Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

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1 Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défnton : On consdère l'ensemble des ssues d'une expérence aléatore Défnr une varable aléatore X sur cet ensemble, c est assocer un nombre à chaque ssue de l'expérence aléatore Cette varable aléatore est dscrète lorsqu'elle prend un nombre fn de valeurs : x,, x,, x n où x est la ème valeur possble L ensemble des ssues auxquelles on assoce la même valeur x, de la varable aléatore X est l événement noté ( X = x ) Remarques : En général, les varables aléatores sont notées par des lettres majuscules L ensemble des valeurs d une varable aléatore est fn quand l'ensemble E est fn S X est le nom de la varable aléatore on notera {X = a} l'ensemble des résultats de E P X = a la probablté d'un tel ensemble qu ont pour mages a et ( ) Exemple : On lance un dé équlbré dont les faces sont numérotées de à S on obtent un numéro entre et 4 on gagne un nombre d'euros correspondant au numéro sort s on obtent les numéros 5 ou, on perd deux euros On défnt ans une varable aléatore G qu à chaque résultat assoce le gan obtenu Dans ces condtons G peut prendre les valeurs {,,, 3, 4} On obtent donc pour la varable aléatore G les résultats suvants : P ( G = ) = P( G = ) = P( G = 3) = P( G = 4) = et P ( G = ) = = 3 Exemple : On lance deux dés dont les faces sont numérotées de à et on consdère la varable aléatore S prenant comme valeurs la somme des numéros obtenus On note Ω l'ensemble des 3 couples ( a ; b) où a et b sont des nombres de à La somme S des numéros peut prendre les, 3, 4, 5,, 7, 8, 9, 0,,, comme ndqué dans le tableau suvant : valeurs { } Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ère S3

2 Lo de probablté Défnton : Défnr une lo de probablté P d'une varable aléatore X, c est assocer à chaque valeur x, de la varable aléatore un nombre postf p, tel que la somme des p, est égale à Ans : p = P X = x ) avec 0 p et p = p + + p = ( Détermner la lo de probablté de X, c est donner, sous forme d'un tableau, toutes les probabltés des valeurs x Exemple : Le lancer d'un dé symétrque condut à la lo de probablté donnée par le tableau suvant : = n = Résultat Probablté On a alors obtenu la lo de probablté de G qu est récaptulée dans le tableau suvant : Valeur prse par G 3 4 Probablté Exemple : S les dés sont équlbrés, la o de probablté de S est donnée par le tableau suvant : Valeur prse par S Probablté n Le dagramme bâtons correspondant est alors : Probablté 0,8 0, 0,4 0, 0, 0,08 0,0 0,04 0, Valeurs prses par S Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ère S3

3 B) Espérance, varance et écart-type d une varable aléatore Espérance Défnton : S X est une varable aléatore réelle prenant les valeurs x, x,, xn avec les probabltés, p, p n, on appelle espérance mathématque de la varable aléatore X le nombre noté (X ) E ( X ) = p x + p x + + p x n p, E défn par : n Proprété : L espérance d'une varable aléatore X est la moyenne des valeurs L espérance mathématque de la lo de probablté est : 3 E ( S) = = 7, On remarque donc que x E(S) Lycée Franças de DOHA Année 05 0 x pondérées par leurs probabltés Autrement dt, l espérance mathématque permet de calculer la moyenne des résultats obtenus lorsqu on reprodut un très grand nombre de fos l expérence Remarques : Cette proprété est une conséquence drecte de la lo des grands nombres Consdérons une expérence aléatore caractérsée par un ensemble de résultats E = { e, e,, e n } et une lo de probablté p, p,, pn défne sur E S on réalse N fos cette expérence aléatore, on obtent les résultats e, e,, en avec des fréquences d apparton f, f,, f n La moyenne des résultats sera : x = f e + f e + f e n n Comme les fréquences f, f,, f n se rapproche des probabltés p, p,, pn lorsque N devent grand, la moyenne x se rapproche de l espérance mathématques Exemple : On smule avec un tableur 00 lancers de dés et on calcule la somme des deux nombres ans défns On obtent les résultats suvants : Résultats La somme de ces résultats est 94 donc la moyenne est,94 On peut auss regrouper les résultats dentques On obtent alors le tableau suvant : Résultat Fréquence 0,0 0,09 0,0 0, 0,5 0,5 0, 0,07 0,0 0,08 0,03 Dans ces condtons la moyenne des résultats obtenus est : x = 0, ,03 =, 94 Par alleurs, la lo de probablté est donnée par ce tableau : Valeur prse par S Probablté ère S3

