Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

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1 [ édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +. a Motrer que l équatio E possède ue solutio uique otée x. b Motrer que la suite (x diverge vers +. c Doer u équivalet simple de la suite (x. Exercice 2 [ 0477 ] [Correctio] Soit f : ]0 ; + [ R la foctio défiie par f(x = l x + x a Motrer que pour tout N, il existe u uique x tel que f(x =. b Former le développemet asymptotique de la suite (x N à la précisio (l /. Exercice 3 [ 0030 ] [Correctio] Pour N, o cosidère l équatio d icoue x R. x + 3 x = a Motrer que cette équatio possède ue uique solutio x. b Détermier la limite de x puis u équivalet simple de (x N. c Doer u développemet asymptotique à trois termes de (x N. c Former u développemet asymptotique à trois termes de x quad +. Exercice 5 [ 0478 ] [Correctio] Motrer que l équatio ta x = x possède ue uique solutio x das chaque itervalle I = ] π/2 ; π/2[ + π (avec N. Réaliser u développemet asymptotique à quatre termes de x. Exercice 6 [ ] [Correctio] Soiet N et l équatio (E : x + x = 0 a Motrer qu il existe ue uique solutio positive de (E otée x et que lim + x =. b O pose y = x. Motrer que, pour assez grad, l 2 y 2 l (o posera f (y = l( y l(y. c Motrer que l(y l puis que x = l ( l + o Exercice 7 [ 0036 ] [Correctio] Motrer que l équatio x + x 2 = 0 admet ue uique racie réelle strictemet positive pour. O la ote x. Détermier la limite l de la suite (x puis u équivalet de x l. Exercice 4 [ 003 ] [Correctio] a Pour tout N, justifier que l équatio x + e x = possède ue uique solutio x R. b Détermier la limite de (x puis u équivalet de x. Exercice 8 [ 0037 ] [Correctio] Pour tout etier 2, o cosidère l équatio (E : x = x + dot l icoue est x 0. a Motrer l existece et l uicité de x solutio de (E. b Motrer que (x ted vers. c Motrer que (x admet u développemet limité à tout ordre. Doer les trois premiers termes de ce développemet limité. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 5 mai 206 Eocés 2 Exercice 9 [ 0038 ] [Correctio] Pour 2, o cosidère le polyôme P = X X + a Motrer que P admet exactemet ue racie réelle etre 0 et, otée x. b Détermier la limite de x lorsque +. c Doer u équivalet de (x puis le deuxième terme du développemet asymptotique x. c Détermier u développemet asymptotique à 2 termes de (x. Exercice 3 [ 0439 ] [Correctio] O étudie l équatio ta x = x d icoue x réelle. a Soit N. Motrer que cette équatio possède ue uique solutio x das l itervalle I = ] π/2 ; π/2[ + π. b Détermier u équivalet de la suite (x N aisi défiie. c Réaliser u développemet asymptotique à trois termes de x. Exercice 0 [ 0032 ] [Correctio] a Soit N. Motrer que l équatio x + l x = 0 possède ue uique solutio x > 0. b Détermier la limite de x. c O pose u = x. Justifier que u l u puis détermier u équivalet de u. Exercice [ 0354 ] [Correctio] Pour N o itroduit le polyôme P (X = X(X... (X a Motrer que le polyôme P possède ue uique racie das l itervalle ]0 ; [ ; celle-ci sera oté x. b Étudier la mootoie de la suite (x. c Former la décompositio e élémets simples de la fractio ratioelle F = P P d E déduire u équivalet de la suite (x. Exercice 2 [ 0247 ] [Correctio] Soit f(x = (cos x /x et (C le graphe de f. a Motrer l existece d ue suite (x vérifiat : b (x est croissate positive. ii la tagete à (C e (x, f(x passe par O. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 5 mai 206 Correctios 3 Correctios Exercice : [éocé] a Le tableau de variatio de f : x x + l x permet d affirmer que cette foctio réalise ue bijectio croissate de R + vers R. L équatio E possède alors pour solutio uique x = f (. b Le tableau de variatio de f doe lim + f = +. Par suite x +. c x + doe l x = o(x. La relatio x + l x = doe alors x + o(x = et doc x. Exercice 2 : [éocé] a La foctio f : x x + l x réalise ue bijectio de ]0 ; + [ sur R d où l existece de (x. b Comme +, x = f ( +. Par suite l x = o(x et = x + l x x. Doc x = + o(. Soit y = x. O a : Doc y = l x = l( + o( = l + l( + o( = l + o( x = l + o( Soit z = y + l. O a : ( z = l( l(+o(+l = l l + o( = l ( l +o Doc Exercice 3 : [éocé] x = l + l ( l + o a La foctio f : R + R défiie par f(x = x + 3 x réalise ue bijectio de R + vers R +. b Puisque x = f ( et f + +, o a x +. O e déduit 3 x = o(x puis x c O peut écrire x = + y avec y = o(. Puisque y y = 0 o a y 3 O peut écrire y = 3 + z avec z = o ( 3. Puisque [ 3 + z ( 3 ] 3 + o = 0 o obtiet Fialemet Exercice 4 : [éocé] z 3 3 x = 3 + ( o 3 a Soit f : R R défiie par f(x = x + e x. x + f(x + b f(x = + = f(x + doc x x + car f est croissate. Si (x est majorée par M alors f(x = f(m ce qui est absurde. La suite (x état croissate et o majorée, elle diverge vers +. x = o(e x doc e x + puis x l. c Posos y = x l = o(l. O a y + l + e y = doc d où y 0 et e y = y + l e y = + y + o(y Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 5 mai 206 Correctios 4 O a alors y + l + ( + y + o(y = d où y + o(y = l et Par suite O écrit y = l doc puis Fialemet e y + z et y l x = l l = l + z + 2 ( l + o ( 2 ( l l + o 2 l + z + z + (l 2 ( (l 2 + o = 0 2 x = l l (l 2 z 2 2 (l ( (l 2 + o Exercice 5 : [éocé] Sur I, la foctio f : x ta x x est cotiue, croît strictemet de vers +. Cela assure l existece et l uité de x. O a π 2 + π < x < π 2 + π doc x π. Posos y = x π. O a ta y = x et y ] π 2 ; π 2 [ doc Posos y = arcta x π 2 z = π 2 y = π 2 arcta x = arcta = arcta x π + π 2 + o( O a et doc π + π 2 + o( = Fialemet Exercice 6 : [éocé] π o ( arcta x = x 3 x3 + o(x 3 = ( π 4 + o π 3 z = π 4 ( π 3 3 π3 + o 3 3/2 x = π + π π ( π π 3/2 + o 3/2 3/2 3/2 a O itroduit ϕ (x = x + x. ϕ (x = x + > 0, ϕ est cotiue strictemet croissate et réalise ue bijective et de [0 ; + [ vers [ ; + [ d où l existece et l uicité de x. O a ϕ ( = doc x ]0 ; [. Si x + < x alors x + + < x puis x x + < x + x ce qui est absurde. O e déduit que (x est croissate et état majorée cette suite coverge. Posos l sa limite, l ]0 ; ]. Si l < alors x + x = 0 doe à la limite l = 0 ce qui est absurde. Il reste l =. b f est strictemet décroissate sur ]0 ; [, f (y = 0, c f ( l 2 doc à partir d u certai rag l l 2 > 0 et f l 2 y 2 l. ( 2 l l < 0 ( ( l l y l 2 l 2 doe l(y l puis l( y = l y doe y l puis y l et fialemet x = l ( l + o. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 5 mai 206 Correctios 5 Exercice 7 : [éocé] Posos f (x = x + x 2. L étude de la foctio f assure l existece et l uicité d ue solutio x R + à l équatio étudiée. De plus, o observe que x [0 ; ]. Puisque 0 = f + (x + f (x +, o peut affirmer x + x. La suite (x est croissate et majorée doc coverge vers u réel l. Puisque pour tout N, x [0 ; ], à la limite l [0 ; ]. Si l < alors 0 x l 0 et la relatio x + x 2 = 0 doe à la limite l 2 = ce qui est absurde. O coclut que l =. Posos u = x, O a ( u = u (2 u doc d où or doc puis et efi l( u = l u + l(2 u u l u puis l + l u l( l u l( l u = o(l u l u l u l x l c O a avec x = x + l x = l(x + g(x = g(x = l x l(x + défiie sur [ ; + [. La foctio g est de classe C, g (x > 0 doc g réalise ue bijectio de [ ; + [ vers [0 ; [, de plus (puisque g (x 0 g est aussi de classe C et doc g admet u DL (0 pour tout N et doc x = g (/ admet u développemet limité à tout ordre. Formos ses trois premiers termes a = g (0 =. g(g (x = x doc puis doc Fialemet g (x = a + bx + cx 2 + o(x 2 l( + bx + cx 2 + o(x 2 = x l(2 + bx + o(x 2 ( bx + c b2 x 2 + o(x 2 = l(2x + b 2 2 x2 + o(x 2 b = l 2 et c = x = + l 2 ( + l(2 l(2 2 + ( + l(2 l ( + o 2 Exercice 8 : [éocé] a Il suffit d étudier f : x x (x +. b f ( 0 doc x. De plus f + (x = x + (x + = (x (x + 0 doc x + x. La suite (x est décroissate et miorée par doc elle coverge vers l. Si l > alors x l + or x = x + l +. Ce qui est impossible et il reste l =. Exercice 9 : [éocé] a La foctio x P (x est strictemet décroissate sur [0 ; ] car P (x = (x est strictemet égatif sauf pour x =. La foctio cotiue P réalise doc ue bijectio strictemet décroissate de [0 ; ] vers [P ( ; P (0] = [2 ; ]. O e déduit l existece et l uicité de la solutio x à l équatio P (x = 0. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 5 mai 206 Correctios 6 b Puisque x [0 ; ], o a x + x puis P + (x = x + ( + x + P (x = 0 Aisi P + (x P + (x + et doc x + x car la foctio P + est strictemet décroissate. La suite (x est décroissate et miorée, elle coverge doc vers u réel l [0 ; ]. Si l > 0 alors P (x = x x + ce qui est absurde. O coclut l = 0. c O a x x = x 0 et doc x = o(x. Sachat x x + = 0, o obtiet x puis x Écrivos esuite x = + ε avec ε 0 Puisque x = x, o a Nous allos motrer ε = x = ( + ε 0 ( + ε + ce qui permettra de détermier u équivalet de ε puis de coclure. Puisque ε 0, pour assez grad, o a + ε 2 et alors ε = ( + ε O e déduit ( + ε ( + 2 Or l ( = exp ( l 2 0 ( + 2 et par ecadremet ( + ε O peut coclure ε et fialemet x = + ( + + o + Exercice 0 : [éocé] a Soit f : x x + l x. O a x 0 + f (x + d où l existece et l uicité de x avec e plus la propriété x ]0 ; [. b O a f + (x = x + + l(x = ( x l(x < 0 doc x + x. La suite (x est croissate et majorée par doc coverge vers l ]0 ; ]. Si l < alors 0 = x + l x l l car 0 x l 0. Ceci est impossible. Il reste l =. c ( u = l( u u 0 doc l( u l u puis u l u +. l + l u l( l u doc l = l u + l( l u + o(l( l u or l( l u = o(l u doc l l u puis Exercice : [éocé] u l u l a Par applicatio du théorème de Rolle à la foctio t P (t sur chacu des itervalles [k ; k + ] (avec 0 k, o obtiet que le polyôme P admet au mois ue racie das chacu des itervalles ]k ; k + [. Puisque le polyôme P est de degré, il possède au plus racies et doc il e possède pas d autres racies que celles précédetes. E particulier, le polyôme P possède exactemet ue racie das l itervalle ]0 ; [. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 5 mai 206 Correctios 7 b O a P + (X = P (X(X ( + E dérivat et e évaluat e x o obtiet D ue part est ue quatité positive. D autre part, l expressio P +(x = P (x ( P (x = x k= (k x + ( P + (x = x(x (k x est égative sur [0 ; ]. O e déduit ses variatios sur [0 ; ] puis le sige de sa dérivée sur ce même itervalle. Puisque qu elle est égative sur [0 ; x + ] et positive sur [x + ; ], o obtiet x + x La suite (x est doc décroissate. c Puisque les racies de P sot exactemet les 0,,..., et puisque celles-ci sot simples, o obtiet F = X k d Sachat F (x = 0, o obtiet x = Puisque 0 x x 0, o obtiet Aisi k= et o peut coclure k x k= k=0 k= k x k=2 + k x 0 x 0 k=2 l + O( x l( + O( x l k Exercice 2 : [éocé] a La foctio f est défiie et C sur D = k Z I k avec I k = ] π 2 + 2kπ ; π 2 + 2kπ[ Pour x D, la tagete e (x, f(x passe par O si, et seulemet si, xf (x = f(x. Après trasformatio, ceci équivaut pour x > 0 à l équatio x ta x + l(cos(x + x = 0 Posos ϕ(x = x ta x + l(cos(x + x. ϕ est défiie et de classe C sur D. ϕ (x = x( + ta 2 x + > 0 sur D R +. Quad x ( π 2 + 2kπ (, ϕ(x +. Quad x π 2 + 2kπ +, ϕ(x. ϕ Ik réalise doc ue bijectio de I k vers R (pour k N. La suite (x N avec x = (ϕ I (0 est solutio. b Evidemmet x 2π et doc x = 2π + y. Après calculs, o obtiet (2π + y (cos y + si y = cos(y l(cos y La foctio t t l t est borée sur ]0 ; ] car prologeable par cotiuité e 0 et doc cos y + si y = cos y l(cos y 2π + y Sachat y < π/2, o e déduit y π/4. O coclut Exercice 3 : [éocé] x = 2π π 4 + o ( 0 + a Sur I, la foctio f : x ta x x est cotiue et croît strictemet de vers +. Elle réalise doc ue bijectio de I vers R. L équatio f (x = 0 possède alors ue uique solutio das I. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 5 mai 206 Correctios 8 b Puisque x est u élémet de I, o dispose de l ecadremet π 2 + π < x < π 2 + π O e déduit c Posos O a x π + y = x π ta y = x avec y ] π 2 ; π 2 [ et doc y = arcta x π + 2 O peut aisi déjà écrire le développemet asymptotique à deux termes x = + π + π 2 + o( Détermios u équivalet de ce o( e étudiat Sachat z = π 2 y = π 2 arcta x x > 0, arcta(x + arcta ( = π x 2 o obtiet ( ( z = arcta = arcta + π + π 2 + o( x + π Fialemet x = π + π + 2 ( π + o Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd