EXERCICES CORRIGES. Partie 1 : Suites numériques = 4

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1 EXERIES ORRIGES Parte : Sutes umérques Exercce : Ue sute arthmétque est telle que la somme de ses premers termes est égale à 8 et la somme de ses 6 premers termes est égale à alculer le 5 ème terme de cette sute. orrgé : Soet u le premer terme et R la raso de cette sute. Nous avos : ( u u) u u u u... u99 u 8 5(u 99R) Nous avos alors : u 99 R ( u u 6) u u u u... u59 u6 768 (u 59R) Nous avos alors : u 59 R 56 Sot à résoudre : u u 99R 46 u 59R 56 R 4 Le 5 ème terme de cette sute est doc égal à : u 5 u (5 ) R u 49 R 6 Exercce : Ue sute arthmétque de 6 termes est telle que la somme de ses 5 premers termes est égale à 5 4 et la somme des termes comprs, au ses large, etre le ème et le 4 ème terme est égale à 646. alculer le 5 ème terme de cette sute. orrgé : Soet u le premer terme et R la raso de cette sute. Nous avos : 5 5( u u 5) u u u u... u49 u5 54 5(u 49R) Nous avos alors: u 49 R 6 4 ( u u 4) u u u u... u9 u4 646 ( u 9R) Nous avos alors: u 9 R 6 Sot à résoudre : u 49R 6 u u 9R 6 R 4 Le 5 ème terme de cette sute est doc égal à : u 5 u (5 ) R u 4 R 46

2 Exercce : Détermer le 6 ème terme d'ue sute géométrque crossate dot le ème terme est égal à 8 et le 5 ème terme à 8. orrgé : Désgos par q la raso de cette sute. Nous pouvos écrre que u 5 u x q sot 8 8 x q d où q 6. La sute état crossate, ous e dédusos que la raso dot être supéreure à, la seule valeur acceptable pour q est doc 4. Le 6 ème terme est doc égal à 5 (u 6 u 5 x q 8 x 4) Exercce 4 : La somme des tros premers termes d'ue sute géométrque est égale à 5. Détermer cette sute sachat que le trosème terme est égal 9 fos le premer. orrgé : Désgos par u le premer terme de cette sute et q sa raso. Nous avos : u u u u ( q q ) 5 et u u q 9 u Nous e dédusos doc que, s u est o ul (ce qu est vérfé pusque la somme des tros premers termes est o ulle), q est égal à ou à Nous avos doc deux sutes soluto : G (u 4 ; q ) ou G (u 7,486 ; q ) Exercce 5 : Détermer la sute arthmétque A(u ; R) dot la somme des premers termes est égale à 55 et dot le ème terme est égal à 8. orrgé : u est le premer terme de cette sute et R sa raso. Nous avos : ( u u) u u u u... u9 u 55 5(u 9R) Nous avos alors: u 9 R 7. Et : u u ) R u R 8 : u R 8 ( Sot à résoudre : u 9R 7 u 4 u R 8 R 7 Exercce 6 : Ue sute arthmétque A(u ;R) est telle que so premer terme est strctemet postf et égal à sa raso. Quel est le rag du terme égal à fos le premer terme? orrgé : herchos l eter tel que : u u (égalté ) omme u u (-) R et u R, l eter vérfe u u (-) u u (égalté ) D où, (égalté et égalté ). Le ème terme sera doc égal à fos le premer. Exercce 7 : Ue persoe dot chosr etre deux cotrats d embauche, commeçat le er ju.

3 otrat : Le salare mesuel est DH pedat la premère aée et augmeté de 6 DH le premer ju de chaque aée otrat : Le salare mesuel est DH pedat la premère aée et augmeté de 5% le premer ju de chaque aée a) Doer la formule doat le salare mesuel (e DH) au cours de l aée uméro, sot M() pour le cotrat et M() pour le cotrat. O ote que M()M() DH b) Que vaudra le salare mesuel pour chacu des cotrats le er ju? orrgé : a) Pour le cotrat, la relato de récurrece etre M() et M() est : M() M() R, avec R 6 DH et M() DH Sute arthmétque de premer terme u DH et de raso R 6 DH M() M() M() M().. er Ju er Ju er Ju er Ju 9 Avec M() M() (- )R 6 (-) Pour le cotrat, la relato de récurrece etre M() et M() est : M() M() 5% M() (,5) M(),5 M(), avec M() DH Sute géométrque de premer terme u DH et de raso R,5 M() M() M() M().. er Ju er Ju er Ju er Ju 9 Avec M() M() x R - x,5 - b) Le er ju correspod à, ous avos alors : Pour le cotrat : M() M() (- )R 6 x 8 Pour le cotrat : M() M() R (- ) x,5 987,5 Parte : Itérêts Smples Exercce : La valeur acquse par u captal de 4 66 placés à térêts smples à,5% (auel) est égale, au bout d'u certa temps, à 4 77,7. Quelle est la durée du placemet?

