Cours 02 Modélisation des systèmes asservis en SLCI et réponses temporelles

Transcription

1 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Exemles de sysèmes asservis de la salle de TP SII Robo jockey, Direcion Assisée Elecrique, Maxid, cordeuse de raquee.... Sysèmes auomaiques.. Définiion sysème auomaique Un sysème auomaique es un sysème don les élémens le consiuan coordonnen enre eux our réaliser des oéraions e our lequel l'inervenion humaine es limiée à la rogrammaion du sysème e à son réglage réalable. Un sysème auomaique erme de : Réaliser des âches ro comlexes ou dangereuses our l'homme Exemle : Module d exloraion Marien Subsiuer la machine à l homme our faire des âches rééiives e énibles Exemle : Bras de soudage de chaîne d assemblage auomobile Accroîre la récision Exemle : Robo chirurgical Les sysèmes de commande auomaiques s'insiren le lus souven du comoremen de l'homme... Classificaion des sysèmes auomaiques Les sysèmes auomaiques son classés en foncion de la naure de leurs informaions de commande e de mesure. On disingue deux yes d'informaions : analogiques e discrèes. Informaion (signal) analogique : Une informaion analogique eu rendre, de manière coninue, oues les valeurs ossibles dans un inervalle donné. Un signal analogique eu êre rerésené ar une courbe coninue. Exemle : les grandeurs hysiques (eméraure, viesse, osiion, ension,...) son des informaions analogiques. Informaion (signal) discrèe : Une informaion discrèe es consiuée d'un nombre fini de valeurs. On disingue : une informaion logique du ye «vrai/faux» ou «/». Elle es associée à l'éa d'une variable qui ne eu rendre que deux valeurs ossibles. Ces informaions euven aussi êre aelées des informaions binaires (bi) ou «Tou Ou Rien» (TOR). Floresan MATHURIN Page sur

2 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles une informaion numérique sous la forme d'un mo binaire, consiué de lusieurs bis (variables binaires /). Cee informaion numérique es en général issue d'un raiemen (échanillonnage e codage) d'une informaion analogique (on arle de Conversion Analogique Numérique CAN). Signal analogique (à gauche) e signal numérique (échanillonné uis codé) (à droie) On eu découer les sysèmes auomaiques suivan les caégories cidessous : Sysème auomaique Sysème auomaique à logique combinaoire Sysème asservi Sysème auomaique à logique séquenielle Sysème suiveur Sysème régulaeur Les sysèmes asservis suiveurs ou en oursuie d'une loi de référence dans lesquels la consigne d'enrée varie en ermanence. L'objecif de ce sysème es d'ajuser en ermanence le signal de sorie au signal d'enrée. Les sysèmes régulaeurs our lesquels la consigne d'enrée es fixe. Ils son desinés à mainenir une sorie consane our une consigne d'enrée consane. Exemle : Radar de oursuie Exemle : Régulaeur de débi.3. Rerésenaion des sysèmes asservis Pour rerésener un sysème asservi, on uilise oujours un schémabloc foncionnel qui erme de comrendre la srucure du sysème selon un oin de vue commande. Parie commande Chaîne direce Perurbaion Consigne Enrée e() Mise en forme du signal Ecar ε() Amlificaeur ou correceur Acionneur Sysème dynamique Sorie s() Chaîne de reour Caeur Parie oéraive Floresan MATHURIN Page sur

3 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles.4. Généraliés sur les caracérisiques des erformances des sysèmes asservis Quare crières rinciaux ermeen d'analyser la réonse d'un sysème auomaique. Sabilié Un sysème es sable si à une enrée bornée corresond une sorie bornée. Le bouclage eu désabiliser un sysème. C'es le crière que l'on regarde en remier, car sinon on ne eu as analyser les aures crières. On souhaie oujours que le sysème asservi soi sable. s() s () e() u() s() avec s( ) s () e() u() e() u() Réonse s() à un échelon e() d un sysème insable Réonse s() à un échelon e() d un sysème insable Réonses à un échelon e() de sysèmes sables Précision La récision qualifie l'aiude du sysème à aeindre la valeur visée. Elle es caracérisée ar l erreur e r () enre la consigne en enrée e la valeur asymoique effecivemen aeine ar la grandeur de sorie. Si l erreur es nulle, on di que le sysème es récis. e() u() Erreur e() a..u() Erreur s() s() Raidié La raidié es caracérisée ar le ems que me le sysème à réagir à une variaion brusque de la grandeur d'enrée. Ceendan, la valeur finale éan le lus souven aeine de manière asymoique, on reien alors comme rincial crière d'évaluaion de la raidié d'un sysème, le ems de réonse à n%. Dans la raique, on uilise le ems de réonse à 5% ( 5% ), c'es le ems mis ar le sysème our aeindre sa valeur de régime ermanen à ±5% rès e y reser. Aenion le ems de réonse à 5% n es as le ems mis our aeindre 5% de la valeur souhaiée!!! Floresan MATHURIN Page 3 sur

