) n n = ( ) / n = '-(e') /n = '-(e')(e')/n = '-'(ee/n)' = 'C. La statstque (n-)s /σ ' C s'écrt donc = z'cz, où z = /σ ~(μe ; I). On vérfe asément que C est dempotente et que Cμ = μce = 0. Donc d'après le corollare du théorème..3, z'cz ~ r où r = r(a). Il reste à détermner r = r(c). Pusque C est dempotente, d'après le théorème. du document 0, r(c) Ŕ tr(c) = tr(i)-tr(ee'/n) = tr(i)-tr(e'e/n) = n -. REG06AnovaCourtH 4 avrl 0

5 MAT738 Analse de varance 5 ) est foncton de e' et (n-)s /σ est foncton de 'C. Mas étant donné que C est dempotente et smétrque, 'C = 'CC = 'C'C = (C)'(C), ce qu veut dre que 'C est foncton de C. Il sufft donc d'établr l'ndépendance de deux fonctons lnéares e' et C. D'après le théorème 0.., l sufft de vérfer que e'c = 0, ce qu asément fat. Nous énonçons c quelques proprétés des sommes de carrés. SCR/ ~ et les sont ndépendantes de SCR. n. SCE/ ~ ( ) où = s H o est vrae. 3. SCR et SCE sont ndépendantes. n ( ) et = n 4. MCR = SCR/(n-) est un estmateur sans bas de. n. Donc = 0 s et seulement Table d'analse de varance Il exste comme avec la régresson une façon tradtonnelle de présenter les résultats d'une analse de varance. Nous ajoutons à la table usuelle une colonne d'espérances mathématques : Source Somme de carrés Degrés de lberté Moenne des carrés Explquée SCE = n (... ) - MCE = SCE Espérances des moennes des carrés n ( ) Résduelle SCR = Total SCT = n- MCR = SCR n ( j. ) j n n ( ) j j.. n- MCT = SCT n n ( ) n Les espérances c-dessus justfent le chox du rapport F = MCE/MCR, pusque MCE et MCR ont la même espérance s et seulement s H est vrae, alors que s H o o est fausse, MCE a tendance à être plus grand que MCR et le rapport F sera en conséquence grand. La dstrbuton de F est connue sous H o. Nous savons que lorsque H o est vrae, F = MCE MCR SCE /( ) = ~ -;n- SCR /( n ) Remarquez que l'espérance de MCR d'après la table d'analse de varance est et donc un estmateur sans bas de est MCR : ˆ = MCR = SCR n et donc la statstque F est une mesure rédute des écarts entre les moennes : n... ( ) F =. ˆ REG06AnovaCourtH 5 avrl 0

6 6 MAT738 Analse de varance Exemple numérque Revenons à l'exemple 6... Désgnons par Q la somme des carrés des écarts à l'ntéreur de la classe : Q = ( ) j. Les résultats sont présentés dans le tableau c-dessous. La moenne globale des quatre classes est = 5. A B C D Somme des carrés = = 7 = 6 3 = 5 4 SCE = n ( )... = 68 Q = 38 Q = 30 Q 3 = Q 4 = 4 SCR = j Q = 94 Voc la table d analse de varance: Source Somme de carrés dl Moenne des carrés F Explquée SCE = 68 3 MCE = 68/3 =,67 MCE MCR = 4,34 SCT = 6 Espérances des moennes des carrés Résduelle SCR = 94 8 MCR = 94 /8 = 5, σ Total SCT = 6 MCT = 6/ = 7,7 n ( ) n ( ) n Le pont crtque de nveau = 0,05 pour une 3,8 est F 3,8;0,05 = 3,6. Pusque F = 4,34 > 3,6, les dfférences sont sgnfcatves. Voc les résultats d'une analse de varance fate avec le logcel R. > anova(lm(~bande)) Analss of Varance Table Response: Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) bande * Resduals La valeur p (colonne «Pr(>F)») représente la probablté, sous Ho, qu une statstque de lo 3;8 prenne une valeur supéreure ou égale à 4,3404 est 0,084. Cec montre que les dfférences entre les bandes sont sgnfcatves, du mons au nveau de %. 6.4 Estmaton des paramètres Les µ sont des paramètres qu'on peut également estmer par la méthode des mondres carrés. Nous chosssons les valeurs µ qu mnmsent la somme des carrés des écarts entre les observatons j et leurs moennes µ j qu dans ce modèle dépendent de mas pas de j: Q = n ( ) j j j = n ( ) j j Nous pouvons mnmser chaque somme n ( ) j j séparément par rapport à µ, et l est ben REG06AnovaCourtH 6 avrl 0

7 MAT738 Analse de varance 7 connu que la valeur ˆ de µ qu mnmse cette somme de carrés est ˆ = Pour détermner un ntervalle de confance pour, nous utlsons le fat que ~( ; /n ) et que T = ˆ / n où ˆ = ~ t n-. Donc un ntervalle de confance est donné par t ˆ t ˆ n ; / n ; / n ˆ. Nous avons ˆ MCR = 5, et avec = 0,05, tn-;/ =,0. Un ntervalle de con- 5, 5, fance pour est donné par [,0 ;,0 ] = [9,85 ; 4,5]. 5 5 Certanes des quanttés qu ntervennent dans ces calculs sont fournes par le logcel : > a<-lm(~bande) > b<-predct.lm(a,data.frame(bande=""),se.ft=t) > b $ft [] $se.ft [].098 On a donc l estmaton ( ) =, et l écart-tpe estmé de est crtque t n-;/ =,00 est donné par la commande > talpha<-qt(.975,8) > talpha [].009 ˆ ˆ n =,098. Le pont L ntervalle de confance est donc [-,00(,098) ; +,00(,098) ] = [9,85 ; 4,5]. En fat le calcul peut être entèrement fourn par R : > b<-predct.lm(a,data.frame(bande="a"),se.ft=t,nterval="confdence",level=.95) > b $ft ft lwr upr [,] $se.ft [].098 On peut obtenr ces résultats pour pluseurs paramètres à la fos (l ntervalle est à 95 % s le nveau n est pas précsé) : > predct.lm(a,data.frame(bande=c("a","b","c","d")),nterval="confdence") ft lwr upr REG06AnovaCourtH 7 avrl 0

