Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

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1 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes portables sot iterdits. U soi particulier devra être accordé à la qualité et la précisio de la rédactio. Exercice 1. O cosidère u dé à 6 faces, o équilibré, au ses où les 6 faces ot pas toutes la même chace d apparaître lors d u lacer. O suppose que le résultat (c est-à-dire la face umérotée) 1 (respectivemet 2, 3, 4, 5, 6) a 1 (respectivemet 2, 1, 4, 1, 1) chace sur 10 d apparaître. 1. Détermier la probabilité d obteir u résultat supérieur ou égal à 5 sachat que le résultat est pair. 2. Détermier la probabilité d obteir u résultat supérieur ou égal à 5 sachat que le résultat est impair. 3. Détermier la probabilité d obteir u résultat pair sachat que le résultat est supérieur ou égal à Détermier la probabilité d obteir u résultat impair sachat que le résultat est supérieur ou égal à Est-il plus probable d obteir u résultat supérieur ou égal à 5 si le résultat est pair, ou bie s il est impair? 6. Si le résultat est supérieur ou égal à 5, est-il plus probable d obteir u résultat pair ou impair? Exercice 2. O se place das u espace probabilisé (Ω, B, P). 1. Détermier la foctio caractéristique de la variable aléatoire égale à Détermier la foctio caractéristique d ue variable aléatoire de loi ormale (gaussiee) N (µ, σ 2 ) d espérace µ et variace σ 2. O pourra admettre que la foctio caractéristique d ue variable aléatoire de loi ormale N (0, 1) est la foctio qui à t associe e t2 /2. 3. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires telle que pour chaque etier la variable X suit ue loi ormale (gaussiee) N ( 1, 1 2 ) Déduire de ce qui précède que la suite (X ) coverge e loi vers Pour chaque, détermier la variace et l espérace de X, aisi que la quatité E[X 2 ]. E déduire que la suite (X ) coverge vers 0 das L 2 (e moyee quadratique) Comparer les résultats obteus das les questios 3.1 et 3.2.

2 Exercice 3. O se place das u espace probabilisé (Ω, B, P). 1. (Exemple) Soit X ue variable aléatoire de loi uiforme sur [0, 1]. Motrer que l espérace E[e tx ] est fiie pour tout réel t, et doer sa valeur. 2. (Exemple) Soit X ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre 1. Motrer que l espérace E[e tx ] est fiie pour tout réel t < 1, et doer sa valeur. 3. (Exemple) Soit X ue variable aléatoire de loi ormale (gaussiee) N (0, σ 2 ). Motrer que l espérace E[e tx ] est fiie pour tout réel t, et de valeur E[e tx ] e σ2 t 2 /2. 4. Soit X ue variable aléatoire et t u ombre positif tels que la variable e tx soit das L 1. Motrer que pour tout réel r P[X r] e tr E[e tx ]. 5. Soit X ue variable aléatoire. O suppose que la variable e tx est das L 1 pour tout réel t positif, et qu il existe ue costate c > 0 telle que E[e tx ] e ct2 pour tout t positif. Motrer que pour tout réel positif r 4c. 6. (Exemple) Soit X ue variable aléatoire de loi ormale (gaussiee) N (0, σ 2 ). E déduire que pour tout réel r positif puis que 2σ 2 P[ X r] 2 e r2 7. (Exemple) Soit (X i ) i 1 ue suite de variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées, de loi ormale (gaussiee) N (0, σ 2 ). Pour chaque etier 1 soit Z X 1+ +X 7.1. Détermier la limite de la suite de variables aléatoires (Z ) 1. E quel ses cette suite coverge-t-elle? 7.2. Soit 1 u etier fixé. Détermier les espéraces E[X 1 ] et E[Z ] et les variaces Var(X 1 ) et Var(Z ) Soit 1 u etier fixé et r u réel strictemet positif fixé. Motrer que P [ Z r ] σ2 r Soit 1 u etier fixé et r u réel strictemet positif fixé. Motrer que P [ Z r ] 2 e r2 O pourra admettre que E [ e tz] ( E [ e tx 1 ] ) pour tout réel t.

