[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que"

Transcription

1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer qu à partir d u certai rag : u < v. Exercice 7 [ 053 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites telles que Que dire de ces suites? 0 u, 0 v et u v Exercice 8 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels o uls vérifiat Exercice [ 048 ] [Correctio] Motrer que u ) Z N coverge si, et seulemet si, u ) est statioaire. Détermier la limite de u ). u + u 0 Exercice 3 [ 049 ] [Correctio] Soiet a, b) R, u ) et v ) deux suites telles que { N, u a et v b Motrer que u a et v b. u + v a + b Exercice 4 [ 050 ] [Correctio] Soit u ) et v ) deux suites réelles telles que u + v ) et u v ) coverget. Motrer que u ) et v ) coverget. Exercice 5 [ 05 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites covergetes. Etudier lim maxu, v ) + Exercice 9 [ 0384 ] [Correctio] Soiet K u réel strictemet supérieur à et ε ) ue suite de réels positifs covergeat vers 0. Soit u ) ue suite de réels de [0, ] vérifiat La suite u ) coverge-t-elle vers 0? Calcul de limites N, 0 u + u + ε K Exercice 0 [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u ) suivates : a) u = 3 ) 3 + ) b) u = c) u = + + d) u = k k= Exercice 6 [ 05 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles telles que u + u v + v 0 Démotrer que les suites u ) et v ) coverget vers 0. Exercice [ 055 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a) u = + ) b) u = c) u = si ) / ) d) u = +

2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Exercice [ 056 ] [Correctio] Détermier par comparaiso, la limite des suites u ) suivates : a) u = si + ) + b) u =! c) u = ) + ) e) u = + ) Exercice 3 [ 057 ] [Correctio] Détermier les limites des sommes suivates : a) S = k b) S = c) S = e) S = g) S = k= k= k= d) u = e k= + k d) S = f) S = + k k= ) k k! Exercice 4 [ 058 ] [Correctio] Comparer lim lim ) m, lim m + + lim + m + k k=+ k + k ) m et lim ) + Exercice 5 [ 059 ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels strictemet positifs. O suppose u l. a) Motrer que si l < alors u 0. b) Motrer que si l > alors u +. c) Motrer que das le cas l = o e peut rie coclure. Exercice 6 [ 060 ] [Correctio] Soit u ) N ue suite de réels strictemet positifs. O suppose u + u l +. Motrer que si l < alors u Motrer que si l > alors u Observer que das le cas l = o e peut rie coclure. Exercice 7 [ 06 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = k= a) Etablir que pour tout p >, p+ p + k et S = ) k k= dx x p p dx p x E déduire la limite de S ). b) Etablir que S = S. E déduire la limite de S ). Exercice 8 [ 063 ] [Correctio] Détermier la limite de u = Exercice 9 [ 064 ] [Correctio] Soit p N\ {0, }. Pour N o pose a) Motrer que b) Motrer par récurrece u = k ) ) + p et S = k= k u k N, + p + )u + = + )u + S = p + p + )u +) c) O pose N v = + p)u. Motrer que v ) coverge vers 0. d) E déduire lim S e foctio de p.

3 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés 3 Exercice 0 [ ] [Correctio] Soit z C avec z <. Existece et calcul de lim + + z k) Exercice [ 0396 ] [Correctio] Etudier la covergece de deux suites réelles u ) et v ) vérifiat lim u + v ) = 0 et + Exercice [ 06 ] [Correctio] Soit a R et pour N, Motrer que et détermier lim P. P = lim + e + eu v ) = cos a k k= a ) si P = sia) Exercice 3 [ 0098 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a) u = b) u = + x ) ) + c) u = d) u = cos ) + cos + π e) u = ta 4 + α )) ) l l + ) f) u = l ) ) 4 arcta + ) g) u = h) u = 3 arcta Exercice 4 [ 0030 ] [Correctio] Nature de la suite de terme gééral u = cosπ l /)) Exercice 5 [ 078 ] [Correctio] Etudier la covergece de la suite a /), où a > 0. Exercice 6 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite d etiers aturels deux à deux disticts. Motrer que u +. Exercice 7 [ 0030 ] [Correctio] Soiet α > 0 et u = k= α + k α a) Motrer que si α > alors u 0 tadis que si α <, u +. b) Motrer que si α =, la suite est mootoe et covergete. c) Toujours das le cas α = et e exploitat l ecadremet l + x) x l x) valable pour tout x [0, [, établir u l. Exercice 8 [ 003 ] [Correctio] a) Etablir que pour tout x 0 o a b) E déduire la limite de x x l + x) x u = Exercice 9 [ 0039 ] [Correctio] a) Soit u = + k ) k= p k= + k où p N est fixé. Motrer que la suite u ) coverge. Sa limite sera otée l o e demade pas ici de la calculer) b) Soit f : R + C de classe C et telle que f0) = 0. Soit p v = f k= ) + k

4 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés 4 Motrer que v ) coverge. Exprimer sa limite e foctio de l. c) Calculer l e utilisat fx) = l + x). d) Si f de R + das C est cotiue et vérifie f0) = 0, motrer qu il peut y avoir divergece de la suite v ). Limites des suites mootoes Exercice 30 [ 065 ] [Correctio] Soit u ) ue suite croissate de limite l. O pose a) Motrer que v ) est croissate. b) Etablir que v u+v. c) E déduire que v l. v = u + + u Exercice 3 [ 066 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle covergete. Etudier la limite de la suite v = sup u p. p Exercice 3 [ 067 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle borée. O pose v = sup u p et w = if u p p p Motrer que les suites v ) et w ) possèdet chacue ue limite das R et comparer celles-ci. Exercice 33 [ 068 ] [Correctio] [Somme harmoique] Pour tout N, o pose Motrer que E déduire que lim H = +. H = k= k N, H H Exercice 34 [ 069 ] [Correctio] Soit H ) la suite défiie pour N par H = a) Motrer que H +. b) Soit u ) ue suite telle que u + u ). Motrer que u +. k= Exercice 35 [ 070 ] [Correctio] O pose 3 5 ) u = 4 6 ) a) Exprimer u à l aide de ombres factoriels. b) Motrer que la suite u ) coverge. c) O pose v = + )u Motrer que la suite v ) coverge. E déduire la limite de la suite u ) d) Simplifier ) k k= et comparer ce produit à u. e) E déduire que la limite C de la suite v ) est strictemet positive. Exercice 36 [ ] [Correctio] Soiet a > 0 et u = + a) + a )... + a ) a) Motrer que si a alors u +. b) O suppose 0 < a <. Motrer que la suite u ) est covergete. O pourra exploiter la majoratio + x e x valable pour tout x R. Suites adjacetes Exercice 37 [ 07 ] [Correctio] Soiet θ ]0, π/[ et u = si θ, v = ta θ k

