ANAMORPHOSE PAR TRANSFORMATIONS PSEUDO-EQUIVALENTES 1 APPLICATION A LA CARTOGRAPHIE THEMATIQUE

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1 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes ANAMORPHOE PAR TRANFORMATION PEUDO-EQUIVALENTE APPLICATION A LA CARTOGRAPHIE THEMATIQUE Patce Laglos, UMR IDEE CNR 6063, Laboatoe MTG Patce.Laglos@uv-oue. RÉUMÉ. Nous pésetos ue tasomato catogaphque pemettat aga ou e étéc les zoes ue cate e octo es valeus ue vaable escptve assocée. Nous souhatos que cette tasomato possèe es popétés spatales claemet eplctées, tout e oat es ésultats vsuels acceptables. As, ous avos é ue classe e octos polaes élémetaes qu cosevet les suaces, sau au vosage u pôle e éomato, c est la popété e pseuo-équvalece. Esute ous avos é ue opéato e combaso e ces tasomatos élémetaes, la "composto pogessve" qu est commutatve (c est-à-e épeate e l oe applcato es tasomatos élémetaes et qu péseve la popété e pseuo-équvalece. Nous pésetos e quelques cates thématques éomées, e maèe à ce que les suaces es zoes eveet popotoelles au valeus escptves assocées. Nous aalysos les avatages et les covéets es éets cho e octos evsagés. MOT-CLÉ : aamophose, tasomato catogaphque, catogaphe thématque, cate, moèle spatal, vsualsato. TITLE: Aamophoss by pseuo-equal-aea tasomato. Applcato to the thematc catogaphy. ABTRACT: We peset a catogaphc tasomato allowg a elagemet o aowg o the aeas o a map accog to the values o a assocate escptve vaable. We ty to obta a tasomato wth clealy epesse spatal popetes, whle gvg acceptable vsual esults. Thus, we have ee a class o elemetay pola uctos pesevg the suaces, ecept the eghbouhoo o the pole o eomato: t s the pseuoequal-aea popety. The we have ee a opeato to combe these elemetay tasomatos, the "pogessve composto", whch s commutatve (.e. epeet o the oe o applcato o the elemetay tasomatos a whch peseves the popety o pseuo-equal-aea. ome thematc stote maps ae coclusvely pove, oe to obta aeas popotoal to the assocate escptve values. We aalyse the avatages a the savatages o the vaous optos o the cosee uctos. KEY WORD: catogam, aamophoss, catogaphc tasomato, thematc catogaphy, map, spatal moel, vsualsato. O ete c pa tasomato polae pseuo-équvalete, ue éomato u pla qu especte, sau as u vosage e chaque pôle, la ègle vaace e l ae es suaces essées su ce pla. 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003