4 orrgé : Désgos par la durée de placemet e aée(s) Nous pouvos écrre que : x x,5 477,7 Nous e dédusos as que,5. La durée de placemet est doc u quart d aée sot u trmestre Exercce : La dfférece etre l'térêt commercal et l'térêt cvl (aée o-bssextle) d'u captal placé à térêts smples à 5% pedat 6 jours est égale à,. Quel est le motat de ce captal? orrgé : Désgos par (e ) le captal cherché : L térêt commercal est : x 6 x.5/6 L térêt cvl est : x 6 x.5/65 Nous pouvos costater que l térêt commercal est supéreur à l térêt cvl d où l équato Le captal cherché est égal à 876 x 6 x.5/6 x 6 x.5/65. Exercce : Deux captaux dot la somme est égale à 6 sot placés, le premer pedat tros mos à 4,5%, et le secod pedat mos à 7%. L térêt rapporté par le premer captal st égal aux (7/56) ème de l térêt rapporté par le secod. alculer les deux captaux. orrgé : Soet X et Y les deux captaux cherchés. Nous avos le système suvat : X Y 6 X, Y X Y 6 X,7 Y X Y 4 Le captal placé à 4,5% est égal à et celu placé à 7% est égal à 4 Exercce 4 : U captal de est partagé e tros parts e progresso arthmétque, la premère part état égale aux (7/) ème de la trosème. es tros parts sot placées ue aée à térêts smples respectvemet à des taux e progresso géométrque décrossates dot la somme est égale à %. Les reveus auels des deux premères parts sot proportoels à 8 et à 7. a) alculer les tros parts et leurs taux respectfs de placemet b) A quel taux moye le captal de est-l placé? orrgé : Désgos par, et les captaux et R la raso de leur sute. Désgos par, et leur taux de placemet et q la raso de leur sute. a) La lecture de l éocé ous codut à la résoluto du système de 8 équatos à 8 coues suvat :

5 R R 7 ET 8 7, q q Nous pouvos commecer par résoudre le système formé par les 4 premères équatos qu e comporte que 4 coues : R R R E remplaçat et par leur valeur respectve, les quatre derères équatos formet le système suvat :,5,,6,, q q q Nous avos doc affare à tros captaux, le premer de 8 placé à %, le secod de 4 placé à 6% et le trosème de 4 placé à % b) Les tros captaux sot placés ue aée. L térêt total produt est doc égal à : x x x 8 x, 4 x,6 4 x, 66 S les tros captaux étaet placés au même taux, ls produraet le même térêt total, d où : x x x 8 x 4 x 4 x 66 Le taux moye de placemet est doc égal à 6,47% Exercce 5 : Tros captaux e progresso arthmétque sot placés ue aée à des taux e progresso géométrque. Sachat que : La somme des tros captaux est égale à 5, Le trosème captal est quadruple du premer, La somme des tros taux d térêts est égale à 6,4% L térêt rapporté par le deuxème captal est trple de celu rapporté par le premer, alculer les tros captaux et les tros taux.

6 orrgé : Désgos par, et les captaux et R la raso de leur sute. Désgos par, et leur taux de placemet et q la raso de leur sute. La lecture de l éocé ous codut à la résoluto du système de 8 équatos à 8 coues suvat : R R 4 5 ET,64 q q Nous pouvos commecer par résoudre le système formé par les 4 premères équatos qu e comporte que 4 coues : R R R E remplaçat et par leur valeur respectve, les quatre derères équatos formet le système suvat :,,44,, 9 75,64 q q q Nous avos doc affare à tros captaux, le premer de placé à %, le secod de 7 5 placé à % et le trosème de placé à 4,4% Exercce 6 : Deux captaux dffèret de 5 et le premer est placé à u taux féreur de % au taux de placemet du secod. Au bout de deux aées de placemet, les deux captaux ot acqus la même valeur. alculer les deux captaux et les deux taux sachat que le premer captal rapporte auellemet 57 orrgé : Les deux captaux ayat la même valeur acquse au bout de deux as et le taux de placemet du premer état féreur au taux de placemet du secod dquet que le premer captal est strctemet supéreur au secod. Désgos par et les deux captaux et leurs taux de placemet respectfs par et Nous arrvos au système de 4 équatos à 4 coues suvat :

7 5 ( ), 57 ( ) E remplaçat par 5 et par,, ous arrvos au système suvat :, Doc Doc,6 5 57/,9 45 Il est alors facle de trouver 8 75 et, Il s agt doc de deux captaux, le premer de placé à 9% et le secod de 8 75 placé à % Parte : Itérêts omposés Exercce : alculer la valeur acquse par u captal de 5 4 placés à 9% pedat as et 4 mos sachat que : a) la captalsato 'est qu'auelle b) la captalsato est cotue orrgé : a) S la captalsato est qu auelle, l ous faut travaller e térêts composés sur les tros premères aées et e térêts smples sur les quatre derers mos «'est la soluto ratoelle» La valeur acquse par ce captal au bout de tros as est égale à : 54 (,9) 7,DH Les térêts produts sur les 4 derers mos sot égaux à : 9 4 7,,96DH