4 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles ±5% de la valeur asymoique e() u() Valeur asymoique ±5% de la valeur asymoique u() e() u() Valeur asymoique s() s() 5% 5% Méhode our déerminer le ems de réonse à 5% :. On race la droie corresondan à la valeur asymoique.. On race la bande corresondan à ±5% de la valeur asymoique. 3. On en dédui grahiquemen le ems de réonse à 5%. Amorissemen (ordre >) L'amorissemen es caracérisé ar le raor enre les amliudes successives des oscillaions de la sorie. Plus ces oscillaions s'aénuen raidemen, lus le sysème es amori. e() u() s() e() u() e() u() s() s() Sysème suramori Sysème «bien» amori Sysème sousamori L'asservissemen «idéal» es un sysème ayan une bonne sabilié, une bonne récision ainsi qu un régime ransioire raide e bien amori. Ceendan ces crières de erformances ne son as oujours comaibles. Par exemle, un rocessus raide es généralemen léger, il a ainsi une faible inerie e risque d'êre eu amori voire insable. D'aure ar si on veu améliorer la récision, on raidi l'asservissemen e on risque de omber alors sur un hénomène d'insabilié. Tou l'ar de l'auomaicien es de réaliser une arie commande ermean de resecer au mieux ces crières.. Modélisaion des sysèmes asservis.. Démarche de modélisaion e d éude des sysèmes asservis En auomaique, l'objecif rincial es d éablir un modèle comoremenal du sysème à commander our ouvoir ensuie élaborer sa arie commande. Ce modèle comoremenal es obenu arès lusieurs éaes. La remière éae corresond à une hase de modélisaion des enrées du sysème ainsi que du sysème luimême, elle erme d élaborer un modèle de connaissance grâce aux lois fondamenales de la hysique ou la chimie. Floresan MATHURIN Page 4 sur

5 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Ce modèle de connaissance se radui souven ar une relaion mahémaique qui eu êre assez comlexe e comorer de nombreux aramères à idenifier. On simlifie le modèle de connaissance en le linéarisan auour d un oin de foncionnemen. On obien à l issue de cee éae, un modèle de comoremen don la validié rese limiée à de eies variaions auour du oin de foncionnemen choisi. Le modèle de comoremen es caracérisé ar une foncion mahémaique que l on aelle foncion de ransfer. La réonse du comoremen du sysème es ensuie simulée grâce à des ouils de simulaion adaés. Enfin, une fois analysée, la réonse obenue doi êre validée ar raor aux résulas exérimenaux du sysème réel ou aux crières de FS aendues. Modélisaion des enrées e du sysème Objecif d éude Modèle de connaissance Linéarisaion auour d un oin de foncionnemen Domaine Physique (réel) Comoremen réel du sysème Domaine Viruel Comoremen simulé du sysème Modèle de comoremen Schémabloc foncionnel équa. diff. Schémabloc Foncion de ransfer Validaion Calcul de la foncion de ransfer Le domaine de validié des différens ouils uilisés dans le domaine viruel imlique la mise en lace d hyohèses simlificarices lors de la hase de modélisaion. Plus le modèle es roche du sysème réel, lus les résulas obenus seron saisfaisans. Les ouils informaiques euven êre rès uiles lors des différenes éaes de simulaion du sysème. Si le modèle de connaissance es déjà linéaire, le modèle de connaissance e le modèle de comoremen son alors ideniques... Modélisaion des enrées des sysèmes asservis Signaux ess Pour éudier un sysème d'un oin de vue exérimenal ou our réaliser une validaion d'un modèle, il es nécessaire d'uiliser des consignes simles ou signaux d'enrée es. On uilise majoriairemen les modèles de signaux suivans : Imulsion de Dirac (ou imulsion unié) δ(), avec δ() Cee foncion modélise une acion s'exerçan endan un ems rès cour. Exemle : chocs els que l'acion d'un mareau La réonse à une imulsion de Dirac s'aelle une réonse imulsionnelle. Échelon unié u(), avec u() si < e u() si Cee foncion modélise un signal qui asse rès raidemen de à e qui rese ensuie à. Exemle : aui sur un inerrueur (mise sous ension) δ() u() La réonse à un échelon s'aelle une réonse indicielle. Floresan MATHURIN Page 5 sur