2 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes Itoucto La catogaphe e aamophose ecouve u esemble e méthoes e éomato ue cate «qu cosste à taspose, à tasce ue vaable escptve es leu e ue vaable éomat ces leu, e ce ses c est ue métaphoe spatale» (Laglos, Dea 97. O peut auss mette as cette catégoe les tasomatos catogaphques basées su la éomato e l espace à pat u tableau e stace-temps ete es œus u éseau, (Toble 77, epse pa Mulle (Mulle 79. De ombeu tavau ot poté su l aamophose upolae ou multpolae, applquée souvet à l accessblté (Cauv, Reymo 86, (Cauv 98. Das (Laglos, Dea 98, ous eteos eu catégoes e tasomatos polaes. L aamophose vectoelle, qu cosste à éome la cate à pat e vecteus assocés au pôles et l aamophose scalae où la éomato est éalsée à pat ue valeu uméque (u acteu scalae assocée à chaque pôle, qu late ou étéct l espace e moat l échelle locale autou u pôle e octo e la valeu assocée. C'est as cette eèe catégoe que ote taval se stue c, qu pécsea les cotos à empl pou ce type e éomato. Pou teste les opéateus aamophose que ous pésetos c, ous avos éveloppé ue applcato gaphque capable e éome ue cate (epotée epus AcVew. Pluseus logcels pemettet e éalse ce gee e tasomato. Pa eemple Aaplaste (et tuct, cté as (Cauv 998, est basé su la méthoe es élémets s applquée à la éomato e matéau soums à es cotates (baes, plaques, stuctues quelcoques, la méthoe gééale est écte pa eemple as (Rocey & al Mas l este peu e publcatos as la lttéatue géogaphque ou catogaphque açase pésetat ue méthoe claemet ée et susammet smple qu époe à ote poblématque. Il aut egae as la lttéatue aglosaoe, pou touve eposées es techques e epésetato eplctées mathématquemet. Walo Toble epose pécsémet u ceta ombe e méthoes (Toble 000, o peut auss cosulte (Leug et al. 994 qu ot, plus écemmet, ue evue es techques e éomato géométque. O y éct pa eemple, la méthoe es pojectos polyocales (Kamo et al. 978 qu combe es éomatos ssues e pluseus pôles (ou oyes selo es méthoes spées e l optque, éalsat es pojectos pespectves patculèes. Cotuat as cette ée e combe pluseus pôles, mas avec u pcpe totalemet éet e tasomato, ous avos appoo cette ée e ésolvat pa eemple, comme ous le veos plus lo, la questo e la o-commutatvté e la composto es tasomatos, qu est pas u tout aboée as ces tavau. Il este u ga ombe e octos e éomato e l espace, auss, ote object est e pésete ue méthoe ayat es popétés spatales claemet eplctées, tout e oat es ésultats vsuels acceptables, ce qu peut ête cotactoe. As, ous chechos ue tasomato multpolae, ésultat e la combaso e octos polaes élémetaes, épeat chacue u seul paamète scalae. Ce taval cotet oc eu étapes à ésoue : ue pat, ( 3 et 4 é ue tasomato élémetae qu pemette aga ou e mue la suace ue zoe e la cate à pat e so cetoïe, les autes zoes se touvat alos éplacées et éomées, mas sas que leu ae globale e sot aectée (gâce à la popété e pseuoéquvalece. D aute pat, ( 6 é pam pluseus caates possbles, ue opéato e combaso e ces tasomatos élémetaes qu sot commutatve (c est-à-e épeate e l oe applcato es tasomatos élémetaes et péseve la popété e pseuo-équvalece e maèe à ce que les suaces ales es zoes soet popotoelles au valeus escptves assocées. Pa eemple, pou ue vaable escptve epésetat u eect e populato, ous motos ( 7 commet paaméte cette éomato pou late ou étéc les suaces e maèe à ce que la esté e cette populato evee costate as toutes les zoes. Fomulato u poblème et hypothèses e épat Le poblème se ésume oc à la oée u sems e pots {P }, su u pla, appelés pôles et ue vaable escptve quattatve V{v }, assocée au pôles. Les pôles peuvet epésete évetuellemet es cetoïes e zoes auquels sot assocées les valeus escptves v. Pou u pôle P, o éalse ue éomato sotope, c est-à-e etque as toutes les ectos autou e P. La tasomato u pot M e épe alos que e la stace ete P et M qu est la ome u vecteu PM : ( P, M Elle peut ête epmée pa ue octo uméque ( qu moe la stace tale e stace éomée. Cette octo, appelée c octo polae, pemet e costue l esemble es pots tasomés La escpto mathématque e stuct (ou aaplaste est publée as The catogaphc joual, 989, vol 6,. PM 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003

