Chapitre 2 UNE ESTIMATION DYNAMIQUE DE LA LIQUIDITÉ. La Liquidité - De la Microstructure à la Gestion du Risque de Liquidité

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1 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté Chaptre 2 UNE ESTIMATION DYNAMIQUE DE LA LIQUIDITÉ Erwan Le Saout - Novembre

2 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté INTRODUCTION La mse en place des systèmes électronques au mleu des années quatre-vngts a favorsé le développement des marchés fnancers. De plus, l nformatsaton a perms auss de créer et dffuser des bases de données de haute fréquence. La premère approche prvlégée par les chercheurs a été d agréger les données sur des ntervalles régulers de durée rédute, ce qu permettat d établr de nouvelles varables telles que des rentabltés par unté de temps. Cependant aucun crédt n état réellement porté à la varable temps dans la mesure où la plupart des modèles théorques état des modèles séquentels tel que le modèle de Kyle (1985). La noton de temps n a commencé à être réellement reconnue que lorsque l on a ms en relef le fat selon lequel les décsons des ntervenants n étaent pas ndépendantes du temps. Ans Damond et Verrecha (1987) ont consdéré le temps comme une source d nformaton. Selon eux, l absence de transacton sgnfe qu l y a une mauvase nouvelle. En revanche, Easley et O Hara (1992b) nterprètent l absence de transacton par l absence d arrvée d nformatons nouvelles sur le marché, ce qu sgnfe que la varable temps n est pas ndépendante du processus de prx. Devant la multplcaton des nformatons horodatées (les cotatons, la talle des échanges, la fourchette, ), les méthodes d estmaton classques sont alors devenues caduques. Celles-c ont lassé peu à peu la place à l économétre des données à haute fréquence 1 et ses modèles non paramétrques tratant des évènements rrégulèrement espacés dans le temps. Deux nouvelles approches sont alors apparues : les approches par déformaton du temps (appelées auss processus subordonnés) et les modèles de durées. L approche par déformaton du temps n est pourtant pas nouvelle dans la mesure où elle avat été ntrodute, de manère théorque par Mandelbrot et Taylor (1967) ans que par Clark (1973). Ces auteurs consdéraent en effet qu l état nécessare d analyser le processus de prx à l ade d une échelle de temps déformée ; en effet, s les modèles dynamques usuels ne semblent pas fonctonner correctement en temps calendare, cela dot sgnfer qu ls sont écrts dans un mauvas référentel de temps. Il est fat alors 1 Vor Goodhart et O Hara (1996) ans que Gavrds (1998). Erwan Le Saout - Novembre

3 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté référence aux notons de «market tme» ou encore de «Busness Tme». L'dée prncpale est que l'actvté du marché, mesurée par des séres comme le volume de transactons, détermne l'échelle de temps ntrnsèque des processus stochastques de prx ou de rentablté 2. Les bases de données étant désormas dsponbles, de nombreux auteurs 3 ont alors reprs et développé la noton de déformaton du temps en proposant dfférentes échelles de temps. Cette approche semble cependant être toutefos dffcle d applcaton dans la mesure où on ne sat pas clarement ce qu est réellement le temps ntrnsèque. L autre approche, consttuée par les modèles de durée, consste à utlser une échelle de temps déformée de manère à récupérer le processus des durées entre évènements de cotaton. Il s agt justement de l approche que nous allons développer au cours de ce chaptre. En effet, l objet de ce chaptre est d adapter au marché franças, la mesure de lqudté, nommée VNET, proposée par Engle et Lange (1997). Cette modélsaton nécesste la prse en compte de dfférentes varables dont la durée entre les évènements de cotaton. Une estmaton de ces durées n est rendue possble que par l utlsaton des modèles de durée condtonnelle autorégressve, ntroduts par Engle et Russell (1994). Ans, ce deuxème chaptre se décompose de la manère suvante : la premère secton a pour objet une revue de la lttérature afférente aux dfférentes modélsatons de la durée ; nous concentrons notre examen sur les modèles de durée condtonnelle autorégressfs dont nous présentons dfférentes estmatons et un cas d applcaton : la modélsaton de la lqudté ntrodute par Engle et Lange (1997). La seconde secton possède une vocaton emprque pusqu elle consste à mettre en œuvre la mesure dynamque de la lqudté, VNET, proposée par Engle et Lange (1997) après avor détermné le modèle de durée qu l convent d applquer au marché franças. 2 De plus, cette apprécaton état confortée par quelques fats : les los margnales des rentabltés ont de plus fables queues de dstrbuton en temps de cotaton qu en temps calendare ; l y a mons de volatlté en temps de cotaton qu en temps calendare (ce qu est logque dans la mesure où l on rejette les deux aléas que sont la durée de transacton et la danse de la fourchette) ; la dynamque (lnéare) est plus smple en temps de cotaton qu en temps calendare. 3 Vor Muller et al. (1994), Dacarogna et al. (1994), Ané et Geman (1996, 2000), Ghysels, Gouréroux et Jasak (1995) par exemple. Erwan Le Saout - Novembre

4 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté SECTION I - ANALYSE THÉORIQUE Dynamques complexes, non-lnéarté, non-statonnarté et données rrégulèrement espacées ont emposonné la ve de plus d un chercheur. À l excepton de l analyse économétrque des processus de transton [Lancaster (1990)], les modèles de séres temporelles assurent que l ntervalle de temps qu sépare les observatons est égal à travers le temps, ce qu n est pas le cas avec les données à haute fréquence. Afn de fournr une structure économétrque pour l analyse des données rrégulèrement espacées, Engle et Russell (1994) ont proposé le modèle ACD (Autoregressve Condtonal Duraton,.e. Durée Condtonnelle Autoregressve) qu combne à la fos foncton de hasard et modèle ARCH. En effet, les auteurs proposent de trater les données à haute fréquence comme un processus de ponts marqués 4. Un tel processus correspond à une sére de dates d arrvée avec des caractérstques assocées à ces états d arrvée. Depus la présentaton de ce modèle, les analyses emprques de durée entre évènements de cotaton se sont rapdement développées dans dfférentes drectons et de plus ont ntégré des hypothèses de mcrostructure. Le bénéfce essentel des données à haute fréquence est qu elles fournssent une base approprée pour tester emprquement des théores et des hypothèses de mcrostructure effectuées alors qu l n exstat pas de telles données. Un sujet commun des modèles théorques récents de mcrostructure est que la durée entre dfférents évènements telles que les transactons content de l nformaton qu affecte le comportement des acteurs, et ans le processus de formaton des prx. En conséquence, les premères études destnées à utlser la durée comme varable aléatore ont été consacrées à l analyse de l occurrence des transactons. Outre Engle et Russell (1994), Rydberg et Shephard (1998) analysent les arrvées des ordres à l ade d un processus de Cox. Hautsch (1999) examne le temps entre les transactons à l ade d un modèle sem-paramétrque de hasard. Goureroux, Jasak et Le Fol (1999) ntrodusent des durées basées sur des mesures d actvté. Ils défnssent dfférentes classes de durée comme les durées pondérées par les volumes. Cec permet d llustrer la dépendance entre les durées, les volumes et les prx. 4 Nous remercons Nour Meddah pour ses explcatons précses de ces processus. Erwan Le Saout - Novembre

