Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

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1 Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a ), doc f admet pour limite 0 e 0 (coséquece du théorème des gedarmes). O peut doc prologer f e 0 e posat : f(0) = 0. b. E apparaît e forme idétermiée (.0). Mais équivalet e doe : f ( ~. =, et f ted vers e. Cotiuité des foctios de variable réelle à valeurs das ou, foctios lipschitziees.. Soit etier relatif. Sur l itervalle ouvert ],[, la partie etière est costate doc la foctio est de la forme : a. Par opératios sur les foctios cotiues sur ],[, f y est cotiue. Etudios maiteat la cotiuité e :. Sur ], [, f vaut : f( = ( ), et f ted vers e par valeurs iférieures. Sur ],[, f vaut : f( =, et f ted vers e par valeurs supérieures. La foctio f est doc cotiue e. f est fialemet cotiue sur.. Il suffit d étudier la foctio itermédiaire g défiie par : [0,], g( = f(. Cette foctio g est cotiue sur [0,] par opératios. De plus : g(0) = f(0) 0 = f( 0, car : f(0) [0,], et : g() = f() 0, pour les mêmes raisos. Le théorème des valeurs itermédiaires garatit doc que g s aule sur [0,] doc que f y admet poit fie. 4. La même démarche que précédemmet doe le même résultat. E effet, pour la même foctio : g(0) = f(0) 0 = 0, g() = f() = 0, et g s aule ecore. 5. O peut idiquer que sius est dérivable sur, et :, si ( = cos(, d où le résultat (e utilisat le théorème des accroissemets fiis). O peut aussi écrire que : (,y) y y, si( ) si( y) =.si.cos, et : (,y) y y y y, si( si( y) =.si.cos.si. = y, e utilisat la propriété : α, si(α) α. 6. O commece par remarquer que :, u = 0 = f ( ) f (0) k. 0 = k.. O e déduit par récurrece que :, k.u0, et le théorème des gedarmes motre alors que (u ) ted vers 0, puisque la suite majorate ted ellemême vers 0. f ( 7. a. O peut réécrire l hypothèse faite sur f e : 0, <. f ( b. Pour : 0 < a < b, posos alors : g( =. Cette foctio g est cotiue (par opératios) sur [a,b] doc est borée sur ce segmet et e particulier et majorée sur [a,b], y admet e bore supérieure qui est atteite e e valeur c de [a,b]. Autremet dit : [a,b], 0 g( g(c) <, vu le résultat de la questio a. Chapitre 0 : Révisios d aalyse Eercices (Corrigé des idispesables). - -

2 Doc e posat : k = g(c), o a : [a,b], f( k.. Cette valeur k répod au problème puisque : 0 k <, sauf si : k = 0. Mais das ce derier cas, il suffit de remplacer k par, et o obtiet le résultat avec cette ouvelle valeur. Dérivabilité des foctios de variable réelle à valeurs réelles ou complees. 8. Notos f et g ces deu foctios. f est cotiue sur * par opératios. De plus, comme produit d e foctio borée et d e foctio qui ted vers 0 e 0, f ted vers 0 e 0, et comme f(0) est ulle, f est doc aussi cotiue e 0, doc fialemet sur. Deuièmemet, f est dérivable sur * pour des raisos similaires, et sa dérivée f est cotiue sur *. f ( f (0) Efi le tau d accroissemet de f e 0 vaut : *, = si, et ce tau 0 d accroissemet a pas de limite e 0 puisque si a pas de limite e ±. f est doc pas dérivable e 0. g est cotiue sur, et de classe C sur * pour les mêmes raisos. De plus : *, g ( =..si cos g( f (0) D autre part, le tau d accroissemet de g e 0 vaut : *, =.si, et ce tau 0 d accroissemet ted vers 0 e 0 (voir f). Doc g est dérivable e 0 et : g (0) = 0. Efi, g a pas de limite e 0 (du fait du cosius) doc g est pas cotiue e 0. Fialemet, g est que dérivable sur, C sur *. 9. a. Notos f, g et h les trois foctios proposées. Par opératios, elles sot de classe C sur. De plus :, e f ( =,. e. e g ( = = = =. sh ( ch ( e th h ( =. =.. th b. O travaille sur (qui est itervalle) et :, g ( =.f (, et : h ( = f (. Doc : (C,C ),, g( =.f.( C, h( = f( C. π π E évaluat ces égalités e 0, o e déduit que : C =, C =. 4, 0. Soit :, fié. O va travailler par récurrece sur k, pour : 0 k. Tout d abord, f est cotiue sur (soit de classe C k, avec : k = 0). E effet, f est cotiue sur * et - * (comme polyômes) et : lim f ( lim = 0 = lim f ( = f (0) Chapitre 0 : Révisios d aalyse Eercices (Corrigé des idispesables) = Doc f est cotiue sur. Supposos maiteat que f soit de classe C k pour : 0 k <, et :, f (k) ( = ( ). ( k ). -k, - *, f (k) ( = 0. Alors f (k) est dérivable (et même de classe C ) sur * et - * comme polyômes. De plus : > 0, f (k) ( =.( ) ( k ). -k, et évidemmet f (k) est ulle sur - *. 0 0.