3 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes M losque les pots M écvet ue gue quelcoque (pa eemple ue cate. Notos PM. u où u est le vecteu utae as la ecto et le ses e P ves M. La éomato est alos epésetée pa le champ vectoel G P qu assoce à tout pot M, so vecteu e éomato MM ' pa : ( G P ( M MM ' PM ' PM ( ( u. PM [0] La octo polae assocée au pôle P peut épee u paamète e éomato qu est calculé à pat e la valeu escptve v assocée au pôle. Cette aamophose ésulte alemet e l applcato combée, pou chaque vaat e à e la éomato polae cetée su le pôle P et e paamète (calculé à pat e v. Nous evos oc touve u moèle e tasomato, espectat s possble, les popétés suvates : Dé ue classe C e octos polaes sotopes qu latet (ou étactet u vosage B e ce pôle, popotoellemet à la valeu escptve assocée v : Ae((B.v.Ae(B tout e cosevat les suaces e ehos e ce vosage. Cec se taut pa la popété suvate (appelée c pseuo-équvalece : toute gue F essée su le pla, e coteat pas le vosage B e éomato u pôle coseve sa suace tale : F I B Ae( ( F Ae( F ( ( Touve ue méthoe e combaso (otée * es octos polaes, à la os commutatve et compatble avec la popété e pseuo-équvalece. Cela se ésume e eu hypothèses : a. cosevato es suaces apès combaso : pou toute gue F essée su le pla, e coteat aucu vosage es pôles assocés à et g o a : Ae( * g(f Ae(F b. Commutatvté e la combaso :,g C, * g g * 3 Touve ue tasomato ale (ésultat e la combaso es octos polaes qu e sot pas top éomate, pemettat as e ecoaîte la cate tale à taves la cate éomée, e patcule qu especte la topologe (pas e «choage». 3 Moèle e latato Ue telle octo polae epose su l ée seto u sque ge as ue membae élastque, ceté su le pôle et ot la suace est popotoelle à la valeu escptve oée. Losqu o sèe u sque e ayo ceté su u pot P u pla, l espace, coséé comme élastque, est epoussé autou u cecle. La maèe ot l espace se éome autou u sque sute à cette seto ot ête ée e maèe à possée es popétés ées plus haut. as moélse le compotemet physque eact ue membae élastque soumse à es étemets, ce qu est pas ote poblème c, ous allos ous sev e cette aaloge physque pou costue u moèle e éomato e le plat à os egeces e epésetato. Nous allos pat u pcpe smple suvat : o cosèe ue membae supposée e et éomable tout e estat plae, as laquelle o élmte u omae étue, susammet ga. Losqu o sèe u sque ge e ayo as ote membae, cellec est epoussée autou u sque, céat u tou e so se e la talle u sque as qu ue latato latéale et ue cotacto aale e l espace au vosage u sque. O cosèe que la pate e membae occupée mateat pa le sque s est tasomée e ue couoe autou e lu. O mpose e plus que la suace e cette couoe este égale à la suace u sque, ce qu coèe au moèle, comme ous allos le mote, ue popété catogaphque téessate. As, e poche e poche la membae se éome pa couoes successves e même suace. Avec cette hypothèse, ous moteos que toute gue essée su la membae coseve so ae apès l seto u sque. E patcule l ae totale u omae étue est vaate mas, s l o cosèe la suace u sque comme asat mateat pate u omae étue, celu-c est alos eactemet augmeté e la suace u sque, apès seto. 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 3

4 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes M M P La couoe e gsé (ete les ayos et est e même suace que le sque e ayo gue - Moèle e latato pa cosevato e suace Cette hypothèse oe à l espace (e ehos u sque qu o vet sée ue es popétés classques es pojectos catogaphques appelée équvalece, qu stpule que les objets (e patcule, u pett cecle appelé catce e Tssot cosevet leu ae apès pojecto, même s ls sot éomés. 4 Moèle scotu Apès seto u sque, la membae sea scotue ca pecée u tou e suace égale au sque. Pou que le moèle possèe la popété e pseuo-équvalece (c est-à-e équvalece, sau as le vosage e P, coespoat au sque seto, s l o appelle et les ayos tee et etee es cecles lmtat la couoe qu l etoue, o cheche tel que la suace e la couoe (e ayos et sot égale à la suace u sque tal (e ayo. O peut oc éue e l égalté ete ces eu suaces, la valeu u ayo etéeu : π π ( ' ' ue maèe plus gééale, ous allos mote que toute couoe e cete P et e ayos et, otée C(P,,, ot se tasome e ue aute couoe C(P,, e même suace, apès seto u sque e ayo ceté e P. Pou tout pot M u pla, posos PM, ' PM ' et MM '. La octo polae P, assocée à l seto u sque e cete P et e ayo est caactésée, pou tout pot M u pla, pa le pot tasomé M véat: ( ( ' ( ' + ce qu oe l epesso e la octo polae e la vaable qu epésete la stace au pôle : 0 : ² + ² [] O peut é la tasomato écpoque coespoat à la étacto u cecle pa le cete C et selo le ayo pa la tasomato: ( ( ' ( ' ² ² [] E utlsat les ombes complees, (où c est-à-e o peut epme la tasomato écpoque pa l seto u sque e ayo magae, ca la elato [] peut s éce auss selo la omule [] e peat u ayo magae ' + ( ' + ' As, o poua ote : l seto u cecle e ayo, epésete ue suace égatve : s π ( -π 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 4