5 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté Conjontement à l analyse des transactons, de nombreux auteurs 5 se sont ntéressés à la dynamque des prx. On ne se focalse plus sur la durée exstante entre deux transactons mas sur celle qu sépare deux mouvements de prx. Cette «durée-prx», comme le démontrent Engle et Russell (1994), peut-être consdérée comme une foncton nverse du modèle de volatlté. En effet, une «durée-prx» mesure le temps nécessare à une varaton de cours d une unté. Plus le temps nécessare pour obtenr une varaton de prx est long, mons le marché est volatl. Cette mesure de volatlté est consdérée par de nombreux chercheurs comme un modèle GARCH adapté aux données à haute fréquence. Outre les développements du modèle ACD que nous examnons ultéreurement, d autres modèles ont vu le jour pour décrre la volatlté en séance. Ghysels et Jasak (1998) développent un modèle ACD-GARCH bvaré qu prend en compte les nteractons entre les volatltés des rentabltés passées et les durées 6. Bauwens et Veredas (1999) formulent une varante de ce modèle : le SCD (Stochastc Condtonal Duraton) qu est le pendant des modèles à volatlté stochastque 7. Ghysels, Gouréroux et Jasak (1999) détermnent un modèle à volatlté stochastque SVD (Stochastc Volatlty Duraton) qu ntrodut une dépendance dans les durées. Ces dfférents modèles de volatlté vont permettre une melleure analyse des dfférents processus ntra-journalers. Parm les dfférents ntérêts de telles modélsatons, on peut cter l ajustement des couvertures de portefeulle [Prgent, Renault et Scallet (1999)]. Elles peuvent auss être très utles pour tester des hypothèses de mcrostructure [Engle et Russell (1994), Bauwens et Got (1999)] ans que pour permettre d évaluer la lqudté comme le proposent Engle et Lange (1998). Nous présentons d abord dfférentes spécfcatons du modèle ACD, modèle précurseur en matère d analyse de données à haute fréquence. Ensute, nous analysons l une des premères applcatons du modèle ACD, à savor la constructon de la statstque VNET proposée par Engle et Lange (1997). 5 Engle et Russell (1994), Engle (1996), Bauwens et Got (1998), Ghysels et Jasak (1998), Ghysels, Gouréroux et Jasak (1999), Grammng et Maurer (1998) ou encore Meddah, Renault et Werker (1998). 6 Il peut ans être défn comme un modèle GARCH avec des coeffcents aléatores où la durée entre les transactons détermne la dynamque des paramètres. 7 Ce modèle a pour fondement l hypothèse selon laquelle les durées sont générées par un facteur stochastque latent qu engendre un processus autorégressf de premer ordre. Erwan Le Saout - Novembre

6 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté I.1 DONNÉES HAUTE FRÉQUENCE ET MODÈLES DE DURÉE Le modèle ACD (Durée Condtonnelle Autorégressve) a provoqué un renouveau en matère de recherche en économétre de la fnance. Ce premer modèle applqué aux données à haute fréquence consttue le socle de nombreuses propostons ctées précédemment. Nous allons d abord examner ce qu est réellement le modèle ACD d un pont de vue économétrque, et mettre ans en relef son apparente ressemblance avec les modèles GARCH. Ce premer modèle est devenu très rapdement une classe de modèles ACD dans la mesure où son succès a entraîné de nombreuses propostons d extenson. Ce phénomène est d autant plus amplfé que beaucoup de chercheurs adaptent des spécfcatons GARCH à la classe de modèles ACD. Nous fasons le pont de la stuaton sur ces extensons de manère relatvement succncte dans la mesure où les propostons se renouvellent très rapdement ce qu fat que nous ne pouvons prétendre à l exhaustvté. I.1.1 Les modèles de Durée Condtonnelle Autorégressve Engle et Russell (1994, 1998) proposent une nouvelle classe de modèles dynamques nommés ACD en consdérant les données à haute fréquence comme un processus de ponts marqués (marked pont process). Ce processus dscret offre la possblté aux dates d arrvée d être consdérées comme endogènes s le chercheur désre spécfer leur dstrbuton condtonnelle. Les hypothèses La modélsaton ACD repose sur deux hypothèses. Tout d abord, Engle et Russell (1998) supposent que la durée entre les deux évènements de cotaton peut être décomposée en deux partes : une premère composante détermnste et une seconde aléatore. On suppose que la relaton exstante entre les deux composantes est multplcatve. Sot N, le nombre d évènements de prx qu se produt de manère aléatore durant la séance. Ces N évènements sont notés Sot = 1,..., N du premer observé au derner. X, la durée qu correspond au temps séparant le ème et le Nous avons donc X = t t 1. ème ( 1) évènement. Erwan Le Saout - Novembre

7 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté Sot ψ la composante détermnste qu n est autre que l espérance condtonnelle de la durée sachant son passé : ψ E[ X X ] Sot ε la composante aléatore ; = / 1 La relaton multplcatve peut alors s écrre de la manère suvante : X =ψ * ε La seconde hypothèse concerne la composante aléatore de la durée. Engle et Russell (1994) supposent que cette composante est dentquement et ndépendamment dstrbuée. x ε = ψ sont. d. Cec sgnfe que l espérance condtonnelle de la durée (la composante détermnste) dot capter la dépendance des durées dans le temps. Cec amène les auteurs à suggérer une structure autorégressve dans la spécfcaton de l espérance condtonnelle. Nous obtenons donc le modèle ACD ( p, q) suvant : p q = ω + α j * X j + β k ψ k j= 1 k = 1 ψ * (2.1) Modélsaton de la vrasemblance L hypothèse concernant la spécfcaton de la densté condtonnelle de la durée nous permet de pouvor estmer la log-vrasemblance de la manère suvante : L( X N ( T ) 1,..., X N ( T ); ) = Log f ( X / X1,..., X 1; θ ) = 1 θ = ψ N ( t ) et ψ = X g( X / X,..., X 0 1 1) d où g X / X,..., ) ndque la foncton de densté condtonnelle de la durée, tands que ( 1 X 1 θ est un aléa. Selon l hypothèse lée à la composante aléatore de la durée, les ε correspondent aux erreurs, mas ls représentent auss les durées standardsées. Erwan Le Saout - Novembre

