[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit

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1 Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua IV.- Espérace mathématque de l estmateur  : A ˆ A + X X X Nous avos ( ε alors l espérace mathématque sera : E ( E( A + E[ ( X X X ε ] sot E ( A + ( X X X E[ ε ] Par hypothèse fodametale, o a E[ ε ] 0, ˆ d où E ( A A, car A est ue quatté certae (o-aléatore.. estmateur  est o-basé. V.- Matrce des varaces-covaraces de l estmateur  :, a matrce  Var Cov M Cov des varaces-covaraces de ( Cov(, Cov(, ( Var( Cov( ( Cov( Var( E remarquat que : Var( ( ˆ ( ˆ E a E a E M [ ] [( a ] car E ( a [( a ( a a ] E ˆ et que Cov(, ˆ [( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ a E a E a a E a ] peut mettre [( a ( a a ] E ˆ  sous forme : ( E( ( E( ˆ E A  est défe par : ( A( A E r ( X X X ε A ˆ A et [ ] [( ] A X X X ε 6

2 Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua [ ˆ ] ( [( ] A A ε X X X ε X ( X X Alors, o aura : sot Remplaços pusque [ ( X X X ε ( ε X ( X X ] ˆ E A ( X X X E( εε X ( X X E( ε ε par sa valeur σ I, o obtet: [( ] X X ( X X [ X X ] ( ( ( X X X σ IX X X σ X X ( X X ( X X Falemet : σ X X ( a matrce (X X - est ue matrce symétrque de type (,. Pour que l estmateur  sot coverget, l est écessare que la matrce (X X - ted vers zéro lorsque le ombre d observatos augmete défmet. Habtuellemet, cec se pose comme ue hypothèse techque de la régresso multple. VI.- Théorème de Gauss-Marov : estmateur  est «BUE» : A ˆ [( X X X ]Y estmateur est u estmateur BUE «Best ear Ubased Estmator» de A, c'est-à-dre que la varace de  est la plus pette etre tous les estmateurs sas bas de A. Démostrato : Cosdéros u estmateur quelcoque de A. a estmateur dot être léare e Y : M Y Α est de type (,. Y est de type (,. a matrce M est as de type (,. Remplaços Y par sa valeur, o obtet : M(XA+ε MXA+Mε b Il faut motrer que M(X X - X : Pour cela, o peut cosdérer l expresso : M(X X - X +N et motrer que la matrce N, de type (, est égale à zéro : N0. 7

3 Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua c estmateur dot être o-basé, c'est-à-dre qu l dot vérfer E(A : E(MXA+MεA > MXA+M E(εA > MXAA pusque E(ε0. C'est-à-dre la codto u ecore MXI. [(X X - X +N]XI > (X X - (X X+NXI > I+NXI > NX0 d estmateur dot être de varace mmale : a matrce des varaces-covaraces de est : Mas I A + Mε A + Mε E ( + Mε E ( Mε E ( M ( M E[ M M ] ME( M M IM ε ε εε εε σ σ M M Cette expresso peut auss s écrre : σ σ σ [( X X X + N ] ( X X [( X X + N ] X ( X X [ + ] X N [ + N ] X [( X X ( X X ( X X + ( X X X N + NX ( X X + NN ] ( ( ( ( σ X X + X X NX + NX X X + NN σ [( X X + NN ] MXA + Mε pusque NX0 ( E( ( E( E es varaces se trouvet sur la dagoale prcpale de. Il faut mmser ces termes. Mas, σ et (X X - état des costates, l faut doc mmser les élémets de la dagoale de NN. Ces élémets qu sot des varaces, sot oblgatoremet postfs ou uls. 8

4 Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua NN' M M M M Ils sot mmums lorsqu ls sot uls, c'est-à-dre Cette derère relato est vérfée s et seulemet s 0, pour tout et pour tout, e d autres termes s N0. Cocluso : estmateur  est as «BUE». VII.-Estmateur de σ : σ est lu-même cou, alors o l estme. peut motrer que e e où e.e est la somme des carrées des résdus, c'est-à-dre : e e et (- est le degré de lberté. 0; e estmateur est sas bas, [ ˆ ] σ E σ. peut motrer auss que : Y ΓY avec ( X X X Γ I X Γ est ue matrce carrée d ordre (c est la dfférece de deux matrces, symétrque (Γ Γ et dempotete (Γ Γ. Be sur, Y ΓYe.eΣe. 9

5 Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua VIII.-Formule de l aalyse de la varace, coeffcet de détermato et coeffcet de corrélato léare multple emprque : Formule de l aalyse de la varace : D après les hypothèses de la régresso et comme o a vu das le chaptre précédet : Cette même relato, o peut l exprmer par : Varace Varace Varace + totale explquée résduelle ( Y Y ( X Y + ( Y ΓY Coeffcet de détermato R : Par défto, o appelle coeffcet de détermato, oté R le rapport : R Varace explquée Varace totale X Y Y Y R représete la proporto de la varace de Y explquée par l fluece léare des varables exogèes X. rappelle auss que : 0 R. Il est autat proche de que le «uage de pots» est plus alogé et étré. Néamos, ce coeffcet déped essetellemet de l échatllo observé, d où l adectf «emprque». E effet, R est ue varable aléatore pusqu l déped d u échatllo aléatore. As, l formato foure par R est pas prmordale pour l étude du modèle cosdéré. 3 Coeffcet de corrélato léare emprque multple R : a race carrée du coeffcet de détermato R est le coeffcet de corrélato léare multple R. Comme o a déà vu - R. e coeffcet R est lu-même emprque car l déped de l échatllo aléatore chos. 0

6 Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua IX.- Utlsato des tests statstques : a théore statstque classque des tests cosste e établr ue hypothèse au paravet. e vecteur aléatore ε sut ue lo ormale de moyee ulle et de varace σ I. ε N(0; σ I Mas, ous avos vu que  déped léaremet de ε. E effet, avec E(ÂA et σ ( X X ( X X X ε A ˆ A +. Doc N σ ( A; ( X ' X Il est possble, alors, de costrure par les méthodes usuelles de l aalyse de la varace u test de sgfcato des coeffcets estmés précédemmet. es tests «classques» sot les tests de t de Studet et celu de F de Fsher-Sedecor. Test de t de Studet : Il cosste e tester s a 0 (u seul parm,,, calcul l dcateur (ou la statstque : t a σ ˆ a où σ â est l écart-type estmé, obteu à partr de la matrce des varaces-covaraces σ ( X X as σ σ matrce (X X - et σ est estmé par v où v est l ème e e terme de la dagoale de la o compare t avec t lue das la table de la lo de Studet, pour u seul (ou veau de coface, et -- degré de lberté. S t >t alors ce a est dfféret de zéro. S t <t alors ce a est égale à zéro.

7 Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua Test de F de Fsher-Sedecor: Il cosste e tester s a a a a 0 (tous. R F calcul l dcateur (ou la statstque : ( R ( ù R est le coeffcet de détermato. compare la valeur de F avec ue valeur F lue das la table de Fsher à u seul et e focto des degrés de lberté et (--. S F>F alors au mos u des coeffcets a est dfféret de zéro. peut auss utlser le tableau de l aalyse de la varace (pour ce cas de régresso léare multple : Source de varato Somme des carrées Degré de lberté Moyee des carrées Régresso Y ˆ Yˆ MCR Résdus e -- e MCE ( Y - Total ˆ MCR Y F calcul MCE e ( Que l o compare avec F lue das la table de Fsher. S F>F, alors cela veut dre qu l exste au mos u des a qu est dfféret de zéro.