8 8 MAT738 Analse de varance Une nterprétaton du numérateur de F Nous pouvons consdérer toute somme de carrés explquée comme une dfférence de sommes de carrés résduelles. La somme des carrés résduelle est, par défnton, n ( ˆ ) j j j, la somme des carrés des écarts entre les observatons et leur moenne estmée. Pusque on a SCR = ˆ j = ˆ = n ( ) j j Mas la somme des carrés totale est elle auss une somme de carrés résduelle : c est la somme des carrés résduelle dans le modèle j = µ + j, le modèle dans lequel les moennes des groupes sont toutes égales. Mas ce modèle est précsément le modèle stpulé par l'hpothèse nulle. On peut donc écrre SCT = n ( ) j j = SCR o où la notaton SCR o sgnfe qu'l s'agt d'une somme de carrés résduelle sous un modèle rédut, rédut par les contrantes de H o. La somme des carrés explquée, qu est la dfférence SCT - SCR peut alors s'écrre comme SCE = SCR o - SCR S est le nombre de degrés de lberté de SCR et o est le nombre de degrés de lberté de SCR o, alors le rapport F devent F = SCR o SCR /( o ) SCR / Cette formule est assez générale: le rapport F est toujours de cette forme. La dfférence SCR o - SCR, la somme des carrés explquée, représente la réducton d erreur due à l'ntroducton du modèle plus complexe. La dfférence o - représente la dfférence entre le nombre de degrés de lberté de SCR o et le nombre de degrés de lberté de SCR. Interprétaton de la statstque F lorsque les n sont égaux S n = = n = r, la moenne des carrés explquée peut s écrre comme MCE = statstque F peut s écrre comme F = ( ) ( ) ˆ varance échantllonnale des, dsons S, et donc estme la même chose s et seulement s les moen- nes sont égales. Snon, est «fausse». r ( ) ( ) ˆ = n (... ) la ( ) ( ). Le dénomnateur est une estmaton de la varance de. Le numérateur est la S estme + ( ) et prendra une valeur d autant plus élevée que H o ˆ r = REG06AnovaCourtH 8 avrl 0

9 MAT738 Analse de varance 9 Une autre paramétrsaton du modèle Une autre façon d'exprmer les paramètres du modèle est où les satsfont j = + + j = 0. Pusque E( j ) = +, nous avons forcément la relaton µ = µ +., ce qu permet d exprmer chaque µ en foncton de µ et de. Inversement, pusque µ = nµ + = nµ, on a µ = µ /n et = µ - µ, ce qu permet d exprmer µ et les en foncton des µ. Les deux modèles sont donc équvalents. L'ntenton dans cette deuxème paramétrsaton est de décomposer la moenne de la e classe en deux partes, l'une, µ, commune à toutes les classes, et l'autre,, propre à la e classe. C'est une paramétrsaton qu prévot l'hpothèse qu sera testée, sot = = = = 0. Elle a cependant quelques nconvénents causés par l'ntroducton de + au leu de paramètres: les et µ. Cet accrossement du nombre de paramètres n'est pas réel, pusqu'on ntrodut une contrante qu ramène à la dmenson de l'espace des paramètres. Mas ces manpulatons causent des dffcultés nutles. 6.5 Test d'ajustement à une drote Revenons à la régresson lnéare. Nous avons jusqu c posé, comme parte du modèle, l'hpothèse que l'espérance E( ) est une foncton lnéare o + x des x ŕ sans autre évdence que le nuage de ponts. Dans certans cas, cependant, l est possble de soumettre cette supposton à un test statstque. C'est le cas où une même valeur x est accompagnée de pluseurs valeurs de,,,...,. Sot x, x, x les n valeurs dstnctes de x. (Il a en tout n = n observatons, mas seulement valeurs dstnctes de x.) Le modèle de régresson s'écrt o : j = o + x + j Mas pour tester cette hpothèse de lnéarté, nous commençons par un modèle plus général, dans lequel nous n'mposons pas la lnéarté, sot : j = + j Or le modèle est le modèle d'analse de varance ntrodut dans ce chaptre et le modèle o est le modèle de régresson ntrodut au chaptre 4. Nous pouvons, dans le modèle, tester l'hpothèse que le modèle o s'applque, c'est-à-dre, l'hpothèse lnéare = o + x Le rapport F pour tester cette hpothèse aura pour numérateur une somme de carrés explquée exprmée comme la dfférence de deux somme de carrés résduelles, SCE = SCR o - SCR, où SCR est smplement la somme des carrés résduelle dans le modèle et SCR o est la somme des carrés résduelle dans le modèle rédut par l'hpothèse nulle, sot le modèle o. Nous avons déjà des formules pour ces sommes de carrés: SCR = n j j. ( ) REG06AnovaCourtH 9 avrl 0

10 0 MAT738 Analse de varance SCR o = n j ( ˆ ˆ x ) j o où ˆ o et ˆ sont les estmateurs de o et défns au chaptre 4. Quelques manpulatons algébrques permettent d'écrre la dfférence SCR o - SCR de la manère nstructve suvante: SCR o - SCR = ˆ ˆ n x o ( ) Cette somme de carrés devrat être pette s l'hpothèse µ = o + x est vrae, car estme µ et ˆ o + ˆ estme o + x. Le nombre de degrés de lberté est n- pour SCR et n- pour SCR o. Donc SCR - o x SCR a - degrés de lberté (ce qu s'explque: la somme a termes et paramètres estmés). La statstque F est donc SCRo - SCR /( ) F = ~ -;n- SCR /( n ) Exemple 6.5. On a prélevé les données suvantes sur 4 ordnateurs afn d'analser la relaton entre la vtesse de l'ordnateur et son prx. ID Vtesse (mhz) Prx ($) ID Vtesse (mhz) Prx ($) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Le graphque suvant montre qu'l a une certane relaton. Elle est plutôt fable, mas elle exste. La relaton est-elle lnéare? Fgure 6.5. Prx Régresson Prx vs Vtesse Y = X R-Sq = 6.9 % Vtesse REG06AnovaCourtH 0 avrl 0