8 e captal a doc acqus, das ces codtos, ue valeur de 7 4,97 au bout de as et 4 mos. b) S la captalsato est cotue «Soluto commercale» la valeur acquse par ce captal au bout de as est 4 mos est égale à : 4 54 (,9) 76,94DH Sot 7 6,94 Exercce : alculer le captal dot la valeur acquse au bout de 4 as est égale à 8 sachat que la captalsato est semestrelle et que le taux d'térêt semestrel est égal à 4,5% orrgé : Le taux état semestrel, le captal cherché est soluto de l équato : 8 (,45) 8DH 8 (,45) 8 e captal est doc égal à 5 65,48 Exercce : ombe faudra-t-l de temps pour qu'u captal de ,6 placé à % quadruple? orrgé : Désgos par le motat du captal cherché et par (e aées) la durée du placemet. Nous devos avor : (,) 4, 4 L(,) L4 L(4) L(,) Nous obteos as,4 Le captal doé quadruplera doc au bout d evro as et 4 mos ( jours!) Exercce 4 : U captal de, est placé pedat 9 as et 9 mos aux codtos suvates : % les cq premères aées; 4% les sept semestres suvats; 9% le reste du temps. alculer la valeur acquse par ce captal e f de placemet. orrgé : Atteto : Les taux doés sot auels (aucue précso) A la f des 5 premères aées le captal de a acqus ue valeur de : (,) 5 7 6,4 A la f des 7 semestres suvats, l aura acqus ue valeur de : (,) 5 (,4),5 7 6,4 (,4), ,7

9 (Remarquos que 7 semestres correspodet à ue durée de,5 aées : le taux état auel, ous sommes oblgés de covertr la durée e aée, so ous devos calculer le taux semestrel équvalet) Il reste alors a et mos de placemet sot,5 a de placemet. A la f du placemet, ce captal a doc acqus ue valeur de : (,) 5 (,4),5 (,9), ,7 (,9),5 48,47 Exercce 7 : U captal de, a ue valeur acquse égale à 4, au terme de 4 as et 4 mos. A quel taux état placé ce captal? orrgé : Désgos par le taux d térêt cherché. Nous avos : ( ) 4 ( ) 4,949 9,44% Le taux de placemet de ce captal est doc égal à 9,44% Exercce 8 : alculer le captal dot la valeur acquse au bout de as est égale à 5,, sachat que la captalsato est semestrelle et que le taux d'térêt est égal à 9% orrgé : Atteto : Le taux doé est auel (aucue précso) Le taux d térêt doé est u taux auel (aucue précso) et as correspodet à u ombre eter de semestre. E désgat par le captal cherché, ce captal est soluto de l équato (,9) 5 Le captal cherché est doc égal à 5(,9) 86,9 Exercce 9 : U captal de fracs est placé au taux pedat aées. Sachat que : Les térêts produts au cours de la deuxème aée de placemet s'élèvet à 7 8, ; Les térêts produts au cours de la trosème aée de placemet s'élèvet à 8 66,4 ; Le total des térêts produts au cours des aées de placemet s'élèvet à 4 764,85 ; alculer, et orrgé : Les térêts produts au cours de la ème aée de placemet sot égaux à la dfférece etre les valeurs acquses e f de ème et e début de ème (sot e f de ère ) aée de placemet : 7 8, ( ) - ( ) ( ) () Les térêts produts au cours de la ème aée de placemet sot égaux à la dfférece etre les valeurs acquses e f de ème et e début de ème (sot e f de ème ) aée de placemet : 8 66,4 ( ) - ( ) ( ) [ ( ) ]x ( ) 7 8, ( ) D après l égalté () Nous trouvos as 8% et (e utlsat ())