4 3 Varance et écart-type Défnton : Sot X est une varable aléatore réelle prenant les valeurs p,, p, p n, on appelle : x, Varance de la varable aléatore X le réel postf noté V (X ) défn par : ) ( ) ( ) ( ) V ( X ) = p X x E( X ) + p x E( X ) + + pn xn E( ) V ( X ) = p X x + p x + + pn xn E( ) ) ( ), x, xn avec les probabltés Ecart type de la varable aléatore X est le réel postf noté σ (X ) défn par : σ ( X ) = V ( X ) Proprétés de l espérance et de la varance Proprétés : Sot a et b deux réels quelconques La varable aléatore Y dont la lo de probablté est donnée par le tableau suvant, est notée Y = ax + b : Valeur de Y ax + b ax + b ax n + b Probablté p p p n On a : E ( Y ) = E( ax + b) = ae( X ) + b et V ( Y ) = V ( ax + b) = a V ( X ) Démonstratons : E Y ) = E( ax + b) = p ax + b + p ax + b + + p ( ) ( ) ( ax b) ( = ap x + pb + apx + pb + + apn xn + pnb = a p x + p x + + p xn + p + p + + p n n + ( ) ( ) b = ae( X ) + b = ae( X ) b n n + V ( Y ) = V ( ax + b) = p ( ) ( ) ax + b E( ax + b) + + pn axn + b E( ax + b) = p ( ) ( ) ax + b ae( X ) b + + pn axn + b ae( X ) b = a p ( x E( X )) + a p ( x E( X )) + + a p ( x E( X )) a V ( X ) Exercce n : La varable aléatore X sut la lo de probablté c-contre : ) Détermner la valeur de α ) Calculer l espérance de X 3) Calculer la varance pus l écart-type de X 4) Sot Y la varable aléatore telle que : = X + n n = Y Détermner E ( Y ) et ( Y ) Exercce n : Un sac content 4 cartons numérotés,, 3 et 4 On tre au hasard successvement et sans remse deux cartons dans ce sac ) Donner une représentaton de la stuaton (arbre ou tableau) ) Détermner la lo de probablté de la varable aléatore X qu assoce à chaque trage la somme des valeurs nscrtes sur les deux cartons trés 3) Détermner P ( X 4) et nterpréter ce nombre V Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ère S3

5 Exercce n 3 : Lvrason de lvres Une socété basée en France vend des lvres professonnels par Internet Elle lvre ses clents dans toute l Europe Une étude effectuée en 00 a perms d établr le tableau suvant : Un clent étant chos au hasard parm les 5000, on consdère les événements suvants : F : «le clent retenu est franças» L : «le clent retenu a eu un problème de lvrason» ) Calculer la probablté de l événement F ) Calculer la probablté de l événement F 3) Calculer la probablté de l événement F L 4) Calculer la probablté de l événement F L 5) Calculer la probablté de l évènement «le clent retenu est un clent étranger n ayant eu aucun problème de lvrason» ) On chost un clent au hasard parm ceux ayant eu un problème de lvrason Calculer la probablté que ce clent sot franças (arronde au centème) Exercce n 4 : On lance deux dés symétrques dont les faces sont numérotées ; ; ; ; et 3 On appelle S la varable aléatore qu donne la somme des ponts obtenus ) Indquer les valeurs prses par la varable ) Détermner la lo de probablté de S 3) Calculer E (S) et nterpréter ce résultat 4) Calculer la varance V (S) et σ (S) Exercce n 5 : Une lotere est formée d'une flèche et d'un dsque contenant 3 secteurs L angle du secteur bleu vaut 90, les angles des deux autres secteurs valent 35 On tourne la roue On gagne 0 euros s la flèche se trouve en face du secteur bleu, on perd euros s la flèche se trouve en face du secteur vert et ren s la flèche se trouve en face du secteur rouge ) Les probabltés d'arrver devant un secteur étant proportonnelles à l'angle, donner la lo de probablté de la varable aléatore G qu donne le gan algébrque du joueur ) Calculer l'espérance de G 3) Quelle dot être la mse pour que le jeu sot équtable? Lycée Franças de DOHA ère S3 Année 05 0