11 MAT738 Analse de varance Nous fasons d'abord une analse descrptve parallèle au rasonnement du test formel qu suvra. Nous commençons par adopter une modèle qu fat le mons d'hpothèses possbles, c'est-à-dre, on suppose seulement que les moennes des 4 groupes (5 mhz, 33 mhz, 50 mhz, et 66 mhz) sont µ, µ, µ 3 et µ 4, sans aucune restrcton sur les µ. On estme ces moennes par les moennes échantllonnales, qu sont = 48,; = 3346,4; 3 = 4570,75; 4 =493,67. L'hpothèse de lnéarté est l'hpothèse que µ = o + x, =,, 3, 4, c'est-à-dre, que les 4 moennes se stuent sur une drote. Le graphque suvant présente les moennes ans qu'une boîte qu résume les données dans chaque classe : Fgure 6.5. Prx 9000 Boîte de Prx par Vtesse (Les moennes sont marquée par des ponts) Vtesse Le modèle de régresson lnéare suppose que µ = o + x et fournt une estmaton des coeffcents: Prx = ˆ o + ˆ x = ,6x Dans ce modèle, l'estmaton des moennes des 4 groupes est: 34+60,6(5) = 648,43; 34+60,6(33) = 33,984; 34+60,6(50) = 46,657; 34+60,6(66) = 53,760. Nous devons donc comparer les deux séres d'estmaton, celles basées sur le modèle d'analse de varance (les ) et celles basées sur le modèle de régresson (les ˆ o + ˆ x ): Vtesse () 5 mhz 33 mhz 50 mhz 66 mhz Effectf (n ) Modèle d'anova ( ) 48, 3346,4 4570,75 493,67 Modèle de régresson ( ˆ o + ˆ x ) 648,43 33,984 46,657 53,760 La statstque pour tester l'hpothèse de lnéarté est F = SCRo -SCR /( ) SCR /( n ) REG06AnovaCourtH avrl 0

12 MAT738 Analse de varance qu sut une lo -;n- sous l'hpothèse de lnéarté. Applquant l'une des formules de SCR o -SCR, nous obtenons SCR o - SCR = n ( ˆ ˆ o x ) = 9(48,-648,43) + 5(3346,4-33,984) + 4(4570,75-46,657) + 6(493,67-53,760) = Le nombre de degrés de lberté est - = 4 - =. Quant à SCR, c'est la somme des carrés des écarts entre les observatons et leur moenne estmée, sot SCR = n ( ) j j = 9 ( j ) + 5 ( j ) + = = Le nombre de degrés de lberté de SCR est n- = 4-4 = 0. Donc la valeur de F est 4 ( 3j 3) + 6 ( ) 4j 4 F = SCRo -SCR /( ) SCR /( n ) /(4 ) = /(4 4) = 0,, ce qu, à et 0 degrés de lberté, est non sgnfcatf : on ne rejette pas l'hpothèse de lnéarté. Cec complète le test. Remarque. On peut montrer que n SCR o - SCR = n ( ˆ ˆ j x ) j o - ( ) j j, ce qu sgnfe que le test est basé sur une comparason des résduels sous le modèle de régresson avec les résduels sous un modèle d'analse de varance. Le modèle de régresson étant plus restrctf, la somme des carrés résduelle est supéreure ou égale à celle d un modèle d analse de varance. Mas la dfférence ne devrat pas être mportante s le modèle de régresson est bon. C est ce qu explque pourquo cette dfférence fgure au numérateur de la statstque F. S le modèle de régresson est ncorrect, les observatons s'élogneraent des estmatons ˆ o + ˆ x plus que ne le feraent les ; par conséquent les résduels seraent mportants et SCR o serat ben plus grand que SCR. Une comparason vsuelle montre pourquo on ne rejette pas l'hpothèse de lnéarté : les résduels des deux modèles ne sont pas très dfférents : REG06AnovaCourtH avrl 0

13 MAT738 Analse de varance 3 Fgure Résduel 4000 Comparason des résduels Ceux de l'analse de varance et ceux de la régresson Anova Régresson En passant, on peut auss montrer que SCR o - SCR = n ( ˆ ˆ j x ) ( j ) j o Remarque S la fgure 5. ne montre pas d'évdence de non lnéarté, elle suggère en revanche que les varances varent avec la vtesse. Le graphque suvant le montre encore. On verra mantenant que dans le cas présent l est possble de tester l'hpothèse d'homoscédastcté. Fgure Résduel 4000 Résduels vs Vtesse (Anova) Vtesse 6.6 Test d homogénété de varances Supposons encore que nous n aons de valeurs dstnctes de x : x,, x, et que pour x on avat n valeurs,,, n, correspondantes, où n > pour chaque. Il est alors possble de tester l hpothèse d'homoscédastcté, une hpothèse qu autrement ferat parte du modèle et serat supposée vrae sans démonstraton. On commence donc avec un modèle qu ne suppose pas l'homoscédastcté, sot REG06AnovaCourtH 3 avrl 0

14 4 MAT738 Analse de varance Homogénété de varances j = + j, où j ~ (0 ; ). Dans ce modèle, on teste l hpothèse H o : = = S est le rapport des maxmums de vrasemblance, alors s les n sont assez grands, la statstque Q = - ln sut à peu près une lo à - degrés de lberté lorsque H o est vrae. Il est asé de vérfer (lorsqu on remplace les estmateurs du maxmum de vrasemblance par les estmateurs sans bas) que Q = (n-)ln(s p ) - ( n )ln( ) s où s = n j (.) j n et s = p ( n ) s n = MCR. Nous effectuons les calculs avec les données de l'exemple sur les ordnateurs. Il ne faut pas oubler, cependant, que le test est approxmatf, pusqu'l est basé sur l'hpothèse que les n sont grands, ce qu n'est pas le cas; et également sur l'hpothèse que les données sont normales, ce dont on ne peut pas être sûr. On a n = 4 et = 4. Les valeurs des n sont 9, 5, 4, et 6. Les valeurs des et s sont 56 6 ; ; ; et s = Fnalement, Q = 6,0646. p Le nveau de sgnfcaton est P( 3 > 6,0646) = 0,00, ce qu est hautement sgnfcatf. On peut rejeter l hpothèse d homoscédastcté. Cette concluson est conforme à ce qu on vot dans le graphque des résduels, qu semble ndquer clarement que la dsperson des prx augmente avec les vtesses (et le fat, auss, que les s crossent de façon également mportante). 6.7 Combnasons lnéares des moennes Il est possble également d'estmer des combnasons lnéares des µ et de tester des hpothèses à propos de ces combnasons lnéares. Sot = c µ une combnason lnéare avec coeffcents fxes c. Un estmateur sans bas ˆ de est c ˆ = une foncton lnéare des moenne et de varance (c ) /n. La varable c. La dstrbuton de ˆ s obtent faclement: ˆ est, qu à leur tour sont fonctons lnéares des. Donc ˆ est normale, de REG06AnovaCourtH 4 avrl 0

