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1 4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de - ue asymptote horizotale d équatio y =, et au voisiage de ue brache parabolique de directio celle de l ae des ordoées Pour chaque questio idiquer la ou les reposes eactes : Soit h ue foctio défiie sur IR, de même sige que f et telle que pour tout réel, o a : f() h() O a alors : a) lim h = b) limh = c) lim h = Soit g = f O a alors : a) g est défiie sur IR* ; b) g est défiie sur IR\{} ; c) lim g e) (ζg) admet ue asymptote verticale = ; d) lim g = 3 Soit k la foctio défiie sur IR* par : k() = ² a) limf k =3 ; b) limk f = ; c) limf k =3 ; d) Eercice : Soit f : si, IR* * a) Motrer que : IR, f( ) b) Chercher lim f c) Chercher lim f et lim f O a alors : limf k = ; e) limf k = Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

2 si Soit g:, IR si >, g ( ) 3 a) Motrer que : <, g ( ) 3 b) Chercher lim g et lim g Eercice 3 : A Motrer que pour tout réel a [, ], o a a a B O s itéresse au foctios f vérifiat les quatre coditios suivates : La foctio f est cotiue sur [, ] ; f() = et f() = ; 3 la foctio f est strictemet croissate sur [, ] ; 4 pour tout réel de [, ], f() a) Motrer que la foctio g défiie par g() = satisfait au coditios précédetes b) E déduire que pour tout k [, ], l équatio g() = k a ue uique solutio das [, ] c) Résoudre cette équatio lorsque k = d) Cette foctio g est elle dérivable e? e) Trouver u polyôme du secod degré P vérifiat les quatre coditios précédetes Questio subsidiaire : La foctio j défiie par j() = cos coditios? vérifie t elle les quatre Eercice 4 : Pour tout etier aturel, o défiit la foctio f sur l itervalle, Soit u etier aturel fié par : f ( ) = ta a) Détermier lim f ( ) et lim f ( ) b) Etudier le ses de variatios de la foctio f Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

3 c) Démotrer que l équatio d icoue, f ( ) = admet ue solutio uique das l itervalle, O ote α cette solutio d) Doer, suivat les valeurs de, le sige de f ( ) α N La questio (c) permet de défiir la suite ( ) a) Justifier que cette suite est borée b) Calculer ( ) f α pour N c) E déduire que la suite ( ) d) Détermier la limite de ta ( ) e) Prouver que la suite ( ) Eercice 5 : α N est strictemet croissate α lorsque ted vers α N est covergete Quelle est sa limite? Das la figure ci-dessus, o a représeté deu courbes (C) et (C) défiies et cotiues sur [, [ toutes les deu la droite d équatio y = comme asymptote au voisiage de Les deu courbes sot celles d ue foctio f et sa dérivée f ' I Lecture graphique : ayat E utilisat le graphique, répodre à chacue des questios suivates : ) Justifier que (C) est la courbe représetative de f 3 Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

4 ) a) Détermier chacue des limites suivates : lim f b) Dresser le tableau de variatio de f ; f( ) lim ; lim 5 f ( ) 3) a) Prouver que l équatio f( ) = admet sur [, ] ue solutio uiqueα b) Motrer que pour tous réels a et b apparteat à [, ], o a : f( b) f( a) b a 5 II Etude d ue suite : O cosidère la suite ( u ) défiie sur IN par : u [ ] et u f ( u ) Motrer que pour tout de IN, u, Prouver que pour tout de IN, u α u α 5 = 3 Démotrer alors par récurrece que u α 5 ; puis détermier lim u 4 O pose S = u k = k a) Motrer que pour tout de IN, S b) Déduire lim S et lim Eercice 6 : 5 5 α S α O défiit la foctio f sur l itervalle [, ²] par : f() = cos a) Vérifier que pour tout réel [, ²], f() = b) Démotrer que f est dérivable e zéro et doer f () a) Justifier que f est dérivable sur [, ²] et calculer f () si b) Etudier le ses de variatio de la foctio f et dresser so tableau de variatio 3 a) Résoudre das [, ²] l équatio : f() = b) Détermier ue équatio de la tagete à la courbe représetat f au poit d abscisse ² 4 4 Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

5 Eercice 7 : O cosidère ue foctio h défiie sur * O pose F( ) h( ) = R telle que : h ( ) = et h' ( ) - Motrer que F est défiie, dérivable sur R et calculer F' ( ) - Motrer que F est ue foctio impaire 3- Motrer que pour tout de R ; F( ) = 5 Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