5 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés 5 Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. Quelle est leur limite commue? Exercice 38 [ 0035 ] [Correctio] O pose u = et v = + k k k= k= Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. E déduire u équivalet de k Exercice 39 [ 07 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = k= k= k et S = S + Motrer que les suites S ) et S ) sot adjacetes. O peut motrer que leur limite commue est π /6, mais c est ue autre histoire... Exercice 40 [ 073 ] [Correctio] [Critère spécial des séries alterées ou critère de Leibiz] Soit u ) ue suite de réels décroissate et de limite ulle. Pour tout N, o pose S = ) k u k Motrer que les suites extraites S ) et S + ) sot adjacetes et e déduire que S ) coverge. Exercice 4 [ 074 ] [Correctio] [Irratioalité du ombre de Néper] Soiet a = k! et b = k! +.! = a +.! a) Motrer que a ) et b ) sot strictemet mootoes et adjacetes. O admet que leur limite commue est e. O désire motrer que e / Q et pour cela o raisoe par l absurde e supposat e = p q avec p Z, q N. b) Motrer que a q < e < b q puis obteir ue absurdité. Exercice 4 [ 075 ] [Correctio] [Moyee arithmético-géométrique] a) Pour a, b) R +, établir : ab a + b b) O cosidère les suites de réels positifs u ) et v ) défiies par u 0 = a, v 0 = b et N, u + = u v, v + = u + v Motrer que, pour tout, u v, u u + et v + v. c) Etablir que u ) et v ) coverget vers ue même limite. Cette limite commue est appelée moyee arithmético-géométrique de a et b et est otée Ma, b). d) Calculer Ma, a) et Ma, 0) pour a R +. e) Exprimer Mλa, λb) e foctio de Ma, b) pour λ R +. Exercice 43 [ 0034 ] [Correctio] [Irratioalité de e] O pose pour, u = k! et v = u +.! a) Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. b) E exploitat l iégalité de Taylor-Lagrage appliquée à la foctio x e x, motrer que u e. c) O suppose que e = p/q avec p, q N. E cosidérat q.q!u q et q.q!v q obteir ue absurdité. Suites extraites Exercice 44 [ 076 ] [Correctio] O suppose que u ) est ue suite réelle croissate telle que u ) coverge. Motrer que u ) coverge.

6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés 6 Exercice 45 [ 077 ] [Correctio] Soit u ) ue suite complexe telle que u ), u + ) et u 3 ) coverget. Motrer que u ) coverge. Exercice 46 [ 078 ] [Correctio] Justifier que la suite de terme gééral cos) diverge. Exercice 47 [ 0037 ] [Correctio] Motrer que la suite de terme gééral si) diverge. Exercice 48 [ 079 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle telle que Motrer que u ) ted vers 0. Exercice 49 [ 0334 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle vérifiat, p N, 0 u +p + p p u + u 0 et u + Motrer qu il existe ue applicatio ϕ : N N strictemet croissate vérifiat u ϕ) 0 Limite de suites de solutios d ue équatio Exercice 50 [ 090 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + ta x = d icoue x ] π/, π/[. a) Motrer que l équatio E possède ue solutio uique otée x. b) Motrer que la suite x ) coverge et détermier sa limite. Exercice 5 [ 088 ] [Correctio] Motrer que l équatio xe x = possède pour tout N, ue uique solutio x das R +. Etudier la limite de x ). Exercice 5 [ 09 ] [Correctio] Soit u etier aturel o ul et E l équatio : x l x = d icoue x R +. a) Motrer que l équatio E admet ue uique solutio x, et que x. b) Motrer que la suite x ) est décroissate et coverge vers. Exercice 53 [ 09 ] [Correctio] Soiet N et E : x + x + + x = a) Motrer que l équatio E possède ue uique solutio x das R + et que x [/, ] b) Motrer que x ) coverge. c) Détermier la limite de x ). Exercice 54 [ 0034 ] [Correctio] Motrer que pour tout, l équatio x! = possède ue uique racie x das ]0, + [. Détermier lim x. Exercice 55 [ 0035 ] [Correctio] Motrer que la relatio u + + )u = défiit ue suite positive u ) uique. Etudier sa covergece et préciser sa limite. Expressio du terme gééral d ue suite récurrete Exercice 56 [ 093 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral et la limite de la suite récurrete réelle u ) 0 défiie par : a) u 0 = 0 et N, u + = u + b) u 0 = 0 et N, u + = u+. x k k!

7 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés 7 Exercice 57 [ 094 ] [Correctio] Soit x ) et y ) deux suites réelles telles que N, x + = x y et y + = x + y E itroduisat la suite complexe de terme gééral z = x + i.y, motrer que les suites x ) et y ) coverget et détermier leurs limites. Exercice 58 [ 095 ] [Correctio] Soit z ) ue suite complexe telle que N, z + = 3 z + z ) Motrer que z ) coverge et exprimer sa limite e foctio de z 0. Exercice 6 [ 0056 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle telle que u 0 = et N, u + = + ) u + Doer l expressio du terme gééral u de cette suite. Suites récurretes liéaires d ordre Exercice 63 [ 098 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral de la suite récurrete complexe u ) 0 défiie par : u 0 = 0, u = + 4i et N, u + = 3 i)u + 5 5i)u Exercice 59 [ 096 ] [Correctio] Soit u ) et v ) les suites détermiées par u 0 =, v 0 = et pour tout N : u + = 3u + v et v + = u + 3v a) Motrer que la suite u v ) est costate. b) Prouver que u ) est ue suite arithmético-géométrique. c) Exprimer les termes gééraux des suites u ) et v ). Exercice 60 [ 097 ] [Correctio] Soiet ρ > 0 et θ ]0, π[. O cosidère la suite complexe z ) défiie par z 0 = ρe iθ et a) Exprimer z sous forme d u produit. b) Détermier lim + z. N, z + = z + z Exercice 6 [ ] [Correctio] Etudier la suite z ) 0 défiie par z 0 C et N, z + = z + z Exercice 64 [ 099 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral des suites récurretes réelles suivates : a) u ) 0 défiie par u 0 =, u = 0 et N, u + = 4u + 4u b) u ) 0 défiie par u 0 =, u = et N, u + = 3u + u c) u ) 0 défiie par u 0 =, u = et N, u + = u + u. Exercice 65 [ 0300 ] [Correctio] Soit θ ]0, π[. Détermier le terme gééral de la suite réelle u ) défiie par : u 0 = u = et N, u + cos θu + + u = 0 Exercice 66 [ 0683 ] [Correctio] Détermier les foctios f : R + R + vérifiat x > 0, ffx)) = 6x fx) Etude de suites récurretes Exercice 67 [ 0304 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par u 0 = a R et N, u + = u

8 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés 8 Exercice 68 [ 0305 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 69 [ 0303 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 70 [ 0306 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 7 [ 0307 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 7 [ 0308 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 73 [ 0309 ] [Correctio] Soit u ) la suite réelle défiie par u 0 R et N, u + = u + u 0 = et N, u + = + u u 0 et N, u + = + lu ) u 0 R et N, u + = e u u 0 > 0 et N, u + = + u Exercice 74 [ 030 ] [Correctio] Soit a C tel que 0 < a < et u ) la suite défiie par u u 0 = a et N, u + = u Motrer que u ) est bie défiie et u <. Etudier la limite de u ). Exercice 75 [ 03 ] [Correctio] Soit a > 0 et u ) la suite défiie par u 0 > 0 et N, u + = u + a ) u a) Etudier la covergece de la suite u ). b) O pose pour tout N v = u a u + a Calculer v + e foctio de v, puis v e foctio de v 0 et. c) Motrer que, si u 0 > a, o a u a u0.v 0 Aisi, u réalise ue approximatio de a à la précisio u 0.v 0 0. O peut alors par des calculs élémetaires, détermier ue approximatio de a. Exercice 76 [ 033 ] [Correctio] O cosidère l équatio l x + x = 0 d icoue x > 0. a) Motrer que l équatio possède ue uique solutio α. b) Former, par l algorithme de Newto, ue suite récurrete réelle u ) covergeat vers α. u 0 = a [, ] et N, u + = u a) Justifier que la suite u ) est bie défiie et N, u [, ] b) Quelles sot les limites fiies possibles pour u )? c) Motrer que u ) coverge puis que lim u = 0. E déduire lim u. Exercice 77 [ 03 ] [Correctio] Détermier le terme gééral de la suite u ) défiie par : u 0 = a > 0, u = b > 0 et N, u + u = u + A quelle coditio u ) coverge?