6 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Toue foncion mahémaique simle, nulle our les ems négaifs, eu s'écrire à l'aide d'un échelon uniaire u() Exemles : Rame de ene uniaire ou signal sinusoïdal Rame de ene uniaire f(), avec f() si < e f().u() ou f()a..u() si f() Signal sinusoïdal f(), avec f()sin().u() Tπ/ ériode du signal f().3. Hyohèses de modélisaion des SLCI Sysème : Le sysème es rerésené ar un schémabloc foncionnel conenan le nom du sysème. Les enrées (causes) son siuées à gauche e les sories (effes) à droie. Il es caracérisé ar une foncion mahémaique en e() e s(). e() Sysème s() Sysème linéaire : Un sysème es di linéaire si la foncion qui décri son comoremen es ellemême linéaire. Cee dernière vérifie alors le rincie de roorionnalié e de suerosiion. e() s() k.e() k.s() Sysème Sysème Proorionnalié e () Sysème s () e () e () e () Sysème s () Suerosiion Sysème s () s () Si le sysème es linéaire on obien, en raçan la réonse s() en foncion de e() (our un insan donné ou en régime ermanen), la caracérisique du sysème égale à une droie de ene (gain du sysème). s() Pene gain du sysème e() Aenion à ne as confondre la caracérisique sorie foncion de l enrée avec la courbe sorie foncion du ems qui, elle, es rès souven nonlinéaire. Floresan MATHURIN Page 6 sur

7 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles En réalié aucun sysème n es arfaiemen linéaire. La caracérisique enrée sorie comore oujours lus ou moins des non linéariés, noammen aux faibles amliudes (seuils) ou aux fores amliudes (sauraion, courbure). Le sysème es di non linéaire. s() s() s() s() s maxi e() e mini e() e() e() Courbure Seuil Sauraion Hysérésis Exemle : sauraion amlificaeur Exemle : froemen Exemle : buée mécanique Exemle : jeux mécaniques Dans la raique our éudier les sysèmes, on linéarise la caracérisique enréesorie au voisinage du oin de foncionnemen éudié en remlaçan la orion de courbe ar une droie. Le sysème es di alors linéarisé. s() Aroximaion linéaire Poin de foncionnemen éudié Zone d aroximaion linéaire e() Sysème coninu : Un sysème es coninu, ar oosiion à un sysème discre, lorsque les variaions des grandeurs hysiques son définies à chaque insan (ils son caracérisés ar des foncions coninues). On arle aussi dans ce cas de sysème analogique. Sysème invarian : Un sysème es di invarian si on suose que les caracérisiques du sysème (masse, dimensions, résisance, imédance,...) ne varien as au cours du ems ("le sysème ne vieilli as"). enrée sorie enrée sorie Conséquence : Un sysème linéaire coninu invarian eu êre rerésené ar une équaion différenielle à coefficiens consans..4. Modèle de comoremen général des SLCI e ransformée de Lalace Un sysème linéaire coninu invarian es modélisé ar un modèle de comoremen rerésené ar une équaion différenielle d'ordre n relian la sorie s() à l enrée e(). Elle es obenue ar la combinaison des différenes équaions différenielles issues des modèles de comoremen des soussysèmes élémenaires consiuan le schémabloc foncionnel du sysème global. Elle s'écri sous la forme générale : n m d s( ) d e( ) an.... a. s( ) bm.... b. e( ) n m d d L'ouil rivilégié our raier un SLCI de manière efficace, an our analyser le comoremen, que our résoudre une équaion d'ordre quelconque, es la ransformaion de Lalace. Floresan MATHURIN Page 7 sur