3 O costate alors que f (k) ted vers 0 e 0 par valeurs iférieures, de même par valeurs supérieures, puisque : k > 0. Doc f (k) est dérivable e 0, (f (k) ) (0) = f (k) (0) = 0, et f (k) est cotiue e 0 (théorème de prologemet C ). La foctio f est doc de classe C k sur, ce qui achève la récurrece. f est doc bie de classe C sur. Développemets limités.. Le premier développemet est élémetaire : l = l( = o( ), e 0, mais o peut aussi travailler soit avec e différece de l, soit avec dérivatio, développemet puis itégratio, soit e développat d abord das le l : je vous laisse juger de la méthode la plus efficace. Puis : l(cos() = l( o( )) = o( ), e 0, avec développemet composé e otat que le terme suivat das le développemet du l est bie o( ) e 0. O aurait égalemet pu commecer par dériver, développer, puis itégrer le développemet. O commece par chagemet de variable et o pose : = h. h O peut esuite écrire : = =, pour h au voisiage de 0. l( l( h) o( h ). a. Sur *, la foctio ted vers e 0 (où sa courbe présete e asymptote verticale) et e e ce qui correspod à e deuième brache ifiie pour sa courbe. c. Puis : > 0, f( = ( ). o =. o. Puisque [f( ( )] ted vers 0 e, la droite d équatio : y =, est asymptote à la courbe. De plus, puisque : [f( ( )] ~., et que cet équivalet est positif, [f( ( )] est à partir Chapitre 0 : Révisios d aalyse Eercices (Corrigé des idispesables). - - A l aide d e compositio de développemet, et avec celui de, e 0, o obtiet : u = = o( h ), pour au h voisiage de 0. l( o( h ) O commece par trasformer et :.l() ().l( =. l l( = l(.l, puis o développe l(u) à l ordre e 0, ce qui doe :.l() ().l( = l(. o = l( o, e..... O commece là ecore par trasformer et : π Arcta( = π π Arc ta = o = o, e (puisque : > 0).... O commece par remarquer que :, 0 <, et : 0 <. si Doc : (.si ) = ep =.l.si ep.l o = ep o(), e, et 6. 6 comme o() est e foctio qui ted vers 0 quad ted vers, la suite ted vers ep e utilisat 6 la cotiuité de l epoetielle.