10 Les térêts produts au cours des aées de placemet sot égaux à la dfférece etre la valeur acquse e f de placemet et le captal tal : ( ) ,85 omme ous coassos et, ous arrvos à l équato : (,8),78 D où 7 Il s agt doc d u captal de placé pedat 7 as à 8% Parte 4 : Taux proportoels, Taux équvalets, Taux moye de pluseurs placemets Exercce : alculer les taux suvat : a) taux mesuel proportoel au taux auel % b) taux mesuel équvalet au taux auel % c) taux semestrel équvalet au taux mesuel % d) taux mesuel équvalet au taux semestrel 6% orrgé : a) omme das ue aée, l y a mos, pour passer du taux auel au taux mesuel proportoel, l sufft de dvser ce taux auel par. Le taux mesuel proportoel au taux auel % est doc égal à % b) Nous pouvos remarquer que s ous captalsos u captal mesuellemet à % mesuel, ous devos lu applquer u coeffcet multplcateur égal à, (sot,68). e taux mesuel de % est doc pas équvalet au taux auel % (coeffcet multplcateur,) Le taux mesuel équvalet à % auel est doc tel que ( ), e taux mesuel équvalet à % auel est doc égal à,949,949% Remarque : que s ous multplos ce taux mesuel équvalet par, ous trouvos,9% (féreur à %). e derer taux est appelé taux auel payable mesuellemet (e gééral, ce taux est désgé par j ) c) Pour arrver à u semestre, l faut effectuer 6 captalsatos mesuelles. E désgat par le taux semestrel, ce taux est soluto de l équato (,) 6 ( ) Le taux semestrel équvalet à % mesuel est doc égal à,66,6% d) E utlsat la même remarque que c-dessus et e désgat le taux mesuel équvalet par, ce taux dot être soluto de l équato ( ) 6,6. Le taux mesuel équvalet au taux semestrel 6% est doc égal à,976,98% Exercce : Tros captaux sot placés à térêts smples le 5 ma de l'aée N mas à des codtos dfféretes : le premer : 77 à,5% jusqu'au 5 ju de l'aée N; le secod : 46 à 8,4% jusqu'au jullet de l'aée N; le trosème : 46 à 6,5% jusqu'au 8 août de l'aée N.

11 alculer le taux moye applcable à ces tros placemets, c'est-à-dre le taux uque qu, applqué aux tros captaux et pour leurs durées respectves de placemet, doerat le même motat d'térêt total orrgé : Désgos par le taux auel moye cherché. aptal Taux Durée (e jours) Itérêts Itérêts (avec ) 77, /6 774/6 46, /6 4666/6 46, /6 4695/6 Nous arrvos as à l équato : 77 4, , , Nous obteos alors : m 77 4, , ,65 49,66,776 7,76% Le taux moye cherché est égal à 7,76% Parte 5 : Escompte commercal, Équvalece de captaux Exercce : U effet de 5 escompté à % le octobre a ue valeur actuelle de 46,7. Détermer la date d'échéace de cet effet. orrgé : Désgos par J la durée d escompte e jours. omme re est précsé, ous utlsos la procédure de l escompte commercal : l escompte «c'est-à-dre l térêt» est calculé sur la base de la valeur omale et o la valeur actuelle «escompte ratoel» (vor exercce ) Nous avos doc : J jours 46,7 5 % octobre?

12 Valeur escomptée (ou actuelle) au octobre : J, J, VE 5( ) 46,7 5 46, O a alors : J, 66, 6 66, 5 J 6 5, L échéace de cet effet se stue doc jours après le //, sot le févrer Exercce : U effet de 4 est escompté pedat 9 jours. Par erreur cet effet est escompté ratoellemet et, de ce fat, sa valeur actuelle est supéreure de, à ce qu'elle aurat dû être e escompte commercal. Détermer le taux d'escompte. orrgé : S la valeur actuelle ratoelle Vr est supéreure de, à la valeur actuelle commercale Vc, c est que l escompte commercal Ec est supéreur de, à l escompte ratoel Er Atteto : l escompte commercal est calculé sur la valeur omale d u effet alors que l escompte ratoel est calculé sur sa valeur actuelle. E désgat par le taux d escompte, ous avos : Escompte commercal: (o retrache l escompte calculé sur la valeur omale : comme das le cours de Maths-F) 9 jours Vc, 4?? 9 E 4 9 () Avec V 4 E 4 ( ) ( bs) 6 6 Escompte ratoel: cours de comptablté) (o ajoute l térêt calculé sur la valeur actuelle : comme das le 9 jours Vr 4??

13 Er Vr 9 () Avec V r E r 4 ( bs) 6 O a alors : () doe : E 5 () () doe V r E 4 r 4 Er 4 E remplaçat das ( bs) : Er 4 Er ( ) 4 O obtet alors : 4 E r ( bs) 4 Sachat que das cet exercce, l escompte commercal Ec est supéreur de, à L escompte ratoel Er, doc e utlsat () et ( bs) : 4 Ec - Er, 5, 5,,5 4 Équato du secod degré à résoudre. O trouve : 6,869, 57 Deux solutos possbles pour :,% ou -,8% U taux est ue quatté postve, o retet comme soluto le er taux. Falemet : Le taux d escompte applqué est égal à,% Exercce : U effet de commerce de 5 au ju est remplacé par u effet au août le 5 ma. Sachat que le taux d'escompte est égal à,5%, calculer le omal de l'effet de remplacemet. orrgé : Désgos par X la valeur omale de l effet de remplacemet. S l effet de valeur omal 5 et l effet de X sot remplacés l u par l autre le 5 ma, cela sgfe qu à cette date ls ot la même valeur actuelle. 46 jours 89 jours VE VE 5 X,5% 5 ma ju aout Équato d équvalece au 5 ma : 5,5 46 VE VE 5 X 6 X,5 89 6,5 46,5 89 Nous avos alors : 5 ( ) X ( ) X 66, 9 6 6