8 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Définiion : La ransformée de Lalace de la foncion f(), elle que f() our < es : L (f()) F( f().e.d où es une variable comlexe. L inérê rincial de ransformée de Lalace es de maniuler algébriquemen des olynômes luô qu une équaion différenielle. Méhode de résoluion classique Méhode de résoluion en auomaique Equaion différenielle sans nd membre s () réonse qui caracérise le régime ransioire Domaine emorel en Equaion différenielle avec nd membre avec e() e s() Domaine de Lalace en Equaion olynomiale en E(, e Foncion de Transfer Equaion différenielle avec nd membre avec s() e e() Soluion s() s () s () Transformée de Lalace Transformée inverse Maniulaions algébriques Equaion ariculière s () réonse qui caracérise le régime ermanen Soluion s() Soluion décomosée en élémens simles Dans la raique on évie de calculer F( ar la définiion, on doi se servir direcemen des résulas de ransformées de Lalace our les foncions usuelles lors de la résoluion des roblèmes. Par conséquen, le ableau cidessous es à connaire ar cœur!!! f() avec f() our < F( f() avec f() our < F( δ () imulsion de Dirac u() échelon uniaire e a.u().u() foncion rame n! n.u() n n! a n e a.u() n ( a) Proriéés e héorèmes uiles Transformée de la dérivée : Transformée de l inégrale : d d n n Théorème de la valeur iniiale : lim f ( ) lim. F( Théorème de la valeur finale : lim f ( ) lim. F( n Floresan MATHURIN Page 8 sur

9 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles.5. Foncion de ransfer La ransformaion de l'équaion différenielle du SLCI (obenue dans le domaine emorel) en équaion olynomiale (obenue dans le domaine de Lalace) erme de déerminer une foncion aelée foncion de ransfer qui caracérise le comoremen du SLCI. On aelle foncion de ransfer H( du sysème (ou ransmiance) la relaion dans le domaine symbolique elle que : m.( b.... bm. ) H ( α n α E(.( a.... a. ) avec α : classe du sysème (rerésene le nombre d inégraion dans le sysème avec α, ou ) n : ordre du sysème, idenique à l ordre de l équaion différenielle : gain saique (erme de connaîre le comoremen du sysème en régime ermanen). ossède une unié (unié de la variable de sorie / unié de la variable d enrée). La foncion de ransfer caracérise le comoremen inrinsèque du sysème e ne déend ni de l'enrée, ni de la sorie. L écriure de la foncion de ransfer sous cee forme s aelle forme canonique. Pour rerésener le sysème décri ar la foncion de ransfer H(, on uilise des blocs. Un bloc eu rerésener un comosan ou bien un soussysème ou égalemen un sysème comlexe. Le schémabloc foncionnel doi êre modifié en schémabloc our lequel les noms des comosans son remlacés ar la foncion de ransfer corresondane e les variables emorelles son remlacées ar les variables symboliques (E(,...). n e() Sysème s() E( Sysème Le comoremen dynamique du sysème es enièremen défini ar les ôles (racines du dénominaeur) e les zéros (racines du numéraeur) de la foncion de ransfer car ils ermeen d analyser le comoremen du sysème sans calculer la réonse emorelle. Im Pôles conjugués Pôle double Sinusoïde amorie Consane Sinusoïde Sinusoïde amlifiée Re Exonenielle amorie Réonse amorie Réonse amlifiée Exonenielle amlifiée Forme de la réonse d un sysème en foncion du lieu des ôles Floresan MATHURIN Page 9 sur