6 Exercce n : restaurant Un pett restaurant propose à son menu tros plats et deux desserts Voc la descrpton de son menu : Chaque clent rentrant dans les restaurants prend exactement un plat et un dessert ) En prenant un clent au hasard à la sorte du restaurant, précser quel peut être le montant de sa facture ) On supposant que toutes les combnasons plat dessert ont la même probablté d être choses par un clent On note X la varable aléatore donnant le montant de l addton de chaque clent (on suppose les notes ndvduelles) a) Comben de combnason peut-on créer à partr de ce menu? b) Quelles sont les valeurs prses par X? c) Montrer que P ( X = 0 ) = 3 d) Compléter le tableau c-dessous : Montant k de la facture ( x k ) P = e) Détermner l espérance de la varable aléatore X Interpréter le résultat f) Détermner l écart type de la varable aléatore X Interpréter le résultat Exercce n 7 : domnos Dans un jeu de domno, chaque domno est partagé en deux partes, chacune portant un numéro de 0 à représenté par des ponts Un double est un domno dont les deux partes portent le même numéro 3 Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ) Prouver que le nombre de domnos est 8 ) Un joueur tre au hasard un domno d un jeu a) Quelle est la probablté d obtenr un double? b) Quelle est la probablté d obtenr un domno dont la somme des deux numéros sot dvsble par 3? 3) X est la varable aléatore prenant la valeur lorsque le joueur obtent un domno non double, et la valeur n lorsqu l obtent le double «n et n» a) Quelle est la lo de probablté de X? X σ X Exercce n 8 : b) Calculer E ( ) et ( ) Calculer, dans chacun des cas suvants, E( X ) et V ( X ) ) E ( X ) = 3 et V ( X ) = 4 3) E ( 3X 4) = et ( 3 X ) = 8 ) E ( X ) = et σ ( X ) = 3 V ère S3

7 Exercce n 9 : On fabrque un gros cube en agglomérant 7 petts cubes comme le montre la fgure cdessous On pent en rouge toutes les faces du gros cube, pus on sépare de nouveau 7 petts qu ont donc certanes de leurs faces pentes en rouge On tre au hasard un pett cube et on appelle X la varable aléatore égale au nombre de faces pentes en rouge sur le pett cube tré ) Quelles sont les valeurs possbles de la varable aléatore X? ) Détermner la lo de probablté de X 3) Calculer E (X ) Exercce n 0: les fléchettes Un joueur lance des fléchettes sur une cble crculare formée de 4 régons marquées,, 5 et 0 Nous admettons que la probablté que le joueur n attegne pas la cble est de 0, et que la probablté d'attendre la régon est nversement proportonnelle à ) Calculer la probablté d'attendre la régon pour =,, 5, 0 ) S le joueur attent la régon, l marque ponts et 0 pont s'l n'attent pas la cble Sot la varable aléatore X égale au nombre de ponts marqués lors d'un lancer a) Donner la lo de probablté de X b) Calculer l'espérance mathématque de X 3) Le joueur lance deux flèches de sute, les lancers étant ndépendants Sot Y la varable aléatore égale à la somme des ponts marqués lors des deux lancers Quelles sont les valeurs prses par Y? a) Donner la lo de probablté de Y b) Calculer l'espérance mathématque de Y c) Calculer l écart-type de Y Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ère S3