3 Corrigé succit Exercice 1 Soit X la variable aléatoire représetat le résultat du lacer. X peut predre les valeurs etières de 1 à 6, avec P[X 1] 1/10, P[X 2] 2/10, P[X 3] 1/10, P[X 4] 4/10, P[X 5] 1/10, P[X 6] 1/ La probabilité d obteir u résultat supérieur ou égal à 5 sachat que le résultat est pair est la probabilité coditioelle P[X 5 X pair] P[X 5 et X pair] P[X pair] P[X 6] P[X 2 ou 4 ou 6] 1/10 2/10 + 4/10 + 1/ La probabilité d obteir u résultat supérieur ou égal à 5 sachat que le résultat est impair est la probabilité coditioelle P[X 5 X impair] P[X 5 et X impair] P[X impair] P[X 5] P[X 1 ou 3 ou 5] 1/10 1/10 + 1/10 + 1/ La probabilité d obteir u résultat pair sachat que le résultat est supérieur ou égal à 5 est la probabilité coditioelle P[X pair X 5] P[X pair et X 5] P[X 5] P[X 6] P[X 5 ou 6] 1/10 1/10 + 1/ La probabilité d obteir u résultat impair sachat que le résultat est supérieur ou égal à 5 est la probabilité coditioelle P[X impair X 5] P[X impair et X 5] P[X 5] P[X 5] P[X 5 ou 6] 1/10 1/10 + 1/ Il plus probable d obteir u résultat supérieur ou égal à 5 si le résultat est impair, que s il est pair. E effet, d après les questios 1 et 2, la probabilité d obteir u résultat supérieur ou égal à 5 sachat que le résultat est impair est égale à 1/3, doc est plus grade que la probabilité d obteir u résultat supérieur ou égal à 5 sachat que le résultat est pair, qui est égale à 1/7. 6. Si le résultat est supérieur ou égal à 5, il est aussi probable d obteir u résultat pair qu impair puisque les probabilités d obteir u résultat impair, ou u résultat pair, sachat que le résultat est supérieur ou égal à 5, sot égales (à 1/2 d après les questio 3 et 4). 3

4 Exercice 2 1. La foctio caractéristique de la variable aléatoire égale à 0 est doée pour tout réel t par ψ 0 (t) E[e it0 ] E[1] Si X est ue variable aléatoire de loi N (µ, σ 2 ), alors pour tout t sa foctio caractéristique est doée par ψ X (t) E[e itx ] e itx (x µ)2 /(2σ 2 ) e it(σy+µ) y2 /2 dy dx 2π e itµ e itσy y2 /2 dy 2π par le chagemet de variable y (x µ)/σ. L itégrale est la foctio caractéristique d ue variable suivat ue loi N (0, 1), calculée au poit σt. D après l idicatio par exemple elle est doc égale à e (σt)2 /2. Par coséquet pour tout t ψ X (t) e itµ σ2 t 2 / Pour doé, la foctio caractéristique de X, au poit t, est doée par ψ X (t) e it/ t2 /(2 2 ) d après la questio 2. Soit maiteat t fixé. Quad ted vers +, alors it/ t 2 /(2 2 ) ted vers 0, et doc ψ X (t) ted vers e 0 1 ψ X (t) où X est la variable aléatoire égale à 0. Comme ceci est vrai pour tout t o e déduit que X ted e loi vers X, c est-à-dire vers La variable X suit ue loi N (1/, 1/ 2 ), doc l espérace de X est E[X ] 1/ et sa variace V ar(x ) 1/ 2. Comme de plus V ar(x ) E[X 2 ] (E[X ]) 2, o e déduit que E particulier E[X 2 ] V ar(x ) + (E[X ]) E X 0 2 E[X 2 ] ted vers 0 quad ted vers l ifii. Autremet dit la suite (X ) ted vers 0 e moyee quadratique De maière géérale, la covergece e moyee quadratique implique la covergece e loi. Par coséquet le résultat de la questio 3.2 est plus fort que le résultat de la questio 3.1. Exercice 3 1. Soit X ue variable aléatoire de loi uiforme sur [0, 1]. La variable X admet ue desité égale à la foctio idicatrice de [0, 1], doc par la 4