10 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles.6. Calcul de la foncion de ransfer des sysèmes comlexes Foncion de Transfer Boucle Fermée (FTBF) : On défini la foncion de ransfer en boucle fermée H( d un sysème our caracériser le comoremen global du sysème. Elle es déerminée sur la base du schéma boucle fermée ci dessous. E( ε( M( Simlificaion E( H (. On uilise la FTBF our éudier les réonses s() du sysème à des enrées e() quelconques. Ces éudes ermeen ensuie d'analyser les erformances du sysème bouclé. Aenion aux signes dans le comaraeur!!!! Si le de M( dans le comaraeur es remlacé ar un la formule devien H ( E(. Foncion de Transfer Boucle Ouvere (FTBO) : La foncion de ransfer en boucle ouvere T( es définie comme la foncion de ransfer du sysème lorsque le reour sur le sommaeur es coué. Elle comrend la chaîne direce e la chaîne de reour. Dans le cas de la FTBO, on ne s'inéresse as à la sorie mais à la mesure M( en foncion ε(. E( ε( Simlificaion ε( T(. M( Couure M( Si la srucure du schémabloc es comlexe, on eu définir des FTBO e FTBF inermédiaires our ous les soussysèmes à boucle fermée, mais seules la FTBF e la FTBO de la boucle rinciale son inéressanes. Dans la raique on eu calculer simlemen la FTBF à arir de la FTBO grâces aux relaions suivanes : FT de la chaine direce FTBO FTBF. FTBO FT de la chaine de reour FTBO Maniulaions élémenaires sur les schémasblocs U( W( U( W( Floresan MATHURIN Page sur

11 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles U( W( U( W( V( X( X( V( Délacemen du oin de rélèvemen vers la gauche Y( Schémabloc iniial X( C(. Y( X( C( Y( Délacemen du oin de rélèvemen vers la droie X( C(/ Schémabloc iniial Y( Délacemen du sommaeur vers la gauche ε( Y( C(/ X( C( X( Délacemen du sommaeur vers la droie Y( C(. X( Il es inuile de délacer un sommaeur en direcion d'une joncion ou l'inverse car aucune simlificaion n'es ossible. Il fau oujours faire aenion au(x) bloc(s) rajoué(s) dans la branche délacée. Sysème à boucles concenriques E( C( D( Pour ce ye de sysème, il fau oujours commencer ar calculer la FTBF de la boucle inerne. Floresan MATHURIN Page sur

12 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles E(. C( D( On reconnai ensuie une boucle fermée que l on sai bien raier Sysème à boucles imbriquées E( E( D( C( Pour ce ye de sysème, il fau oujours commencer ar délacer les oins de rélèvemen our se ramener à un sysème de boucles concenriques. E( D( E( D( C( On se rerouve ensuie devan un sysème à boucles concenriques que l on sai aussi bien gérer. Foncion de ransfer boucle fermée des sysèmes mulivariables E ( E ( C( Pour déerminer la foncion de ransfer sur ce ye de sysème, on uilise le rincie de suerosiion des SLCI. On suerose deux modes : un er mode our lequel l enrée E ( es considérée comme nulle e un nd mode lequel l enrée E ( es considérée comme nulle. Floresan MATHURIN Page sur

13 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Mode à enrée E ( E ( Mode à enrée E ( C( E ( H( E ( E( E (. H( E (.. C( H ( es la foncion de ransfer en oursuie. ) E ( C( C( H ( E ( E (.. C( ) E ( H ( es la foncion de ransfer en régulaion. La suerosiion erme d obenir la foncion de ransfer boucle fermée du sysème mulivariables : S.. E(. E (.. C(.. C( ( 3. Réonses emorelles des sysèmes du er ordre G( où : es le gain saique du sysème ([unié de sorie]/[unié d enrée]) E(. es la consane de ems (secondes). 3.. Réonse imulsionnelle L enrée es définie ar une imulsion de Dirac, e()δ() E(. La sorie a donc our exression dans le domaine de Lalace : s( ) lim s( ) lim. s( ) soi :. Théorème de la valeur finale s() La réonse emorelle a donc our exression : s( ) e. u( ) Tangene à l origine δ() La angene à l origine coue l axe des abscisses en Floresan MATHURIN Page 3 sur

