Exercices sur les limites de suites 1.

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1 Exercices sur les ites de suites. Détermier les ites des suites ci-dessous lorsque ted vers +. Exercice.. u cos. v. w si Exercice 5. 0, 7. u 0, + 0, 4. v w Exercice.. u +. v. w + Exercice 6.. u. O pourra motrer que pour tout o a.. v k k k0. w + + Exercice.. u v w si + Exercice 7.. u!.... v 0 cos. w k k0 k. Exercice 8. Exercice 4.. u +. v. w u + u das les cas u 0 puis u 0.. v + + u avec v 0.. w + w. O admet que cette suite est défiie et strictemet positive. Motrer que w est strictemet décroissate et coclure.

2 Élémets de correctio. Exercice.. u cos. La ite est ue forme idétermiée du type +. O factorise le terme domiat qui est ici. D où si 0 : cos cos u. par ecadremet du cosius o a alors : cos et doc cos. Grâce au théorème des gedarmes o a alors : d autre part o a + doc par produit :. v cos u. comme + par produit, il viet que par somme d autre part + doc par produit : v +. 0 et doc. w 899 si O procède à u ecadremet : + doc par quotiet des gedarmes o a : Exercice.. u + par quotiet et doc w Alors comme 90 cos. 0 par quotiet puis w 90. Or + o a + par somme et efi par quotiet : u. 0. D après le théorème. v. Comme + et +, par produit o a :. w Comme v +. w. 0 0 o e déduit par somme que :

3 Exercice.. u o a + ; o a. v par somme car 0 ; 0 ; et o a par somme car doc par quotiet : u O a o a + 4 ; et + 4 ; aisi que +, par quotiet et produit o a : v +.. w si. O a si doc + + doc par quotiet : o e déduit que : + + w 0 doc : +. O + 0. D après le théorème des gedarmes w. Exercice 4.. u + est ue forme idétermiée du type +. O va utiliser la quatité cojuguée de u : u Comme + + > o e déduit par comparaiso que Par quotiet o a doc : u 0.. v est ue forme idétermiée du type +. Le terme domiat est que l o factorise : v. le terme est ue suite géométrique de raiso < < doc o sait que 0. Alors par somme o a. le terme est ue suite géométrique de raiso > doc o a +.

4 Par produit o a aisi :. w o a 0 doc de même o a Par quotiet o a doc : Exercice v w. 0, 7. u 0, + 0, 4. 0, 7, 0, et 0, 4 sot des suites géométrique dot la raiso est comprise strictemet etre - et. Leur ite est doc ulle. La ite de u si elle existe est doc ue forme idétermiée du type 0. O factorise les terme domiats du umérateur et du 0 0, 7 0, 7 déomiateur : u 0, + 0, 4 0, 4 7 0,. 0, or comme < < o a 0 et doc 4 t ; t + 4 et comme 7 7 > o a +. 4 t + 4 Par quotiet o a doc : u +.. v O a alors 0 doc Comme o a d autre part : +, par produit o a :. w Dès lors e remarquat que quotiet que : v w 4. 0 o e déduit par produit, somme et Exercice 6.. Soit l hypothèse de récurrece H : Iitialisatio : o a 4 et 4 doc H est vraie. Hérédité : o suppose que H est vraie pour ue valeur de, c est à dire que > et o veut démotrer que H+ est vraie. + >. Or puisque.

5 Coclusio : pour tout o a. Dès lors u doc par comparaiso, puisque + o a : u +.. v k k0 est la somme des termes d ue suite géoémtrique de raiso. O sait doc que k : v +. Or + est ue suite géométrique de raiso > doc O a doc. w + +. Par coséquet : v. o a + et + car +. efi + o e déduit par produit et quotiet : + +. w +. Exercice 7.. u!... puisque le derier terme de ce produit de facteurs est. Dès lors comme +, par comparaiso o a : u +.. v 0 cos peut être ecadré puisque cos, doc cos et aisi : 0 0 cos 0 soit : 0, 0 cos 0,. 0, est ue suite géométrique dot la raiso est das l itervalle ] ; [ doc sa ite est 0. D après le théorème des gedarmes o a doc : v 0.. w k k0 k k k0 k + +. O a doc : w.

6 Exercice 8.. u + u das les cas u 0 puis u 0. a cas où u 0 : o a alors u. Par récurrece immédiate o motre que u pour tout. u. b cas où u 0 : o a u, u 7, u 5 et u 4. Motros par récurrece que u + +. Iitialisatio : u 0 doc H0 est vraie. Hérédité : o suppose que H est vraie pour ue valeur de, soit u + +. Dès lors : u Aisi H + est vraie. Coclusio : pour tout N o a u + +. alors comme + est ue suite géométrique de raiso > il viet que d où : u v + + u avec v 0. O peut motrer comme das la questio précédete que pour tout N o a : v. O a alors v +.. w + w. O admet que cette suite est défiie et strictemet positive. Motros que w est strictemet décroissate : w + w w w w w 0 w w w car o a admis que cette suite est strictemet positive. Dès lors la suite w est décroissate et miorée par 0, doc elle est covergete vers L 0. O verra ultérieuremet que L vérifie : L L c est à dire : L L + 0 L 0 L.

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