Cours Régulation et Asservissements

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1 Cours Régulatio et Asservissemets

2 SOMMAIRE CHAPITRE : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS Itroductio à l automatique Exemle Classificatio Systèmes cotius et ivariats Evolutio de l'automatique Boucle de régulatio Notio d'asservissemet Systèmes bouclés et o bouclés Défiitios Costitutios élémetaires Régulatio et systèmes asservis Liéarité des asservissemets Gééralités No liéarités accidetelles Proriétés des systèmes liéaires Régimes trasitoires des asservissemets Défiitios Performaces d'u système asservi Mise e équatio d'u système - Résolutio Mise e équatio Utilisatio de la trasformée de Lalace... 9 CHAPITRE : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT Itroductio Foctio de trasfert d'u esemble d'élémets Elémets e série (ou cascade) Elémets e arallèle Cas d'u système à etrées idéedates Foctio de Trasfert e Boucle Fermée ( FTBF ) Foctio de trasfert e boucle ouverte ( FTBO ) Ifluece de la charge sur la foctio de trasfert d'u système asservi Foctio de trasfert d'u système à boucles multiles Formes géérales de la Foctio de Trasfert d'u système liéaire Autres formes d'écriture Règles de trasformatio des schémas foctioels... 7 CHAPITRE 3 : METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS Itroductio Etrées caoiques Echelo uité Echelo de vitesse ( rame uité ) Echelo d'accélératio Imulsio uitaire

3 Etrée harmoique Réose d'u système asservi aux etrées caoiques Réose du système à ue imulsio uitaire : réose imulsioelle Réose du système à u échelo uité : réose idicielle Réose fréquetielle Rerésetatio de la réose fréquetielle Courbes de Bode et diagrammes asymtotiques Courbe de Nyquist ou lieu de Nyquist Courbe amlitude hase ou lieu de Black (ou Black Nichols) Etude des systèmes du remier ordre Défiitio Réose idicielle Réose à ue rame ( échelo de vitesse) Réose à ue imulsio uité Réose fréquetielle Exemles de systèmes du er ordre Etude des systèmes du secod ordre Défiitio Réose à u échelo uité Réose à ue imulsio uité Réose fréquetielle... 5 CHAPITRE 4 : STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES Notio de stabilité d'u système Défiitio de la stabilité Asect mathématique de la stabilité Coditios de stabilité Etude de la stabilité d'u système bouclé Critère de Routh - Hurwitz Eocé du critère Exemle Exemle (lige comlète de zéros) Exemle 3 (u zéro sur la remière coloe) Critère de Nyquist Éocé du critère de Nyquist Exemle Critère de Nyquist simlifié (critère du Revers) Marges de stabilité Valeurs usuelles de Δϕ et ΔG Critère de Stabilité utilisat les courbes de Bode et de Black Marge de stabilité aliquée à la ositio des ôles de la FTBF... 7 CHAPITRE 5 : PERFORMANCES DES ASSERVISSEMENTS Itroductio Performaces Statiques des Systèmes bouclés Erreur statique Gai statique e boucle fermée Exemle

4 Caractéristiques de la réose trasitoire des systèmes du d ordre Relatios Boucle Ouverte Boucle Fermée à retour uitaire CHAPITRE 6 : CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES Itroductio Nécessité de correctio das les systèmes asservis Stratégie de correctio (ou comesatio) des systèmes asservis Correctio e cascade ou série Pricies gééraux Correcteur à actio roortioelle (P) Correcteur à actio itégrale (I) Correcteur à actios roortioelle et itégrale (PI) Correcteur à actio dérivée (D) Correcteur à actios roortioelle et dérivée (PD) Correcteur à actios roortioelle, itégrale et dérivée (PID)

5 Chaitre : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS - - Itroductio à l automatique L'automatique est gééralemet défiie comme la sciece qui traite des esembles qui se suffiset à eux-mêmes et où l'itervetio humaie est limitée à l'alimetatio e éergie et e matière remière. L'objectif de l'automatique est de remlacer l'homme das la luart des tâches (tâches réétitives, éibles, dagereuses, tro récises, tro raides) qu'il réalise das tous les domaies sas itervetio humaie. Les systèmes automatiques ermettet doc : * de réaliser des oératios tro comlexes ou délicates e ouvat être cofiés à l'homme, * de se substituer à l'oérateur our des tâches réétitives, * d'accroître la récisio, * d'améliorer la stabilité d'u système et sa raidité. De tels disositifs se recotret fréquemmet das la vie courate, deuis les mécaismes biologiques du cors humai jusqu'aux usies etièremet automatisées. Ue telle sciece eglobe u grad ombre de discilies et, ar coséquet, u automaticie devrait être à la fois : * Mathématicie * Electricie * Mécaicie * Ecoomiste -. - Exemle Nous sommes etourés d'u grad ombre de systèmes automatiques, machie à laver, asceseur, distributeur de boisso, robot, suivi de trajectoire d u missile Classificatio Le domaie des alicatios de l'automatique est très vaste et varié, mais l'observatio de l'idustrie cotemoraie coduit à ue certaie classificatio qui se résume e deux grades familles selo les doées que traitet ces systèmes : * Les automatismes séquetiels * Les asservissemets Ces deux arties de l'automatique sot ettemet différetes, elles s'auiet sur des otios théoriques qui 'ot que de loitais raorts etre elles et les techiques qui ermettet de les réaliser sot, aussi, très différetes. 7

6 -..a - Les automatismes séquetiels C'est la brache de l'automatique qui orgaise le déroulemet des différetes oératios relatives au foctioemet d'u esemble comlexe. U automatisme à séquece imose l'ordre das lequel les oératios se déroulet, s'assure que chaque oératio est bie termiée avat d'aborder la suivate, décide de la marche à suivre e cas d'icidets. Bie etedu, u automatisme séquetiel eut avoir à cotrôler des asservissemets et des régulateurs (voir -..b) armi les esembles qu'il gère. Ce tye d'automatisme est utilisé ar exemle das la mise e route et l'arrêt d'istallatios comlexes (cetrales automatiques), sur les machies outils et, e gééral, das resque toutes uités de roductio automatisées. Il faut oter égalemet que toutes les séqueces d'alarme et de sécurité idustrielle fot artie des alicatios de ce tye d'automatisme. Les automatismes sot des systèmes logiques qui e traitet que des doées logiques (/, vrai/faux, marche/arrêt,...). Ils utiliset les moyes de commutatio offerts ar l'électroique (circuit logique) et la mécaique (logique eumatique). Le calcul de ces automatismes imose de coaître l'algèbre de Boole et la théorie des circuits séquetiels. Ils sot classés e braches : * Systèmes combiatoires : les sorties du système e déedet que des variables d etrées. * Systèmes séquetiels : les sorties déedet bie sûr de l évolutio des etrées mais aussi de l état récédet des sorties. Exemle : Machie à laver, maiulateur eumatique, asceseur, distributeur de boissos. -..b - Les asservissemets U système asservi est u système qui red e comte, durat so foctioemet, l'évolutio de ses sorties our les modifier et les maiteir coforme à ue cosige. Cette brache de l automatique se décomose e deux autres sous braches (séarées artificiellemet ar l'usage) : * Régulatio : maiteir ue variable détermiée, costate et égale à ue valeur, dite de cosige, sas itervetio humaie. Exemle : Régulatio de temérature d'ue ièce. * Systèmes asservis : faire varier ue gradeur détermiée suivat ue loi imosée ar u élémet de comaraiso. Exemle : Régulatio de la vitesse d'u moteur, Suivi de trajectoire d'u missile. L asservissemet est essetiellemet aalogique et utilise la artie aalogique des trois moyes de base dot o disose : mécaique, électrotechique et électroique. La théorie des asservissemets écessite ue boe base mathématique classique. 8