8 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté S nous dvsons les durées par la foncton d espérance condtonnelle de la durée, les résdus obtenus sont théorquement ndépendamment et dentquement dstrbués. De cette manère la vrasemblance devent : L( X ( ε ) [ λ( t / N( t), t,..., t ) e ] N ( T ) N ( T ) 1,..., X N ( T ); θ ) = Log f ( ε; θ ) = Log 1 N ( t ) * = 1 = 1 La foncton de Log-vrasemblance va alors dépendre de la spécfcaton de ε.et ben entendu de la modélsaton de l ntensté condtonnelle. Selon la spécfcaton retenue, l est désormas possble de retrouver la foncton d ntensté condtonnelle des transactons. Pour cela, l est nécessare d ntrodure la noton de foncton de hasard. A l nstant t, elle s nterprète comme étant la probablté de constater l exstence d une transacton à l nstant t sachant qu l n y a pas eu de transactons depus une certane durée. Analytquement, la foncton de hasard correspond au rapport entre la foncton de densté de la durée et la foncton de surve de cette même durée. La foncton de Surve (Survvor functon) S (y) caractérse la probablté de rester en l état ntal durant au mons y untés de temps. Sot λ ( ), la foncton de hasard de base pour les durées standardsées, P ( ) la densté 0 t correspondante, et S ( ) la foncton de surve assocée, nous obtenons alors : P0 ( t) λ0( t ) = S ( t) 0 0 t Quelles que soent les dstrbutons des durées (standardsées ou non), nous pouvons écrre l ntensté condtonnelle des évènements de cotaton de la manère suvante : λ( t / N( t), t,..., t 1 N ( t ) t t ( ) N t ) = λ0( t) ψ N ( t ) + 1 ψ 1 N ( t ) t La forme de la foncton de hasard dépend alors du chox de la lo suve par les dfférentes durées. Cec entraîne la proposton de pluseurs modèles de durée condtonnelle autorégressve : EACD, WACD, BURR-ACD. Nous allons présenter ces dfférents modèles après avor analysé le tratement des sasonnaltés. Erwan Le Saout - Novembre

9 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté Le tratement de la sasonnalté La classe de modèles ACD ntrodute dot être adaptée aux sasonnaltés observées sur les marchés fnancers. En effet, de nombreux auteurs ont pu constater qu l exstat des sasonnaltés auss ben en termes d actvté 8, de rentablté ou encore de volatlté [ Jan et Joh (1988), Foster et Vswanathan (1990), Hamon et Jacqullat (1992), ]. Ans, l espérance de la durée dffère selon l nstant de la séance où nous nous stuons. Ans, en termes d actvté, les durées entre transactons sont plus courtes à l ouverture et à la clôture de la séance, et sont plus longues durant la pause déjeuner [Goureroux, Jasak et Le Fol (1999)]. Afn que les modèles ACD prennent en compte le facteur sasonner, l est donc nécessare de décomposer l espérance de la durée en deux composantes selon une relaton multplcatve : une composante détermnste foncton du temps et une composante stochastque. La premère étape de la modélsaton ACD consste donc à désasonnalser les durées. Ces durées désasonnalsées, notées X ~, sont donc estmées de la manère suvante : ~ X X = φ( t ; θ 1 φ ) Par conséquent l espérance condtonnelle de la durée s écrt de la manère suvante : ~ ~ E( X / X,..., X 1) = φ( t 1; θφ ) * ψ ( X1,... X 1; θ 1 ψ L hypothèse concernant l ndépendance de la dstrbuton des erreurs (.e. les durées standardsées) est préservée. Nous obtenons donc : ε ~ X ~ ~ ( X,..., X = ψ 1 1; θψ ) Il se pose alors le problème de savor quelle méthode de désasonnalsaton l faut employer. La méthode ntale proposée par Engle et Russell (1994) consste à estmer des fonctons splnes lnéares à partr de moyennes horares. Un tel chox n est pas sans présenter pluseurs nconvénents : ls sont au nombre de tros. ) 8 Vor par alleurs le premer chaptre de cette thèse. Erwan Le Saout - Novembre

10 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté La foncton splne lnéare va révéler des déséqulbres au nveau des nœuds. Ces déséqulbres vont drectement affecter la foncton splne. L hypothèse d une foncton splne lnéare entre les nœuds est restrctve, partculèrement lorsqu l y a des changements de régme de type ouverture clôture. Ce problème est d autant plus mportant que l ntervalle de temps est grand. Ans le rsque de constater l exstence de pluseurs ponts d nflexon entre les nœuds est élevé. L hypothèse selon laquelle le profl du processus est dentque chaque jour semble restrctve. Cela est le cas lors des séances spécales telle que la séance d expraton des contrats à terme [Le Saout (1999a)]. Les deux premers problèmes peuvent être réglés en utlsant une foncton splne polynomal. Buse et Lm (1977) démontrent 9 comment estmer une foncton splne cubque en utlsant la méthode des mondres carrés restrents. Les restrctons consstent désormas à détermner l dentté des dérvées premère et deuxème de la foncton splne au nveau des nœuds afn de s assurer de la contnuté. Le derner problème peut être résolu en ntégrant des varables dummes journalères ou alors en sélectonnant dans un autre échantllon les séances spécales. Cette dernère soluton, en dépt de son extrême smplcté, est certanement la plus pertnente, car elle permet d obtenr la foncton splne approprée pour chaque séance. La spécfcaton de base Étant donné les hypothèses effectuées, le modèle ACD ( p, q) général peut s écrre de la manère suvante : x = ψ * ε où ε est...d. p q = ω + α j * X j + β k ψ k j= 1 k = 1 ψ * (2.1) Les contrantes de sgne des coeffcents α et dépendent des los de dstrbuton suves, tands que le coeffcent ω est toujours strctement postf quelles que soent les los de dstrbuton. Erwan Le Saout - Novembre

11 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté D un pont de vue statstque, nous pouvons constater que les deux premers moments sont varables dans le temps car ls sont calculés à partr de l espérance condtonnelle des durées, et cec quelle que sot la foncton de hasard. Ans, par défnton, nous avons une espérance condtonnelle égale à peut alors s écrre selon Engle et Russell (1997) : E ( x) ω = µ = 1 α β ψ. L espérance non condtonnelle des durées, notée µ, Engle et Russel (1997) démontrent ce résultat, et ndquent que la condton nécessare et suffsante pour valder l exstence de la moyenne est la présence de toutes les racnes du polynôme caractérstque assocées en dehors du cercle de racne unté 10. La varance condtonnelle est égale à ψ 2 tands que la varance non condtonnelle s écrt de la manère suvante : σ 2 = µ αβ β 2 1 ( α + β ) α 2 Il faut noter que lorsque le coeffcent α est postf, l écart-type non condtonnel est supéreur à la moyenne, ce qu sgnfe qu l y a un excès de dsperson 11. Il exste en outre un len étrot entre les deux premers moments, ce qu condut Ghysels, Gouréroux et Jasak (1998) à proposer le modèle SVD (Stochastc Volatlty Duraton). Ces résultats prélmnares étant établs, nous allons pouvor exposer pluseurs modèles de durée condtonnelle autorégressve qu dffèrent notamment par la lo de dstrbuton des dfférents processus de durée. I Le modèle de durée condtonnelle exponentelle Le premer modèle ACD proposé par la lttérature est le modèle EACD,.e. Exponental Autoregressve Condtonal Duraton [Engle et Russell (1994)]. Dans ce contexte, nous 9 Vor auss Eubank (1988). 10 Cette hypothèse de statonnarté est valdée par la concepton même du modèle alors que de séreux doutes exstent en la matère pour ce qu est des données à haute fréquence. 11 Pour une preuve de ce résultat, vor Engle et Russell [1998] Erwan Le Saout - Novembre

