Loi des grands nombres.
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- Amandine Legaré
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1 Uiversité Pierre et Marie Curie 2-2 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille Loi des grads ombres.. Soit (U ) ue suite de variables aléatoires idépedates toutes de loi uiforme sur l'itervalle [, ]. Soit f : [, ] R ue foctio cotiue. Que peut-dire de lorsque ted vers +? f(u ) f(u ) Solutio de l'exercice. La foctio f, cotiue sur le segmet [, ], y est borée. Aisi, les variables aléatoires (f(u )) sot idépedates, de même loi et admettet u momet d'ordre. O peut leur appliquer la loi forte des grads ombres (puisque la foctio f est borée, les variables admettet u momet d'ordre 2 et o est même das le cas dot o a étudié la démostratio e cours) pour trouver que f(u )+...+f(u ) coverge presque sûremet, lorsque ted vers l'ii, vers E[f(U )] = f(t) dt. Cette méthode est parfois utilisée pour calculer des valeurs approchées d'itégrales et s'appelle la méthode de Mote-Carlo. 2. Soit f : [, ] R ue foctio cotiue. Pour tout, o déit la foctio b : [, ] R par la formule x [, ], b (x) = k= ( ) f k ( ) k x k ( x) k. a. Motrer que la suite de foctios (b ) coverge simplemet vers f, c'est-à-dire x [, ], lim b (x) = f(x). que pour tout x [, ], la suite (b (x)) coverge vers f(x). b. O suppose f lipschitziee, c'est-à-dire qu'o suppose l'existece d'ue costate K > telle que pour tous x, y [, ], o ait f(x) f(y) K x y. Motrer que la suite de foctios (b ) coverge uiformémet vers f, c'est-à-dire lim sup{ b (x) f(x) : x [, ]} =.
2 . c. Que voit-o sur les gures ci-dessous? Solutio de l'exercice 2. a. Soit x [, ]. O observe que b (x) = E[f(B/)], où B suit la loi biomiale de paramètres et x. Cosidéros doc (X ) ue suite de v.a.i.i.d. de loi de Beroulli de paramètre x. O a ( X X b (x) = E [ f )]. D'après la loi des grads ombres, X +...+X ted presque sûremet, quad ted vers l'ii, vers E[X ] = x. Puisque f est cotiue, f ( X +...+X ) ted doc presque sûremet vers f(x). E, puisque f est cotiue sur [, ], elle est borée. La covergece presque sûre de f ( X +...+X ) vers f(x) est doc domiée par le supremum de f et le théorème de covergece domiée permet d'armer que [ ( )] X X b (x) = E f f(x). b. O cherche à majorer la diérece b (x) f(x) idépedammet de x. Supposos que f soit K-lipschitziee. O a ( )] b (x) f(x) = [f E X X f(x) ( ) = [f E X X f(x)] [ ] X X KE x. O utilise maiteat le fait que pour tout variable aléatoire positive Y, o a E[Y ] 2
3 E[Y 2 ] 2. O a doc b (x) f(x) KE = K [ (X X [ Var = K Var(X ) = K x( x) K 2, ( X X ) ] 2 2 x car x( x). Nous avos doc obteu ue majoratio de l'erreur idépedate de x : 4 o a b f K 2. E particulier, il y a covergece uiforme de la suite (b ) vers f. c. Sur la gure de gauche, o voit les polyômes p,k (x) = ( k) x k ( x) k pour = et k {,..., }. Ces polyômes s'appellet les polyômes de Berstei. Sur l'itervalle [, ], ils ot e particulier la propriété d'être positifs et de somme égale à. Sur la gure de droite, o voit le graphe d'ue foctio cotiue f et des approximatios successives de cette foctio. Le graphe de f est la seule courbe qui e soit pas dérivable e u poit. O a tracé quatre approximatios de f, e l'occurece b, b, b 5 et b 2. )] 2 3. Pour calculer ue valeur approchée de π, le aturaliste Buo (77-788) proposa de laisser tomber sur u placher fait de plaches parallèles et toutes de la même largeur ue boîte d'aiguilles de logueur égale à la largeur des plaches. Notat alors le ombre total d'aiguilles et N le ombre, aléatoire, d'aiguilles qui tombaiet à cheval sur deux plaches cosécutives, il proposa l'approximatio suivate : π 2 N. 3