7 -.3 - Systèmes cotius et ivariats * Système cotiu : u système est dit cotiu lorsque les variatios des gradeurs hysiques le caractérisat sot des foctios du tye f(t), avec t ue variable cotiue, le tems e gééral. O oose les systèmes cotius aux systèmes discrets (ou échatilloés), ar exemle les systèmes iformatiques. * Système ivariat : O dit qu u système est ivariat lorsque les caractéristiques de comortemet e se modifiet as avec le tems Evolutio de l'automatique Ces derières aées, l automatique s est cosidérablemet moderisée, surtout deuis l avèemet des calculateurs umériques. Les systèmes automatiques coduits ar calculateurs assuret la quasi-totalité des tâches : * ils collectet et traitet les iformatios issues des cateurs qui fourisset l'esemble des variables d'etrée. * ces variables d'etrée costituet les doées sur lesquelles des calculs umériques serot effectués. Ils corresodet à la résolutio umérique de systèmes d'équatios qui costituet le "modèle mathématique". * le résultat de ce traitemet fouri e biaire est coverti e variables cotiues et est ijecté das le rocessus, afi de modifier so évolutio das u ses désiré. E lus de ces tâches qui sot classiques e automatique, le calculateur joue u rôle otimalisateur. C'est-à-dire qu'il exécute le travail à faire aux meilleures coditios écoomiques e miimisat les déchets, e teat comte du caret de commade, etc. Cet asect, lui, est ouveau. Ce gere de roblème était traité séarémet. Ce rocédé ermet de teir comte d'u ombre cosidérable de variables, doc de traiter des roblèmes jusqu'alors imossibles. E lus, il fait iterveir directemet les variables écoomiques au iveau de chaque orgae (moteur, ome, etc...). Or, jusqu'à réset, les variables écoomiques 'iterveaiet que globalemet. Il ermet doc de traiter ce roblème de faço beaucou lus ratioelle. Les systèmes automatiques coduits ar calculateurs écessitet ue boe coaissace de la rogrammatio e lagage machie, de fortes coaissaces mathématiques (our élaborer le modèle) et surtout ue coaissace arfaite du rocessus à réguler, ce qui est le lus délicat. Ceci écessite ecore de boes coaissaces e théorie de l'iformatio, e statistique et e recherche oératioelle. - - Boucle de régulatio -. - Notio d'asservissemet L'objectif d'u système automatisé est de remlacer l'homme das ue tâche doée. Nous allos, our établir la structure d'u système automatisé, commecer ar étudier le foctioemet d'u système das lequel l'homme est la " artie commade ". Exemle : coducteur au volat d'u véhicule Le coducteur doit suivre la route. Pour cela, Il observe la route et so eviroemet et évalue la distace qui séare so véhicule du bord de la route. Il détermie, e foctio du cotexte, l'agle qu'il doit doer au volat our suivre la route. Il agit sur le volat (doc sur le système) ; uis de ouveau, il recommece so observatio edat toute la durée du délacemet. Si u cou de vet dévie le véhicule, arès avoir observé et mesuré l'écart, il agit our s'ooser à cette erturbatio. Si l o veut qu u asservissemet remlace l'homme das diverses tâches, il devra avoir u comortemet et des orgaes aalogues à ceux d'u être humai. C'est-à-dire qu'il devra être caable d'arécier, de comarer et d'agir. 9

8 Exemle : ouverture de orte our accès à ue maiso. U autre exemle d'asservissemet très simle est celui d'u homme qui veut etrer das ue maiso : à chaque istat, ses yeux "mesuret" l'écart qui existe etre sa ositio et la orte. So cerveau commade alors aux jambes d'agir, e sorte que cet écart dimiue, uis s'aule. Les yeux jouet alors le rôle d'orgaes de mesure (ou de cateurs), le cerveau celui de comarateur et les jambes celui d'orgae de uissace. Tout asservissemet comortera ces trois catégories d'élémets qui remlisset les 3 grades foctios écessaires à sa boe marche (fig. ) : * Mesure (ou observatio) * Comaraiso etre le but à atteidre et la ositio actuelle (Réflexio) * Actio de uissace Tâche à réaliser Réflexio Actio Effet de l'actio Observatio Fig. : Cocet gééral d u asservissemet -. - Systèmes bouclés et o bouclés -..a - Exemle : Tir au cao Pour mieux saisir la otio de système bouclé, reos u exemle avec cas. Das le remier, ous cosidéros u système o bouclé et ous mettros e évidece ses faiblesses. Das le secod, ous motreros les avatages qu'aorte le bouclage. Premier cas : tir au cao sur ue cible. O cosidère ue cible à détruire et u cao. Pour atteidre le but que l'o s'est roosé, o règle l'agle de tir du cao et la charge de oudre de l'obus e foctio des coordoées de la cible et d'autres aramètres cous à l'istat du tir. Ue fois l'obus arti, si ces aramètres extérieurs vieet à chager, ar exemle si la cible se délace, o e eut lus agir sur sa directio : l'obus est abadoé à lui-même. Deuxième cas : tir au cao sur ue cible avec ue fusée téléguidée et u radar. Cosidéros la même cible et ue fusée téléguidée. Das ce cas, même si la cible se délace ou u vet latéral fait dévier la fusée de sa trajectoire iitiale, elle atteidra quad même so but. E effet, à chaque istat, u radar doera les ositios resectives de la fusée et de la cible. Il suffira de les comarer our e déduire l'erreur de trajectoire et agir sur les gouveres de la fusée our rectifier cette erreur. Das ce cas, le système 'est lus abadoé à lui-même car il comorte ue boucle de retour qui est costituée ar le radar, qui "mesure" la ositio de la fusée et qui e iforme l'oérateur, et ar ue télétrasmissio qui ermet de modifier la trajectoire ar actio sur les gouveres. La boucle de retour aorte doc, au rix d'ue comlicatio certaie, u gai de récisio éorme.