12 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté fasons l hypothèse selon laquelle les durées sont condtonnellement exponentelles c està-dre que les ε,.e. les duratons standardsées, suvent une lo exponentelle. Ans les deux équatons suvantes caractérsent le modèle EACD : X = φ * ε avec ε sut une lo exponentelle ~ ψ * p q = ω + α j * X j + β k ψ k j= 1 k = 1 (2.2) Le modèle EACD(1,1) s écrt alors : ~ ψ X ψ (2.3) = ω + α * 1 + β * 1 Les contrantes de sgne sont les suvantes : les coeffcents α et sont postfs ou nuls ; de plus, la somme de ces coeffcents dot être nféreure ou égale à l unté. Comme nous l avons sgnalé précédemment, le coeffcent ω demeure strctement postf. Cec permet ans de valder les condtons nécessares et suffsantes en matère de statonnarté telles que le prévot le corollare de Lee et Hansen (1994). Ans ce modèle reflète ben le caractère autorégressf des durées. En rason du sgne postf ou nul des coeffcents α et, une durée courte, respectvement longue, passée entraîne l apparton d une durée courte, respectvement longue, présente. Le phénomène de grappes de transactons est ans explqué par le modèle. L espérance condtonnelle de la durée se calcule alors de la manère suvante : E ( X / I 1 ) = φ * 1 = φ où l nformaton passée I ( ψ ) = 1 X 1, 1 Or, par défnton, l espérance condtonnelle de la durée est auss égal à conséquent, nous avons : ψ. Par φ = ψ et ε X = ψ Dans le cas, la foncton de hasard de base assocée à la durée standardsée, est égale à l unté. Dès lors, la foncton d ntensté condtonnelle est estmée ans : Erwan Le Saout - Novembre

13 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté λ ) ( t / X1,..., X N ( t ) 1 = ψ Ν( t )+1 Or, cette foncton de densté correspond à la foncton de hasard de la durée. En conséquence, la foncton de densté de la durée s exprme de la manère qu sut : f ( X / X ) = λ( t / X,..., X ) ( ε ) * e = X ψ e ψ La foncton Log Vrasemblance peut s écrre alors : L N ( t ) X ( X ) = 1,..., X N ( t) ln( ψ ) = 1 ψ I Le Modèle de durée condtonnelle de type webull Engle et Russell (1994) proposent également une dstrbuton de Webull ( 1, γ ) pour les duratons standardsées, d où la modélsaton du WACD,.e. le Webull Autoregressve Condtonal Model. La plus grande flexblté qu offre cette dstrbuton, par rapport à la lo exponentelle, provent du fat que la foncton d ntensté condtonnelle devent une foncton à un seul paramètre ; celu-c va permettre de détermner l évoluton crossante ou décrossante de la foncton de hasard. Ans les deux équatons suvantes composent le modèle WACD : X = φ * ε avec ε sut une lo de Webull ( 1, γ ) ~ ψ * p q = ω + α j * X j + β k ψ k j= 1 k = 1 (2.4) Le modèle WACD(1,1) s écrt alors : ~ ψ = + * + ω α X 1 β * ψ 1 (2.5) Les contrantes de sgne sont dentques à celles du modèle EACD.les coeffcents α et dovent demeurer postfs ou nuls, tands que la somme de ces coeffcents dot être nféreure ou égale à l unté. De même, le coeffcent ω demeure strctement postf. L espérance condtonnelle de la durée entre les événements de cotaton se calcule, pusque la moyenne d une lo de Webull 1, ) ( γ est ( 1+1/γ ) Γ, de la manère suvante : Erwan Le Saout - Novembre

14 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté E ( x / I 1) = * Γ / [ 1+ 1 γ ] ψ φ = On en dédut l égalté suvante : X ψ = Γ 1+1/ * ε ( γ ) Les duratons standardsées peuvent alors être exprmées comme l vent : ε = X ( 1 1/ γ ) * Γ + ψ Compte tenu de la foncton de hasard de base assocée à la durée standardsée, la foncton d ntensté condtonnelle est estmée ans : λ ( ) ( 1 1/ γ ) γ 1 /,..,, ( ) Γ t t t N t *( t t ) * γ 1 N ( t ) + = ( ) ψ N t N ( t ) + 1 γ A partr de l estmaton de la duraton standardsée, la foncton de densté de la durée séparant deux évènements prx va s exprmer comme sut : f ( X I ) λ( t / X,..., X ) γ ( ε ) / 1 = 1 * e c est-à-dre : f ( X / I ( 1 1/ γ ) ( 1 1/ γ ) γ Γ + γ Γ + * X ψ = 1 ) * * e X ψ γ * x Il nous est donc désormas possble d estmer la foncton de Log Vrasemblance de la manère suvante : L N ( t) γ Γ ( ) ( 1+ 1/ γ )* X Γ( 1+ 1/ γ ) X,..., X Ln + γ * Ln 1 N ( t ) = X = 1 Lorsque γ < 1, la foncton de hasard est décrossante, ce qu sgnfe que la probablté d avor une durée longue est fable ; nversement, s γ > 1, alors la probablté d une durée plus allongée entre les événements de cotaton devent plus élevée. Lorsque γ = 1, nous nous retrouvons dans le cas partculer où la lo de Webull correspond à une lo exponentelle (.e. la foncton de hasard est égale à l unté). ψ ψ * X γ Erwan Le Saout - Novembre

15 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté I Les modèles de durée condtonnelle de type Burr-ACD Grammng et Maurer (1998) développent un modèle de la classe des ACD qu est fondé sur une dstrbuton de Burr. Ils estment que leur modèle offre une plus grande flexblté au profl de la foncton de hasard condtonnel que les modèles tradtonnels EACD et WACD. En outre, la dstrbuton de Burr content comme cas partculer les dstrbutons exponentelles, Webull ans que la dstrbuton log-logstque dans la mesure où la dstrbuton de Burr correspond à un mélange de dstrbutons Gamma et Webull 12. Le modèle général Burr-ACD(p,q) est le suvant : x = ψ * ε où ε sut une lo de Burr. p q = ω + α j * X j + β k ψ k j= 1 k = 1 ψ * (2.6) Une varable T dstrbuée selon une lo Burr présente la foncton de densté suvante : où χ 1 µ χ t f ( t) = η + 2 η = σ. 2 χ ( 1+ σ µ t ) 1 La foncton de surve d une dstrbuton Burr est donnée par : 2 S( t) = (1 + σ µ. t ) χ η L espérance d une varable dstrbuée selon une lo Burr est la suvante : 1 χ Γ E( T) = + 1 ( 1+ 1 χ ) Γ( η 1 χ ) 2( 1 ) σ Γ( η + 1) µ χ L espérance exste s les paramètres respectent l négalté suvante : χ < 1< χσ 2 S σ 2 est proche de zéro, alors la dstrbuton de Burr équvaut à une dstrbuton de Webull et le paramètre χ est équvalent au paramètre γ de Webull. Ans, pour 2 σ et 12 Vor Lancaster (1990). Erwan Le Saout - Novembre

16 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté χ respectvement égaux à zéro et à un, nous allons obtenr une dstrbuton exponentelle. En revanche, s 2 σ est égal à un, nous obtenons une dstrbuton Log-logstque. Grammng et Maurer (1998) défnssent alors la transformée suvante de l espérance condtonnelle de la durée : ε = ψ Γ 2( 1+ 1 χ ) σ Γ( η + 1) ( 1+ 1 χ ) Γ( η 1 χ ) Avec l espérance condtonnelle de la durée défne de la manère suvante : ψ ~ ~ ( X / X ) = E 1 Les auteurs effectuent alors l hypothèse selon laquelle les varables aléatore ~ 1 X ε sont..d. par une lo de Burr avec un paramètre µ égal à l unté. En ce qu concerne la foncton de Log Vrasemblance, les auteurs proposent la formulaton suvante 13 : L = N ( t ) = 1 ~ ln( χ) χ ln( ε) + ( χ 1)ln( X ) ( n + 1)ln(1 + σ 2 ε χ ~ X χ [ X Γ( 1+ 1/ γ )] Grammng et Maurer (1998) comparent les formulatons EACD et WACD avec leur modèle Burr-ACD dans le cadre de l ntroducton d une acton 14 sur le système allemand IBIS. Il leur apparaît que ce nouveau modèle donnerat des résultats plus satsfasants. Cec n est guère surprenant dans la mesure où l content comme cas partculer les dstrbutons exponentelle et de Webull ; l sufft que les varables tratées ne suvent pas exactement ces los pour que l estmaton s avère melleure. L ntérêt d un tel modèle résde dans le fat que les hypothèses lées aux foncton de hasard et de surve sont mons restrctves. Cependant, comme nous avons pu le constater, la mse en œuvre n est guère asée. ) I Les Modèles Logarthmques de durée condtonnelle Bauwens et Got (1997) proposent une autre modélsaton ACD nommé Log-ACD. Contrarement à ce qu ndque son nom, les auteurs mantennent une dstrbuton de Webull pour les duratons standardsées. La dfférence ntervent dans la relaton 13 Vor Grammng et Maurer (1998) pour la démonstraton. Erwan Le Saout - Novembre

17 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté multplcatve qu le la composante détermnste à la composante aléatore. Les auteurs consdèrent la relaton entre la composante aléatore et l exponentelle de la composante qu est détermnste (.e. la foncton exponentelle de l espérance de durée condtonnelle). Cette proposton va permettre d assouplr les contrantes, restrctves jusque là, exercées sur les coeffcents α et, sans pour autant complexfer le modèle par des fonctons de hasard et de surve dffcles à maner pusque la dstrbuton de Webull est conservée. De la même manère que pour les modèles ACD de base ntroduts par Engle et Russell (1998), nous émettons toujours l hypothèse que la foncton détermnste du temps peut être dentfée, et que celle-c est une foncton multplcatve. En revanche, nous supposons que c est l exponentelle de cette foncton qu ntervent de manère multplcatve dans la durée. Nous obtenons donc la premère équaton du modèle comme sut : X = e φ * ε et, nous savons par hypothèse, que : X φ ε = e..d Étant donné que la foncton φ est proportonnelle au logarthme de l espérance condtonnelle de la durée, nous pouvons écrre : d où : ψ [ E X / I )] = Ln ( 1 ψ e = E( X / I 1) S nous effectuons l hypothèse selon laquelle les durées standardsées suvent une lo de Webull ( 1, γ ), l est possble d établr une relaton entre le logarthme de l espérance condtonnelle et le logarthme de la foncton détermnste. e Ψ = e φ * Γ(1+1/ γ ) 14 Deutch Telekom en l occurrence. Erwan Le Saout - Novembre

18 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté Le logarthme de l espérance condtonnelle s écrt donc : Ψ = ω + αg( X 1, ε 1) + βψ 1 La seule contrante qu pèse sur le sgne des coeffcents concerne strctement nféreur à l unté.. Celu-c dot être Enfn, connassant les duratons standardsées, nous sommes en mesure de détermner la foncton de densté de la durée : ª ( ) X ˆ( 1+ 1 γ ) - 1 1/ª e ª X ˆ + f(x ) = *e X e Et la Log Vrasemblance va pouvor être formulée de la manère qu sut : N ( t ) X Γ + L = ln( γ ) ln( X) + γ ln[ X Γ( 1+ 1/ γ )] γψ Ψ = 1 e ( 1 1/ γ ) γ On peut s apercevor que la foncton de Log Vrasemblance va dépendre de la foncton g(- ). Bauwens et Got (1997) proposent deux spécfcaton possbles pour cette foncton. La premère proposton est de consdérer la foncton g, ε ) comme étant égale à ( X 1 1 la foncton Ln ). On obtent ans le modèle général Log-ACD 1 : ( X 1 Ψ p q α jln( X j ) + β k * j= 1 k = 1 = ω + Ψ (2.7) k S on souhate écrre le modèle en foncton des durées standardsées, l vent : p j Ln j k k k j= 1 k = 1 q Ψ = ω + α ( ε ) + ( α + β )* Ψ (2.8) Le modèle Log-ACD 1 (1,1) s écrt alors : Ψ = ω + αln( ε 1 ) + ( α + β ) Ψ 1 (2.9) où ω = ω + αln[ Γ(1 + 1 γ )] Erwan Le Saout - Novembre