5 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes (A : seto (B : suppesso gue - moèle scotu : chaque caeau éomé gae sa suace tale Avec cette tasomato, chaque pot ue couoe C(P,,, sea tasomée pa la octo e u pot e la couoe tasomée C (P,,, et e patcule les cecles boat la couoe, auot les ayos tasomés suvats : ' + sa suace tasomée sea alos égale à sa suace tale, e eet: ' π ( ' ' π ( + ( ' + π Plus gééalemet, s l o cosèe u élémet e suace stué à ue stace u pôle P, l peut se epésete comme ue poto e couoe agle α ot les ayos es cecles tee et etee sot et + sa suace est alos calculée pa : π ( + ² α π ( + ² α π... ( α apès tasomato, sa stace passe e à ² + ² et sa ouvelle suace vaut : 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 5

6 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes ( ² + ² + ( ² + ² ( ² ² α ' π + ² + ².. ² ² ' π ² + ² ² + ² apès smplcato et élmato es temes églgeables (e ² o touve : où : ( ² + ² + + ( ² + ² α Cocluso : la tasomato u pla elatve à u pôle, selo la octo polae ² + ² coseve les suaces (popété équvalece G, Le champ vectoel P, u pôle P et elat à cette octo polae u paamète (pouvat ête éel post ou magae pu sous la ome.s avec s>0, qu assoce à tout pot M u pla, le vecteu e éomato MM ' s éct alos apès [0]: ( G P M PM PM, ( + Le champ vectoel te à s aule losque le pot M est susammet lo e P. Losque est magae (cotacto et que le pot M est as le sque ( <, la ace caée est alos complee et le pot M est comme «aspé» pa le pôle su l ae magae othogoal au pla e P, pusque o a alos, (e posat v. u : PM ' v. Das la patque, e e gaat que la pate éelle, o poua cosée que M est e P. 5 Moèles cotus La scotuté spatale céée pa u tou û à l seto u sque as l espace élastque, peut ête jugée gêate, ca elle petube la topologe e la suace. O peut moe u peu la octo polae au vosage u sque seto, sas emette e cause le pcpe e cosevato es suaces etéeues au sque séé. Le pcpe physque cosste alos, au leu e cée u tou, à éte la membae aalemet autou u cete e maèe à augmete la suace, mas sas la toue. La topologe est alos espectée. Nous allos oc moe u peu la octo polae qu calcule la stace latée à pat u cete seto. Das le moèle scotu, elle est oée pa y +. O vot que pou 0, la octo oe y, ce qu at que l espace éomé cotet u tou e ayo autou u cete seto. as emette totalemet e cause la popété e cosevato es suaces, ous moos alos pou les valeus e éeues à, e éssat ue ouvelle octo, otée h, e maèe à suppme le tou au cete, qu oe l eet u «ôme» autou u pôle. De plus la octo h ot se accoe à au pot A (, et avo s possble la même pete e A, ce qu se taut pa les tos cotos, h(0 0, h( ( et h ( (. m O peut cheche les caats pam les octos pussaces h a. E eet, la pemèe coto est m m toujous espectée, la euème se taut pa : h ( a où : a, sot : m h [3] l o veut la cotuté e la pete, l aut auss que la tosème coto sot espectée. Il aut, pou cela, calcule les évées : m h ' m, et ' ² + ² la coto s éct : 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 6

7 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes '( ' ( m ² h ce qu mpose que m as la omule [3]. Il e este alos qu u caat pou la octo h e classe C (es octo cotues, as que leu évée, oé pa : [0, ], h [4] Moèle cotu Moèle scotu h( h - ( A ( -- ( 0 gue 3 - Coubes es octos polae et h et e leu octos écpoques Pou la octo vese, utlsée pou la suppesso e cecles, o a alos (pou < : h Pam tous les moèles possbles oés pa [3], o peut ote auss le moèle le plus smple pou h, (mas qu est seulemet e classe C 0, c est la octo léae, qu coespo à m, sot ot l vese est [4 ] h [5] h Falemet, le cas le plus téessat état celu ot la évée est cotue (pou m /, o peut eé la octo polae comme ue octo à eu moceau, selo qu o se touve à l téeu u cecle e ayo ou à l etéeu : ( ( + ( ( < ( [5 ] sot, avec PM 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 7

8 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve ( ( < + PM M G PM M G MM M G P P P ( ( ' (,,, [6] et pou so vese (suppesso u sque e ayo : ( ( < ( ( ( sot ( ( < PM M G PM M G MM M G P P P ( ( ' (,,, [6 ] A : seto u sque E ouge, lmte u vosage e latato es suaces B : suppesso u sque gue 4 - Tasomatos cotue. (ôme

9 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes 6 Combaso es octos polaes Ayat mateat é les octos polaes qu sot à la base es tasomatos élémetaes applquées à chaque pôle, ous evos passe à la euème étape, celle e leu combaso, pou costue l aamophose chechée. oet eu octos polaes et applquées espectvemet au pôles P et P et e ayos et. Chacue eectuée solémet coseve les suaces, mas l aut combe leu eet as le même espace. O peut se emae commet é ue combaso et so compotemet. E patcule, o ot vée s la popété e cosevato es suaces est toujous espectée. Quelle opéato ot-o utlse ete et pou especte cette popété? Il seat égalemet souhatable que cette opéato, otée pou l stat * sot commutatve, c est-à-e : e maèe à ce que le ésultat e pluseus éomatos e épee pas e l oe as lequel les opéatos ot été eectuées. 6. Combaso pa sommato Le peme caat, ca le plus smple et le plus utlsé, pou combe eu ou pluseus vecteus est la somme vectoelle. Cette opéato est commutatve. Malheueusemet, ous allos mote que la somme vectoelle est pas compatble avec la pseuo-équvalece. oet M l mage e M pa la tasomato G e pôle P et M celle e M pa la tasomato G e pôle P. Alos, à tout pot M e l espace est assocé le vecteu e éomato : ( G + G ( M G ( M + G( M MM + MM MM ' Il sut pou cela ehbe u cote-eemple : Peos le cas smple où les eu pôles sot coous et les sques e même ayo. O a alos, P P P, et les vecteus utaes as les ectos P M et P M, égau à u MM MM + MM ( ² + ². u + ( ² + ². u ( ² + ² u. ' ' [7] s o avat séé u seul cecle e suace égale à la somme es eu pécéets, so ayo seat où MM ( + ' + + et o auat : MM ' + ce qu est éet e [7] et mote que la somme vectoelle e coseve pas les suaces pusque la couoe gééée e coespo pas à celle atteue. Cocluso : La somme vectoelle est commutatve mas est pas pseuo-équvalete. (A:somme e eu tous ( zoe choée au cete, (B:somme e eu ômes ( zoe e cotacto cetale gue 5 - sommato vectoelle 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 9

10 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes 6.. Composto e eu octos polaes e même cete Coséos la octo polae assocée à l'seto u sque e suace et celle assocée à au même pôle C. La composto e ces eu octos polaes coespo à la octo seto u sque e suace +, e eet : ot : o ( + ² + ² + + π π π + + o [8] Cette composto est c commutatve, mas c est u cas patcule, ca les eu octos sot elatves au même cete. Cocluso : La composto e eu setos e même cete est commutatve et équvalete. 6.. Composto e eu octos polaes e cetes stcts Losqu o sèe eu cecles e suaces et cetés e P et P éets, l opéato est plus commutatve comme ous allos le pécse c-essous, mas elle est compatble avec la popété e pseuoéquvalece. E eet, à l ssue ue pemèe tasomato polae, ue gue F quelcoque essée su la membae se éome e F, sas chage e suace. Pou les mêmes asos, los e l applcato e la euème tasomato, F sea tasomée e F" et sea ecoe e même suace La composto es octos est pas commutatve. L opéato e composto es octos (et e patcule es octos polaes état pas commutatve e gééal, cec se cocétse pa le at que la éomato e l espace (la membae élastque ue à l seto u sque D(P, e cete P et e ayo, suve ue euème éomato ue à l seto u aute sque D(P,, e oe pas la même gue que s l o avat commecé pa sée D(P,, pus D(P,. E eet, as le peme cas, l seto u euème sque éome l mage u peme, alos que le seco este cculae. Losqu o pocèe as l aute ses, c est D(P, qu éome D(P,. Le poblème s accetue losqu l y a sques à sée. As, le ésultat al e la éomato épe e l oe as lequel o eectue les setos. La ésoluto e cette aomale pose quelques cultés, que ous allos aboe mateat. (A : sques tau (B : sques éomés gue 6 - La composto es eu sques est pas commutatve (ssyméte 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 0

11 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes 6. Combaso pa composto pogessve 6.. Déto ue composto commutatve L ée epose su la éomato e l espace sute à l seto smultaée mas pogessve e tous les sques. Plus pécsémet, o va sée e étapes u -ème e la suace e chaque sque. Nous appelos cette opéato, composto pogessve. Plus evet ga, plus l eet e la o commutatvté s attéue, pou s appoche u moèle e cossace smultaée e tous les sques as l espace e éomato. La composto pogessve utlse la popété atvté o pou les suaces + et e eu sques séés au même cete. l o veut sée sques e suaces,,, au pots P, P, P, o va é octos polaes,, chagées es éomatos autou e leu pôle espect. Pou que l opéato sot (pesque commutatve, o va evo écompose chaque octo e octos élémetaes etques g e telle sote que g o g o... g 4443 o. 4 os As, à chacue es étapes e la costucto o compose les octos élémetaes séat as u -ème e la suace e chaque sque, la octo composée globale oat le ésultat al. ( g o g o... o g o ( g o g o... o g o... o ( g o g o... o g os g o g o...o E otat le pout e composto pa [ ] et la pussace e composto pa o o... o, 443 g g os la omule s éct avec plus e cocso sous la ome: g [ ] [4] 6.. Race e écomposto ue octo Pou é coectemet la composto pogessve, o ot écompose ue octo polae e octos etques g telles que [ ] o a que g est la ace -ème e écomposto e ou que est la g pussace -ème e composto e g. O utlsea auss les otatos ] [ g ou ecoe [ ] g 6... Cas e la octo polae Avec la octo polae + ², où 0 π epésete la stace au pôle. O éct cette octo plus smplemet, avec ², sous la ome ² + ² as, π [ ] ( ² + + ² + π π π o. De la même maèe o peut gééalse à et éce : [ ], ou : 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003

12 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes ce qu sge qu l evet au même sée u sque e suace u seul coup, ou sée e étapes successves, au même pot, es sques e suace /. Cette popété semble évete c, mas elle l est mos pou autes octos. Pa eemple, ous auos beso e l utlse la ace e écomposto ue octo pussace Cas ue octo pussace Das le cas où est ue octo pussace eposat éel m, c est-à-e : ace -ème e écomposto e, sot E posat g b a m (, o peut cheche g, la [ ] g, as le même esemble es octos pussace. (, o peut calcule pa écuece l eposat et le coecet e g, ce qu oe : m et b m a as, le ésultat est mos évet : pou m o a et pou m : g [ ] m m a [9] [ ] a [9 ] g 6..3 Race e écomposto es octos h Nous avos vu pécéemmet la omule e la ace e écomposto -ème ue octo pussace. Nous pouvos l applque pou les octos h. oées e [3]. O touve alos l epesso e la ace e écomposto -ème e h, pou m : h m h ot l éctue se smple u peu e posat m m et et pou m : o a h h ce qu oe h m m m p m p : [0] [0 ] [0 ''] O mote aclemet que la ace e écomposto -ème e la octo vese h - est égale à l vese e sa ace e écomposto, qu s éct : ( h h. O a alos e posat m : et pou m : h ' et m ' p m ' pou ' p' [] h [ ] 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003

13 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes A : les eu sques avat éomato B : seto e sques (ote l absece e sgulaté cetale C : eu ômes (ote l absece e cotacto cetale gue 7 - Composto pogessve e eu sques, ote la syméte, cotaemet à la gue 6 pou la octo h e classe C (e [5], la omule [0], se ééct e peat m ½, pou oe la ace e écomposto -ème e h : 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 3