9 -..b - Exemle : Asservissemet de vitesse d ue voiture Suosos que l'o veuille maiteir costate la vitesse (V) d'ue voiture. A la valeur (V) de la vitesse corresod ue valeur (e) de la course de l'accélérateur. Il suffirait doc, e ricie, de maiteir (e) costat our que (V) le soit. Chacu sait que la réalité est différete. E effet, le vet, les variatios de ete et le mauvais état de la route modifiet (V). Ces aramètres extérieurs qui ifluet sur la vitesse sot aelés gradeurs erturbatrices ou erturbatios. Si elles 'existaiet as, la boucle de régulatio serait iutile. Pour que la vitesse reste costate, il faut utiliser u tachymètre qui mesure la vitesse réelle. Le chauffeur comare à tout istat cette vitesse réelle et la vitesse rescrite; Il e déduit u écart lus ou mois grad et efoce lus ou mois l'accélérateur e foctio de cet écart. Si o aelle gradeur de sortie (ou sortie) la vitesse réelle et gradeur d'etrée (ou etrée) la vitesse imosée, le chauffeur et le tachymètre assuret ue liaiso etre l'etrée et la sortie, ils costituet doc ue chaîe de retour. O eut doer u schéma très simle our illustrer cet exemle (fig. ) : Etrée vitesse imosée Chauffeur Accélérateur Moteur Voiture Tachymètre Perturbatios Sortie vitesse (V) réelle Fig. : Exemle d asservissemet de vitesse d u véhicule

10 -.3 - Défiitios Costitutios élémetaires O eut doc défiir u asservissemet comme u système bouclé ou à boucle fermée comortat ue amlificatio de uissace, ue mesure et ue comaraiso. A artir de ces 3 otios, o eut défiir u schéma foctioel valable our tous les systèmes résetat ces caractéristiques (fig. 3) : * Le triagle : rerésete la foctio amlificatio de uissace. * Le cercle : rerésete la foctio comaraiso (qui s'effectue e faisat ue différece). * Le rectagle : rerésete la foctio mesure et trasformatio. Foctio comaraiso E _ S ' ε A B S Foctio amlificatio de uissace Foctio mesure et trasformatio Fig. 3 : Schéma foctioel d u asservissemet S Gradeur de sortie La sortie régulée rerésete le héomèe hysique que doit régler le système, c est la raiso d être du système. Il eut s'agir d'ue tesio, d'u délacemet, d'u agle de rotatio, d'u iveau, d'ue vitesse, etc... E Gradeur d'etrée ou référece ou cosige ε erreur ou écart etrée - sortie S' Mesure de la sortie La cosige, est l etrée d actio, c est la gradeur réglate du système. Sa ature eut être différete de celle de (S). Seule imorte sa valeur umérique. Si (E) et (S) sot de atures différetes, il suffit de défiir ue corresodace umérique etre ces deux gradeurs. Par exemle, o dira qu'u volt à l'etrée rerésete tours/m. O aelle écart ou erreur, la différece etre la cosige et la sortie. Cette mesure e eut être réalisée que sur des gradeurs comarables, o la réalisera doc e gééral etre la cosige et la mesure de la sortie. Elle est fourie ar le comarateur et est roortioelle à la différece ( E S' ). Elle eut être de ature différete. Elle eut être de ature différete. Par exemle, E et S' état des tesios, o ourra avoir ε sous forme de courat tel que ε = ( E S' ) / R (R est ue résistace). Elle est fourie ar la chaîe de retour, gééralemet arès trasformatio. S' doit obligatoiremet avoir même ature hysique que E. Ce qui est évidet si o veut doer u ses à la différece ( E - S' ). U des rôles de la chaîe de retour est doc d'assurer la coversio de la mesure de S das la gradeur hysique de E.

11 D'ue maière géérale, le système comred (fig. 4) : Erreur ou Ecart Chaîe directe (ou d'actio) Perturbatios évetuelles Régulateur Etrée de référece (cosige) Correcteur Actioeur rocessus Sortie asservie Comarateur Mesure Cateur Chaîe de retour (ou d'observatio) Fig. 4 : Orgaisatio foctioelle d'u système asservi (schéma foctioel) Chaîe directe ou d'actio Chaîe de retour ou de réactio Comarateur ou détecteur d'écart Régulateur Actioeur Cateur Perturbatio * Eglobe tous les orgaes de uissace (écessitat u aort extérieur d'éergie) et qui exécute le travail. * Comorte gééralemet ombreux élémets, otammet des amlificateurs. * La ature de ces élémets 'est as sécifiée sur le schéma, il eut s'agir aussi bie d'egis électriques, mécaiques, eumatiques, etc * Aalyse et mesure le travail effectué et trasmet au comarateur ue gradeur hysique roortioelle à ce travail. * Elle comred gééralemet u cateur qui doe ue mesure de la gradeur S, qui est esuite amlifiée et trasformée avat d'être utilisée. * Comare le travail effectué à celui qui était à faire et délivre u sigal d'erreur roortioel à la différece etre ue gradeur de référece (E) et la gradeur hysique issue de la chaîe de retour. * Ce sigal d'erreur, arès amlificatio, agira sur les orgaes de uissace das u ses tel que l'erreur tedra à s'auler. Le régulateur se comose d'u comarateur qui détermie l'écart etre la cosige et la mesure et d'u correcteur qui élabore à artir du sigal d'erreur l'ordre de commade. C'est l'orgae d'actio qui aorte l'éergie au système our roduire l'effet souhaité. Le cateur rélève sur le système la gradeur réglée (iformatio hysique) et la trasforme e u sigal comréhesible ar le régulateur. La récisio et la raidité sot deux caractéristiques imortates du cateur. O aelle erturbatio tout héomèe hysique iterveat sur le système qui modifie l état de la sortie. U système asservi doit ouvoir maiteir la sortie à so iveau idéedammet des erturbatios 3

12 -.4 - Régulatio et systèmes asservis Nous avos fait la distictio das l'itroductio etre régulatio et asservissemet. Nous ouvos maiteat réciser de faço ette cette différece : * U régulateur : maitiet l'erreur ε etre l'etrée E et la sortie S ulle, quelles que soiet les erturbatios, la gradeur d'etrée E restat costate ou variat ar alier. E est alors aelée cosige ou référece. * U système asservi : maitiet l'erreur ε ulle ou miimale quelles que soiet les variatios de E. Gééralemet, E est ue foctio du tems qui eut être ériodique, mais qui doit toujours rester cotiue et fiie. Il faut remarquer que les cotraites sot lus grades our u système asservi que our u régulateur, uisque aucue cotraite de vitesse de variatio 'est imosée our E Liéarité des asservissemets Gééralités La théorie des asservissemets que ous allos étudier 'est valable que our les systèmes liéaires. Ce qui veut dire qu'e ricie les équatios qui les régisset doivet être des équatios différetielles à coefficiets costats. U tel critère est ratiquemet ialicable our défiir si u système hysique est liéaire ou o, car das la majorité des cas o e coaît as avec suffisammet de récisio les équatios de ce système. Il faudra doc e lus de la ature des équatios arochées, défiir d'autres critères. E fait, il est bie difficile d'établir ue limite etre les systèmes liéaires et les systèmes o liéaires. Il serait lus correct de arler de o liéarités égligeables (sas ifluece aaretes) et de o liéarités o égligeables. A la limite, o eut même eser qu'il 'existe as de systèmes rigoureusemet liéaires. Beaucou de systèmes euvet être qualifiés de liéaires das u certai domaie. Beaucou d'autres euvet être liéarisés facilemet, moyeat certaies aroximatios. Ceedat, il reste ue catégorie très imortate de systèmes asservis qu'il est imossible de traiter ar les méthodes liéaires. Ces asservissemets o liéaires serot étudiés séarémet. Nous allos asser e revue les différetes o liéarités classiques afi de bie mettre e évidece les limites d'alicatio de ce cours. 4