8 Exercce n : navgaton au près Sur un plan d eau, un voler navgue au près, c est-à-dre, que sa drecton est au plus près de celle du vent ; c, à 45 de celle du vent (deux drectons possbles) Pour vrer de bord (changer de drecton) l dot avor parcouru un nombre enter de mlles nautques ( mlle nautque = 85 mètres envron) En supposant que la drecton du vent reste fxe on peut représenter les déplacements du voler sur le quadrllage de la carte c-dessous (chaque carré mesure mlle nautque de côté) : Lycée Franças de DOHA Année 05 0 Le voler part de A, parcourt 4 mlles nautques et, après chaque mlle parcouru, l a une chance sur deux de vrer de bord Au départ, l a une chance sur deux de partr vers le Nord ) A l ade d un arbre, représenter les déplacements possbles du voler ) Que peut-t-on dre de ces ponts correspondants aux postons fnales du voler? 3) Sot X la varable aléatore comptablsant le nombre de déplacements vers l est a) Quelles sont les valeurs prses par X? b) Détermner la lo de probablté de X c) Quelle est la poston fnale la plus probable? d) Calculer l espérance de X Interpréter ce résultat Exercce n : en foncton de n Une urne content jetons 5 jetons rouges et n 5 jetons nors, numérotés de à n Un joueur tre au hasard, successvement et sans remse, deux jetons de l'urne ) Sot Ω l'ensemble de tous les trages Détermner le nombre de trages possbles ) On note p n la probablté de l'événement : A : «les deux jetons sont de couleurs 0n 50 dfférentes» Montrer que p n = n n 3) Le joueur gagne euros s'l réalse A et perd euro dans le cas contrare On note X le gan algébrque du joueur n + 3n 50 a) Donner la lo de probablté de et vérfer que E( X ) = n n b) Détermner la composton de l'urne pour que le jeu sot équtable Conclure 0x 50 4) Etuder les varatons de la foncton f défne sur [ 5 ; + [ par : f ( x) = x x 5) la ou les valeur(s) de pour la quelle le joueur a le plus de chances de réalser A Précser la probablté correspondante ère S3

9 Exercce n 3 : Lo géométrque tronquée Un jeu de hasard consste à ntrodure une blle dans le tube d une machne Cette machne possède tros portes P, P et P 3 qu ferment ou ouvrent les accès aux quatre sortes possble S, S, S 3 et S 4 Un système électronque postonne de façon aléatore ces tros portes en poston "ouvertes" ou "fermée" ndépendamment les unes des autres Pour jouer, on dot mser 7 S la blle sort en S, on ne reçot ren, snon, s elle sort par S, on reçot 5, par S 3, on reçot 0 et par S 4, on reçot 0 X est la varable aléatore qu à chaque parte assoce le gan algébrque du joueur ) Représenter la stuaton par un arbre pondéré ) Détermner la lo de probablté de X 3) Calculer E ( X ) 4) Commet modfer le montant de la mse pour que ce jeu sot équtable? Exercce n 4 : QCM Un QCM (questonnare à chox multple) est proposé à des élèves : l comporte tros questons et quatre réponses sont proposées dont une seule est juste On souhate étuder le pourcentage de réusste à ce QCM s les élèves y répondent aléatorement ; on suppose alors que les réponses données à chacune des questons sont ndépendantes entre elles On note : F : «La réponse fournt à la queston est fausse» ; V : «La réponse fournt à la queston est vrae» ) Compléter l arbre pondéré présenté c-dessous ) On note X la varable aléatore comptant le nombre de bonnes réponses fournes au QCM a) Détermner la lo de probablté de la varable aléatore X b) Calculer l espérance de la varable aléatore X c) Calculer l écart type de la varable aléatore X Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ère S3