14 Le omal (ou valeur omale) de l effet de remplacemet est égal à 66,9 Exercce 4 : U effet au 5 octobre escompté le 7 jullet à % a ue valeur actuelle égale à 884. Détermer le omal de cet effet. orrgé : 9 jours 884? % 7 jullet 5 octobre Du 7 jullet au 5 octobre, l y a 9 jours. Désgos par la valeur omale de l effet, ous pouvos écrre :, ( ) 94,7 6, 9 6 La valeur omale de l effet est doc égale à 94,7 Exercce 5 : Tros effets sot escomptés le ma à 5% : le premer de 54 au ju; le deuxème de au 5 jullet; le trosème de 9 au août. Le jour de la égocato, ces tros effets sot remplacés par u effet uque. a) Détermer la date d'échéace de cet effet uque s so omal est égal à 6 orrgé : Du ma au ju, l y a 5 jours, du ma au 5 jullet, l y a 66 jours et du ma au août, l y a jours. J? VE 5 jours 66 jours jours VE % Ma ju 5 jullet août Remarque : O peut mettre J avat ou après les autres dates, le calcul par la sute doera la valeur exacte de J, le but du le schéma est uquemet de ous ader à la mse e équato, c'est-à-dre écrre l équato d équvalece

15 S les tros effets taux (e bleu sur le schéma) sot remplacés par u effet uque le ma, c est que la somme de leurs valeurs actualsées à cette date est égale à la valeur actualsée à la même date de l effet uque (e rouge sur le schéma) Nous pouvos doc écrre que, e désgat par J le ombre de jours d escompte cocerat l effet uque : 5,5 66,5,5 J, Nous e dédusos as que J,8, sot jours La date d échéace de l effet de remplacemet est doc le ma b) Détermer la date d'échéace de cet effet uque s so omal est égal à 69. orrgé : Équato d équvalece, e désgat toujours par J le ombre de jours d escompte cocerat l effet uque : 5,5 66,5,5 J, Il faut remarquer c que la valeur omale de l effet de remplacemet est égal à la somme des valeurs omale des effets remplacés ( ) L équato à résoudre peut doc se smplfer : () J J 7, 4 Sot 7 jours La date d échéace de l effet de remplacemet est doc le jullet c) Quelles sot, das ce cas, les doées utles de l'éocé? Remarquos que ous avos pu smplfer par le taux d escompte, la doée du taux d escompte est doc utle das ce cas Remarquos égalemet que, s ous dmuos arbtraremet les ombres de jour d escompte de X jours, l équato () aura toujours la même soluto : 54 (5 X ) (66 X ) 9 ( X ) 69 ( J X ) J 7,4 La date où a eu leu le remplacemet ( ma) est doc utle : ous pouvos chosr mporte qu elle date etre le ma et le ju comme date d équvalece. Exercce 6 : U effet a, le avrl, ue valeur actuelle de 5,54. S cet effet avat été escompté jours avat so échéace, le motat de l'escompte aurat été féreur de 5,85. Détermer la date d'échéace et la valeur omale de cet effet sachat que le taux d'escompte est égal à % orrgé : Désgos par la valeur omale de cet effet et par J le ombre de jours séparat le avrl de sa date d échéace. j jours 6 5,54 5,54 5,85? % avrl jours date d échéace

16 S cet effet avat été escompté jours avat so échéace, sa valeur actuelle aurat été égale à 5,54 5,85 79,9 (lorsque l escompte dmue de x, la valeur actuelle augmete de x) Nous arrvos as au système : J, ( ) 5,54 6 9,, J 9 ( ) 79,9 6 Il s agt doc d u effet de 9, échéat 9 jours après le avrl, sa date d échéace est doc le 9 jullet Parte 6 : Autés Exercce : Pedat aées, ue persoe place, le premer jullet, ue auté de a euros au taux auel. alculer la valeur acquse par cette sute mmédatemet après le derer placemet. orrgé : Il s agît de doer l expresso de la valeur acquse d ue sute de placemets costats de valeur a au taux. O demade la valeur acquse mmédatemet après le derer versemet, doc c est la formule de f de pérodes : ( ) V a Exercce : Ue persoe emprute u captal de X euros remboursables par versemets auels costats et mmédats de a euros calculés au taux. Trouver ue relato etre X,, et a. orrgé : Il s agît d u emprut, doc l faut peser valeur actuelle. E plus, les remboursemets état costats et mmédats, l s agît de la formule de f de pérodes : ( ) V a. Exercce : U captal de 5 empruté à 6% est amort par le versemet d'ue sute de 48 mesualtés costates et mmédates. Détermer la mesualté sachat qu elle est égale au ème de l auté. orrgé : V ( ) a () Remarque : à propos de l applcato de la formule c-dessus : l faut qu elle sot homogèe, c est-àdre : s a désge la valeur des remboursemets par pérode, est le taux d térêt par pérode et est le ombre de pérodes. (Exemple : a mesualté, le taux mesuel et est le ombre de mos).