4 d e certaie valeur, du même sige que cet équivalet, doc positif, et la courbe est au voisiage de l ifii au-dessus de cette asymptote. Suites eplicites, réelles ou complees. 4. Pour la première suite (décroissate miorée doc covergete), o peut simplemet dire que ( ) ted vers doc que la suite ted vers 0. La deuième peut être vue comme la somme de deu suites qui tedet vers 0 ou dire que : v ~. Pour la troisième, le plus simple est d écrire :.( ).( ) ~.( ).( ), et :, =, doc : w ~, et (w ) ted vers 0.! ( )! ( )! Pour la quatrième, o peut ivoquer le théorème des croissaces comparées et dire que la factorielle l emporte sur la suite (a ) das tous les cas, doc que la suite ted vers 0. O peut aussi dire que, pour : a = 0, (u ) est la suite costate ulle et que pour : a 0, o a : u a 0, =, doc ce quotiet deviet iférieur à à partir d certai rag. Autremet dit, la suite ( u ) est décroissate à partir d certai rag, miorée par 0 doc covergete. a Efi, si o ote sa limite L, alors : 0, u =., d où à la limite : L = 0.L = 0. Pour cette derière suite, o peut remarquer que : k, =. k.( k ) k k Doc :, v = =, et (v ) ted vers. k= k k 5. a. λ est solutio du problème si et seulemet si : ( a).λ = b, qui admet bie e ique solutio puisque : a. b Cette solutio vaut : λ =. a b. Si o pose comme proposé la suite (v ), alors par différece :, v = a.v, et (v ) est bie e suite géométrique. c. O e déduit que (v ) coverge si et seulemet si : a < (puisque par hypothèse : a ). Or (u ) coverge si et seulemet si (v ) coverge, doc (u ) coverge si et seulemet si : a <. Efi, si (v ) coverge elle coverge vers 0. b Coclusio : (u ) coverge si et seulemet si : a <, et das ce cas : lim u = λ =. a Suites récurretes liéaires, ou défiies à partir de : u = f(u ). 6. O commece par dire que :, u eiste et est positif, doc la suite est bie défiie. O peut aussi faire iterveir la foctio f défiie sur : a, dite foctio itératrice de cette suite récurrete, et puisque : u 0 =, et que est stable par f, la suite est bie défiie. f état croissate sur, la suite est mootoe, et comme : u = < = u 0, (u ) est décroissate. Si o e coaît pas ce résultat, o remarque que : u < u 0, et par récurrece :, u u. E effet, ce résultat est vrai pour : = 0, et si o le suppose vrai pour etier doé, alors e appliquat f (qui est croissate), o obtiet : f(u ) = u f(u ) = u, d où le résultat. la suite état décroissate et positive (c'est-à-dire miorée), elle coverge vers e limite L. efi, la foctio f état cotiue sur, e particulier e L, o passe à la limite das l égalité défiissat (u ) et o obtiet : L = f(l). Si maiteat, o résout l équatio : L = L, (avec : L 0), elle est équivalete à : L L =0, et o 5 coclut que : L =, c'est-à-dire le ombre d or φ. Remarques : o aurait pu illustrer cette suite par sa représetatio graphique. Chapitre 0 : Révisios d aalyse Eercices (Corrigé des idispesables)

5 puisque : u = = =... =... u0, cette écriture coduit au «résultat» classique : φ = Cette suite est e suite récurrete liéaire à deu termes. O sait (cours de sup) que les suites réelles vérifiat cette relatio de récurrece particulière formet espace vectoriel réel de dimesio. Pour e trouver e base, o résout l équatio caractéristique associée : r = r, et comme cette ± 5 équatio a deu racies réelles r et r, valat : r, =, e base est formée des suites (r ) et (r ). Autremet dit, la suite de Ficoaci est telle que : (A,B), (u ) = A.(r ) B.(r ). Pour trouver A et B, o utilise les valeurs de u 0 et u, ce qui coduit au système : = A B = A.r B.r. r r O obtiet doc : A =, et : B = 5, soit : 5 ( ) =.(( ) ( ) ). r r r r 5 O traite le cas gééral proposé e modifiat la valeur des costates A et B. Chapitre 0 : Révisios d aalyse Eercices (Corrigé des idispesables)