10 Exercce n 5: le bandt manchot Dans une salle de jeux, un apparel comporte quatre roues, chacune portant à sa pérphére deux mages de fruts dfférents : pores et rasns Une mse de déclenche le fonctonnement de l'apparel pour une parte Chacune des quatre roues affche au hasard dans une fenêtre un de ces fruts On admettra que tous les événements élémentares sont équprobables ) Construre un arbre de probabltés correspondant à la stuaton ) Calculer la probablté des événements suvants: E : «On obtent quatre fruts dentques» ; F : «On obtent tros fruts dentques et tros seulement» ; G : «On obtent deux fruts dstncts» 3) Certans résultats permettent de gagner de l'argent : 4 pour quatre fruts dentques, pour tros fruts dentques et 0 pour deux fruts dentques Sot X la varable aléatore qu à chaque résultat assoce le gan ndqué a) Quelles sont les valeurs prses par X? b) Donner la lo de probablté de X c) Calculer l'espérance mathématque de X Que peut-on en dédure? 4) L organsateur de ce jeu décde de modfer les gans de la façon suvante : 4 pour quatre fruts dentques, pour deux fruts dentques et 0 pour tros fruts dentques Ce changement lu est-l favorable ou non? Exercce n : club de nataton Un club de nataton propose à ses adhérents tros types d actvtés : la compétton C, le losr L et l aquagym A Chaque adhérent ne peut pratquer qu une seule de ces actvtés Voc la répartton des adhérents suvant l actvté chose : L 30 % A : 0 % et C : 50 % L adhéson à la secton L ou à la secton A coûte 0 tands que l adhéson à la secton C revent à 00 pour l année En outre, le club organse chaque année une journée de rencontre, notée R, pour laquelle une partcpaton de x euros ( 0 < x < 40 ) par partcpant est demandée Un ters des adhérents de L, un quart de ceux de A et la moté de ceux de C partcpent à cette journée ) Compléter le tableau suvant en nscrvant les pourcentages qu convennent Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ) On nterroge au hasard un membre du club On appelle S la varable aléatore qu à chaque adhérent assoce le montant annuel à verser au club (cotsaton plus partcpaton éventuelle à la rencontre) a) Quelles sont les valeurs prses par S? b) Indquer la lo de probablté de S en foncton de x c) Calculer E(S) en foncton de x d) A quel prx le drecteur du club dot-l fxer la partcpaton à la journée de rencontre s l veut que le coût moyen par adhérent ne dépasse pas 90 ère S3

11 Exercce n 7 : Prx du posson Un chaluter se rend sur sa zone de pêche La probablté qu un banc de possons sot sur cette zone est de 0,7 Le chaluter est équpé d un sonar pour détecter la présence d un banc de possons S un banc est présent, le sonar ndque la présence du banc dans 80% des cas S l n y a pas de banc de possons dans la zone de pêche, le sonar ndque néanmons la présence d un banc dans 5% des cas On note : B l évènement : «Il y a un banc de possons sur zone» S l évènement : «Le sonar ndque l exstence d un banc de possons» ) Compléter l arbre pondéré suvant : ) Détermner la probablté qu l y at un banc de possons sur la zone et que le sonar le détecte 3) Montrer que la probablté que le sonar ndque la présence d un banc de possons (réel ou fctf) est P ( S) = 0, 575 4) Lors d une sorte en mer, le pêcheur est toujours dans l une des tros stuatons suvantes : Stuaton n : un banc de possons est présent sur la zone et le sonar le détecte Le flet est lancé et la pêche est fructueuse Dans ce cas le pêcheur gagne 000 Stuaton n : l n y a pas de banc de possons sur zone mas le sonar en sgnale un Le flet est lancé pour ren Dans ce cas le pêcheur perd 500 Stuaton n 3 : le sonar ne détecte aucun banc de posson (qu l y en at ou pas) Le flet n est pas lancé et le bateau rentre au port à vde Dans ce cas le pêcheur perd 300 On note X la varable aléatore donnant le «gan» (postf ou négatf) réalsé pour une sorte en mer a) Compléter le tableau suvant donnant la lo de probablté : x P X = x ) ( b) Ce chaluter effectue de très nombreuses sortes en mer Quel gan moyen par sorte le pêcheur peut-l espérer? c) Les augmentatons du prx du gasol et du prx du posson font que la nouvelle varable aléatore donnant le gan estmé pour une sorte en mer est : Y =, X 50 Quel gan moyen par sorte peut-l mantenant espérer? Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ère S3