13 - 3.3.a - Systèmes foctioat ar tout ou rie La variable de sortie reste costate, quelle que soit l'etrée, le sige déedat du sige de l'etrée (fig. 6). Sortie Etrée Fig. 6 : No-liéarité essetielle (tout ou rie) U exemle de ces systèmes est le cas de la régulatio e temérature d'u chauffage cetral domestique. Si la temérature ambiate est suérieure à la temérature affichée au thermostat, la ome d'alimetatio du brûleur est à l'arrêt. Si cette temérature est iférieure à la temérature de cosige, la ome est e marche. Le débit de fuel ijecté est costat quelle que soit la temérature ambiate, il suffit qu'elle soit e dessous d'u certai seuil (fig. 7). Débit de fuel θ du thermostat θ bi Fig. 7 : Exemles de o-liéarité essetielle de tye tout ou rie (régulatio de temérature) b - Systèmes résetat ue hystérésis La gradeur de sortie 'a as la même valeur our ue gradeur d'etrée doée, suivat que celle-ci est atteite ar valeur croissate ou ar valeur décroissate (fig. 8). Ce héomèe est bie cou e magétique, mais ce 'est as ue excetio. Exemle : relais à hystérésis et zoe morte. Sortie Etrée Fig. 8 : No-liéarité essetielle (hystérésis) 6

14 Proriétés des systèmes liéaires Quad u système est liéaire, il jouit de roriétés imortates qui ermettet ue étude lus commode, e articulier le ricie de suerositio liéaire qui se traduit ar les relatios : Etrée Sortie Additivité : e(t) e (t) e(t) e(t) s (t) s (t) s (t) s (t) où e(t) et s(t) sot les gradeurs d'etrée et de sortie Homogééité : e(t) λ.e(t) s(t) λ.s(t) Ce ricie traduit le fait que les effets sot roortioels aux causes et que les causes ajoutet leurs effets Régimes trasitoires des asservissemets Défiitios Etrée Permaete Régime Permaet Régime Trasitoire Etrée d'u système dot l'exressio, e foctio du tems, est du tye costate, liéaire, arabolique ou ériodique Il est atteit ar u système quad, soumis à ue etrée ermaete, sa sortie est du même tye que l'etrée c'est-à-dire costate, liéaire, arabolique ou ériodique. Ce régime est aussi aelé régime forcé. Il corresod au foctioemet du système quad il asse d'u tye de régime ermaet à u autre. Pratiquemet, u asservissemet travaille toujours e régime trasitoire ; e effet, même u régulateur dot l'etrée est costate doit costammet reveir au régime ermaet, car des erturbatios qui costituet des etrées secodaires l'e écartet. Il e est de même our les asservissemets. L'atitude du servomécaisme à reveir au régime ermaet sera caractérisée ar ses erformaces dyamiques Performaces d'u système asservi * E régime ermaet : la gradeur de sortie doit être aussi voisie que ossible de la valeur désirée. E réalité, il subsiste toujours ue légère erreur. Cette erreur est aelée : - erreur statique ou écart ermaet quad la gradeur d'etrée est ue costate ; our u système idéal, elle doit être ulle. - erreur de traîage quad la gradeur d'etrée est ue foctio liéaire du tems. 7

15 * E régime trasitoire : le système évoluat etre deux régimes ermaets, le tems mis ar le système our aller de l'u à l'autre et la faço dot il arviet à l'état fial, sot très imortats. - Le tems de réose est le tems au bout duquel la sortie du système a atteit, à ± 5 % (ou ± % selo la récisio voulue), sa valeur de régime ermaet et y reste (Fig. 9). - L'amortissemet : la sortie du système déasse gééralemet la valeur qu'elle doit avoir das le régime ermaet fial et elle oscille quelques istats autour de cette valeur. Les oscillatios doivet être amorties, le lus raidemet ossible. L'amortissemet est mesuré ar le coefficiet λ de l'exoetielle eveloe (Fig. ). sortie sortie 5 % - 5 % t e λt t tems de réose Fig. 9 : Tems de réose Fig. : Amortissemet Mise e équatio d'u système - Résolutio Mise e équatio Nous avos dit récédemmet que ous ous borios à l'étude des systèmes liéaires. Doc, les équatios recotrées serot des équatios différetielles liéaires à coefficiets costats. Cosidéros u système quelcoque A, le lus gééral ossible, ossédat ue etrée e et ue sortie s (fig. ). e(t) A s(t) Fig. : Rerésetatio d u système quelcoque à etrée sortie Si o alique u sigal à l'etrée, o recueillera, à la sortie, u sigal qui sera liée au sigal d'etrée ar ue équatio différetielle de tye : d s ds d e de a... a a s = bk... b b e dt dt k dt dt * Les coefficiets ai et bj sot les aramètres du système et ils sot sesés être cous, ce qui est le cas das la ratique our la luart des systèmes courats. Ils rerésetet diverses costates de tems et divers coefficiets de roortioalité accessibles à la mesure. * La difficulté de la mise e équatio réside surtout au iveau de la coaissace du rocessus luimême. E réalité, l'équatio différetielle à laquelle o arrive 'est souvet qu'ue aroximatio qui cosiste à égliger des termes d'ordre lus élevé. Cette récisio suffit das la luart des cas, bie qu'ue étude lus oussée soit quelque fois écessaire. * Ue fois l'équatio du système établie, il faut exrimer la valeur de la sortie e foctio du tems our coaître les régimes ermaets et trasitoires. Pour cela, il existe méthodes (voir fig. ) : k Méthode Classique Cosiste à résoudre l'équatio différetielle décrivat ce système, c'est à dire trouver ue réose forcée et ue réose libre our le système. Mais cette méthode e ermet as toujours de trouver ue solutio et eut ameer à ue difficulté de résolutio dès que l'ordre de l'équatio différetielle déasse. 8