14 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes h et la ace e écomposto e sa octo vese h - s éct : ( h h [] [3] Pou éalse ote aamophose complète su pôles aectés e leu octo polae,,, l sut oc applque la composto pogessve su ces octos e acteus : chaque acteu g est alos la ace - ème e écomposto e, c est-à-e : g [/]. o utlse ue seto e sque (moèle scotu, la octo polae à écompose est celle ée e [] et se écompose e: g + [ / ] l o souhate ue éomato cotue o utlse pou <, la écomposto u ôme h pa : g h [/] é pa la omule []. c est ue suppesso e sque, o utlse pou h la omule [3]. Le ésultat al est alos calculé pa la omule [4] éocée au ébut e ce paagaphe : [ ] E théoe l auat ae tee ves l pou covege ves ue opéato commutatve, mas as la patque, ue valeu pette e sut. Pou 5, o e vot éjà plus les éauts e syméte us à l oe es opéatos. O peut alle beaucoup plus lo, (as la gue 7, o a ps 5 mas alos le temps e calcul augmete léaemet avec, pou ue éece vsuelle sesble. Cocluso : La «composto pogessve» est (quas commutatve et pseuo-équvalete. 7 Cate zoale e aamophose scalae Losqu o éalse ue cate thématque zoale pou epésete ue vaable quattatve V, au leu e esse es pots popotoels au valeus v, o peut late la zoe elatvemet à la valeu v, éalsat as ue aamophose scalae. Das la zoe e suace A o sèe alos u sque e suace. l y a pseuoéquvalece es suaces apès seto, la zoe mesuea A A +, à coto que la zoe cotee le vosage e lato assocé au pôle. O chosa e maèe à ce qu l y at popotoalté ete les suaces ésultates et les valeus v e la vaable escptve : v [,..., ], A + sot ecoe : v A Le acteu e popotoalté, peut ête chos e éetes maèes. O peut pa eemple éce que la zoe j qu possèe la esté mmale v j /A j e sot pas éomée ( j 0, la valeu e est alos ée pa cette esté mmale. Les autes zoes evot ête latées ue suace pou amee leu esté à. L covéet e cette méthoe est qu o moe l échelle globale e la cate 3 as ue popoto qu peut ête coséable s la vaable escptve possèe ue ote speso. Il est pééable alos toue es cotactos, qu coespoet à la suppesso ue poto espace coespoat à la suace u sque qu spaaît pa le cete. De cette maèe o peut pee pa eemple comme ééece pou la esté moyee, les suaces à sée sot alos postves s la esté e la zoe est supéeue à la moyee et égatves pou les autes. 3 L échelle globale e la cate peut ête calculée c comme le appot e D' où D est l ae u omae éel e D la cate, éuo e toutes ses zoes, et D l ae tasomée. 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 4

15 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes Ue méthoe plus téessate ecoe cosste à chos e maèe à ce que la suace totale e la cate (oc so échelle globale sot cosevée, c est-à-e que le total es latatos postves compese eactemet les latatos égatves (étactos, est alos é pa : v v A + A As, sot o sèe u sque et l espace est epoussé autou, sot o ete u sque, comme s o tat la membae élastque pa ue boutoèe (éute à u pot pou e soustae la suace u sque, c est l opéato eactemet vese e l seto e sque. a: mage o éomée b: ômes e egé c: ômes e egé 4 : seto e tous gue 8 - Populato pa égo açase e Cocluso O vot que chaque méthoe eposée c possèe ses avatages et ses covéets. La méthoe cotue e egé utlsée gue 8.b est la plus ouce au veau e la éomato, mas e especte pas tès be la cosevato es suaces. E eet, celle-c est espectée qu e ehos e vosages assez lages autou es pôles, s be que les suaces es zoes, ot les cotous se touvet souvet à l téeu e ces vosages, e sot pas tout à at popotoelles au valeus escptves. O s e appoche meu avec la méthoe cotue e egé 4 e la gue 8.c où les petes es ômes sot plus butales, mas les vosages e éomato sot les mêmes. E, e 8., la méthoe scotue, pa seto e sques, especte eactemet la popotoalté es suaces au valeus escptves, pusque pa costucto, les sques e éomato sot séés à l téeu e leu zoe e maèe à moe leu suace e coséquece. Mas la scotuté e la 6 èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 5