17 O vous propose c de calculer la mesualté e la cosdérat comme le douzème de l auté. O vous suggère mplctemet de calculer l auté a et d e dédure la mesualté m (ma/). De la relato () o tre : V ( ) 5,6,6 a 4 48,87 Doc : m a 48,87 6,74 (48 mos 4 as) Exercce 4 : U captal de 8 empruté à 7% est amort par le versemet d'ue sute de 6 mesualtés costates et mmédates. Détermer la mesualté par u calcul drect. orrgé : Das cet exercce, o demade de détermer par u calcul drect la mesualté m. omme o a vu das l exercce précédet, m état ue mesualté, m dot être le taux mesuel et dot s exprmer e mos. V m ( Reste à calculer m (e pas oubler qu l s agt du taux mesuel équvalet) : m m ) Et doc : Doc V ( ) m ( ) ( ) m ( m ) 6 ( ) (( ) ) 8 (,7 ( ),7 m m 6 V m ) 46, Exercce 5 : U partculer place, sur u compte lu rapportat 4%, 6 autés de. alculer le captal dspoble sur ce compte aées après le derer versemet. orrgé : La valeur acquse mmédatemet après le derer versemet est : V ( ) a Deux aées après le derer versemet, ce captal V devet V :

18 6 ' ( ),4 V V ( ) a ( ),4 448,455,4 Exercce 6 : haque début d'aée, u partculer place, sur u compte lu rapportat 5,5%, u captal de 5 (Nombre de versemets : 4). q aées après le derer versemet, l retre et ue aée plus tard 5. L'aée suvate, l décde de clôturer so compte. alculer le motat du derer retrat. orrgé : pérode) : Immédatemet après le derer versemet, la valeur acquse est : (f de ( ),55 V a 5 65,4,5 4 5 aées après, la valeur acquse devet : V ' V 5 ( ) 5 Après le retrat de, la ouvelle valeur est : V ( ) 5 L aée suvate, cette somme devet : [V ( ) ] ( ) 5 Après le retrat de 5, la ouvelle valeur est : [V ( ) ] ( ) 5 A la clôture du compte l aée suvate, la somme retrée est : 5 ([V ( ) ]( ) 5 ) ( ) V ( ) ( ) 5 ( ) 7 65,4,55 7,55 5,55 46,6 Exercce 7 : U captal de 6 9,8 empruté à 8% est amort par le versemet d'ue sute d'autés costates de, sute dfférée de aées. alculer le ombre d autés amortssat cet emprut. orrgé : Il s agt d u emprut avec dfféré de as ; la valeur de cet emprut est doc V ( ) p a ( ) avec p Il s agt de détermer, coassat V, et a. V ( ) a ( ) p ( ) V ( ) a p ( ) V ( ) a p V ( ) l( ) l( a p V ( ) l( ) a l( ) p )

19 69,8,8,8 l( l,8 ) et emprut sera doc remboursé e as Exercce 8 : alculer le motat d u emprut amort par le versemet de autés mmédates calculées à 7,9%. Le motat des autés augmete de % par a (la premère est égale à ) orrgé : Désgos par a le er remboursemet : Les douze remboursemets sot : (mmédats doc e f de pérode) a ;,a ;, V a( ) a( ) a( ),79 [,( ), ( )..., ( ) ], [ a ;, a ;...;,,a( ), a, a( ),...,,79 q [ q q... q ] 495,57,79..., q,79 a( ), ; posos q Parte 7 : Amortssemet des empruts dvs,,79,,79 Exercce : Ue persoe emprute remboursables e 5 as par le versemet d'autés calculées à % ) La procédure utlsée est celle des amortssemets costats : a) Établr le tableau d'amortssemet de cet emprut b) Quelle est la lo suve par les autés? c) Motrer que la valeur actualsée de la sute d'autés remboursat cet emprut ue pérode avat le versemet de la premère auté est égale au captal empruté.