16 Méthode Oératioelle Basée sur le calcul oératioel ou, essetiellemet, sur la trasformée de Lalace qui mettra e relatio, ue foctio de la variable du tems f(t) avec ue foctio de la variable comlexe F() déedat de la ulsatio. Notatio : L [ f(t) ] = F() avec = a j.b (ombre comlexe) e(t) Méthode classique (ordre ) s(t) = L - [S()] Trasformée de Lalace du sigal d'etrée Calcul oératioel Trasformée iverse de Lalace du sigal de sortie L [e(t)] = E() S() = L [s(t)] Fig. : Détermiatio de la sortie du système ar la méthode classique et ar le calcul oératioel Pour u rael sur l utilisatio de la trasformée de Lalace, voir l aexe A Utilisatio de la trasformée de Lalace E aelat S() et E() les trasformées de s(t) et de e(t), si o red la Trasformée de Lalace des deux membres de l'équatio différetielle : O aura : k a d s ds d e de... a a s = bk... b b dt dt k dt dt e a S()... a S() a S() = bk E()... b E() b E() k b d'où : S() = a k k... b b... a a. E() Si l'o coaît l'image E() de e(t), il est facile, grâce aux tables de trasformées de Lalace, de reveir à l'origial de S(). D'ue maière géérale, cette otatio 'est valable que si : * le système est liéaire à coefficiets costats, * toutes les variables et leurs dérivées sot ulles our t < (le système art du reos absolu), * le système est dissiatif, doc sa réose ted, lus ou mois, vers u régime ermaet idéedat des coditios iitiales. 9

17 Chaitre : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT - - Itroductio Raelos que : * SI ous cosidéros u système quelcoque A, le lus gééral ossible, ossédat ue etrée e(t) et ue sortie s(t) (fig. ) : e(t) A s(t) Fig. : Rerésetatio d u système quelcoque à etrée sortie * ALORS, Si o alique u sigal à l'etrée, o recueillera, à la sortie, u sigal qui sera liée au sigal d'etrée ar ue équatio différetielle de tye : k a d s(t) ds(t) d e(t) de(t)... a a s = bk... b b dt dt k dt dt e(t) E aelat S() et E() les trasformées Lalace de s(t) et de e(t), si o red la Trasformée de Lalace des deux membres de l'équatio différetielle, o aura : a S()... a S() a S() = bk E()... b E() b E() k b d'où : S() = a k k... b b... a a. E() Par défiitio, la FONCTION DE TRANSFERT du système de la figure ( ) est le quotiet : F() = b a k k... b b... a a C'est aussi le raort de la trasformée de Lalace de la sortie à la trasformée de Lalace de l'etrée quad toutes les coditios iitiales sot ulles. Das ce cas, o a : S() = F(). E() La Foctio de Trasfert caractérise la dyamique du système. Elle e déed que de ses caractéristiques hysiques. Aisi, doréavat, u système sera décrit ar sa foctio de trasfert et o ar l'équatio différetielle qui le régit. Notos efi, que cette foctio de trasfert est aussi aelée trasmittace ar aalogie avec l'imédace das les systèmes électriques.

18 - - Foctio de trasfert d'u esemble d'élémets -. - Elémets e série (ou cascade) Soit élémets de foctio de trasfert G ()...G () mis e série (la sortie du remier est reliée à l'etrée du secod, etc...) (fig. ). E E E 3 E S S G () G () G () H() E Fig. : Coexio e série (ou cascade) de foctios de trasfert La foctio de trasfert de l'esemble est égale au roduit des foctios de trasfert de chaque élémet : H() = S() E () = G (). G ()..... G () Ceci est évidet uisque, ar défiitio, o a : G () = E (),..., G () = E () S() E () et que H() = S() E () -. - Elémets e arallèle Soiet élémets de foctio de trasfert G ()...G () mis e arallèle (fig. 3). G () E S E H() S G () Fig. 3 : Coexio e arallèle de foctios de trasfert La foctio de trasfert équivalete H() a our exressio : H() = S() E() = G () G ()... G () O eut cosidérer que S() est le résultat de la suerositio des sorties des élémets, c'est-àdire que : S() = S () S ()... S () (e vertu de la liéarité du système, les effets s'ajoutet) Doc : Chaque élémet ris, idéedammet, doera ue sortie S i () quad o lui alique l'etrée E().

19 S() = S i () = G (). E() G (). E()... G (). E() i S() = [ G () G ()... G () ]. E() d'où : H() = G () G ()... G () Cas d'u système à etrées idéedates E E G () E Système S E G () S Fig. 4 : Système à etrées idéedates La foctio de trasfert 'a de ses qu'etre la sortie et ue etrée. Le système de la fig. 4 ourra doc se décomoser e costituats ayat la sortie e commu et our etrée chacue des etrées. O calculera les foctios de trasfert G i () de chaque élémet e suosat ulles les etrées autres que E i (). Ceci 'est ossible que si les différetes équatios du système e sot as coulées etre elles. Das ce cas, o eut écrire : S() = i G i (). E i () Il 'y a as de foctio de trasfert globale our le système Foctio de Trasfert e Boucle Fermée ( FTBF ) Soit u système asservi, le lus gééral, reréseté ar le schéma de la fig. 5. E ε _ S ' A() S B() Fig. 5 : Schéma foctioel d u système asservi (Boucle Fermée) Soit A() et B(), resectivemet, les foctios de trasfert des chaîes directe et de retour. Cherchos la foctio de trasfert du système comlet : H() = Nous avos les relatios suivates : S() E()

20 S() = A(). ε(), S ' () = B(). S(), ε () = E() S ' () S() = A(). [ E() S ' () ] = A(). [ E() B(). S() ] d'où S() = A() A().B() E() La foctio de trasfert d'u système bouclé ou e Boucle Fermée (FTBF) est doc le raort de la foctio de trasfert de sa chaîe directe à A(). B(.: H() = A() A().B() Foctio de trasfert e boucle ouverte ( FTBO ) La Foctio de Trasfert e Boucle Ouverte (égalemet aelée F.T.B.O.) est la foctio de trasfert qui lie les trasformées de Lalace de la sortie de la chaîe de retour S ' () à l'erreur ε (). Elle corresod à l'ouverture de la boucle (Fig. 6 ): E ε _ A() S B() S ' B() Fig. 6 : Schéma foctioel d'u système asservi e Boucle Ouverte Das ce cas, ε = E uisque le comarateur e reçoit lus qu'ue seule iformatio. O a doc : S ' () = B(). S() = B(). A(). ε() = B(). A(). E() d'où : S ' () ε () = K() = A(). B() La Foctio de Trasfert e Boucle Ouverte (ou FTBO) d'u asservissemet est le roduit des foctios de trasfert de la chaîe directe ar la chaîe de retour. La foctio de trasfert e boucle ouverte a ue grade imortace das l'étude de la stabilité des systèmes ; de lus, elle est directemet accessible à la mesure. 3