16 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes octo peut poue ue éomato assez butale s les lmtes e la zoe sot top poches u bo seto u sque. C est le cas e l Ile-e-Face où la égo est pette et le sque à y sée est ga u at e sa ote populato. De maèe plus pécse, pou ue latato coespoat à l seto u sque e ayo, le vosage as lequel les aes sot moées est, as le moèle cotu, u sque e ayo autou u pôle, alos qu l vaut seulemet as le moèle scotu. E ehos e ce vosage (et as les eu moèles, les gues sot éomées mas cosevet eactemet leu ae e épat (popété équvalece. Losqu l y a pluseus pôles (combés selo la composto pogessve, la ome e ces vosages est moée pa l luece es autes, mas ls cosevet leu ae tat qu ls e s tesectet pas ete eu. De même, avec pluseus pôles, l vaace e l ae est eactemet espectée e tout pot etéeu à la éuo e ces vosages. O pouat aclemet améloe le eu gééal e la gue 8. e épatssat meu la éomato au se e chaque zoe, pa eemple e esceat à la vaable populato au veau u épatemet, l y auat alos pluseus pôles e éomato e moe testé épats as chaque égo, oat ue éomato plus homogèe. Mas le but echeché c état e mote le mécasme e costucto e cette tasomato et e scute le ésultat, sas cheche à y ajoute autes eets. Le catogaphe patce poua juge esute e la petece e ces moèles pa les ésultats qu ls pouset, e utlsat ou o es statéges combées ou plus es. Au veau e la mse e œuve omatque, la «composto pogessve» ée e 6. se taut pa u algothme téat qu covege apemet (e 5 téatos l opéateu e «composto pogessve» evet quas commutat. Il est e completé léae u ombe e pôles multplé pa le ombe e pots à tasome. Il pemet as u achage quas stataé su u PC, ue aamophose e la Face pa égos composée oc e pôles et evo 8000 pots e coooées pou ses cotous. Il aut evo 7 mutes pou éome la cate es égos euopéees à pat e 58 pôles et evo pots e coooées. Ces méthoes sot sûemet peectbles, mas l ée e la éomato pa seto e sques as ue membae éomable s est cocétsée c e maèe ecace. Néamos elle a pu se éalse qu apès avo ésolu eu poblèmes : celu e moélse coectemet le compotemet e la membae soumse à ue seto ou ue suppesso e sque. Nous avos pou cela costut ue tasomato polae véat ue popété vaace que ous avos appelé «pseuo-équvalece», pemettat ue latato locale autou u pôle cotôlée pa u seul paamète, sas mocato es aes etéeues au vosage e éomato. celu, plus élcat, u cho e l opéateu e combaso es tasomatos polaes qu especte à la os la commutatvté (épeace e l oe e combaso es pôles et qu sot compatble avec la pseuoéquvalece (espect e la popété vaace e chaque tasomato polae. 9 Bblogaphe Cauv C., Des tasomatos catogaphques, Mappe-moe, 49, vol, pp -5, éve 998 Cauv C., Reymo H., Nouvelles méthoes e catogaphe, Reclus-La ocumetato açase 986. Kamo N., hlom E.. A polyocal pojecto o statstcal suaces. The Catogaphc Joual, 5 vol, pp. 36-4, 978 Laglos P. Dea J.C., Aamophose, aalyse ue métaphoe spatale, Revue teatoale e géomatque, Vol 7, /997, pp Laglos P., Dea J.C., Catogaphe e aamophose, Mappe-moe, 49, vol, pp 6-9, éve 998 Leug Y.K., Appeley M.D., A Revew a Taoomy o Dstoso-Oete Pesetato Techques, ACM Tasactos o Compute-Huma Iteacto, Vol, Jue 994. Mulle, J.C. La catogaphe ue métque o euclee : les staces-temps, L espace géogaphque, 3, pp 5-7, 979 Rocey L., Gths W., Roy E., Nethecot D., The te Elemet Metho, E. Gaaa Publshg Lt, èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 6

17 Aamophose pa tasomatos pseuo-équvaletes Toble W., Tasomatos catogaphques e posto, systèmes e pojectos et aamophoses, publcatos Tetes éus pa C. Cauv et C. Gasla avec la collaboato e R. chlumbege, tasboug- Pas, avl 000. Ce ecuel cotet e patcule : - Toble W.R The tlateato poblem poblem, otes e lectue. 8p - Toble W.R. Bmesoal egesso, A compute pogam, geogaphy epatmet, uvesty o Caloa, ata Babaa - Toble W.R. Pseuo-catogams, Ameca Catogaphe, 3, pp èmes Recotes e Théo Quat. Féve 003 7