9 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés 9 Exercice 78 [ 030 ] [Correctio] Soit a R +. O défiit ue suite u ) par u 0 = a et N, u + = a) Détermier la limite de u ). b) Détermier la limite de u + u. Exercice 79 [ ] [Correctio] Etablir + Exercice 80 [ 039 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle vérifiat Soit v ) la suite détermiée par + + = + N, u [/, ] u k v 0 = u 0 et N, v + = v + u + + u + v Motrer que la suite v ) coverge et détermier sa limite. Exercice 8 [ 0038 ] [Correctio] Étudier la suite défiie par u 0 R + et N, u + = + 4 u Exercice 8 [ ] [Correctio] Soiet a > 0, u = a, u = a + a, u 3 = a + a + a, Motrer que u ) est covergete. Exercice 83 [ 0033 ] [Correctio] Soit et u ) la suite défiie par f : x x3 + 3 u 0 R et N u + = fu ) a) Justifier que l équatio fx) = x possède trois racies réelles qu o exprimera pas). b) Etudier le sige de fx) x aisi que la mootoie de f. c) Préciser le comportemet de u ) e discutat selo la valeur de u 0. Exercice 84 [ 0033 ] [Correctio] Soiet f : x x3 + 3ax 3x + a avec a > 0) et u ) la suite défiie par u 0 > 0 et N,u + = fu ) Etudier les variatios de f, le sige de fx) x et e déduire le comportemet de u ). Exercice 85 [ ] [Correctio] Soiet u 0 ]0, [ et pour tout N, u + = u u Motrer que u ) est mootoe de limite ulle. Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats u k et u k ) Exercice 86 [ ] [Correctio] Soit f : [a, b] [a, b] ue foctio de classe C telle que x [a, b], f x) < a) Motrer que f admet u poit fixe uique α. b) Motrer, pour tout u [a, b], la covergece vers α de la suite u ) défiie par u 0 = u et N, u + = fu )

10 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés 0 Exercice 87 [ ] [Correctio] Soit f : [a, b] [a, b] ue foctio lipschitziee et α [a, b]. O cosidère la suite défiie par u 0 = α et u + = u + fu ) Motrer que u ) coverge vers u poit fixe de f. Exercice 88 [ 0039 ] [Correctio] Soit u ) la suite défiie par u 0 ]0, 4[ et N u + = 4u u a) Motrer que u ) est borée. Quelles sot les limites possibles de u )? b) Motrer que si u ) coverge alors u ) est soit statioaire égale à 0, soit statioaire égale à 3. c) E posat u 0 = 4 si α, détermier les valeurs de u 0 pour lesquelles la suite u ) est statioaire. Exercice 89 [ ] [Correctio] Soiet ρ R + et θ ] π ; π]. O cosidère la suite complexe z ) N défiie par. Exprimer z à l aide d u produit. z 0 = ρe iθ et N, z + = z + z. Détermier la limite de la suite z ) N. Exercice 90 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels positifs telle que N, u + u + u + ) Motrer que u ) coverge. O pourra commecer par étudier la mootoie de v = maxu +, u ). Exercice 9 [ ] [Correctio] Soiet u ) N et v ) N les suites récurretes réelles défiies par : u 0, v 0 R + et N, u + = u v, v + = u + v Motrer que les suites u ) N et v ) N coverget vers ue même limite. Exercice 9 [ 0036 ] [Correctio] Pour α ]0, π/], o étudie les suites u ) et v ) défiies par { { u0 = cos α u+ = u + v )/ et N, v 0 = v + = u + v a) Etablir que pour tout N, u = v cos α et v = cos α k k= b) Etudier si α v et e déduire les limites de u ) et v ). Exercice 93 [ 0783 ] [Correctio] Soit x ) N ue suite de réels positifs. O pose, pour tout > 0, y = x + x + + x a) Ici x = a pour tout, où a > 0. Etudier la covergece de y ). b) Même questio das le cas où x = ab pour tout, avec b > 0. c) Motrer que y ) coverge si, et seulemet si, la suite x ) est borée. Exercice 94 [ 0365 ] [Correctio] Soiet a ) ue suite réelle positive, borée et u ) la suite récurrete défiie par u 0 > 0 et u + = u + a + pour tout N Motrer que la suite u ) coverge si, et seulemet si, la suite a ) coverge. Exercice 95 [ ] [Correctio] Motrer que la suite réelle x ) défiie par x 0 [a, b] et N, x + = fx ) + x ) où f est -lipschitziee de [a, b] das [a, b], coverge vers u poit fixe de f.

11 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios Correctios Exercice : [éocé] Posos m = l + l )/. O a u l < m. Pour ε = m l > 0, il existe 0 N tel que 0, u l < ε et doc 0, u < m De faço symétrique, il existe N tel que et alors pour tout max 0, ) o a, v > m u < m < v Exercice : [éocé] Si u ) est statioaire, il est clair que cette suite coverge. Iversemet, supposos que u ) coverge et otos l sa limite. Motros l Z. Par l absurde, si l / Z alors El) < l < El) + doc à partir d u certai rag El) < u < El) +. Or u Z. Absurde. Aisi l Z. Puisque u l et l < l < l +, à partir d u certai rag l < u < l +. Or u Z et l Z doc u = l. Fialemet u ) est statioaire égale à l. Exercice 3 : [éocé] O a l ecadremet doc u a puis 0 a u a u ) + b v ) = a + b) u + v ) 0 Exercice 5 : [éocé] O a doc maxa, b) = a + b) + a b ) maxu, v ) = u + v ) + u v ) maxlim u, lim v ) Exercice 6 : [éocé] O a 0 u + v ) = u + u v + v u + u v + v ) 0 Aisi u + v 0 puis et doc u v = u + v ) u + u v + v ) 0 u + v = u + u v + v ) u + v ) 0 qui permet de coclure u 0 et v 0. Exercice 7 : [éocé] O a u v u, v Par le théorème d ecadremet o obtiet lim u = lim v = Exercice 8 : [éocé] Puisque u + /u 0 < /, il existe u rag N N vérifiat N, u + /u / v = u + v ) u a + b) a = b c est-à-dire N, u + u Exercice 4 : [éocé] Supposos u + v l et u v l. u = u + v ) + u v ) l+l et de même v l l. O a alors par récurrece et doc par comparaiso u 0. N, u N u N

12 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios Exercice 9 : [éocé] Motros que la suite u ) coverge vers 0 par l epsilotique... Soit ε > 0. Puisque la suite ε ) coverge vers 0, il existe u rag N N pour lequel N, 0 ε ε et alors pour tout N O e déduit et par récurrece 0 u + u + ε K 0 u + u K + ε K + ε K p N, 0 u +p u p K p + ε K i i= La suite u ) est majorée par et o peut ecore écrire p N, 0 u +p K p + ε /K) p K /K K p + ε K Pour p assez grad, o a /K p ε et alors 0 u +p ε + ε K = λε avec λ ue costate strictemet positive ce qui permet de coclure. Exercice 0 : [éocé] a) b) c) d) u = u = /3) + /3) = u = + / + / 0 u = + ) Exercice : [éocé] a) u = e l+/)) or l + ) = / l ) + car l+x) x. Par x 0 suite u e. b) u = e l car l 0. c) ) si / = e lsi ) or l si ) l 0 doc si ) /. ) ) ) d) + = e l +) or l + doc + e. Exercice : [éocé] a) u 0 doc u 0. b) 0 u doc u 0. c) + u + avec +, + doc u. d) 0 u e e e 0 doc u 0. e) u 3 = e l 3 doc u. Exercice 3 : [éocé] a) S = + k= b) S k= c) 0 S = +. k= d) 0 S e) k= f) + = k=+ + S k= + = + 0 doc u 0. +) +) 0. k= + doc + S k= + S + puis u. = + + par le théorème des gedarmes : S. g) S =! )! + )! + + ). Par regroupemet de termes. Si est pair alors S! )! et si est impair S! )!. Puisque! )! = ). )! +, o a S +. Exercice 4 : [éocé] lim m + ) = m et lim lim m ) = 0 et lim m + ) = e l ) e. lim m + + lim + m + m ) =. m ) = 0.