21 - 5 - Ifluece de la charge sur la foctio de trasfert d'u système asservi Jusqu'ici, ous avos suosé que l'asservissemet foctioait à vide ou du mois que le travail qu'il fourissait 'avait as d'ifluece sur so comortemet. E ricie, si le système est bie coçu, cette ifluece e eut être cosidérée que comme ue erturbatio extere et le système sait réagir cotre ce gere d'eui. E fait, si o désire obteir des erformaces de qualité, il faut teir comte de cette ifluece surtout e régulatio. Pour e teir comte, il suffit d'ajouter au schéma gééral u élémet agissat au iveau de la sortie, comme élémet de erturbatio. O aboutit au schéma de la fig. 7. u C() E ε A() _ S ' S B() Fig. 7 : Prise e comte des erturbatios extere sur u système asservi L'élémet erturbateur agit avat la mesure de la sortie (sio, il 'y aurait lus régulatio). E aliquat le ricie de suerositio, o voit que : S() = A(). ε() C(). u() où C() est la foctio de trasfert de la charge et u la gradeur de charge. Or ε() = E() S '() = E() B(). S() S() = A(). [ E() B(). S() ] C(). u() d'où : S() = A().E() C().u() A().B( Foctio de trasfert d'u système à boucles multiles Il existe des systèmes comlexes où l'o recotre, o seulemet ue chaîe de retour riciale, mais u grad ombre de chaîes de retour secodaires. Das ces asservissemets, il y a lusieurs régulateurs ou servomécaismes das ue chaîe. La figure 8 e doe u exemle. 4

22 Y Y Y3 E _ A _ A _ A3 _ A4 A5 S B B4 B6 B5 Fig. 8 : Exemle de système asservi à boucles multiles Le calcul de la foctio de trasfert d'u tel système eut araître comliqué. Pour meer à bie ce calcul, il faut utiliser l'artifice suivat : au lieu de cosidérer la foctio de trasfert globale Y(), o cosidère so iverse / Y(). Y() = A() = B() A().B() Y() A() Das otre cas : B() = B 6 () trasmittace de la chaîe de retour A() trasmittace de la chaîe directe A() = A (). Y (). Y () E aliquat la même rocédure, o a : = B Y A, = B 5 Y A 3Y3 A5, = B 4 Y 3 A 4 = A AY Y = B B5 B4 A A A3A5 A4 Soit : Y() = B 6 B B5 B4 A A A3A5 A4-7 - Formes géérales de la Foctio de Trasfert d'u système liéaire Soit u système asservi reréseté ar sa foctio de trasfert de forme géérale suivate : B H() = A m m... B =... A N() D() Si N() et D() ot des racies alors : N() = B m [( z )( z ).( z m )] ou N() = B m ( z i ) D() = A [( )( ).( )] ou D() = A = m i= j ( j ) 5

23 H() s'écrit alors : H() = B A m m i= j= ( z ) ( ) i j Avec : m < our u système réel * les racies du umérateur sot aelées " zéros de la foctio de trasfert ", * les racies du déomiateur sot aelées " ôles de la foctio de trasfert ", O ose : k = B A m et K = m i= j= ( z ) i k D'où : H() = ( ) j K m i= j= ( ) z ( i j ) K est aelé gai du système ou de la foctio de trasfert Das F() : * K caractérise le régime statique (ou ermaet) * m i= j= ( ) z ( i j ) caractérise le régime trasitoire (ou dyamique) Exemle : F() = 6(-.) (.5)( ) 4 * Gai de la FT : 6 * Pôles : (double),, ±j (quadrule).5 * Zéros : (double) Autres formes d'écriture * Si F() 'admet as de facteur e : a a F() = K b b K : gai statique * Si F() admet u facteur e au déomiateur ( itégratio) : F() = K a a b b (système astatique d'ordre ) K : gai e vitesse * Si F() admet u facteur e au déomiateur ( itégratios) : F() = K a a b b (système astatique d'ordre ) K : gai e accélératio 6

24 - 8 - Règles de trasformatio des schémas foctioels D'ue maière géérale, our simlifier u bloc foctioel il est souvet lus judicieux de délacer les oits de coexio et les comarateurs (ou additioeurs), d'iter-chager ces deriers, uis de réduire les boucles iteres. Schéma foctioel origial Schéma foctioel équivalet. A B A B C A BC A C AC B A BC. A C B A BC A B A B C A BC 3. A A.G A.G.G G G A A.G A.G.G G G 4. A A.G A.G.G G G A G.G A.G.G 5. A G G A.G A.G A.G A.G A G G A.G A.G 6. A G A.G B A.G B A A G B G B G G A.G B B 7

25 7. A B A B G A.G B.G A B G G A.G B.G A.G B.G A G A.G A G A.G 8. A.G G A.G 9. A G A.G A A G A.G G A A.G A A B B A B. B A B A A B. A G G A.G A.(G G ) A.G A A.G A A.G B A.(G G ) G G A.G. A G G B A G G G B 3. A G G B A G G.G B 4. A G G B A G G.G B 8

26 - 8..a - Exemle de réductio successive d'u schéma foctioel Soit à réduire le schéma foctioel suivat : H R C G H G G 3 E aliquat la règle 6, uis la règle, o obtiet : H G R C G G G 3 H Règle 4 : H G R G.G G.G.H G 3 C Règle 3 : R G.G 3 G.G.H G.G.H.G 3 C Règle 3 : R G.G.G3 G.G.H G.G.H 3 G.G.G 3 C 9

27 Uiversité Libaaise, IUT Saida, ème aée, Géie Idustriel et Maiteace 4/5 Régulatio et asservissemets Rerésetatio das l esace d état Khaled Fawaz Esace D état Méthode alterative de modélisatio d u système autre que: Les équatios différetielles Les foctios de trasfert Cette méthode utilise les matrices et les vecteurs afi de reréseter les aramètres et les variables d u système asservis.

28 Pourquoi la rerésetatio das l esace d état Plus facile our les ordiateurs de réaliser des calcules matricielles. MATLAB réalise tout le calcul sous forme matricielle. Maiulatio des systèmes MIMO Fouris lus d iformatio sur le système. Fouris lus de coaissace sur les variables iteres (les états). 3 Pourquoi la rerésetatio das l esace d état L idée de base des rerésetatios d état est que le futur d u système déed de so assé, de so réset et de ses etrées : le futur eut alors être décrit à artir d u esemble de variables bie choisies. L aalyse a lieu das le domaie temorel (au lieu du domaie fréquetiel de la rerésetatio de Lalace) 4

29 La otio d état O défiit l état d u système à l istat t comme l iformatio sur le assé écessaire et suffisate our détermier l évolutio ultérieure du système quad o coaît, our t > t, les sigaux d etrée et les équatios du système. 5 Itroductio à la otio d'état 6

30 Itroductio à la otio d'état 7 Itroductio à la otio d'état 8

31 Rerésetatio d état d u système 9 Rerésetatio d état d u système

32 Rerésetatio d état d u système Rerésetatio schématique du modèle d état

33 Rerésetatio du modèle d état 3 Rerésetatio du modèle d état 4

34 Rerésetatio du modèle d état 5 Choix des variables d état 6

35 Choix des variables d état 7 Rerésetatio das l esace d état 8

36 Rerésetatio das l esace d état 9 Equatio d état foctio de trasfert

37 Equatio d état foctio de trasfert Equatio d état foctio de trasfert

38 Equatio de trasitio 3 Exemle: Rerésetatio d état Doer la rerésetatio d état des systèmes suivats: Dérivé la foctio de trasfert à artir du rerésetatio d état. () () (3) 4