19 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté Ce modèle est le pendant du modèle Log-GARCH ntrodut par Geweke (1986). Pour respecter l hypothèse de la statonnarté de la covarance des Ln X ), α + β ( dot être nféreur à l unté. La seconde proposton revent à consdérer que la foncton g, ε ) s apparente à la ( X 1 1 durée standardsée ε 1. Le modèle nommé Log-ACD 2 général peut être ans formulé : Ψ p q α j ( ε j ) + β k * j= 1 k = 1 = ω + Ψ (2.10) k Le modèle Log-ACD 2 (1,1) s écrt alors : Ψ Γ(1 + 1 γ ) = ω + αx 1 + βψ Ψ 1 1 (2.11) e Ou plus smplement : Ψ = ω + αε + βψ (2.12) 1 1 Cette proposton apparaît plus adaptée pour les fables durées : l espérance condtonnelle dépend de son passé mas auss de l erreur de prévson passée. Cette modélsaton est fortement nsprée du modèle EGARCH (Exponental GARCH) proposé par Nelson (1991). Pour respecter l hypothèse de la statonnarté de la covarance des Ψ, β dot être nféreur à l unté. Bauwens et Got (1999) effectuent des comparasons entre les dfférents modèles de durée condtonnelle autorégressve exstants. Ils concluent que les dfférences entre ces modèles ne sont pas sgnfcatves statstquement. Ils s aperçovent toutefos que les modèles ACD de base semblent surestmer les longues durées, et sous-estmer les durées courtes ce qu s explque par la présence du logarthme dans leurs nouvelles formulatons. Nous avons présenté pluseurs modèles de la classe ACD. Ces dfférents modèles, à l excepton du Log-ACD, se dstnguent essentellement par la dstrbuton des «durées prx» standardsées. Ans, nous avons exposé les cas où les los suves par les «durées prx» standardsées étaent respectvement des los exponentelle, de webull et de Burr. Erwan Le Saout - Novembre

20 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté Ben entendu, l est possble de modélser 15 ces «durées prx» par d autres los telles que la lo gamma, la lo log-logstque ou encore la lo log-normale. I.1.2 Les extensons aux modèles de durée condtonnelle autorégressve Les modèles ACD d orgne [Engle et Russell (1994)] ont donné leu à de nombreuses extensons. Dfférentes voes se sont ouvertes. Le fat que les modèles ACD soent assmlés à des modèles GARCH adaptés aux données à haute fréquence ont faclté l avancement des recherches. Ans, certans auteurs ont souhaté amélorer l explcaton de l espérance de la durée en ntégrant des varables addtonnelles, ce qu leur permet par la même occason de tester certanes hypothèses de mcrostructure suggérées par la lttérature théorque. D autres chercheurs, se sont orentés dans l adaptaton des extensons des modèles ARCH. Dans un premer temps, nous allons présenter les varables addtonnelles ntrodutes dans la modélsaton ACD et dans un second temps, nous allons décrre de manère succncte et non exhaustve quelques nouveaux modèles de la classe ACD. I Les modèles de durée condtonnelle et la vérfcaton des hypothèses de mcrostructure A l nstar de ce qu a pu être fat avec les modèles GARCH [Lamoureux et Lastrapes (1990), Najand et Jung (1991), Foster (1995) ], les auteurs s ntéressant aux modèles ACD ont souhaté ntégrer des varables exogènes dans le processus afn non seulement d amélorer la prévson mas auss d explquer le caractère autorégressf de la durée entre évènements de cotaton. Nous présentons ces dfférentes varables, les hypothèses de mcrostructure qu leur sont assocées et les résultats obtenus par les chercheurs qu se sont ntéressés à cette formulaton du problème. Il convent de noter que tous les modèles présentés en premer leu peuvent ntégrer des varables addtonnelles, cependant les modèles EACD et WACD convergent dffclement dans la mesure où ces modèles sont contrants par le sgne des coeffcents. 15 Vor Le Fol (1998) pour une descrpton complète. Erwan Le Saout - Novembre

21 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté I Le taux de transacton Cette varable représente le nombre de transactons par seconde. Introdure cette varable exogène dans le processus revent à vérfer s le nombre de transactons qu s effectue à l ntéreur d une durée prx nfluence cette durée (présente ou suvante). Avant d évoquer l ncdence de l ntensté des échanges sur la volatlté, l convent de s nterroger sur un paradoxe. En effet, s nous jugeons une acton llqude en rason de son fable nombre de transactons, nous pouvons penser que sa volatlté est plus élevée dans la mesure où chaque transacton possède une nfluence prépondérante sur le nveau de prx. Cec dt, étant donné qu l y a peu d actvté, les événements de prx devraent être rares et par conséquent les durées vont être longues. Inversement, les actons lqudes font l objet de beaucoup de transactons par conséquent, l occurrence de varatons de prx «sgnfcatves» ntervent de manère fréquente. Les «durées - prx» sont alors plus courtes. Dans la lttérature qu s étoffe depus quelques années, les varables d actvtés sont utlsées au ttre de varable proxy de l arrvée d nformaton sur le marché. Ans, Lamoureux et Lastrapes (1990) ou encore Najand et Jung (1991) ntrodusent le nveau d actvté comme varable explcatve au sen de l équaton de la varance condtonnelle dans le cadre d un modèle GARCH. Les auteurs veulent ans justfer le fat que l nformaton véhculée par les volumes de transactons nfluence le nveau de la volatlté. Foster (1995) pour sa part démontre, à l ade de la méthode des moments généralsés, que l actvté et la volatlté sembleraent être plutôt drgées par une même varable : le taux de dffuson de l nformaton. En fat, cette réflexon rejont quelque peu l analyse de Blume, Easley et O Hara (1994), selon qu le volume fournrat davantage d nformaton sur la qualté des sgnaux des ntervenants du marché. Le modèle d Easley et O Hara (1992) prédt que le nombre de transactons nfluence le processus de découverte de prx à travers l nformaton qu se détecte lorsque les transactons se concentrent, ans les fourchettes devraent être très fréquemment révsées ans que le prx coté. En revanche le modèle d Admat et Pflederer (1988) prédt que le nombre de transactons n a aucune ncdence sur l ntensté des prx (.e. la probablté d un mouvement de prx). Erwan Le Saout - Novembre

22 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté Les résultats obtenus par Engle et Russell (1994) tendent à confrmer les hypothèses émses par Easley et O Hara (1992) pusque la relaton exstante entre les «durées - prx» et le taux de transacton passé est sgnfcatvement négatve. Cec veut dre que la durée entre deux évènements prx est plus courte,.e. la volatlté est plus élevée, après les pérodes de fort taux de transactons. Bauwens et Got (1999) confrment cette relaton négatve en analysant l affchage des fourchettes sur le NYSE. Ces résultats étaent attendus au vu du smple rasonnement effectué en début de présentaton. I La fourchette Engle et Russell (1994), Engle et Lange (1997) et Bauwens et Got (1999) proposent d ntégrer la fourchette nomnale 16,.e. l écart de prx entre le melleur cours acheteur et le melleur cours vendeur. Certes la danse de la fourchette n a aucune ncdence dans le processus de modélsaton des évènements prx dans la mesure où les dfférents auteurs retennent le mleu de la fourchette. Cependant, une large fourchette sgnfe que l actf fnancer présente une volatlté plus élevée : l exste un degré d ncerttude plus mportant sur la valeur fondamentale, ou valeur d équlbre, de l acton. Par conséquent, les cotatons devraent connaître une varablté plus élevée. Ans, une fourchette large devrat engendrer un plus grand nombre de varatons de prx sgnfcatves, donc ces évènements de cotatons devraent ntervenr de manère plus fréquente. Cette approche corrobore d alleurs les résultats d Engle et Russell (1994), de Bauwens et Got (1999) ans que ceux d Engle et Lange (1997). Ces auteurs, qu modélsent respectvement un EACD(2,2) et un WACD(1,1), obtennent des résultats très sgnfcatfs ; la largeur de la fourchette est corrélée négatvement avec l espérance de la durée : cec sgnfe qu une acton ayant une fourchette de prx étrote (large) présente de longues (fables) durées entre varatons de prx. En revanche, d après Engle et Russell (1994), la présence de la varable fourchette ne semblerat pas nfluencer la valeur des coeffcents α et mas la fourchette semblerat lée au taux de transacton. 16 Engle et Russell (1994) et Bauwens et Got (1999) consdèrent la moyenne des fourchettes affchées durant la «durée prx» précédente, tands qu Engle et Lange (1997) retennent la dernère fourchette cotée lorsque le derner événement prx ntervent. Erwan Le Saout - Novembre

23 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté I La talle moyenne des ordres Engle et Russell (1994) ntrodusent auss le nombre d actons échangées par transacton qu apparaît lu auss sgnfcatf dans la régresson, cependant, l convent de sgnaler que les auteurs recourent à cette nouvelle varable dans un modèle où deux varables exogènes, la fourchette et le taux de transacton, sont déjà présentes. A notre avs, cec peut baser les résultats dans la mesure où ces tros varables possèdent très certanement un coeffcent de corrélaton élevé. L nterprétaton de la talle moyenne des ordres exécutés apparaît dès lors délcate. Easley et O Hara (1992) consdèrent que sur le marché, l exste deux types d nvestsseurs : les ntés et les non ntés. Les agents non nformés, appelés auss «lqudty traders», achètent et vendent pour des motfs de lqudté. Ils consdèrent que le volume observé peut être décomposé en deux types de volume. Il y a un «volume normal» qu correspond au nveau de lqudté moyen de l actf fnancer : l est le frut des échanges effectués sur l ntatve des agents non nformés. La dfférence 17 entre le volume observé et le «volume normal» détermne le «volume nattendu» qu correspond aux transactons effectuées par les nvestsseurs nformés. Ans, la probablté de négocer avec des ntervenants ntés s accroît lorsque le volume anormal augmente, ce qu entraîne une modfcaton de la fourchette par le teneur de marché (aveugle devant l nvestsseur) face à ce problème de sélecton adverse. Bauwens et Got (1997, 1999) analysent sur le NASDAQ et le NYSE le len avec le volume anormal et n obtennent pas de résultats sgnfcatfs sur le NASDAQ. Une des explcatons avancée par les auteurs est la non prse en compte des sasonnaltés quotdennes tel que l effet Lund [Jan et Joh (1988), Foster et Vswanathan (1990)]. Les résultats obtenus sur le NYSE corroborent en revanche l analyse d Easley et O Hara (1992). En fat, la relaton négatve entre les durées et la talle de la transacton s explque auss sans passer par la théore des relatons prx volume 18. Une transacton de grande talle engendre une basse de la profondeur du carnet d ordres, auss la probablté de toucher une autre lmte de prx s accroît. Il est à noter que certans auteurs estment que la talle des ordres n est pas sgnfcatve dans la formaton du processus de découverte de prx ; cec s explque par le fat que les nvestsseurs nformés préfèrent avancer sur le marché à 17 Il n est pas c tenu compte des volumes échangés en rason de la dffuson de l nformaton publque. Erwan Le Saout - Novembre

24 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté vsage couvert en exécutant de petts ordres afn de profter le plus longtemps possble de leur nformaton prvlégée. C est un des fondements de l analyse de Jones, Kaul et Lpson (1994) qu démontrent que c est l occurrence des transactons qu joue un rôle sur la volatlté et non pas le volume lu-même endogène au nombre de transactons. Un tel rasonnement consttue peut-être une explcaton aux résultats de Bauwens et Got (1997). I Le déséqulbre Bauwens et Got (1997) analysent le processus d affchage de la fourchette sur le NASDAQ, marché gouverné par les prx. Glosten et Mlgrom (1985) construsent un modèle d nformaton dans lequel les nvestsseurs et les teneurs de marché ne possèdent pas la même nformaton sur la valeur fondamentale de l acton qu ls échangent. S l n y avat que des nvestsseurs non nformés sur le marché, la fourchette serat rédute et les volumes de transactons «acheteuses» devraent être équvalents aux volumes de transactons «vendeuses». La stuaton dffère en présence d nvestsseurs ntés ; ces derners vont acheter ou vendre en foncton de leurs nformatons : nous devrons alors assster à un déséqulbre entre les ordres acheteurs et vendeurs révélant ans la présence d ntés. Devant ce constat, le market maker révse la fourchette. Selon Bauwens et Got (1997), la modélsaton de la durée entre affchage de fourchette peut explquer les varatons de lqudté durant la séance pusque ce modèle prend en compte le comportement passé du market maker (parte autorégressve du modèle) et du déséqulbre actuel entre les achats et les ventes. Sur le plan emprque, Bauwens et Got (1997) ntrodusent cette varable dans le modèle Log-ACD. Leurs résultats ndquent une relaton négatve très sgnfcatve. Cec tend à prouver que les teneurs de marché révsent leurs propostons de prx compte tenu de l état passé du marché. I Une vértable classe de modèles ACD On va présenter tros modèles de la classe ACD qu sont destnés à amélorer la prévson du temps séparant dfférents évènements de cotaton. On met partculèrement en avant la 18 Vor Karpoff (1997). Erwan Le Saout - Novembre

25 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté présence de pluseurs régmes dans le processus de cotaton et la mémore longue du processus. On conclut par des améloratons possbles de cette classe de modèles ACD. I Les modèles de durée condtonnelle à seul Par analoge au modèle TARCH (Thresold ARCH) [Zakoan (1994), Gouréroux (1992)], où la varance condtonnelle est une foncton par morceau, susceptble de dfférentes réactons selon le sgne et la grandeur des chocs, Zhang, Russell et Tsay (1999) tentent de modélser un Thresold ACD 19. Pour cela, les auteurs défnssent deux états - Une pérode de forte actvté et une pérode de fable actvté - dont lassaent déjà augurer les artcles d Engle et Russell (1994) et Hasbrouck (1999) pusque les premers auteurs ctés estmaent les coeffcents des varables explcatves supplémentares (.e. la fourchette et les volumes) dans un modèle ACD selon le nveau d ntensté des transactons. Le modèle TACD permet d dentfer la relaton non lnéare exstante entre l espérance condtonnelle de la durée entre évènements de cotaton et les durées passées, et rédut auss sgnfcatvement les statstques de test non lnéare proposées par Engle et Russell (1998). Il permet auss de corroborer les hypothèses fates par dfférents modèles théorques tel que celu proposé par Easley et O Hara (1992). Le comportement des varables économques leur permet d dentfer le régme de forte ntensté des échanges comme un régme de transactons ntées par des nvestsseurs nformés ; nversement, le bas régme d actvté est assocé à des échanges d ntervenants non nformés. L hypothèse selon laquelle les erreurs suvent une dstrbuton gamma fournt une foncton de hasard flexble pour chaque régme et résout un problème d excès de dsperson provoqué par la présence d hétérogénété. Le modèle TACD permet ans d amélorer la compréhenson du phénomène d autocorrélaton des durées entre évènements de cotaton et consttue un pas mportant vers la modélsaton du processus de cotaton dans sa totalté. La connassance des dfférentes dynamques (transactons, prx, taux d ntérêt, ) peut ans faclter l estmaton et l dentfcaton de dfférentes séres fondamentales [Duffe et Glynn (1996)]. Erwan Le Saout - Novembre

26 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté I Modèles de durée et persstance Jasak (1999) remarque que l autocorrélaton entre les évènements de cotaton s apparente à un processus de mémore longue. Un choc dans le processus de transacton possède un mpact qu persste dans le temps. C est pourquo, Jasak (1999) développe le modèle ACD afn d en proposer une nouvelle verson nommée FIACD (Fractonaly Integrated ACD) par analoge au modèle IGARCH ntrodut par Engle et Bollerslev (1986) et au modèle FIGARCH proposé par Balle, Bollerslev et Mkkelsen (1996). Engle et Bollerslev (1986) ont effectué la proposton du modèle IGARCH afn d exprmer l dée que, dans certans cas, les modèles GARCH pussent se caractérser par une persstance dans la varance, ou encore que les prévsons à pluseurs étapes de la varance condtonnelle, ne convergent pas vers la varance non condtonnelle. Ans, les modèles IGARCH font parte d une classe de modèles «caractérsés par une proprété de varance persstante dans lesquels l nformaton courante reste mportante pour les prévsons des varances condtonnelles à tous les horzons» [Engle et Bollerslev (1986)]. Jasak (1999) étude la persstance des chocs dans le processus FIACD dans le cadre d une analyse de la réacton du marché face à l ntroducton d une nnovaton 20. La foncton réponse 21 mesure l effet d un choc sur le comportement temporel des séres. Le modèle FIACD apparaît sgnfcatf ce qu lasse supposer que le modèle de base ACD comporte quelques mperfectons. De plus, dans une structure à régme multple, l auteur met en relef un len exstant entre la persstance des durées et la dynamque des rentabltés. Ces premers résultats lassent entrevor des voes possbles de recherches en matère d effcence. I Le modèle Log-ACD asymétrque Bauwens et Got (1998) proposent une extenson ntéressante du modèle Log-ACD qu dffère dans sa forme comparée aux deux extensons présentées précédemment. Les auteurs 19 Il faut noter que Hamelnk (1998) suggère auss une telle modélsaton. 20 Vor auss Gouréroux et Jasak (1999) qu ntrodusent un concept d nnovaton adapté à l analyse des dynamques non lnéares ; les auteurs explquent comment le processus ntal peut être exprmé en foncton des valeurs présentes et passées de l nnovaton et défnssent des fonctons réponses à des chocs transtores ou permanents. 21 L auteur reprend l approche de Gouréroux et Jasak (1999) à savor que la foncton réponse a pour fondement une décomposton à la Volterra. Erwan Le Saout - Novembre

27 La Lqudté - De la Mcrostructure à la Geston du Rsque de Lqudté développent en effet un modèle Log-ACD asymétrque. La modélsaton de la durée entre deux évènements prx dépend du sens de la varaton des prx. On retrouve ans l dée de seul dans la mesure où les auteurs vont consdérer deux états du monde : une varaton de prx négatve et une varaton de prx postve durant la «durée prx». L objet de la recherche consste à découvrr s l espérance condtonnelle dépend du sens de la varaton de prx. Le comportement des nvestsseurs est-l dentque quelle que sot l évoluton du marché ; Damond et Verrecha (1987) consdèrent qu une «mauvase nouvelle» se tradut par l absence de transacton alors qu une augmentaton de la fréquence des échanges sgnfe une «bonne nouvelle». Bauwens et Got (1998) estment tout d abord un modèle de transton applqué au sens de la varaton de prx, ce qu leur permet d affrmer que la probablté d un renversement de tendance est plus fable qu une contnuté de la tendance (.e. une rentablté postve au temps t a plus de chance d être suve par une rentablté postve que négatve et récproquement). Les auteurs analysent ensute l espérance condtonnelle de la durée. S on observe une augmentaton du prx à l nstant t, la durée d attente est plus fable s dans l état antéreur, on avat déjà enregstré une varaton postve plutôt qu une varaton négatve. En revanche, s dans un nstant t, nous avons constaté une basse de prx, la durée d attente est là encore, plus fable s dans l état antéreur, nous avons observé une varaton postve. Ces résultats sgnfent qu un événement prx postf engendre une nouvelle «durée prx» plus rapdement que s l événement prx état négatf. Les résultats de Bauwens et Got (1997) ndquent clarement qu l exste des dynamques dfférentes selon que le marché évolue à la hausse ou à la basse. Une telle spécfcaton, tel que le suggère auss Russell (1999), permet non seulement d amélorer la prévson des durées mas surtout lasse supposer une utlsaton en termes de geston dynamque de portefeulle, car l ne s agt pas c d estmer seulement le temps entre échanges mas de tenr compte de la rentablté du marché. Les extensons à la nouvelle classe de modèles ACD (Durée Condtonnelle Autorégressve) ntrodute par Engle et Russell (1994) ne s arrêtent pas là. De nombreuses autres propostons ont ans vu le jour depus cette modélsaton. Ans des modèles multvarés commencent à être développés [Engle et Lunde (1997), Engle et Russell (1999), Russell (1998, 1999)] afn de prendre en compte conjontement pluseurs processus Erwan Le Saout - Novembre