13 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 3 Exercice 5 : [éocé] a) Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ <. Comme u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel u ρ doc 0 < u ρ. O a alors u 0. b) Même démarche mais par mioratio. c) u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu o e peut rie dire. Exercice 6 : [éocé]. Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ <. Comme u+ u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel O a alors u + u ρ 0 u = u u u u un+ u N u N ρ N u N 0 doc u 0. O peut aussi raisoer e observat que la suite u ) est décroissate à partir d u certai rag, doc covergete et que sa seule limite possible est ulle.. Même démarche mais par mioratio ou par croissace. 3. u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu o e peut rie dire. Exercice 7 : [éocé] a) O a p+ p dx p+ x dx p p = p car la foctio décroissate x x est majorée par p sur [p, p + ]. Par u argumet semblable p dx p p x dx p p = p Pour, +k+ +k dx x +k + k dx +k x doe e sommat + + Or + et + dx x S dx x dx x = l + + l dx x = l doc S l. b) O a S = = ) ) doc S = k= k k = k= k=+ k = k= + k = S Par suite S l. De plus S + = S + + l doc Exercice 8 : [éocé] O a S l u = + + k k= Or pour k {,..., }, ) ) = k doc puis u. k= ) + + ) ) 3) 0 k ) 0

14 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 4 Exercice 9 : [éocé] a) ) + p + + d où la relatio. b) Par récurrece sur N : Pour = : S = ) et p + = + p + + ) + p + + p p + ) p + )p + ) ) = p + Or z + 0 doc lim + + z k) = z Exercice : [éocé] Exploitos S = e u + e v et P = e u.e v = e u+v Les ombres e u et e v sot solutios de l équatio X e u )X e v ) = 0 i.e. X S X + P = 0 ok Supposos la propriété établie au rag. S + = S +u + = HR Récurrece établie. c) d) Par opératios p +p+)u +)+u + = p +)u +) = p +p+)u +) 0 v = + p ) = + p!p! + p )! p! + 0 S p Exercice 0 : [éocé] O a z) + z k) = z) + z) + z )... + z ) Or z) + z) = z doc z) E répétat la maipulatio + z k) = z ) + z )... + z ) z) + z k) = z + ) À l ordre près, o peut exprimer e u et e v à partir du discrimiat de cette équatio. Or S et P, le discrimiat ted alors vers 0 et les deux suites tedet vers. O e déduit u 0 puis v 0. Exercice : [éocé] E exploitat la formule six) = si x cos x si a P = si a cos a cos a =... = sia) Si a = 0 alors P =. Si a 0 alors, pour assez grad, sia/ ) 0 et Puisque o a puis car six) x = P = P = sia) si a six) si 0 x 0 si a/ ) a/ + x 0 cos0) = sia) sia) si a + a si a + a = a

15 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 5 Exercice 3 : [éocé] a) u = exp l /). b) u = exp l + )) x = exp )) x + o)) e x. c) u = exp d) u = si + ) l + + e) ta π 4 + α u = exp l + α + o + ) / ) = + α + o ) doc = exp + o)) e. ) ) ) si / ))) = expα + o)) e α. f) u = + l + o l l )) e. g) = exp l ) = + l + o), u = + h) Par le théorème des accroissemets fiis avec c + doc = O ) 0. l o )) 3 4. larcta + )) larcta ) = + c arcta c u = exp ) + c e /π arcta c Exercice 4 : [éocé] E développat l /) u = cos π + π ) + o) = ) + sio)) 0 Exercice 5 : [éocé] Si a ]0, [, la suite est costate égale à 0. Si a =, la suite est costate égale à. Si a > alors a < a a doe a ) / < a / a et doc, par ecadremet, la suite coverge vers a. Exercice 6 : [éocé] A R +, l esemble E = { N/u < A} est fii car il cotiet au plus EA) + élémets. Par suite il possède u plus grad élémet N et alors N +, u / E doc u A. Aisi u +. Exercice 7 : [éocé] a) Si α > alors 0 u α + 0 doc u 0. Si α < alors u α + = α α + doc u +. b) u + u = > 0 doc u ) est croissate. De plus u + doc u ) est majorée et par coséquet covergete. c) u = + k l ) ) = l + k = l et u = doc u l. k= k= k= + k l + ) ) = l + + k + l k= Exercice 8 : [éocé] a) Il suffit de dresser le tableau de variatio des foctios x l + x) x + x et x x l + x). b) k + ) l u = et doc l u k= Exercice 9 : [éocé] a) La suite u ) est croissate car u + u = k= ) k k 4 = + + ) + ) 6 3 u e p + ) )p + ) + 0 et u p + p doc u ) coverge vers ue limite l. b) Commeços par le cas où f 0) = 0. Soit ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x [0, α] o ait f x) ε et par l iégalité des accroissemets fiis, o obtiet x [0, α], fx) ε x

16 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 6 O a alors v = p k= ε + k pε et doc v 0. Pour le cas gééral, il suffit d itroduire gx) = fx) xf 0). Puisque g 0) = 0, o a p ) g + k 0 + et doc et fialemet v lf 0). c) Pour fx) = l + x), k= v u f 0) + 0 p v = l + k + ) l + k) = lp + ) + ) l + ) lp + ) k= O coclut l = lp + ). d) Pour fx) = x, Exercice 30 : [éocé] a) v = doc v ) est croissate. b) p k= + k p + )p + v + v = u + u + + u ) + ) v = u + + u + u u 0 v + u c) O a v l pour tout N et v ) croissate doc v ) coverge vers u réel l l. La relatio précédete, passée à la limite, doe l l + l ce qui permet de coclure v l. Exercice 3 : [éocé] u ) coverge doc u ) est borée. La suite v ) est doc bie défiie et elle-même borée. O a v + v doc v ) est décroissate et doc coverge. Posos l = lim u et l = lim v. v u doc à la limite l l. Si l > l alors l > l +l > l. A partir d u certai rag v > l+l et u < l+l. Impossible. Il reste l = l. Exercice 3 : [éocé] Pour tout N {u p /p + } {u p /p } doc v + v et w + w. Les suites v ) et w ) sot respectivemet décroissate et croissate. De plus w v. La suite v ) est décroissate et miorée par w 0 doc elle coverge vers ue limite l. De même la suite w ) coverge vers ue limite m. Efi w v doe à la limite m l Exercice 33 : [éocé] O a H H = k=+ k k=+ = = H ) est croissate car H + H = + 0. Si H ) coverge vers l alors H H l l = 0. Ceci est impossible puisque H H. Par suite H ) diverge, et puisque H ) est croissate, H ) diverge vers +. Exercice 34 : [éocé] a) Sachat l + x) x, o a doc k l H + ) = lk + ) l k k lk + ) l k = l + ) k=