15 MAT738 Analse de varance 5 Z = ˆ c / n ~ (0 ; ) Pusque n'est pas connue, nous remplaçons Z par T = ˆ ˆ c / n, et on peut démontrer que T ~ t n- Cec nous permet de détermner un ntervalle de confance pour et de tester des hpothèses du genre H o : = o. En partculer, nous pouvons tester des hpothèses à propos de la dfférence entre des moennes, ou encore à propos de certanes moennes partculères. Exemple 6.7. Dans le problème traté au début du chaptre, supposons que le tratement A est partculer dans le sens que c est le tratement emploé régulèrement, alors que les tros autres sont des tratements expérmentaux. On veut donc comparer le tratement tradtonnel à l ensemble des tratements expérmentaux, c est-à-dre, on veut tester l hpothèse On a H o : µ = (/3)(µ + µ 3 + µ 4 ), ou encore, H o : 3µ - µ - µ 3 - µ 4 = 0. 3() T = = -3,43 5, Pusque t 8;0,05 =,0, on rejette H o à 5%. On peut donc conclure que l ndce de dstorson des bandes expérmentales est supéreur, en moenne, à celu des bandes tradtonnelles. REG06AnovaCourtH 5 avrl 0

16 6 MAT738 Analse de varance Analse de varance à deux facteurs facteurs crosés On présente c quelques cas partculers d un modèle lnéare général dans lequel la varable endogène est exprmée en foncton de deux varables exogènes qualtatves. 6.8 Décomposton des sommes de carrés Les résultats d une expérence sont souvent classés selon plus d un facteur, comme dans l exemple suvant. Exemple 6.8. [Battacharra, Gour K., Johnson, Rchard A. (977) Statstcal concepts and methods, Wle, New Yor, p.498]. Consdérons l'expérence suvante, dont l objet est de détermner l'effet de deux hormones sur le pods des cobaes. Les deux hormones et les quanttés admnstrées sont Hormone A (Œstradol) 0 0,5 mg/jour Hormone B (Progestérone) 0 0, mg/jour 0 mg/jour Le plan d'expérence est appelé «plan factorel» ; les deux facteurs A et B sont «crosés», dans le sens que nous avons des sujets pour chaque combnason d'un nveau de A et un nveau de B. La varable observée Y est le gan de pods durant la pérode d observaton. Les données sont les suvantes : Hormone B (Progestérone) Hormone A (Œstradol) 0 0, mg/jour 0 mg/jour 0 mg/jour ,5 mg/jour Le modèle est dt équlbré lorsqu l a un même nombre r d observatons dans chaque case. Ic r = 3. Le modèle s'exprme de la façon suvante. Sot la j e observaton du nveau du facteur A et du nveau j du facteur B. On suppose que les j sont ndépendantes et que E( j ) = j ; Var( j ) =, =,, a; j =,, b (6.8.) On présente également le modèle de la façon équvalente suvante: j = µ j + j, j ~ (0 ; ), j ndépendantes. (6.8.) Il est possble de trater ces données à l'ade d'un modèle d'analse de varance smple à un facteur de a b nveaux, auquel cas on obtent tout de sute une décomposton de la somme des carrés totale: a b r (...) j = j a b j ( j....) + r a b r ( ) j j. j où j. est la moenne des données de la case,j,... est la moenne de toutes les données. Avec les sgles habtuels, cette décomposton s'écrt SCT = SCE + SCR où SCE a ab- degrés de lberté. La moenne MCE = SCE peut servr au numérateur d'une statstque ab F pour tester l'hpothèse que les ab moennes sont toutes égales. Le dénomnateur est toujours MCR = SCR. Mas lorsque les données sont classées selon deux facteurs, cette décomposton est nsuffsante: lorsqu on conclut qu l a un effet sgnfcatf, l mporte de savor s l s agt de l effet de l'un des fac- ab( r ) teurs, de l'autre, ou d une nteracton entre les deux. La somme SCE, qu mesure les écarts entre les ab moennes, se décompose en tros partes, désgnées par SCA, SCB et SCAB REG06AnovaCourtH 6 avrl 0

17 MAT738 Analse de varance 7 r a b (...) a j j. = br (.....) b + ar (.....) a b j j +r ( ) j j j SCE = SCA + SCB + SCAB où.. est la moenne des données de la e lgne et.. est la moenne des données de la j e colonne. j SCA, qu est la dsperson entre les dfférents nveaux de A, a (a-) degrés de lberté, SCB, la dsperson entre les dfférents nveaux de B, a (b-) degrés de lberté, et SCAB, une mesure des «nteractons» entre A et B, a (a-)(b-) degrés de lberté. Consdérons les tros hpothèses suvantes: H A : Le facteur A n'a pas d'effet: µ. =... = µ a., µ. = jµ j /b H B : Le facteur B n'a pas d'effet: µ. =... = µ. b, µ. j = µ j /a H AB : Aucune nteracton entre A et B: µ j - µ.- µ. j + µ = 0 j, où µ = j µ j /ab. Une autre paramétrsaton Les paramètres naturels dans ce contexte sont, à part la varance σ, les a b moennes μ j des groupes. Mas tradtonnellement, on désgne plutôt certanes fonctons lnéares des moennes comme paramètres et l équaton (6.8.) est écrte plutôt comme j = + + j + j + j, =,, a ; j =,, b (6.8.3) À part µ, ces paramètres ne sont pas des moennes : ce sont des dfférences de moennes. Le sens de ces paramètres est: : l'effet du e nveau du facteur A j : l'effet du j e nveau du facteur B j : l'effet de l'nteracton entre le e nveau de A et le j e de B Formellement, en termes des moennes, voc comment se défnssent les paramètres {µ,,, }: µ = µ (même sens dans les deux paramétrsatons) = µ. - µ j = µ. j - µ j = µ j - µ. - µ. j + µ Ces paramètres sont défns en prévson des hpothèses qu on souhate normalement tester, sot les tros hpothèses classques H A, H B et H C. Car celles-c s exprment très smplement comme cec: H A : =... = a = 0 H B : =... = b = 0 H AB : j = 0 pour tout et tout j. Remarque Dans cette paramétrsaton, on a a alpha, b bêta, et ab gamma, ce qu donnerat, à premère vue, + a + b + ab = (a+)(b+) paramètres ŕ alors que les {µ j } sont au nombre de ab. On aurat créé de nouveaux paramètres. Il n'en est ren : l espace paramétrque demeure de dmenson ab, tout comme l espace des moennes {µ j }, et ce grâce à certanes restrctons qu on mpose aux α, β et γ, sot : = 0 ; j j = 0 ; j = 0 pour tout j ; j j = 0 pour tout. Ces restrctons découlent de la sgnfcaton que nous avons donnée aux paramètres. Par exemple, la somme Σ α est nécessarement nulle s α = μ.-μ. REG06AnovaCourtH 7 avrl 0