4 Proposer u modèle rigoureux de cette expériece et justier la formule de Buo. Solutio de l'exercice 3. Notos l la largeur des plaches du placher, qui est aussi la logueur des aiguilles. Appelos raiures du placher les droites le log desquelles deux plaches successives se touchet. Les raiures sot toutes parallèles et égalemet espacées. Supposos que les raiures soiet orietées est-ouest. Cosidéros ue aiguille sur le placher. Sauf si elle orietée exactemet est-ouest, elle a u poit qui est plus au sud que tous les autres, et ce poit est ue extrémité. Nous orietos l'aiguille de cette extrémité vers l'autre. Elle idique alors ue directio que ous pouvos représeter par u agle θ compris etre et π. Par exemple, cet agle vaut π/4 si l'aiguille poite vers le ord-est. Si l'aiguille est exactemet orietée est-ouest, ous coveos de predre θ =. Aisi, das tous les cas, θ appartiet à [, π[. Pour décrire complètemet la positio de l'aiguille, il ous faut coaître ue distace, que ous preos comme état celle etre l'extrémité méridioale (la plus au sud) de l'aiguille et la raiure située immédiatemet au ord de cette extrémité. Cette distace d est comprise etre et l, plus précisémet, d appartiet à [, l[. Si l'aiguille est orietée est-ouest, o pred pour d la distace etre ue quelcoque de ses extrémités et la raiure immédiatemet au ord de celle-ci ; cette distace est la même pour les deux extrémités. Il est aturel de supposer que l'agle avec lequel l'aiguille tombe est uiforme das [, π[, que la distace etre l'extrémité la plus au sud et la raiure immédiatemet au ord est uiforme das [, l[, et que ces deux quatités sot idépedates. Ceci correspod à ue distributio des aiguilles qui e déped pas de l'orietatio particulière des lattes du placher i de leur positio exacte le log de l'axe ord-sud. Aisi, otre espace de probabilités est Ω = [, π[ [, l[, mui de la tribu boréliee, et de la mesure P(dθ dr) = lπ dθdr. L'évéemet qui ous itéresse est l'évéemet où l'aiguille croise ue raiure. Ceci a lieu si et seulemet si l'iégalité l si θ r est vériée. Aisi, la probabilité qu'ue aiguille doée croise ue raiure est P({(θ, r) [, π[ [, l[: l si θ r}) = r l si θ dθdr lπ [,π[ [,l[ = π l si θ dθ lπ = 2 π. Comme o pouvait s'y attedre, cette probabilité e déped pas de l. O lace aiguilles sur le placher. O peut cosidérer qu'il s'agit de réalisatios idépedates de l'expériece cosistat à e lacer ue. Pour chaque k {,..., }, otos A k l'évéemet où la k-ième aiguille croise ue raiure. La proportio d'aiguilles qui croiset ue raiure est Ak. k= 4
5 D'après la loi forte des grads ombres, puisque les (A k ) k sot idépedats, ceci coverge presque sûremet, lorsque ted vers l'ii, vers E[ A ] = P(A ) = 2 π. Aisi, lorsque est grad, o a N 2 π, si bie que π 2 N. 4. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées de loi uiforme sur {,,..., 9}. a. Motrer que la série X coverge presque sûremet vers ue variable aléatoire dot o détermiera la loi. b. Soit p u etier. Pour tout l, o ote Y l le vecteur aléatoire (X lp+,..., X lp+p ). Soit (a,..., a p ) u p-uplet d'élémets de {,..., 9}. Motrer qu'avec probabilité, o a Card {l : Y l = (a,..., a p )}. p c. L'etier p état toujours xé, o choisit u etier r {,..., p} et o pose, pour tout l, Z l = (X lp+r,..., X lp+r+p ). Motrer que Card {l : Z l = (a,..., a p )}. p d. Déduire de ce qui précède que pour tout (a,..., a p ) {,..., 