17 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 7 doc H +. b) Il existe N N tel que pour tout N, O a alors u + u N puis u +. Exercice 35 : [éocé] a) b) O a u + u ) / u k+ u k k=n u = k=n )!!) k = H H N ) + u + + ) + ) = u 4 + ) = + + doc u ) est décroissate. Or u ) est miorée par 0 doc u ) coverge. c) v + = + u + v + u = + ) or + ) + ) 4 + ) 3 = 3 < 0 doc v + v 0. v ) est décroissate et miorée par 0 doc v ) coverge. Nécessairemet lim u = 0 car sio v = + )u +. d) Par télescopage des facteurs k= Parallèlemet u = ) k k= ) = k 3... = ) ) ) = k k k= k= ) k e) O e déduit + )u + ) 4 et doc C /4. O peut motrer que C = /π e exploitat dès la première questio la formule de Stirlig si celle-ci est coue... ). Exercice 36 : [éocé] a) Si a alors u + doc u +. b) u > 0 et u+ u > doc u ) est croissate. De plus u e a e a... e a = exp a ) ) a a exp a a doc u ) est majorée et par suite covergete. Exercice 37 : [éocé] Via si a = si a cos a, o obtiet Via ta a = u = + si ta a ta a, o obtiet θ + cos θ + u + v = + taθ/ + ) ta θ/ + ) v + si x x et ta x x doc u θ et v θ d où v u 0. x 0 x 0 Les suites u ) et v ) sot adjacetes de limite commue égale à θ. Exercice 38 : [éocé] u + u = + + ) = De même v + v 0 et aisémet v u 0 d où l adjacece de ces deux suites. Notos l leur limite commue, o a = + l + o) = + o ) k k= Exercice 39 : [éocé] O a et S + S = S + S = + ) 0 + ) + + = + ) + ) 0 S S = 0

18 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 8 Exercice 40 : [éocé] D ue part S +) S = u + u + 0 D autre part Efi S +)+ S + = u +3 + u + 0 S + S = u + 0 Les suites S + ) et S ) état adjacetes, elles coverget vers ue même limite. Par coséquet S ) coverge aussi vers cette limite. Exercice 4 : [éocé] a) a + a = doc a ) est strictemet croissate. b + b = + )! > 0 + )! + + ) + )! + ) + ) = < 0.! + ) + )! doc b ) est strictemet décroissate. Efi b a =.! 0 b) O a Par suite puis Or p.q! Z et q.q!.a q = q q a q < a q+ e b q+ < b q a q < p q < a q + q.q! q.q!a q < p.q! < q.q!a q + q! k! Z. Absurde. Exercice 4 : [éocé] a ) a) b 0 doe l iégalité demadée. b) Pour, u = u v u +v = v e vertu de a. u + = u v u = u et v + = u+v v = v. c) La suite u ) est croissate et majorée par v doc elle coverge vers ue limite otée l. La suite v ) est décroissate est miorée par u doc elle coverge vers ue limite otée l. E passat la relatio v + = u+v à la limite, o obtiet l = l+l d où l = l. d) Si b = a alors les deux suites u ) et v ) sot costates égales à a et doc Ma, a) = a. Si b = 0 alors la suite u ) est costate égale à 0 et doc Ma, 0) = 0. e) Notos u ) et v ) les suites défiies par le procédé précédet à partir de u 0 = λa et v 0 = λb. Par récurrece, u = λu et v = λv doc Mλa, λb) = λma, b). Exercice 43 : [éocé] a) Aisémet u ) est croissate v ) décroissate et v u 0. b) Par l iégalité de Taylor-Lagrage, pour tout x [0, ], x k ex k! M +x + + )! avec M + = sup e x ) +) = e. Pour x =, o obtiet x [0,] e u e + )! 0 doc u e. c) Par la stricte mootoie des suites u ) et v ) o a u < e < v pour tout N. q.q!u q est u etier et q.q!v q est l etier cosécutif. Or q.q!u q < q.q!e < q.q!v q doc q.q!e e peut être etier. Or q.q!e = p.q! N. Absurde. Exercice 44 : [éocé] La suite u ) état croissate, elle admet ue limite fiie ou ifiie). La suite u ) qui e est extraite a la même limite. Or u ) coverge, il e est doc de même de u ).

19 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 9 Exercice 45 : [éocé] u l, u + l et u 3 l. u 6 ) est extraite de u ) et u 3 ) doc u 6 l et u 6 l. Par suite l = l. u 6+3 ) est extraite de u + ) et u 3 ) doc u 6+3 l et u 6+3 l. Par suite l = l. Il e découle l = l. Puisque les suites extraites u ) et u + ) coverget vers ue même limite, la suite u ) coverge vers celle-ci. Exercice 46 : [éocé] Par l absurde, supposos cos) l R. doe cosp) + cosq) = cos p + q cos p q cos + ) + cos ) = cos cos) A la limite o obtiet l = l cos) d où l = 0. Or cos = cos doe alors à la limite 0 =. Absurde. Exercice 47 : [éocé] Par l absurde, supposos si) l R. doe sip) siq) = si p q cos p + q si + ) si ) = si) cos) A la limite, o obtiet cos) 0. Or cos) = cos ) doe alors à la limite 0 =. Absurde. Exercice 48 : [éocé] D ue part D autre part O e déduit u 0. 0 u = 0 0 u ) 0 Exercice 49 : [éocé] O défiit les valeurs de ϕ par récurrece e posat et pour tout N, ϕ0) = 0 ϕ) = mi {k N/k > ϕ ) et u k } Puisque u +, ϕ) est bie défii e tat que plus petit élémet d ue partie o vide de N. Il est immédiat par costructio que ϕ est ue applicatio strictemet croissate de N vers N. Il reste à vérifier u ϕ) 0 Par costructio, o a pour N u ϕ) et puisque ϕ) / {k N/k > ϕ ) et u k }, o a ϕ) = ϕ ) ou u ϕ) < Observos qu il e peut y avoir qu u ombre fii de pour lesquels ϕ ) = ϕ) Puisque u + u 0, à partir d u rag N, o a u + u < / Par costructio u ϕn) = N + α avec α 0. O a alors u ϕn)+k N + α + k/ Pour k assez grad, o a Or doc u ϕn)+k < N + k u ϕn+k) N + k ϕn + k) ϕn) + k Aisi, il est pas possible que pour tout p {N +,..., N + k} o ait ϕp) = ϕp )

20 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 0 et doc il existe p N + vérifiat et puisque uϕp) u ϕp) < /, o a et par récurrece o obtiet u ϕp) < p et u ϕp) p u ϕp) [p, p + /[ q p, u ϕq) [q, q + /[ Au-delà du rag p + o e peut avoir la propriété car celle-ci etraîe ϕ) = ϕ ) u ϕ ) [, /[ et u ϕ) [, + /[ Fialemet, o a obteu qu à partir d u certai rag Cela etraîe et doc u ϕ) < et u ϕ) 0 u ϕ) u ϕ) u ϕ) 0 u ϕ) 0 Exercice 50 : [éocé] a) Le tableau de variatio de f : x x + ta x permet d affirmer que cette foctio réalise ue bijectio croissate de ] π/, π/[ vers R. L équatio E possède alors pour solutio uique x = f ) b) O a x + ta x = avec x ] π/, π/[ doc x = arcta x ) Or x + car x ) borée et doc x π Exercice 5 : [éocé] Soit f : R + R défiie par fx) = xe x. f est dérivable et f x) = x + )e x > 0 doc f est strictemet croissate. f0) = 0 et lim + f = + doc l équatio xe x = possède ue uique solutio x. x = f ) +. Exercice 5 : [éocé] a) Le tableau de variatio de f : x x l x permet d affirmer que l équatio f x) = possède ue uique solutio x sur R + et que de plus x [, + [. = f x ) doc x + x car f est strictemet croissate sur [, + [. La suite x ) est décroissate et miorée par doc elle coverge. Posos l sa limite, o a l Si l > alors x l x l l l + ce qui est absurde car x l x =. Il reste l =. b) = x + + l x + = x + f x + ) doc f x + ) = x + Exercice 53 : [éocé] a) Itroduisos la foctio f : x x + + x qui est cotiue, strictemet croissate et vérifie f 0) = 0 et lim f x) = + x + La foctio f réalise ue bijectio de [0, + [ vers [0, + [, par suite l équatio E possède ue uique solutio x R +. Puisque f /) = / / < et f ) = o a x [/, ]. b) O a doc f + x ) = x x + x = x x + + x ) + x = x x + x La suite x ) est décroissate et miorée, doc elle coverge.