39 Référece Cours Automatique, INSA Roue, K. GASSO 5

40 Chaitre 3 : METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS 3- - Itroductio Nous avos vu, das le chaitre récédet, qu'il était ossible coaissat les équatios différetielles, de détermier la foctio de trasfert d'u système. Mais il existe de ombreux cas où le système est u système idustriel mal défii et dot, à fortiori o e coaît as les équatios différetielles. Or, la coaissace de sa foctio de trasfert est très imortate our détermier ses erformaces et surtout sa stabilité. Il est doc imortat de mettre au oit des méthodes caables de résoudre le roblème. E gééral, o alique cette rocédure our détermier les foctios de trasfert des élémets qui etret das ue chaîe. La coaissace exérimetale ou mathématique de toutes les foctios de trasfert des élémets ermet alors de détermier la foctio de trasfert de l'esemble. Ces méthodes sot basées sur l'utilisatio d'etrées dites caoiques, faciles à mettre e œuvre das toutes les techiques (électrique, mécaique, hydraulique). O e déduit alors les différetes costates de la foctio de trasfert. Certais aareils dit aalyseurs de foctio de trasfert facilitet les mesures Etrées caoiques Echelo uité C'est ue foctio ulle our t < et costate et égale à our < t < (fig. 3 ). Cette foctio est aelée quelquefois u(t) (uité). Elle 'est as défiie our t = uisqu'il y a discotiuité à cet edroit. u(t) t Fig. 3 : Foctio Echelo Sa trasformée de Lalace est : L { u(t) } = Echelo de vitesse ( rame uité ) C'est ue foctio ulle our t < et qui varie liéairemet avec t our t (fig. 3 ). O l'exrime arfois sous la forme r(t) = t. u(t). Cette foctio est aelée échelo de vitesse ou rame, car sa vitesse de variatio est costate et égale à. 3

41 t.u(t) 45 t Fig. 3 : Foctio Rame O vérifie aisémet que sa trasformée de Lalace est égale à : L { r(t) } = E effet : L { r(t) } = t e t e.t. dt, o ose : u = t dv = dt du = dt v = e t Doc L { r(t) } = t e f (t) = e - t = Echelo d'accélératio Soit f(t) la foctio échelo d'accélératio, défiie ar (voir fig. 3 3) : f(t) = f(t) t u(t) our t < our t Fig. 3 3 : Foctio Accélératio t L { f(t) } = t t t e.. dt, o ose : u = dv = e t dt du = t.dt v = e t Doc L { f(t) } = D'où : t e f (t) =. L { r(t) } = 3 L { f(t) } = 3 3

42 Imulsio uitaire Ue imulsio est ue foctio du tems de durée très courte mais dot l'amlitude est suffisammet grade our que l'effet e soit sesible. L'imulsio est dite uitaire si la surface est égale à. O la ote δ(t) (fig. 3 4). δ(t) our t et t δ(t) = lim our < t < τ τ τ τ Toutes les imulsios, dot la durée égale umériquemet l'iverse de l'amlitude, sot uitaires si cette durée ted vers zéro. Pour t =, l'amlitude est théoriquemet ifiie. /τ t τ Fig. 3 4 : Foctio Imulsio δ(t) δ(t) est défiie ar : δ(t). dt = Elle est aelée aussi imulsio de DIRAC. (ce qui est équivalet à la surface uitaire) Calculos sa trasformée de Lalace. Pour cela, défiissos la foctio f(t) (fig. 3 5) telle que : f(t) f(t) = our our t < < t et < τ t > τ t τ Fig. 3 5 : Foctio f(t) f(t) eut être cosidérée comme la différece etre deux échelos uitaires dot l'u est décalé de τ : τ f(t) = u(t) u(t τ) L { f(t) } = L { u(t) } L { u(t τ) } = ( e ) Or : f(t) δ(t) = lim τ τ Doc ; L { δ(t) } τ = lim ( e ) τ τ = d ( e dτ lim τ d ( τ) dτ τ ) D'où : L { δ(t) } = 3

43 Etrée harmoique Elle est défiie ar (Voir fig. 3 6): f(t) f(t) = our t < A si( ωt ϕ) our t A t Fig. 3 6 : Sigal harmoique Sa trasformée de Lalace est : L { f(t) } =. si ϕ ω. cos ϕ ω car L {si ωt} = ω ω et L {cos ωt } = ω (Voir aexe B) Réose d'u système asservi aux etrées caoiques Réose du système à ue imulsio uitaire : réose imulsioelle Soit u système de foctio de trasfert H(). Aliquos sur so etrée ue foctio, e(t) = δ(t), c'est-à-dire ue imulsio uitaire. Sa sortie sera doée ar : S() = H(). E() Or : E() =, uisque L { δ(t) } =. Doc la trasformée de Lalace S() de la sortie corresod exactemet à la foctio de trasfert H(). S() = H() C'est aussi ue autre défiitio de la foctio de trasfert. O voit doc qu'ue méthode our coaître H() est de mesurer la réose à ue imulsio uité. La Fig. 3 7 motre deux tyes de réoses imulsioelles (selo la ature du système à exciter). s(t) s(t) t t Fig. 3 7 : Exemles de réoses imulsioelles Du oit de vue ratique, cette méthode résete quelques difficultés, car il est ratiquemet imossible de réaliser hysiquemet ue etrée δ(t). O se cotete, e gééral, d'ue imulsio de durée aussi courte que ossible mais fiie, d'où ue certaie imrécisio. Arès avoir evoyé cette etrée δ(t) arochée, o doit eregistrer, e foctio du tems, la réose s(t). Ce qui doe ue courbe qu'il faut 33