20 ) La procédure utlsée est celle du remboursemet fal avec costtuto d'u fods d'amortssemet : a) Établr le tableau d'amortssemet de cet emprut b) Motrer que la valeur actualsée par la sute d'autés remboursat cet emprut ue pérode avat le versemet de la premère auté est égale au captal empruté. ) La procédure utlsée est celle du remboursemet par autés costates a) Établr le tableau d'amortssemet de cet emprut b) Trouver ue relato etre les amortssemets successfs orrgé : ) Les amortssemets état costats, leur ombre est 5 et leur somme est le captal empruté, chacu d etre eux vaut doc a) D où le tableau d amortssemet : (o complète la lge : o calcule I, pus l auté A, o passe esute à la lge, etc. ) Pérode Itérêt (calculé sur le captal dû) Amortssemets (costats) Autés (Itérêt Amortssemet) aptal dû, 8 9 6, , , , 4 b) Nous remarquos que le captal restat dû dmue de à chaque fos, les Itérêts dmuet doc de, x 4. Les autés suvet doc ue progresso arthmétque de raso 4 (car les autés sot égales à la somme des térêts et des amortssemets, les amortssemets sot costats et les térêts dmuet de 4, doc les autés dmuet auss de 4) c) E effet :, - 9 6, - 7, - 4 8, -4 4, -5 ) a) Le remboursemet état fal, tous les amortssemets sot uls sauf le derer qu est égal au captal empruté. Pérode Itérêt (calculé sur le captal dû) Autés (Itérêt Amortssemet) aptal dû Amortssemets,,,,,,,,, 4,,, 5,,, b) E effet :, -, -, -, -4, -5 ) Vor exemple traté das le cours «remboursemet par autés costates» a) Tableau d'amortssemet : (o peut utlser la méthode rapde décrte das le cours et qu e cocere que le cas partculer du remboursemet par autés costates) L auté costate a est soluto de l équato :

21 , a, 5 a 774,97 D où le tableau d amortssemet : Pérode Itérêt (calculé sur le captal dû) Amortssemets (auté - Itérêt) Autés (costates) aptal dû, 5 74, , ,,8 7 69, , , , , , , ,4 4,9 7 74, ,7 97, ,7 7 74,97 b) S les autés sot costates, les amortssemets sot e progresso géométrque de raso ( ) (Vor cours) Exercce : La ozème auté remboursat u emprut se décompose as : amortssemet : , térêt : 57,48 Sachat que le taux d'térêt de cet emprut est égal à 5,75% et que les autés sot costates, calculer le motat du captal empruté et le ombre d'autés de remboursemet orrgé : Nous avos vu das le cours que s les autés sot costates, les amortssemets sot e progresso géométrque de raso ( ). Nous avos doc : M , M x,575 d où M 44 98,9 L auté costate état égale à : M I,68 M I, ous obteos I 65 5,59 e premer térêt état calculé sur le captal empruté D, ous arrvos à : D, Nous savos que le total des amortssemets est égal au captal empruté, ous avos doc, comme ces amortssemets sot e progresso géométrque de raso ( ) : D M ( ) D M ( ) l( ) l( ) Nous obteos as 6 Il s agt doc d u captal de remboursé par le versemet de 6 autés costates calculées à 5,75% Exercce : Ue Socété cotracte u emprut amortssable e as par le paemet d'autés costates et mmédates. a) Sachat que les ozème et douzème amortssemets se chffret respectvemet à 5 74 et ,, calculer le motat du captal empruté. b) ette Socété décde de payer e ue seule fos, au début de la ème aée, le captal D M

22 restat dû à ce momet. alculer le motat de ce versemet. orrgé : a) Nous savos que s les autés sot costates, les amortssemets sot e progresso géométrque de raso ( ) Doc M M x ( ) sot , 5 74 x ( ) d où, % Nous e dédusos égalemet que M M x, ,54 Le total des amortssemets est égal au captal D empruté : D M M... M M ( ( )... ( ) 9 ) M ( ) O obtet alors :, D 8678,54 5, La Socété a doc empruté 5 à % b) E début de la ème aée, la Socété a déjà payé autés. Le captal restat dû à ce momet est doc égal au captal empruté dmué de la somme des premers amortssemets ou, ecore, la somme des 8 derers amortssemets. D (M M... M ) D M ( ( )... ( ) ) D M ( ) Ou ecore : M M 4... M 9 M M 7 ( ( )... ( ) ) M ( ) 8 Nous trouvos as 59 67,84 E début de ème aée, la Socété fera u versemet de 59 67,84 pour amortr complètemet so emprut. Exercce 4 : Le tableau d'amortssemet d'u emprut remboursable par autés costates et mmédates dque que : térêts payés l'avat derère aée : 6,4 térêts payés la derère aée :, dfférece etre les térêts payés la premère et la deuxème aée : 4, Retrouver toutes les caractérstques de cet emprut: taux, auté, premer amortssemet, captal empruté et durée de l'amortssemet. orrgé : L térêt payé la derère aée I est calculé sur l avat derer captal dû D -, lu même égal au derer amortssemet M (le derer reste dû est ul : D )