18 8 MAT738 Analse de varance 6.9 Tests d'hpothèses On peut démontrer que:. SCA, SCB, SCAB et SCR sont ndépendantes.. SCA/ a ( A), où A = br (µ -. µ) /. 3. SCB/ b ( B), où B = ar j(µ.j - µ) /. 4. SCAB/ ( ), où = r AB j(µ j - µ.- µ.j + µ) /. ( a)( b) AB 5. SCR/ ab ( r ) centrale. Les tests approprés pour H A, H B, et H AB découlent drectement de ces proprétés. Les résultats de l'analse sont tradtonnellement présentés sous la forme d'une table d'analse de varance qu, pour une analse à deux facteurs crosés, prend la forme suvante: Tableau 6.9. Table d analse de varance Source Facteur A Somme de carrés Degrés de lberté Moenne de carrés a SCA = br (.....) a- MCA = SCA/(a-) b j j Facteur B SCB = ar (. ) b- MCB = SCB/(b-) Interactons SCAB = r a b... (....) j j j (a-)(b-) MCAB = SCAB/(a-)(b-) Espérances des moennes de carrés + br b a (. ) a ar (. ) j + j b + a b r ( ) j j.. j ( a)( b) Résduel Total SCR = a b r j j SCT = a b r j. j... j ab(r-) abr- MCR = SCR/ab(r-) MCT = SCT/(n-) Les statstques pour tester les hpothèses H A, H B, et H AB sont F A = MCA MCR F B = MCB MCR et les espérances c-dessus justfent les régons crtques F AB = MCAB MCR F A a-,ab(r-);, F B ~ b-,ab(r-); et F AB ~ (a-)(b-),ab(r-);. Remarque Les statstques F peuvent s exprmer comme un quotent de deux estmateurs de la varance de..... certanes moennes. Par exemple, F A = br a ( ) ( ) a a ( ) ( a )..... = = ˆ ˆ br a ( ) ( a )..... a pour dénomnateur un estmateur sans bas de la varance de ˆ.. ; et pour.. REG06AnovaCourtH 8 avrl 0

19 Perte de pods MAT738 Analse de varance 9 numérateur la varance échantllonnale des.., laquelle est sans bas pour vrae. s et seulement s H A est Voc la table d'analse de varance (par le logcel R) pour les données sur l'effet des deux hormones sur le gan de pods des cobaes : > anova(lm(z~oestradol*progesterone)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) oestradol progesterone e-05 *** oestradol:progesterone Resduals La seule valeur sgnfcatve est celle pour la progestérone ŕ un nveau de sgnfcaton nféreur à 0,0005. Le nveau de sgnfcaton est 0,68 pour l'œstradol et 0,49 pour les nteractons. Donc la progestérone stmule la crossance, l'œstradol n'a aucun effet. L'effet de la progestérone est le même, quelle que sot la quantté de l'œstradol consommée. On peut fare une analse vsuelle de l nteracton à partr du tableau suvant, qu représente les pertes moennes de pods selon le tratement suv. Les données dans les cellules sont les moennes échantllonnales j, qu estment les µ j : Progestérone Œstradol 0 mg 0, mg 0mg Moenne 0 mg -4, , , , 0,5 mg -9, , , ,5556 Moenne -6,8333-6,0000,0000-0,778 Voc une représentaton graphque de ces moennes : Moennes des pertes de pods 0,5 mg Estradol 0 mg Estradol Dose Progesterone L nteracton exste au nveau de l'échantllon : les drotes ne sont pas parallèles. Mas nous venons de conclure que cette absence de parallélsme n'est pas sgnfcatve, c'est-à-dre qu'l est possble que dans la populaton les deux lgnes soent en fat parallèles. REG06AnovaCourtH 9 avrl 0

20 0 MAT738 Analse de varance 6.0 Le sens de l'hpothèse de non nteracton L'absence d'nteractons est défne formellement par les équatons j j +.. = 0 pour tout, j Mas on peut démontrer que cette formulaton est équvalente à ou encore pour toute pare j, j, la dfférence j - j est ndépendante de pour toute pare,, la dfférence j - j est ndépendante de j Le premer énoncé µ = µ j. + µ. j - µ.., µ j = µ. + µ. j' - µ. et donc µ j - µ = µ. j' j - µ. j', ndépendante de. Récproquement, s µ j - µ est ndépendante de alors µ j' j - µ = µ. j' j - µ. j' (/b) j' (µ j - µ j' ) = (/b) j' (µ. - µ. j j') µ j - µ. = µ..j - µ.. j j +.. = 0. Donc l absence d'nteractons sgnfe que la dfférence entre deux nveaux du facteur A est constante: elle ne dépend pas du nveau du facteur B (A et B peuvent, ben sûr, être échangés dans l énoncé.) L'hpothèse de non nteracton est auss appelée hpothèse d'addtvté pusqu elle sgnfe que j -.. = (. -..) + (. j -..) = + j C est donc l hpothèse que l effet combné des deux tratements ( j -..) est la somme de deux effets: celu du tratement A (. -..) et celu du tratement B (. j -..). 6. Une hpothèse partculère L hpothèse H B pourrat manquer d ntérêt en présence d nteractons car elle concerne l égalté de l effet moen du progestérone, la moenne étant prse sur les deux nveaux d œstradol. Il pourrat être plus ntéressant de tester l hpothèse que la progestérone n a pas d effet lorsque le nveau d œstradol est fxe, par exemple, en l absence d œstradol, ou en présence de 0,5 mg d œstradol. Sot H A B : La progestérone n a pas d effet en l absence de l œstradol : = = 3 H A B : La progestérone n a pas d effet en présence de 0,5 mg d œstradol : = = 3 La somme des carrés du numérateur pour tester la premère hpothèse est la dsperson des tros moennes de la premère lgne du tableau : SCA B = 3{[ 4,667 (,)] [6,333 (,)] [7,667 (,)] } = 690,889. La statstque pour tester cette hpothèse est SCA F = B/ 690,889/ =,9699, MCR 70,9 ce qu, à et degrés de lberté, correspond à une p-valeur de 0,004. De la même façon, on obtent pour H A B la statstque SCA F = B/ MCR = 356,889/ 70,9 =,9538, ce qu, à et degrés de lberté correspond à une p-valeur de 0, Donc les deux hpothèses, H A B et H A B sont chacune rejetée ndvduellement. Mas on pourrat auss tester les deux hpothèses smultanément : REG06AnovaCourtH 0 avrl 0