6 4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Corrigé Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : Reposes Commetaires 4 Soit h ue foctio défiie sur IR, de même sige que f et telle que pour tout réel, o a : f() h() O a alors : ]-, ], o a : f() h() limf = lim h = [, [, o a : f() h() limh = lim h = limf = lim h = 5 Soit g = f O a alors : f() = = doc g = f est défiie sur IR \{} g est défiie sur IR\{} lim g = (ζg) admet ue asymptote verticale limf = limg lim f limg lim f limg = lim = = f = = = La droite d équatio = est ue = = = asymptote verticale à (ζg) 6 Soit k la foctio défiie sur IR* par : k() = ² O a alors : limf k =3 limk f = limf k = / ² ² limk = lim = lim = / limf = f() = 3 limf k = 3 limf = et limk = limk f = lim k = et limf = limf k = 6 Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

7 Eercice 4 : f ( ) = ta,, a) lim f ( ) = lim ta = ; lim f ( ) = lim ta = b) f est dérivable sur, et o a : f '( ) = ta² = ta²,, f '( ) = = f est strictemet croissate sur, c) La foctio f est cotiue et strictemet croissate sur, doc f réalise ue bijectio de, sur f, = lim f;lim f ] ; [ IR = = l équatio f ( ) = admet ue solutio uique α das, α d) f ( ) α f ( ) 7 Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

8 a) α, ( ) b) f ( ) ta ( ) α est borée α = α α Or f ( α ) = ta( α ) α = f ( ) ( ) c) f ( ) f ( ) f ( ) α = ta α α = α = > α > α α > α f est strictemet croissate ( α ) est strictemet croissate NB : ( α ) est strictemet croissate et majorée par doc elle est covergete d) f( α) = ta( α) α = ta ( α) = α lim ta( α) lim α = = a ue limite fiie e) α, et lim ta ( α ) = lim α = Eercice 6 : f() = cos, [, ²] a) Pour tout réel [, ²], f() = cos = cos = si f() = si Cosa = cos²a si²a = cos²a = si²a b) si f( ) - f() cos lim = lim = lim = f est dérivable à droite e et o f () = a) f est la composée des foctios cosius et racie carrée Soit U() =, [, ²] U est dérivable sur ], ²] U(], ²]) = ], ] Cosius est dérivable sur IR e particulier sur ], ] f = cos ο U est dérivable sur ], ²] et oa : 8 Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

9 f () = U () [- si ( U())] = ( si ) si =, ], ²] Aisi [, ²], si si f'( ) = si = ], ² ] b) Si ], ²] alors < si f () ], ²] ² f'( ) f( ) 3 a) f() = cos = et [, ] = = 4 b) Soit (T) la tagete à la courbe de f au poit d abscisse ² ² (T) : y = f ( ² ) ( - ) f( ) = = Remarque : La courbe de f est doée ci dessous est pas demadée mais peut ous doer ue idée sur le travail qu o a fait ² 4 9 Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

10 Eercice 7 : h est ue foctio défiie sur * R telle que : h ( ) = et h' ( ) (C est ue foctio qu o va l étudier plus tard appelée foctio logarithme épérie) O pose F( ) h( ) = Domaie de défiitio de F : = IR, ² > ² ² > ² ² > ² > Puisque h est défiie sur * Domaie de dérivabilité de F : R F( ) h( ) = est défiie sur IR U ² est dérivable et strictemet positive sur IR U est dérivable sur IR ( ² ) est dérivable sur IR V ² est dérivable sur IR h est dérivable sur IR F = h ο V est dérivable sur IR V( IR) IR Calcul de dérivée de F : F () = V () h ( V()) = =, IR ² ² ² Parité de F : Soit H() = F() F( - ), IR H est dérivable sur IR ( oublier pas de traiter F( - ) comme composée de deu foctios dérivables sur IR) H () = F () F ( - ) = car F est paire H est ue costate Or H() = F() = h() = H() = F() F( - ) =, IR F( - ) = - F(), IR F est ue fuctio impaire Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

11 3 Soit R [ ] F est dérivable sur, F( ) F() t [, ], F'( ) = ² (D après le théorème des accroissemets fiis) F(), R - F(), R Autremet : O aurait pu démotrer l iégalité précédete par ue étude de foctio O pose G() = F(), R G est dérivable sur IR et o a : G () = F () = G est strictemet décroissate sur IR Si alors G() G() G() F() ² - < Limites, cotiuité et dérivabilité 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

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