12 Exercce n 8 : On lance deux fos de sute un dé équlbré numéroté 0,,, 3, 4 et 5 On note x le résultat du premer lancer et y celu du deuxème A chaque couple x et y ans obtenu, on assoce dans le plan, mun d'un repère (O ; ; j ), le pont M de coordonnées ( x ; y) On désgne par D le quart de dsque de centre O et de rayon 4,47 (cercle nclus) On souhate détermner la probablté que le pont M appartenne au dsque D On notera C l évènement : «Le pont M appartent au quart de dsque D» Parte A : Conjecture à l ade d une représentaton graphque ) Placer dans le repère c-dessous les ponts correspondant aux dfférents résultats Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ) Quelle conjecture peut-on émettre pour P ( C)? Parte B : Conjecture à l ade de l algorthmque On admet qu un pont M ( x ; y) D s x + y 4,47 avec x 0 et y 0 On donne l algorthme suvant : Entrée n un enter naturel Intalsaton Affecter à A la valeur 0 Tratement Pour k allant de à n Affecter à x une valeur aléatore de { ; ; ; 3 ; 4 ; 5} Affecter à y une valeur aléatore de { ; ; ; 3 ; 4 ; 5} S x + y 4,47 Alors Affecter à A la valeur A + Fn S Fn du Pour Sorte Affcher A n On lance cet algorthme avec n = et on obtent la valeur f obs ( C) = 0, 555 ) Ce résultat conforte-t-l la conjecture émse en Parte A? ) S tel n est pas le cas, quelle nouvelle conjecture peut-on émettre? 0 0 ère S3

13 Parte C : Calcul de cette probablté Sot X la varable aléatore qu assoce la valeur x + y aux valeurs x et y obtenues avec le lancer des deux dés ) Détermner la lo de probablté de la varable aléatore (on pourra utlser un tableau à double entrée) 5 ) Montrer que P ( C) = 9 3) La conjecture précédente est-elle démontrée? Parte D : Approxmaton d une are par la méthode de Monte-Carlo On décde mantenant de lancer une fléchette vers la cble décrte dans les partes précédentes et donnée c-dessous : On consdère que toutes les fléchettes arrvent dans le carré de côté 5 ans obtenu C l évènement : «Le pont M appartent au dsque D» ) Ecrre, en langage naturel, un algorthme qu vous donne une valeur approchée ( C) P ( C) f obs de ) Ecrvez cet algorthme sur votre calculatrce ou utlsez un tableur pour obtenr une valeur C P C en smulant 500 fos l expérence approchée f obs ( ) de ( ) 3) Erc a l ntuton que cette valeur approchée ( C) f obs de ( C) P lu permet d approcher l are du domane bleu a) Calculer la valeur exacte de l are du domane bleu b) Pouvez-vous confrmer ou nfrmer l ntuton d Erc à l ade de calculs fasant ntervenr la valeur approchée f obs ( C) de P ( C)? 4) Afn de s assurer de la fablté de l algorthme qu vous a perms d obtenr f obs ( C), Erc propose d utlser l ntervalle de fluctuaton au seul de 95% tel qu l a été défn en nde, c'est-à-dre : I 95 = p ; p + n n a) Calculer la valeur exacte de P ( C) b) Avez-vous des rasons de remettre en cause votre algorthme? Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ère S3

14 Exercce n 9 : Une usne fabrque un artcle en grande quantté et décde de fare une étude afn de détermner quelle proporton de ces derners n est pas conforme aux attentes Pour ce fare est prélève 000 artcles au hasard et constate que : 80 des artcles fabrqués ont unquement un défaut d assemblage 0 des artcles fabrqués ont unquement un défaut de dmenson 0 des artcles fabrqués ont les deux défauts On chost au hasard un artcle et on note : A l évènement : «Un artcle prélevé au hasard présente un défaut d assemblage» D l évènement : «Un artcle prélevé au hasard présente un défaut de dmenson» A et D les évènements contrares de A et D ) Donner les probabltés P ( A) et P ( D) ) Donner la probablté de P( A D) 3) Fare une phrase pour décrre l évènement A D Calculer sa probablté 4) Recoper et compléter le dagramme c-dessous à l ade des probabltés des évènements ndqués : A D 5) Fare une phrase pour décrre l évènement A D Calculer sa probablté ) Le coût de producton d'un artcle est de 0 Les réparatons nécessares sont alors de 5 pour le seul défaut A, 0 pour le défaut D et de 30 pour les deux défauts A et D X est la varable aléatore donnant le coût de producton d un artcle a) Donner la lo de probablté de X b) La producton étant très mportante, quel coût moyen par artcle peut-on espérer? c) L augmentatons des prx de la matère premère et la basse de la TVA font que la nouvelle varable aléatore donnant le coût de producton d un artcle est : Y =, X 9 Quel gan moyen par sorte peut-l mantenant espérer? Lycée Franças de DOHA Année 05 0 ère S3