21 MAT738 Analse de varance La statstque F pour tester H A B est [SCA B SCA B]/4 = MCR H A B : H A B et H A B : = = 3 et = = 3. [690, ,889]/ 4 79,9 = 4947,778/ 4 = 36,944 79,9 79,9 À 4 et degrés de lberté, cec correspond à une p-valeur de 0, = 7, Il est utle de remarquer c une autre formulaton de l hpothèse H A B : H A B et H A B. Elle est tout à fat équvalente à H B et H AB. Elle peut donc être testée par la statstque F = [SCB+SCAB]/( ) [488,8+9,0]/( ) = MCR 70,9 = 7,43540, la même statstque. Formulaton générale Consdérons une classfcaton à deux facteurs, A et B aant a et b nveaux, respectvement, et r observatons par case. Le tableau suvant présente une autre décomposton de la somme des carrés totale. Source Somme de carrés Tableau 6.. Table d analse de varance alternatve Degrés de lberté Moenne de carrés MCA B = SCB+SCAB ab ( -) Espérances des moennes de carrés a Facteur A SCA = br (.....) a- MCA = SCA a br a ( ) a SCA B = SCB + SCAB = a b Facteur A B r a b j ( j... ) a(b-) ab ( ) Résduel Total SCR = a b r j j SCT = a b r j. j... j ab(r-) MCR = abr- MCT = SCT n SCR ab( r ) r... + j ( j ) 6. Estmaton dans un modèle restrent par une hpothèse S certanes des hpothèses consdérées semblent, en vertu des données et des tests, très plausbles, l est tentant de les adopter comme parte du modèle. Cec permet de smplfer la descrpton du phénomène étudé. Une hpothèse qu smplfe consdérablement le modèle est l'hpothèse de non-nteracton. S on l'adopte, le modèle devent E( j ) = µ j = µ. + µ. j - µ Dans ce cas, les moennes µ j sont estmées dfféremment. On admet faclement (et on peut le justfer formellement) que les moennes des marges (c'est-à-dre, les µ. et les µ. j ) sont estmées par les moennes échantllonnales correspondantes. On a donc le tableau suvant en premer temps: REG06AnovaCourtH avrl 0

22 Perte de pods MAT738 Analse de varance Progestérone Œstradol 0 mg 0, mg 0 mg Moenne 0 mg ˆ. = -, 0,5 mg ˆ. = 0,5556 Moenne ˆ. ˆ. ˆ. 3 =,0000 ˆ = -0,778 à part, les paramètres estmés dans le tableau c-dessus sont en fat les seuls paramètres à estmer, pusque les µ j sont toutes fonctons des µ. et des µ. j. En utlsant la relaton ˆ j = ˆ. + ˆ. j - ˆ, on obtent les estmatons suvantes: Progestérone Œstradol 0 mg 0, mg 0 mg Moenne 0 mg -7, ,833333,6667 ˆ. = -, 0,5 mg -6, ,66667,83333 ˆ. = 0,5556 Moenne ˆ. = -6,8333 ˆ. = -6,0000 ˆ. =, ˆ = -0,778 Voc une représentaton graphque de ces moennes: Moennes sous l'hpothèse d'addtvté 0,5 mg Estradol 0 mg Estradol Dose Progesterone Les drotes sont parallèles, et c'est précsément le sens de non-nteracton. 6.3 Suggeston pour le calcul des espérances Secton omse dans la verson courte 6.4 Expresson matrcelle Nous présentons c une expresson matrcelle du modèle, ans qu une dscusson sur l orthogonalté des effets. Les queston auxquelles on répond sont ) quel est le len entre l orthogonalté et l addtvté des sommes de carrés? et ) quel est le len entre les effectfs des cases et l orthogonalté? Pour concrétser, consdérons les données suvantes, classées selon deux facteurs : REG06AnovaCourtH avrl 0

23 MAT738 Analse de varance 3 Facteur A B B B 3 A 3 3 A 3 3 Posons j = + α + j + j, avec les contrantes j j j j = 0, de sorte qu on peut écrre j les moennes comme cec : Facteur B B B B 3 Moennes Facteur A A +α + + +α + + +α α A -α + - -α + - -α α Moennes Le modèle d analse de varance à deux facteurs peut s écrre en langage matrcelle E() = X où , =, et X = Parttonnons X selon les effets prncpaux A, B et leurs nteractons AB : X = [X o X X X 3 ], les parttons aant, respectvement,,, et colonnes, correspondant à, à α, aux et aux. Sot et sot P le projecteur orthogonal sur (X ), = 0,,, 3, P j le projecteur sur ([X X j ]), P j le projecteur sur ([X X j X ]), etc., P = P 03. Pour généralser quelque peu, supposons que les matrces X o, X, X et X 3 ont, respectvement,, a, b, et (a-)(b-) colonnes. Les sommes de carrés au numérateur des statstques F pour tester les hpothèses habtuelles H A (α = 0), H B ( = = 0), et H AB ( = = 0), sont où F A = SCA / ( a ) SCR / ( n ab), F B = SCB / ( a ) SCR / ( n ab), F AB = SCAB / ( a )( b ) SCR / ( n ab) SCA = (P-P 03 ), SCB = (P-P 03 ), SCAB = (P-P 0 ) et SCR = (I - P). Or ces sommes de carrés ne sont pas toujours celles qu fgurent dans une table d analse de varance. Le but d une analse de varance est de décomposer une somme de carrés totale SCT = (I - P 0 ) d abord en, REG06AnovaCourtH 3 avrl 0