21 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios c) Posos l = lim x. Puisque x <, x x doe à la limite l <. doe à la limite car 0 x x 0 et fialemet = x + + x = x x x = l l l = / Exercice 54 : [éocé] O pose f x) = x! x k k!. O observe que f 0) =, lim f x) = + et x + f + = f. La propriété est vrai pour = et si elle est vrai au rag, le tableau de sige de f permet d assurer que f + est décroissate et doc strictemet égative) sur [0, x ] puis strictemet croissate sur [x, + ]. Par le théorème des valeurs itermédiaires, o peut assurer que f s aule e u x + > x et celui-ci est uique. La suite x ) est croissate. Si elle est majorée alors elle coverge vers u réel l et x! 0. Or la suite de terme gééral est x k k! est croissate et strictemet positive. Elle e peut doc coverger vers 0. Par coséquet la suite x ) est pas majorée et, état croissate, elle diverge vers +. Exercice 56 : [éocé] a) Posos v = u +. v ) est géométrique de raiso et v 0 = doc u = +. b) Posos v = u. v ) est géométrique de raiso / et v 0 = doc u =. Exercice 57 : [éocé] O a z + = + i z doc ) + i z = z 0 Or +i < doc z 0 puis x, y 0. Exercice 58 : [éocé] Itroduisos x = Rez ) et y = Imz ). O a x x 0 et y 0 doc z Rez 0 ). x + = x et y + = y 3 Exercice 55 : [éocé] L étude des variatios de la foctio x x + + )x assure l existece et l uicité de u > 0 vérifiat la relatio u + + )u = De plus o peut affirmer u. Puisque u u ) ) = et u o a puis permet de coclure u. u ) 0 u / Exercice 59 : [éocé] a) u + v + = u v et u 0 v 0 = doc u v ) est costate égale à. b) v = u + doc u + = 5u +. La suite u ) est arithmético-géométrique. c) u + a = 5u a) + 4a +. Pour a = /, u a) est géométrique de raiso 5 et de premier terme 3/. Aisi u = 3.5 et v = Exercice 60 : [éocé] + eiθ a) z = ρ = ρ cos θ ei θ, z = ρ cos θ cos θ 4 ei θ 4,..., doc z = ρ k= cos θ k ei θ

22 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios b) e iθ/ et doc cos θ k = si θ si θ si θ θ k= z ρ si θ θ Exercice 6 : [éocé] O peut écrire z 0 = ρe iθ avec ρ 0 et θ ] π, π] O a alors z = ρ + eiθ = ρ cos θ ei θ, z = ρ cos θ cos θ 4 ei θ 4,..., z = ρe i θ Si θ = 0 alors z = ρ ρ. Sio, pour tout N, si θ 0 et si θ k= cos θ k = si θ par exploitatios successives de l idetité si a = si a cos a. O e déduit cos θ k = si θ si θ si θ θ Fialemet k= Exercice 6 : [éocé] u 0 =, u =, u = 3,... Par récurrece, o motre aisémet z ρ si θ θ N, u = + Exercice 63 : [éocé] u ) est ue suite récurrete liéaire d ordre d équatio caractéristique r 3 i)r + 5 5i) = 0. O obtiet u = + i) 3i) k= cos θ k Exercice 64 : [éocé] a) u = ) b) u = 3 + c) u = cos )π 3. Exercice 65 : [éocé] u ) est ue suite récurrete liéaire d ordre d équatio caractéristique de solutios r = e iθ et r = e iθ. Par suite, il existe α, β R tels que r cos θr + = 0 N, u = α cos θ + β si θ = 0 doe α = et = doe α cos θ + β si θ = doc Fialemet β = cos θ si θ N, u = cos θ + ta θ = si θ/ si θ Exercice 66 : [éocé] Soit f ue foctio solutio. Pour x > 0, o cosidère la suite u ) détermiée par = ta θ si θ = cos )θ/) cosθ/) u 0 = x et N, u + = fu ) La suite u ) est formée de réels strictemet positifs et satisfait la relatio de récurrece liéaire N, u + + u + 6u = 0 Les racies de l équatio caractéristique associée sot et 3 de sorte qu il existe λ, µ R vérifiat N, u = λ + µ 3) Puisque la suite u ) est formée que de réels strictemet positifs, il est écessaire que µ soit ul. Après résolutio cela doe fx) = x. Iversemet, cette foctio est bie solutio.

23 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 3 Exercice 67 : [éocé] O a u 0 = a, u = a, u = a 4, par récurrece u = a. Pour a < alors u 0, pour a =, u et pour a >, u +. E passat la relatio d itératio à la limite, o obtiet l = + l l i.e. gl) = 0. Par l étude de la foctio g, o coclut l =. Fialemet u ) coverge vers. Exercice 68 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et supérieure à à partir du rag car la foctio itératrice f : x x + est défiie sur R et à valeurs das [, + [. u + u = u u + 0 car le discrimiat de x x + est = 3 < 0. La suite u ) est croissate. Si celle-ci coverge vers u réel l alors e passat à la limite la relatio d itératio : l = l +. Or cette équatio e possède pas de racies réelles. Par suite u ) diverge, or elle est croissate, doc u ) diverge vers +. Exercice 69 : [éocé] Pour tout u + u = u u + u + + u Puisque u u 0 = 0, la suite u ) est croissate. Si u ) coverge vers l alors u + = + u doe à la limite l = + l doc l l = 0 et l 0. Par suite l = + 5 = α Par récurrece o motre aisémet que N, u α et par suite u ) coverge vers α. Exercice 70 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et à valeurs strictemet supérieure à car sa foctio itératrice f : x + l x est défiie sur [, + [ à valeurs das [, + [. Pour : u + u = lu ) lu ) est du sige de u u. La suite u ) est mootoe et de mootoie détermiée par le sige de u u 0 = + l u 0 u 0. Etudios la foctio gx) = x + l x x défiie sur [, + [. g est dérivable, g x) = x 0 e s aulat qu e, g) = 0 doc g est strictemet égative sur ], + [. La suite u ) est décroissate. De plus elle est miorée par, doc elle coverge vers u réel l. Exercice 7 : [éocé] La suite u ) est bie défiie car sa foctio itératrice f : x e x est défiie sur R. Pour, u + u = e u e u est du sige de u u. La suite u ) est mootoe et de mootoie détermiée par le sige de u u 0 = e u0 u 0. Etudios la foctio gx) = e x x défiie sur R. g est dérivable et g x) = e x du sige de x. g0) = 0 doc g est positive. Si u 0 = 0 alors u ) est costate égale à 0. Si u 0 > 0 alors u ) est croissate. Si u ) coverge vers u réel l alors l = e l doc l = 0. Or u ) est miorée par u 0 > 0 doc e peut coverger vers 0. Par suite u ) diverge vers +. Si u 0 < 0 alors u ) est croissate et majorée par 0 doc u ) coverge vers la seule limite fiie possible 0. Exercice 7 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et strictemet positive car de foctio itératrice f : x +x défiie sur R+ et à valeurs das R +. Si la suite u ) coverge, sa limite l vérifie l = +l et l 0 doc l = +. u + l = + u + l = u l + u ) + l) 4 u l Par récurrece, o motre u l = 4 u 0 l et o coclut u l. Exercice 73 : [éocé] a) L applicatio x x est défiie de [, ] vers [0, ] [, ]. b) Supposos u l. Puisque, u [0, ], à la limite l [0, ]. La relatio u + = u doe à la limite l = l doc l + l = 0 d où l = ou l =. Or l 0 doc l =. c) u + = u + u u