23 L térêt payé l avat derère aée I - est calculé sur le captal dû D -, lu même égal à la somme des deux derers amortssemets M M - (le derer reste dû est toujours ul) -dessus représete le ombre d autés remboursat cet emprut. Les autés sot costates, doc les amortssemets sot e progresso géométrque de raso ( ) Nous arrvos as au système suvat ( représete le taux auel) : I, M I 6,4 (M M M ( ) M M 656,76 ) M 5586,9,7 L auté costate est doc égale à : a M I M I 7648,7 L térêt I payé la premère aée est calculé sur le captal total empruté D et l térêt I payé la deuxème aée est calculé sur le captal D dmué du premer amortssemet M. Nous avos doc I D et I (D M) Nous arrvos as à l équato : I - I M 4, doc M 548,4 L auté costate état égal à 7 648,7, ous obteos alors I 5 99,66 et doc D 9 998, Nous avos égalemet M M ( ) - sot 6 56,76 548,4 x,7-7 d où Il s agt doc d u captal de empruté à 7% et remboursé par le paemet de 7 autés mmédates et costates d u motat de 7 648,7 Exercce 5 : U dustrel emprute le er javer 8 u certa captal qu'l dot rembourser e autés costates à partr du er javer 9. La somme des deux premers amortssemets est égale à 8 5,7 et la somme des ème et ème amortssemets est égale à 649,99. alculer toutes les doées de cet emprut orrgé : Nous avos, e désgat par le taux d térêt de cet emprut : M M 8 5,7 et M M 649,99 Les autés sot costates, les amortssemets sot e progresso géométrque de raso ( ), doc : M M (M M )( ) sot 649,99 8 5,7( ) d où,5 De plus M M 8 5,7 M M x ( ) M x ( ) d où M 8 756,58 Le captal total empruté D est égal à la somme des amortssemets :

24 9 ( ) (,5) D M M ( )... M ( ) M 8756,58 5,5 Il s agt doc d u emprut de 5 remboursé par le versemet de autés costates et mmédates calculées à,5% Exercce 6: U emprut amortssable e 5 as par autés costates et mmédates est tel que le premer amortssemet est égal à 4, alors que le trosème amortssemet est égal à 9,5 a) Trouver le taux d térêt de cet emprut b) alculer le captal empruté sachat que l'auté costate est égale à 8 4, c) ombe vaut le 5 ème et derer amortssemet? d) Quel est le motat du captal dû mmédatemet après le paemet de la ème auté? orrgé : a) Trouver le taux d térêt de cet emprut : Les autés sot costates, les amortssemets sot e progresso géométrque de raso ( ). Par coséquet : M M x ( ) sot 9,5 4, x ( ) d où,4 Le taux omal «d térêt» de cet emprut est égal à 4% b) alculer le captal empruté sachat que l'auté costate est égale à 8 4, L auté costate état égale à 8 4, et le premer amortssemet égal à 4,, ous e dédusos que le premer térêt est égal à 77 e premer térêt état calculé sur le captal total empruté D, ous e dédusos que 77,4 x D d où D 55 Le captal empruté est égal à 55 c) ombe vaut le 5 ème et derer amortssemet? Nous avos M 5 M x ( ) 4 4, x, ,5 Le derer amortssemet est égal à 7 96,5 d) Quel est le motat du captal dû mmédatemet après le paemet de la eme auté? Le captal dû mmédatemet après le paemet de la ème auté est égal au captal total empruté dmué de la somme des premers amortssemets : ( ) D (M M... M9 M ) D M Où ecore : 5 ( ) M M M M 4 M 5 M Nous trouvos as 74 79,7

25 Le captal dû mmédatemet après le paemet de la ème auté est égal à 74 79,7. Exercce 7 : Ue persoe emprute 5 à % remboursables par le versemet de sept autés mmédates e progresso géométrque de raso,. Dresser le tableau d'amortssemet de cet emprut. orrgé : Das l exercce 8 (Parte 6 : Autés), ous avos vu que la valeur actuelle V (motat de l emprut) d ue sute de autés e progresso géométrque (la premère est égale à a) de raso, placé à u taux est égale à : V a( ) a( ) a, V a, a, a, a, 4 a, 5 a, 6 a a( ) 6 6 [,( ), ( )..., ( ) ],, [,a( ), a( ),... 7,,,,, 7 6 a q a [ q q... q ] 5, q 6..., a( ) 6 7,, posos q Nous e dédusos le motat de l auté a : a 49, 4 D où le tableau d amortssemet : (vor méthode du ours : o complète la lge : o calcule I, pus M, o passe esute à la lge, etc. ) Pérode Itérêt (calculé sur le captal dû),, Autés (progresso géométrque : x,) aptal dû Amortssemets 5, 9,4 4 9,4 78,57 85,67 787,7 4 64,8 99,86 69,4 466,7 5 5, ,49 4,8 7, , ,6 95,4 4 7,4 6 77,67 6 6,7 44,6 5 5, , ,9 8, , ,98

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