24 4 MAT738 Analse de varance sa parte explquée et sa parte résduelle, et ensute sa parte explquée en une somme SCT = SCE + SCR = (P - P 0 ) + (I - P); SCE = SCA + SCB + SCAB. Or les sommes des carrés défnes c-dessus ne satsfont pas toujours cette condton : en général, SCA + SCB + SCAB = (P-P 03 ) + (P-P 03 ) + (P-P 0 ) (P - P 0 ) Pour s assurer que la somme des sommes de carrés donne ben SCE, certans logcels les défnssent autrement. Procédant successvement, SCA, SCB et SCAB sont défnes comme cec : SCA = (P 0 -P 0 ); SCB = (P 0 -P 0 ) ; SCAB = (P-P 0 ) Mas que testent ces sommes, fgurant au numérateur d une statstque F? Généralement, elles ne testent pas ce qu on prétend tester, à mons qu elles coïncdent avec celles défnes plus haut, c est-à-dre, à mons que (P-P 03 ) = (P 0 -P 0 ) ; (P-P 03 ) = (P 0 -P 0 ); (P-P 0 ) = (P-P 0 ). Or ces égaltés sont vérfées s et seulement s les colonnes X, X, et X 3 sont mutuellement orthogonales, c est-à-dre, s X X j = 0, j. Cec découle du fat que dans ce cas, P 03 = P 0 + P + P + P 3. Et quand est-ce que, dans un modèle à deux facteurs, ces matrces sont mutuellement orthogonales? Quand les données sont équlbrées, c est-à-dre, quand chaque case content le même nombre d observatons. On le vérfe en calculant le produt X X, dans l exemple : X X = Il sufft d ajouter quelques observatons à certanes des cases pour rompre cette orthogonalté (répétez certanes des lgnes de X un nombre négal de fos pour vor). Pourquo l orthogonalté est-elle souhatable? Pour vor ce qu se passe lorsque l orthogonalté n est pas : β vérfée, consdérons le modèle E() = X = X X β. La somme des carrés pour tester l hpothèse H : = 0 est (P - P ). S X et X sont mutuellement orthogonaux, P = P +P et P - P = P et la ' ' statstque devent smplement P. Snon, P - P = ( I P ) P [ P ( I P ) P ] P ( I P ). La dfférence. ' ' entre P et '( I P ) P [ P ( I P ) P ] P ( I P ) peut être mportante, et elle l est d autant plus que P P est dfférent de Analse de varance à deux facteurs facteurs emboîtés Nous avons consdéré à la secton.4 une décomposton partculère de la somme de carrés totale : les sommes SCB et SCAB sont fusonnées en une somme notée SCA B. Dans l exemple présenté, l s agssat d un chox, une alternatve que l expérmentateur peut adopter ou écarter. Mas l exste des cas Les formules de SCA et SCB montrent qu en fat on teste H A dans un modèle où seul le facteur A est présent; et on teste H B dans un modèle qu ne comprend que les facteurs A et B, sans nteractons. REG06AnovaCourtH 4 avrl 0

25 MAT738 Analse de varance 5 où la décomposton en.4 s mpose, car la décomposton classque n a pas de sens. C est le cas des données suvantes qu représentent la teneur en matères grasses (en cg) par 00 g d orange de 6 dfférentes varétés emploées par un fabrcant de produts almentares. Chacune des varétés provent de tros pas dfférents : Varété Pas P P P3 Moenne V 3,5 4,0,5 4,5 3,0 3,0 3,0 4,5 5,5 5,0,5 3,0 3,66667 V 5,0 5,5 3,5 3,5 4,5 4,0 4,0 3,5 3,0 4,0 4,0 5,0 4,500 V3 5,0 4,5 5,5 6,0 5,5 4,5 5,0 4,5 5,0 5,0 6,5 5,5 5,0833 V4 8,5 6,0 6,5 7,0 7,0 7,0 9,0 8,5 8,0 6,5 7,0 7,0 7,33333 V5 6,0 5,5 6,0 8,5 6,5 6,5 3,5 7,0 4,5 7,5 8,5 7,5 6,45833 V6 7,0 9,0 6,0 7,0,0 7,0 8,5 8,5 7,0 7,0 9,0 8,0 7,9667 Moenne 5,7967 5,6047 5, ,7847 L'expérence vse à détermner s l a des dfférences entre les varétés et entre les pas quant à la teneur en matères grasses. À premère vue, l s agt d une analse de varance à deux facteurs. Mas la dfférence c vent du fat que les pas P, P, et P3 ne sont pas les mêmes pour chaque varété : ls pourraent représenter, par exemple, le Brésl, les États-uns et le Mexque pour la varété V; l Inde, la Chne et l Iran pour la varété V; etc. Nous avons ben deux facteurs, la varété consttuant, dsons, le facteur A; et la provenance le facteur B. Mas ls ne sont pas crosés, ls sont emboîtés : le facteur B (la provenance) est emboîté dans A. Une analse de varance comme celle de la secton précédente donnerat les résultats suvants: > anova(lm(~varete*provenance)) Source DF SS MS F P varete provenance Interacton Error Total Cette analse est correcte en ce qu concerne les varétés : le test pour H A est le même dans les deux cas. En ce qu concerne la provenance (facteur B) ou les nteractons, cette analse serat fautve, car certanes des moennes calculées dans le modèle à effets crosés n ont plus de sens. Comme par exemple.j qu ntervent dans le calcul de SCB: ce serat la moenne des oranges provenant du pas portant le label P j, ce qu n est pas sensé. L hpothèse H AB non plus. Une hpothèse concernant la provenance qu est rasonnable est la suvante : Il n a pas de dfférence entre les provenances d une même varété, et ce, pour toutes les varétés. Formellement, cette hpothèse, que nous désgnerons par H A B, s exprme par H A B : = = = b pour =,,, a La moenne des carrés qu fgurera au numérateur de la statstque F est MCA B = a b ( j. ) j r ab ( ), REG06AnovaCourtH 5 avrl 0

26 6 MAT738 Analse de varance le nombre de degrés de lberté étant a(b-). La somme entre les accolades, r (...) j j, mesure les écarts entre les pots à l ntéreur d un même tratement. Donc la statstque F prendra une valeur élevée s l a d mportantes dfférences entre les pots à l ntéreur d un même tratement. La statstque F correspondante est On peut montrer que SCA B = SCB + SCAB : a b r (...) j j F A B = MCA B MCR a = br (.. ) + r a b (..... ) j j j, ce qu explque auss le nombre de degrés de lberté : (b-)+(a-)(b-) = a(b-). Table d analse de varance : > anova(lm(~varete/provenance)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) varete < e-6 *** varete:provenance * Resduals Paramétrsaton Une façon de paramétrer ce modèle: avec la correspondance suvante: µ j = E( j ). = µ + + j() µ = µ (même sens dans les deux paramétrsatons) = µ. - µ j = (µ. j - µ) + (µ j - µ. - µ. j + µ) = µ j - µ. b Analse de varance à deux facteurs avec une observaton par cellule 6.5 Analse de varance à deux facteurs avec une observaton par cellule Dans une analse de varance à deux facteurs, l arrve qu on n at qu une seule observaton par cellule. Pusque l estmateur MCR de la varance est une mesure de la dsperson des données d une même cellule, cet estmateur n exste pas dans ce cas. Il est nécessare alors d mposer certanes contrantes aux paramètres afn d obtenr une estmaton de. Ce problème une généralsaton du test d égalté de deux moennes avec données apparées. Le modèle Consdérons les données suvantes. Exemple [George W. Snedecor et Wllam G. Cochran, Statstcal methods, Sxth edton, Iowa State, p. 30] On prend une certane mesure de la teneur en eau des feulles des arbres de tros espèces d agrumes sous tros condtons d ensolellement (9 arbres en tout). Voc les données : REG06AnovaCourtH 6 avrl 0