24 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 4 doc u ) est décroissate et par suite coverge vers α 0. Si α > 0 alors + u = u u + doc u 0 puis u. C est impossible. Nécessairemet u 0 et doc u. Exercice 74 : [éocé] Par récurrece motros u existe et u <. Pour = 0 : ok Supposos la propriété établie au rag 0. Par HR, u existe et u < doc u 0 d où u + = Récurrece établie. u + u u u u < u + u u u doc u ) est décroissate d où u a puis puis Par suite u 0. u u + u a ) a 0 a u u existe et Exercice 75 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et à valeurs das [ a, + [ à partir du rag car de foctio itératrice f : x x + a ) x défiie sur R + et à valeurs das [ a, + [. ) Si u ) coverge vers u réel l alors l = l + a l et l 0 doc l = a. u + a = u + a a u = u a) u = u a u a u Pour, doc Par récurrece : u a u = u a u u + a u a u a u a doc u a. b) v + = u + a u + + a = u au + a u + au + a = u ) a u + = v a doc v = v 0. c) u a v u + a u0 v = u 0 v 0 Exercice 76 : [éocé] a) f : x l x + x réalise ue bijectio strictemet croissate de R + vers R. L équatio proposée possède ue uique solutio α = f 0). b) L algorithme de Newto, propose de défiir la suite u ) par la relatio : u + = u fu ) f u ) = u l u + u /u + = u l u ) u + La foctio f est de classe C, f x) = x + et f x) = x e s aulet pas. Pour u 0 > 0 tel que fu 0 )f u 0 ) 0, la suite coverge vers α. Exercice 77 : [éocé] Par récurrece, o motre que u existe et u > 0. La relatio de récurrece doe alors u + = u + u + u La suite u + /u ) est costate égale à u /u 0 = b/a. La suite u ) est doc géométrique de raiso b/a et fialemet ) b u = a a La suite u ) coverge si, et seulemet si, b a.

25 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 5 Exercice 78 : [éocé] a) Pour : u + u = u k u u k = u k + doc u ) est croissate. Supposos u l R. O a l u = a > 0 E passat la relatio précédete à la limite : 0 = Par suite u +. b) doc Par suite u + u et u u + u = u + + u u + = 0 u u + + u u + u = u + /u + 0 u k l l+l =. C est absurde. Exercice 79 : [éocé] Posos u ) la suite détermiée par u 0 = et pour tout N, u + = + u. La suite u ) est bie défiie et à valeurs positive. Si celle-ci coverge, c est vers l 0 vérifiat l = + l i.e. O a l = + 5 ombre d Or) u + l = + u u l + l = + u + + l u l Par récurrece, o obtiet et doc u l. u l u 0 l Aisi = l Posos v ) la suite détermiée par v 0 = et pour tout N, v + = + v. La suite v ) est bie défiie et à valeurs supérieures à. Si celle-ci coverge, c est vers l vérifiat l = + l. O retrouve l = l. O a v + l = v l v l v l v l l Par récurrece, o obtiet et doc v l car l >. Aisi v l l v 0 l Exercice 80 : [éocé] O vérifie sas difficultés que la suite v ) est défiie et que ses termes sot positifs. De plus, o vérifie par récurrece que car O a alors = l N, v u + ) v ) 0 v + u + + u + v v + v = u + v ) + u + v 0 et la suite v ) est doc croissate et majorée. Par coséquet celle-ci coverge vers ue certaie limite l R. Das le cas où la suite u ) est costate égale à, o observe que l =. Peut-être est-ce ecore vrai das le cas gééral? Pour le voir, étudios la suite v ). O a 0 v + = u +) v ) + u + v v )

26 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 6 doc par récurrece et o e déduit Exercice 8 : [éocé] 0 v v 0) v Exercice 84 : [éocé] f x) est du sige de 3x a) doc f est croissate et par suite u ) est mootoe. Les racies de l équatio fx) = x sot 0, a et a. Ce sot les seules limites possibles pour u ). fx) x est du sige de ax x 3 = xx a)x + a). Si u 0 ]0, a] la suite est croissate est majorée par a doc coverge vers a Si u 0 [ a, + [ la suite est décroissate et miorée par a doc coverge vers a. Si u ) coverge sa limite l vérifie l = + l /4 d où l =. u + u = 4 u ) 0 u ) est croissate. Si u 0 > alors u ) diverge vers +. Si u 0 [0 ; ] alors o vérifie aisémet que u ) est majorée par et o coclut u. Exercice 8 : [éocé] u + u doc u ) est croissate. Par récurrece motros u a +. La relatio est vraie pour = et l hérédité s obtiet par u + = a + u a + a +. Exercice 85 : [éocé] u + u = u 0 doc u ) est décroissate. Aisémet, o motre que u ]0, [ pour tout N et doc o peut coclure que u ) coverge. Sa limite l vérifie l = l l d où l = 0. et u k = u k u k+ = u 0 u + u 0 u k ) = u k+ u k = u + u 0 0 Exercice 83 : [éocé] a) Il suffit de dresser le tableau de variatio de f. O ote α < β < γ ces trois racies. x α β γ b) f est croissate et fx) x c) u u + fu ) fu + ) doc u 0 fu 0 ) u ) croissate. De même u u + fu ) fu + ) doc u 0 fu 0 ) u ) décroissate. Les seules limites fiies possibles pour u ) sot α, β, γ. Efi si u 0 α resp. β, γ) alors pour tout, u α resp. β, γ) et de même pour. Au fial o peut coclure : u 0 ], α[ doe u ) décroissat vers. u 0 = α doe u ) costate égale à α. u 0 ]α, γ[ doe u ) covergeat vers β. u 0 = γ doe u ) costate égale à γ. u 0 ]γ, + [ doe u ) croissat vers +. Exercice 86 : [éocé] a) Soit g : [a, b] R défiie par gx) = fx) x. g est cotiue, ga) 0 et gb) 0 doc g s aule e u poit α qui est alors poit fixe de f. Si α et β sot deux poits fixes disticts alors par applicatio du théorème des accroissemets fiis, il existe c [a, b] tel que f c) = ce qui est icompatible avec les hypothèses. b) La foctio x f x) est cotiue sur le segmet [a, b], elle y admet doc u maximum e u poit c [a, b] et e posat k = f c) o a x [a, b], f x) k avec k [0, [ Par l iégalité des accroissemets fiis, f est k lipschitziee et alors par récurrece : N, u α k u α 0 d où le résultat.

27 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 7 Exercice 87 : [éocé] u + u = fu ) fu )) + u u ) Puisque f est lipschitziee o a fu ) fu ) u u doc u + u est du sige de u u, e fait la foctio itératrice est croissate). Par suite u ) est mootoe et état borée elle coverge vers u l [a, b]. La relatio u + = u + fu ) doe à la limite l = l + fl) doc fl) = l.. e i θ et cos θ cos θ 4 cos θ = si θ si θ si θ θ Fialemet z si θ θ. ou si θ = 0) Exercice 90 : [éocé] O a u v et u + v, v + = maxu +, u + ) avec u + u + u + ) v et u + v doc v ) est décroissate. v ) est décroissate et miorée par 0 doc v ) coverge. O a u + v. ) v + max u + + u ), u + = max u + + u ), ) u + + u + ) = u ++ doc v + v u + v doc u ) coverge vers la même limite que u ). Exercice 88 : [éocé] a) O observe que x 4x x est ue applicatio de [0, 4] das lui-même. Par suite u [0, 4] pour tout N. Si u ) coverge alors, e posat l sa limite, o a l = 4l l d où l = 0 ou l = 3. b) Supposos que u 0. S il existe u rag tel que u = 0 alors la suite u ) est statioaire égale à 0. Sio o a u > 0 pour tout N et doc u + u 3u > 0. Aisi, à partir d u certai rag, la suite est strictemet croissate. De même si u 3 sas être statioaire égale à 3, o observe que la suite u 3 est strictemet croissate à partir d u certai rag. c) O obtiet aisémet u = 4 si α. La suite est statioaire si, et seulemet si, il existe N tel que u = 0 ou 3 i.e. si α) = 0, 3/, 3/ soit ecore α = kπ/3 avec k Z. Aisi les u 0 pour lesquels la suite est statioaire sot les sikπ/3. ) avec k Z et N. Exercice 89 : [éocé]. z = ρeiθ +ρ = ρ cos θ ei θ. Par ce pricipe : z = ρ cos θ cos θ 4 cos θ ei θ Exercice 9 : [éocé] Les suites u ) et v ) sot bie défiies et à termes positifs. Sachat a, b R +, ab a + b o a, u v puis u + u et v + v Les suites u ) et v ) sot respectivemet croissate et décroissate et o a, u 0 u v v 0 Par covergece mootoe, u ) et v ) coverget vers des limites l et l. E passat la relatio à la limite o obtiet l = l. v + = u + v

28 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 8 Exercice 9 : [éocé] a) Exploiter + cos x = cos x et raisoer par récurrece. b) si α v = si α via si a cos a = si a. Par suite et aussi v si α siα/ ) si α α u si α α Exercice 93 : [éocé] Notos que la suite y ) est croissate, elle est doc covergete si, et seulemet si, elle est majorée. a) Ici y + = a + y. Soit l la racie positive de l équatio l l a = 0 i.e. l = + + 4a O remarque que y = a l et o motre par récurrece y l. La suite y ) est croissate et majorée doc covergete. b) O observe que la ouvelle suite y ) est désormais égale à b fois la précédete, elle est doc covergete. c) Si y ) coverge vers l alors x Si x y l doc x ) est borée. ) est borée par ue certai M alors x M, la suite y ) défiie par x ) est alors iférieure à celle obteue par M ), cette derière état covergete, la suite y ) coverge. Exercice 94 : [éocé] Posos M = sup a N O vérifie aisémet que la suite u ) est bie défiie et que pour tout M + u Supposos la covergece de la suite u ). Sa limite est strictemet positive. E résolvat l équatio défiissat u + e foctio de u, o obtiet a = u + u O e déduit que la suite a ) coverge. Iversemet, supposos que la suite a ) coverge vers ue limite l, l 0. Cosidéros la suite v ) défiie par v 0 = et v + = v + l + pour tout N O vérifie que la suite v ) est bie défiie et à termes strictemet positifs. L équatio x = x + l + possède ue racie L > 0 et o a v + L v L + L ce qui permet d établir que la suite v ) coverge vers L. Cosidéros esuite la suite α ) défiie par α = u v O a et doc avec α + = α + l a ) u + a + )v + l + ) α + k α + a l ) k = [0, [ m + où m > 0 est u miorat de la suite covergete v ). Par récurrece, o obtiet α k α 0 + k p a p l p=0 Soit ε > 0. Puisque la suite a ) coverge vers l, il existe p 0 tel que p p 0, a p l ε

29 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Correctios 9 et alors Pour assez grad p=p 0 k p a p l ε + k= k p = kε k p 0 p=0 k p a p l = C te k ε et k α 0 ε et o e déduit α ε + kε k Aisi α 0 et par coséquet u L Exercice 95 : [éocé] La foctio itératrice de cette suite récurrete est g : x fx) + x) O vérifie aisémet que cette foctio est défiie sur [a, b] et à valeurs das [a, b]. O e déduit que la suite x ) est bie défiie et que c est ue suite d élémets de [a, b]. O a x + x = fx ) fx )) + x x ) Puisque f est -lipschitziee, o a fx ) fx ) x x et doc x + x est du sige de x x. Par coséquet, la suite x ) est mootoe et sa mootoie découle du sige de x x 0. La suite x ) état de plus borée, elle coverge vers ue certaie limite l avec l [a, b]. La relatio x + = x + fx ) doe à la limite sachat f cotiue doc fl) = l. l = l + fl)

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P.

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. Uiversité Mohammed V - Agdal Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques et Iformatique Aveue Ib Batouta, B.P. 04 Rabat, Maroc Filière DEUG : Scieces Mathématiques et Iformatique (SMI) et Scieces Mathématiques

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 06 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer qu

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 25 Eocés Exercice [ 43 ] [Correctio] O pose ) k+ s = et u = l e s ) k k= a) Éocer le théorème des séries spéciales alterées, e faire la preuve. b) Prouver

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

Correction de la question de cours 1

Correction de la question de cours 1 Math I Aalyse Exame du 9 décembre 2007 Durée 2 heures Aucu documet est autorisé. Les calculatrices, téléphoes portables et autres appareils électroiques sot iterdits. Il est iutile de recopier les éocés.

Plus en détail

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C : Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème Exercices Limites de suites Exercice Limite d ue suite Das les exercices suivats, détermier la limite de la suite (u ) e précisat le théorème utilisé. ) u = + + + + ) u = cos(), N 3) u = + cos 4 3 4) u

Plus en détail

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés........................................... De quoi parle-t-o?........................................3

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

Ensembles et nombres réels

Ensembles et nombres réels Pierre-Louis CAYREL 008-009 Licece Itroductio aux Mathématiques Géérales Uiversité de Paris 8 Esembles et ombres réels Esembles Exercice O pose A = {(x, y) R ; y > x } et B = {(x, y) R ; y < x } Représeter

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 04 Eocés Nombres complexes Nombres complexes Exercice 6 [ 03458 ] [correctio] Soiet z 0 C et r > 0 tels que z 0 r. O ote C le cercle das C de cetre z 0

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal)

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal) Lycée Stedhal (Greoble) Niveau : Termiale S Titre Cours : Chapitre 0 : Les suites Aée : 204-205 «J'aimais et j'aime ecore les mathématiques pour elles-mêmes comme 'admettat pas l'hypocrisie et le vague,

Plus en détail

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n. Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π =

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1.

DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1. icolas.laillet@imj-prg.fr DS 2 Aalyse Exercice 1 (questio de cours 2 poits Éocer le théorème de Rolle. Soiet a, b deux réels avec a < b, soit f ue foctio à valeurs réelles, cotiue sur [a, b] et dérivable

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Suites réelles ou complexes

Suites réelles ou complexes 3 Suites réelles ou complexes 3. Prérequis L esemble R des ombres réels est supposé costruit avec les propriétés suivates : c est u corps commutatif totalemet ordoé ; il cotiet l esemble Q des ombres ratioels

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π. Quelques repères historiques SUITES NUMERIQUES Archimède a défii das les aées 220 avat J.-C. deux suites permettat d'obteir de très boes valeurs approchées de π. Héro d'alexadrie au premier siècle après

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Table des matières. Aller à la page suivante

Table des matières. Aller à la page suivante CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Chapitre 3 Séries umériques 3. Préparatio Défiitio 3..2 O appelle série de terme gééral u et o ote u (qui se lit «série de terme gééral u»), où (u ) N R N, la suite de terme

Plus en détail