5 formule de trasfert pour tout t réel doé la variable positive e tx admet ue espérace égale à E[e tx ] 1 0 [ e e tx tx dx t ] 1 0 et 1 t si t 0 et égale à E[e 0X ] E[1] 1 e t Soit X ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre 1, c est-à-dire de desité e x 1 x 0. Pour t réel la variable positive e tx admet ue espérace E[e tx ] fiie si l itégrale 0 e tx e x dx 0 e (t 1)x dx coverge. Or c est le cas si et seulemet si t < 1, et das ce cas l itégrale, et doc E[e tx ], est égale à 1 t 1 3. Soit X ue variable aléatoire de loi ormale (gaussiee) N (0, σ 2 ), c est-à-dire de desité e x2 /(2σ 2) /. Par la formule de trasfert, pour t réel la variable positive e tx admet ue espérace E[e tx ] fiie si l itégrale e tx e x2 /(2σ 2 ) dx coverge. Or c est le cas pour t quelcoque puisque e tx e x2 /(2σ 2) O(e x2 /(4σ 2) ) par exemple, où e x2 /(4σ 2) est itégrable sur R. De plus E[e tx ] e tx e x2 /(2σ 2 ) dx e 1 2σ 2 [((x tσ2 ) 2 t 2 σ 4 ] e y2 /(2σ 2 ) dx dx et2 σ 4 /(2σ 2) e t2 σ 2 /2 par le chagemet de variable y x tσ Soit r u réel fixé. Pour t 0, par croissace de la foctio expoetielle et par l iégalité de Markov P[X r] P[e tx e tr ] P[e tx tr 1] E[e tx tr ] e tr E[e tx ]. 5. Soit r u réel positif. Pour tout t positif, d après la questio 4, P[X r] e tr E[e tx ] e tr+ct2. Comme ceci est vrai pour tout t positif, o peut optimiser sur les t positifs. Le terme das l expoetielle est u triôme e t, qui atteit so miimum e t r/(2c), et y pred la valeur r 2 /(4c). Pour t r/(2c) o a doc obteu 4c. 5

6 6. Soit X ue variable aléatoire de loi ormale (gaussiee) N (0, σ 2 ) et r u réel positif. D après la questio 3 o peut appliquer le résultat de la questio 5 avec c σ 2 /2. O obtiet doc De plus la variable Y X est de loi N (0, σ 2 ) par parité de la desité de la loi, doc P[Y r] e r2 2σ 2 c est-à-dire Aisi P[X r] e r2 P[ X r] P[X r] + P[X r] 2 e r Soit (X i ) i 1 ue suite de variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées, de loi ormale (gaussiee) N (0, σ 2 ). E particulier c est ue suite de v.a.i.i.d. das L 1 et d espérace ulle, doc la suite de variables (Z ) coverge vers 0 presque sûremet et das L 2, d après la loi des grads ombres. E particulier elle coverge e probabilité et e loi Soit 1 u etier fixé. La variable X 1 est das L 1 et d espérace E[X 1 ] 0 par hypothèse. Les variables X i sot das L 1 par hypothèse doc par liéarité la variable Z est das L 1, avec E[Z ] 1 EX i 0 i1 puisque les X i ot même loi, doc même espérace. La variable X 1 est das L 2 par hypothèse et sa variace est Var(X 1 ) σ 2. De plus les X i sot idépedates, et de même loi doc de même variace, doc Var(Z ) 1 2 i1 Var(X i ) Var(X 1) σ Soit 1 u etier fixé et r u réel strictemet positif fixé. D après la questio 7.2, EZ 0 et Var(Z ) σ 2 / doc par l iégalité de Bieaymé-Tchebichev P [ Z r ] P [ Z E[Z ] r ] Var(Z ) r 2 σ2 r Soit 1 u etier fixé et r u réel strictemet positif fixé. Comme les X i sot des v.a.i.i.d E [ e tz] [ ] E e (X 1+ +X )t/ E e txi/ i1 6 ( E e txi/ E [ e tx 1 i1 ] ).

7 Or d après la questio 3 E[e sx 1 ] e σ2 s 2 /2 pour tout s doc e particulier pour s t/, doc E [ e tz] ( ) e σ2 t 2 /(2 2 ) e σ 2 t 2 /(2). Doc d après la questio 5, avec c σ 2 /(2), Efi P [ Z r ] e r2 4σ 2.2 e r2 P [ Z r ] [ ( X1 ) + + ( X ) ] P r où les variables X i sot des v.a.i.i.d de loi N (0, σ 2 ). Doc cette quatité est de même majorée par e r2 Par coséquet P [ Z r ] P [ Z r ] + P [ Z r ] 2 e r2 O pouvait égalemet calculer la foctio caractéristique de Z, vérifier que cette foctio est égale à la foctio caractéristique d ue variable de loi N (0, σ 2 /) et e déduire que Z est de loi N (0, σ 2 /) ; efi, appliquer à Z la questio 6. 7