14 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles 3.. Réonse indicielle L enrée es définie ar un échelon uniaire, e()u(). La réonse emorelle a our exression : s( ) e. u( ) Ordonnée en : s( ) lim s( ) lim. Rerésenaion grahique our < Tangene à l origine u(),95. s(),63. Théorème de la valeur finale s ( ) Pene à l origine : 3 s'( ) lim s'( ) lim. [. ] lim..(. Pene à l origine Théorème de la valeur iniiale Transformée de la dérivée (CI nulles) Tems de réonse à 5%, 5% : On cherche 5% el que s ( % ),95. s( ), % 5% Soi. e,95. e, 5 5 % ln(,5). 3 5 % 3 Réonse à : s ( ) ( e ),63. s ( ), Réonse à une rame L enrée es définie ar une rame, e()a..u(). La réonse emorelle a our exression : s( ) a... e. u( ) Rerésenaion grahique our Droie de ene a a. Ordonnée en : s( ) lim s( ) lim. Théorème de la valeur finale Pene à l origine : s ( ) a. s' ( ) lim s'( ) lim..(. [. ] lim. Théorème de la valeur iniiale Transformée de la dérivée (CI nulles) e() s() Asymoe de ene a. (avec ici ) Pene à l origine La angene à l origine es une droie horizonale Floresan MATHURIN Page 4 sur

15 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Eude asymoique en : Lorsque, le erme., ar conséquen s() a..( ). L asymoe es donc y() a..( ). Cee asymoe a donc une ene a. e coue l axe des abscisses en. e Pour <, l écar enre l enrée e la sorie augmene oujours. Pour, le sysème ne rejoin jamais la consigne mais sa variaion es arallèle à l enrée reardée d une fois la valeur de la consane de ems. Pour >, l écar enre l enré e la sorie diminue, s annule uis augmene. Asymoe de ene a. Droie de ene a e() s() Droie de ene a e() s() s() e() Droie de ene a Asymoe de ene a. Asymoe de ene a 4. Réonses emorelles des sysèmes du nd ordre G ( E(. z. z.. où : es le gain saique du sysème (unié [sorie]/[enrée]). z es le coefficien d amorissemen (z> e sans unié). es la ulsaion rore non amorie du sysème ( > en radians/secondes). 4.. Recherche des ôles de la foncion de ransfer Racines du olynôme :. z.. 4. z ( z ) b 4. a. c Les ôles de la foncion de ransfer déenden donc de la valeur de z, il y a 3 cas de figure ossibles : Cas z > > b ± z. ±. ( z ) d où :. a Rerésenaion dans le lan comlexe : Im. z.. ( )( ). avec : Quand z, Re z.. ( z ) z.. ( z ) ôles réels négaifs Quand z, Cas ariculier : Rerésenaion des ôles corresondan à z infini. Floresan MATHURIN Page 5 sur

16 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Cas z b ± d où :. a Rerésenaion dans le lan comlexe : Im. z.. ( ) ( ) avec : Re ôles réels confondus Cas z < < 4.. j.( z ) b ± z. ± j.. ( z ) d où :. a Rerésenaion dans le lan comlexe : Cercle de cenre e de rayon Im our z.7 our z. z.. ( )( ). avec : our z Re z. j.. ( z z. j.. ( z Re Im ) ) ôles comlexes conjugués our z.7 our z Cas ariculiers : ôles corresondan à z, z.7 e z. 4.. Réonse indicielle L enrée es définie ar un échelon uniaire, e()u(), soi dans le domaine de Lalace, E(.. La sorie a donc our exression dans le domaine de Lalace : S (.. z.. Pene à l origine de la courbe de sorie s() :. s' ( ) lim s'( ) lim.. z.. Théorème de la valeur iniiale Transformée de la dérivée (CI nulles) [. ] lim.. Ordonnée en de la courbe de sorie s() :. s( ) lim s( ) lim. lim. z.. Théorème de la valeur finale Pene à l origine La angene à l origine es une droie horizonale (ce qui es différen du sysème du er ordre) s ( ) Le régime éabli ne déend que du gain saique Z alors que z e n inerviennen que sur le régime ransioire Floresan MATHURIN Page 6 sur