9} p, o a presque sûremet Card {k : X k+ = a,..., X k+p = a p }. p e. Motrer qu'il existe u esemble N [, [ de mesure de Lebesgue ulle tel que pour tout réel x [, [\N, l'écriture décimale x =, x x 2... de x vérie p, a,..., a p {,..., 9}, Card {k : x k+ = a,..., x k+p = a p }. p f. Motrer qu'il existe u réel x dot l'écriture décimale vérie la propriété ci-dessus. Solutio de l'exercice 4. a. O a presque sûremet X 9 pour tout, doc X 9. =. Aisi, la série X est presque sûremet absolumet covergete, doc covergete. Pour calculer la loi de la somme X de cette série, calculos sa foctio de répartitio. Tout d'abord, o a X presque sûremet. De plus, pour tout et tout k {,..., }, o a ( k P X < k + ) = P(X = k,..., X = k ) =, 5
6 où k... k est l'écriture décimale de l'etier k. Aisi, pour tout et tout k {,..., }, la foctio de répartitio F X de X satisfait F X (k. ) = k.. Puisque cette foctio est cotiue à droite, elle coïcide avec la foctio idetité sur [, ], doc X a la loi uiforme sur [, ]. b. Les vecteurs aléatoires (Y l ) l sot idépedats, de loi uiforme sur {,..., 9} p. Soit (a,..., a p ) u p-uplet d'élémets de {,..., 9}. Pour chaque l, otos A l l'évéemet {Y l = (a,..., a p )}. Les évéemets (A l ) l sot idepedats et de probabilité p. La loi forte des grads ombres etraîe doc l= A p.s. p. Le membre de gauche est exactemet le ombre d'etiers l tels que Y l = (a,..., a p ). c. Le fait d'avoir décalé les idices de r e chage rie. Le raisoemet de la questio précédete s'applique mot pour mot. d. Soit (a,..., a p ) u p-uplet de chires. Écrivos = mp + s avec m et s p. Pour tous l et r {,..., p}, otos A l,r l'évéemet A l,r = {X lp+r = a,..., X lp+r+p = a r }. La quatité dot o souhaite détermier la limite est p r= m Al,r + A m, Am,s. l= Le terme de droite est iférieur à p et ted vers lorsque ted vers l'ii. Pour chaque r compris etre et p, la moyee m m l= A l,r ted vers p lorsque m ted vers l'ii. Or, lorsque ted vers l'ii, m ted vers l'ii et m ted vers. Aisi, la p limite cherchée est p p = p. p r= e. Cosidéros l'espace de probabilités Ω = [, ] mui de la tribu boréliee et de la mesure de Lebesgue. Pour tout x irratioel apparteat à [, ], le développemet décimal de x est uique. O ote X (x), X 2 (x),... les décimales successives de x. O déit aisi, presque partout, ue suite de variables aléatoires. Pour tout et tous a,..., a, o a Leb({x [, ] : X (x) = a,..., X (x) = a }) = Leb([, a... a ;, a... a + [) =. Les variables (X ) aisi déies sot doc bie idépedates et uiformes sur {,..., 9}. O peut doc leur appliquer les résultats précédets. 6
7 Pour chaque p et chaque p-uplet (a,..., a p ) de chires, la covergece établie à la questio précédete a lieu presque sûremet. Il existe doc ue partie N p,a,...,a p de [, ] de mesure de Lebesgue ulle hors de laquelle la covergece établie à la questio précédete a lieu. L'esemble N = N p,a,...,a p, p (a,...,a p) {,...,9} p uio déombrable d'esemble égligeables, est égligeable. Tout réel compris etre et et qui 'appartiet pas à cet esemble a la propriété voulue. f. Puisque l'esemble des réels compris etre et qui vériet la propriété est de mesure, il 'est pas vide. Il existe doc des réels qui ot cette propriété. Il 'est cepedat pas facile d'e costruire u explicitemet et le raisoemet que ous veos de faire est sas doute la maière la plus simple d'e prouver l'existece. C'est u exemple d'utilisatio d'u argumet probabiliste pour prouver l'existece d'u objet aux propriétés particulières. 7
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