44 esuite iterréter. Si o veut l'exressio mathématique de la foctio de trasfert, o aroche cette courbe ar des morceaux de courbes corresodat à des foctios coues. Il faut alors redre la trasformée de ces foctios du tems our obteir la foctio de trasfert. Cette oératio, facile à décrire, est icotestablemet délicate à réaliser. Elle est bie etedu etachée d'erreurs, mais aucue autre méthode 'est arfaite Réose du système à u échelo uité : réose idicielle Pour allier aux icovéiets de la réose imulsioelle, il est lus facile, ratiquemet, d'utiliser comme etrée, u échelo uité. L'etrée du système est doc : e(t) = u(t), d'où E() = Sa sortie est alors : S() = H() C'est l'itégrale de la foctio de trasfert. Pratiquemet, l'essai est très raide, il suffit de faire asser l'etrée de à ue valeur costate edat u tems (doé) T uis de cette valeur à, et d'eregistrer la sortie e foctio du tems. E ricie, cette sortie doit être du même tye que l'etrée si le système est liéaire, c'est-à-dire qu'au bout d'u certai tems corresodat à la durée du régime trasitoire, la sortie doit rester costate. S'il e est autremet, le système 'est as liéaire (la réciroque 'est as forcémet vraie). Doc ce test ermet de savoir si o est e résece d'u système liéaire ou o. La Fig. 3 8 motre deux tyes de réoses idicielles (selo la ature du système à exciter). s(t) s(t) t t Fig. 3 8 : Exemles de réoses idicielles L'exloitatio des résultats our détermier la foctio de trasfert est beaucou lus laborieuse : Il faut décomoser l'échelo d'etrée e série de Fourier aisi que la réose de sortie e suosat que le héomèe a ue ériode T. Pour chaque fréquece élémetaire, o coaîtra les amlitudes de l'etrée et de la sortie, aisi que leur déhasage. O e déduit, à chaque fréquece, le " gai " et la " hase " du système. A ce stade, o se retrouve das le cas de la réose fréquetielle que ous allos étudier. Cette méthode écessite eu d'essais, mais beaucou de calculs. La méthode suivate (réose fréquetielle) écessite beaucou d'essais et eu de calculs. 34

45 Réose fréquetielle Plutôt que de faire ue décomositio mathématique des sigaux d'etrée et de sortie e foctios siusoïdales élémetaires, il est aaru lus simle d'aliquer à l'etrée du système ue etrée harmoique et de relever la sortie corresodate, ue fois le régime ermaet établi. O réète cette oératio e artat des fréqueces les lus basses jusqu'à des fréqueces suffisammet élevées our que la sortie du système soit égligeable. E effet, à artir d'ue certaie fréquece le système e " suit " lus les oscillatios que l'o voudrait lui imoser, exactemet comme le tyma qui e vibre lus audelà d'ue certaie fréquece. De ces mesures, o déduit, e foctio de la fréquece : S les amlitudes d'etrée et de sortie, doc le "gai" du système, qui est le raort G ( ω ) = E (S et E amlitudes maximales des sigaux siusoïdaux d'etrée et de sortie à la fréquece ω). la hase ϕ (ω). O rerésete esuite ces foctios de la fréquece ar des courbes qui sot, soit : e coordoées logarithmiques (la de Bode) e coordoées olaires (la de Nyquist) la courbe de hase (la de Black) De ces courbes, o eut déduire la foctio de trasfert et bie d'autres aramètres Rerésetatio de la réose fréquetielle Courbes de Bode et diagrammes asymtotiques La foctio de trasfert ouvat être assimilée à u gai comlexe, il suffit de tracer les courbes de variatio du module (ou gai) et du déhasage e foctio de la fréquece (ou de la ulsatio). E effet, tout ombre comlexe G(ω) = G( ω ).e jϕ( ω) a our logarithme : log {G(ω)} = log { G( ). e j ( ) ω ϕω } = log G( ω ) j ϕ(ω) Le logarithme d'u ombre comlexe se rerésetera doc ar deux valeurs : le logarithme du module qui sera la artie réelle et l'argumet la artie imagiaire. C'est sur ce ricie qu'est basée la courbe de Bode. Par exemle, si la foctio de trasfert est : Alors, e régime siusoïdal, = jω, et o aura : G() = T G(ω) = jϕ( ω) G( ω ).e = jωt avec : G(ω) = ( ωt) module ou gai et : G(ω) = arctg (ωt) hase ou déhasage Pour ue rerésetatio de Bode, o tracera les courbes suivates : Courbe de gai (Fig. 3 9) : Log G(ω) = log ( ωt) e foctio de (log ω) Courbe de gai (Fig. 3 ) : G(ω) = arctg (ωt) e foctio de (log ω) 35

46 ω log ω G = log G = log G(ω) Gai ω = log ω = log ω Affaiblissemet G = log G = Fig. 3 9 : exemle de courbe de gai our ue rerésetatio de Bode G(ω) log ω ω G ω G 9 Fig. 3 : Exemle de courbe de hase our ue rerésetatio de Bode 3-4..a - Diagramme asymtotique Das la luart des cas (ous réciseros ar la suite), il est iutile de tracer comlètemet la courbe de Bode (oit ar oit). O eut se coteter des asymtotes. O aelle diagramme asymtotique d'ue foctio de trasfert l'esemble des asymtotes à la courbe quad ω et quad ω. Les oits d'itersectio de ces asymtotes etre elles sot aelés oits de cassure. Etat doé l'utilisatio des logarithmes comme échelle, la récisio est suffisammet boe our que l'o uisse assimiler la courbe à ses asymtotes sauf au voisiage des oits de cassure. Si la courbe de gai eut être avatageusemet remlacée ar ses asymtotes, il 'e est as de même our la courbe de hase qui s'e écarte beaucou lus b - Raels : O aelle octave, l'itervalle qui séare ue fréquece f d'ue fréquece f =. f. Frachir ue octave c'est doubler la fréquece iitiale. O aelle décade, l'itervalle qui séare ue fréquece f d'ue fréquece f. =. f 36

47 Courbe de Nyquist ou lieu de Nyquist Le roblème est toujours le même, il s'agit de reréseter u ombre comlexe, variable avec la fréquece, c'est-à-dire trouver le lieu du oit d'affixe G( ω). défiit etièremet les roriétés du système. e jϕω ( ) quad ω varie de à. Cette courbe O la trace gééralemet e coordoées olaires. Comme our les courbes récédetes, il faut mesurer le gai et le déhasage du système. gai : O orte alors, our chaque valeur de ω, u rayo vecteur dot la logueur est égale au module du E G ( ω ) = et qui fait u agle ϕ (ω) avec l'axe des réels (Fig. 3 ). Quad ω varie, o obtiet ue S courbe graduée e ω. Imag. ω = ω = G(ω) ω = ϕ(ω) Réel ω = ω = 6 Fig. 3 : Courbe de Nyquist O comlète gééralemet cette courbe ar symétrie ar raort à l'axe réel our avoir sa rerésetatio quad ω varie de à. Cette artie de la courbe 'a, hysiquemet, aucu ses, mais il est écessaire de la tracer si o veut étudier mathématiquemet la stabilité de l'asservissemet. O eut aisi comléter la courbe arce que les coefficiets de l'équatio différetielle qui régit le héomèe sot suosés costats et réels. Comme les courbes de Bode, le lieu de Nyquist eut se tracer soit exérimetalemet, soit à artir de la foctio de trasfert si elle est coue, c'est ourquoi o l'aelle aussi " lieu de trasfert das le la de Nyquist " Courbe amlitude hase ou lieu de Black (ou Black Nichols) Le lieu de Black cocilie les avatages des courbes de Bode et ceux du lieu de Nyquist : la foctio de trasfert est rerésetée ar ue seule courbe et les échelles sot logarithmiques (Fig. 3 ). log G 8 ω = ω = 9 9 ϕ ω = 4 ω = Fig. 3 : Courbe de Black-Nichols 37