27 MAT738 Analse de varance 7 Ensolellement Orange Shamout Pamplemousse Clémentne. Solel ,3333 Ombre partelle ,66667 Ombre , j 9, , ,44444 On a donc en tout a b observatons j, et le modèle est où les j sont ndépendantes, j ~ (0 ; ). j = j + j, =,, a; j =,, b (c a = b = 3) La somme des carrés explquée SCE = a b ( ) j j.. se décompose ans: Dans l exemple, on a a b ( ) a j j.. = b (. ) b.. + a (. ) j j.. + a b ( ) j j.. j.. SCT = SCA + SCB + SCAB. SCT = (-88,44) + (90-88,44) + + (8-88,44) = 8, SCA = 3[(08,33-68,44) + (8,67-68,44) + (74,33-68,44) ] = 884, SCB = 3[(9,67-68,44) + (75-68,44) + (97,67-68,44) ] = 850,8889 SCAB = SCT Ŕ SCA Ŕ SCB = 87, Les sommes de carrés SCA, SCB, et SCAB sont ndépendantes, et dvsées par elles suvent chacune une lo, généralement non centrale. Le problème qu se pose c, c est qu l n a pas de somme de carrés résduelle (dsperson à l ntéreur des cases), et donc pas d estmateur de varance. Les espérances des moennes de carrés MCA = SCA/(a-), sont présentées dans le tableau suvant: MCB = SCB/(b-) et MCAB = SCAB/[(a-)(b-)] Moenne de carrés Degrés de lberté Espérance MCA a- b +. ) a MCB b- b a +. ) j j b MCAB (a-)(b-) a b.. + j j j ( a)( b) a b MCT ab- + ( ) j j ( a)( b) On vot ben qu aucun des quotents possbles ne peut servr à tester les hpothèses usuelles H A, H B et H AB. Il sera donc nécessare d'mposer quelques contrantes supplémentares. La contrante normalement mposée est a REG06AnovaCourtH 7 avrl 0

28 8 MAT738 Analse de varance où. = b j j j j +.. = 0 pour tout, j ;. j = b a j a b a ;.. = ab j Ce postulat, appelé hpothèse d addtvté ou de non nteracton, que nous ne pouvons pas tester et consdérons comme parte du modèle, rédut l'espérance de MCAB à et nous permet de tester les hpothèses suvantes: H A : Les µ. sont égaux : F A = MCA MCAB a-,(a-)(b-) lorsque H A est vrae. H B : Les µ. j sont égaux : F B = MCB MCAB b-,(a-)(b-) lorsque H B est vrae. Dans l exemple, j F A = MCA 884, / 3 43,6 et F B = MCAB 87, / 4 MCB 850,89 / 3 MCAB 87, / 4 9,536. Les p-valeurs correspondantes sont (à 3 et 4 degrés de lberté dans les deux cas) 0,00953 pour F A et 0,00865 pour F B. Les deux facteurs sont donc fortement sgnfcatfs. Voc les résultats produts par le logcel R : > anova(lm(~solel+espece)) Analss of Varance Table Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) solel ** espece ** Resduals Sute omse dans la verson courte Modèle à effets aléatores Supposons qu'on veulle détermner s la consommaton d'essence d'une voture neuve vare d'une voture à l'autre. On prélève les données suvantes, qu représentent la dstance (en mlles) parcourue sur un gallon d'essence par 4 votures. Le nombre d'essas vare d'une voture à l'autre. Voture Voture Voture 3 Voture Au premer abord, l'allure des données ans que la queston posée suggèrent une analse de varance à un facteur. Mas supposons que les 4 votures sont de fabrcaton dentque et que le but de l'expérence n'est pas ŕ comme l le serat dans une analse de varance classque ŕ de savor s'l a une dfférence entre les 4 votures utlsées pour l'expérence, mas plutôt de savor s'l a une dfférence entre les votures en général. Les 4 votures ne consttuent donc pas 4 populatons dont on veut comparer les moennes: elles REG06AnovaCourtH 8 avrl 0

29 MAT738 Analse de varance 9 représentent en fat un échantllon de talle 4 d'une populaton de votures de même marque, même modèle. S j représente la j e observaton sur la e voture, nous pouvons consdérer un modèle dont l'équaton est dentque à celle du modèle d'analse de varance à un facteur, sot j = + + j =,, ; j =,, n où est l écart entre la moenne générale de toutes les votures de la populaton et la moenne de la e voture trée dans la populaton. Pusque les votures sont trées au hasard, les ne sont pas des paramètres, mas des varables aléatores, de même que les j. Nous supposerons que les et les j sont mutuellement ndépendantes et que ~ (0 ; ), j ~ (0; ) Le paramètre µ est une constante. Nous appellerons ce modèle le modèle à effets aléatores, pour le dstnguer du modèle dscuté précédemment, lequel par contraste s'appellera modèle à effets fxes. Le paramètre est une mesure de la dsperson entre les moennes des votures, alors que est une mesure de la dsperson entre les dfférents essas effectués avec la même voture. Remarque. Les varables aléatores sont des constantes une fos les votures choses. En d'autres termes, la dstrbuton condtonnelle des observatons j, étant donné,...,, est dentque à celle qu est stpulée par le modèle à effets fxes. L'hpothèse que nous voulons tester s'exprme par: H o rédut le modèle à j = + j, H o : 0 =,, ; j =,, n Ce modèle est dentque à celu auquel se rédut le modèle à effets fxes lorsqu'on mpose à celu-c l'hpothèse =...=. Donc sous H o la statstque F a la même dstrbuton c que dans le modèle a effets fxes. Nous devrons néanmons développer les proprétés des sommes de carrés SCR et SCE dans le contexte d'un modèle à effets aléatores, d'abord pour justfer la régon crtque F > F -,n-;, ensute pour permettre le calcul de la foncton de pussance. Somme de carrés résduelle. La somme des carrés résduelle est SCR = n ( j. ) = j Pusque les j sont ndépendantes, j (0 ; ), on dédut que n ( ) j j. SCR ~ exactement comme dans le modèle à effets fxes et on dédut également que MCR = SCR/(n-) est un estmateur sans bas de : n E(MCR) = Somme de carrés explquée. La somme des carrés explquée est foncton des moennes échantllonnales. = + +. Les sont ndépendantes, Var( ) = Var(µ + + )= Var(. ) + Var( ) =. + /n, REG06AnovaCourtH 9 avrl 0