17 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Réonse indicielle our z > (Sysème amori réonse aériodique) La réonse emorelle a our exression : Rerésenaion grahique our z > e ( β. e δ. e ). u( ) s( ) Régime ermanen Avec e ôles réels négaifs. Régime ransioire e()u() s() Pôle négligé Pôle dominan Im Re S il exise un faceur minimum sur la arie réelle des ôles, on ne conserve que le ôle dominan. Forme de la réonse s() Tangene horizonale à l origine Sysème du er ordre Réonse indicielle our z (Amorissemen criique réonse aériodique) La réonse emorelle a our exression : Rerésenaion grahique our z e s( ) (.. ).. e e. u( ) Régime ermanen Régime ransioire e()u() s() Tangene horizonale à l origine Réonse indicielle our z < (sysème sous amori régime seudoériodique) z. La réonse emorelle a our exression : ( ).. z z.. s e.cos(. ). e.sin(. ). u( ) z Pseudoériode : La réonse résene des oscillaions amories de π π ériode : T z Régime ermanen er déassemen : Le remier maximum (ou déassemen) aarai à T π. La valeur relaive du er déassemen D corresond à D e z. π z Régime ransioire Rerésenaion grahique our z < e D T T / e()u() s() Tangene horizonale à l origine Floresan MATHURIN Page 7 sur

18 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles La valeur relaive du er déassemen (e des aures déassemens) s exrime en %. La valeur du déassemen ne déend que de la valeur de z. On uilise cee aricularié our idenifier z à arir d un racé exérimenal, modélisable ar la réonse indicielle avec déassemen d un sysème d ordre. Un abaque es souven uilisé (annexe ). Tems de réonse à 5% e ems de réonse rédui Il n exise as de formule simle our calculer le ems de réonse à 5% car il déend de la valeur du coefficien d amorissemen z e de la ulsaion rore non amorie du sysème. Le ems de réonse à 5% corresond à la durée au delà de laquelle la réonse s() rese comrise enre.95 e.5 fois la valeur de la réonse en régime ermanen (s( )). On uilise un abaque (annexe ) qui donne la valeur du ems de réonse rédui 5%. en foncion du coefficien d amorissemen z. L abaque erme aussi l idenificaion de sur un racé exérimenal modélisable ar la réonse indicielle avec déassemen d un sysème d ordre. Le ems de réonse minimum es obenu our un déassemen relaif de 5% ce qui corresond à un coefficien d amorissemen de z,69,7. On a alors 5 %. 3 our z,7. Pour une même ulsaion rore non amorie e : our z<< (amorissemen faible), les oscillaions son mal amories e le ems de réonse es grand. our z.7, le sysème résene un déassemen D faible (D 5%) avec le ems de réonse le lus faible. our z, le sysème résene le ems de réonse le lus faible our une réonse sans déassemen. our z>>, il n y a as de déassemen mais le sysème es hyer amori donc le ems de réonse es rès grand. Pour un même coefficien d amorissemen z, lus augmene lus le ems de réonse à 5% diminue, donc lus le sysème es raide. 5. Noion de ôles dominans Cerains des ôles de la FTBF du sysème on une conribuion réondérane sur le comoremen dynamique du sysème : il s agi des ôles à arie réelle négaive les lus roches de l axe des imaginaires. Ils son aelés "ôles dominans". On eu souven simlifier l exression du dénominaeur de la FTBF en ne conservan que les ermes corresondan aux ôles dominans. Le dénominaeur doi êre nécessairemen sous forme canonique avan d effecuer la simlificaion. F( ( T ( T ) avec T << T où T e T son les consanes de ems du sysème elles que T e T. Pôle négligé Pôle dominan Faceur mini sur la arie réelle des ôles Im Re Floresan MATHURIN Page 8 sur

19 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles L allure de la réonse imulsionnelle s() monre que l on eu négliger la consane de ems la lus faible T ce qui condui à l exression simlifiée suivane our H( : F( T T s() sans T avec T En effe, dans l exression emorelle de s() : S ( F( T T s ( ) e e T T e T Tangene à l origine Le erme corresondan au ôle dominan devien réondéran lorsque le ems croî. Il déermine la dynamique asymoique du sysème. T Floresan MATHURIN Page 9 sur

20 Cours Modélisaion des sysèmes asservis en SLCI e réonses emorelles Valeur du déassemen ransioire 5,5 D i 5% Pour z,7 on ne remarque qu un seul déassemen visible qui vau 5%. Pour z>,8 il exise des déassemens mais qui ne son as visibles à l œil (ils son inférieurs à %). Annexe. Valeurs des déassemens relaifs Annexe. Tems de réonse rédui Floresan MATHURIN Page sur