[ édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

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1 [ édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer qu à partir d u certai rag : u < v. Exercice 7 [ 053 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites telles que Que dire de ces suites? 0 u, 0 v et u v Exercice 8 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels o uls vérifiat Exercice [ 048 ] [Correctio] Motrer que u ) Z N coverge si, et seulemet si, u ) est statioaire. Détermier la limite de u ). u + u 0 Exercice 3 [ 049 ] [Correctio] Soiet a, b) R, u ) et v ) deux suites telles que { N, u a et v b Motrer que u a et v b. u + v a + b Exercice 4 [ 050 ] [Correctio] Soit u ) et v ) deux suites réelles telles que u + v ) et u v ) coverget. Motrer que u ) et v ) coverget. Exercice 5 [ 05 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites covergetes. Etudier lim maxu, v ) + Exercice 9 [ 0384 ] [Correctio] Soiet K u réel strictemet supérieur à et ε ) ue suite de réels positifs covergeat vers 0. Soit u ) ue suite de réels de [0, ] vérifiat La suite u ) coverge-t-elle vers 0? Calcul de limites N, 0 u + u + ε K Exercice 0 [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u ) suivates : a) u = 3 ) 3 + ) b) u = c) u = + + d) u = k k= Exercice 6 [ 05 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles telles que u + u v + v 0 Démotrer que les suites u ) et v ) coverget vers 0. Exercice [ 055 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a) u = + ) b) u = c) u = si ) / ) d) u = +

2 [ édité le 6 octobre 05 Eocés Exercice [ 056 ] [Correctio] Détermier par comparaiso, la limite des suites u ) suivates : a) u = si + ) + b) u =! c) u = ) + ) e) u = + ) Exercice 3 [ 057 ] [Correctio] Détermier les limites des sommes suivates : a) S = k b) S = c) S = e) S = g) S = k= k= k= d) u = e k= + k d) S = f) S = + k k= ) k k! Exercice 4 [ 058 ] [Correctio] Comparer lim lim ) m, lim m + + lim + m + k k=+ k + k ) m et lim ) + Exercice 5 [ 059 ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels strictemet positifs. O suppose u l. a) Motrer que si l < alors u 0. b) Motrer que si l > alors u +. c) Motrer que das le cas l = o e peut rie coclure. Exercice 6 [ 060 ] [Correctio] Soit u ) N ue suite de réels strictemet positifs. O suppose u + u l +. Motrer que si l < alors u Motrer que si l > alors u Observer que das le cas l = o e peut rie coclure. Exercice 7 [ 06 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = k= a) Etablir que pour tout p >, p+ p + k et S = ) k k= dx x p p dx p x E déduire la limite de S ). b) Etablir que S = S. E déduire la limite de S ). Exercice 8 [ 063 ] [Correctio] Détermier la limite de u = Exercice 9 [ 064 ] [Correctio] Soit p N\ {0, }. Pour N o pose a) Motrer que b) Motrer par récurrece u = k ) ) + p et S = k= k u k N, + p + )u + = + )u + S = p + p + )u +) c) O pose N v = + p)u. Motrer que v ) coverge vers 0. d) E déduire lim S e foctio de p.

3 [ édité le 6 octobre 05 Eocés 3 Exercice 0 [ ] [Correctio] Soit z C avec z <. Existece et calcul de lim + + z k) Exercice [ 0396 ] [Correctio] Etudier la covergece de deux suites réelles u ) et v ) vérifiat lim u + v ) = 0 et + Exercice [ 06 ] [Correctio] Soit a R et pour N, Motrer que et détermier lim P. P = lim + e + eu v ) = cos a k k= a ) si P = sia) Exercice 3 [ 0098 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a) u = b) u = + x ) ) + c) u = d) u = cos ) + cos + π e) u = ta 4 + α )) ) l l + ) f) u = l ) ) 4 arcta + ) g) u = h) u = 3 arcta Exercice 4 [ 0030 ] [Correctio] Nature de la suite de terme gééral u = cosπ l /)) Exercice 5 [ 078 ] [Correctio] Etudier la covergece de la suite a /), où a > 0. Exercice 6 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite d etiers aturels deux à deux disticts. Motrer que u +. Exercice 7 [ 0030 ] [Correctio] Soiet α > 0 et u = k= α + k α a) Motrer que si α > alors u 0 tadis que si α <, u +. b) Motrer que si α =, la suite est mootoe et covergete. c) Toujours das le cas α = et e exploitat l ecadremet l + x) x l x) valable pour tout x [0, [, établir u l. Exercice 8 [ 003 ] [Correctio] a) Etablir que pour tout x 0 o a b) E déduire la limite de x x l + x) x u = Exercice 9 [ 0039 ] [Correctio] a) Soit u = + k ) k= p k= + k où p N est fixé. Motrer que la suite u ) coverge. Sa limite sera otée l o e demade pas ici de la calculer) b) Soit f : R + C de classe C et telle que f0) = 0. Soit p v = f k= ) + k

4 [ édité le 6 octobre 05 Eocés 4 Motrer que v ) coverge. Exprimer sa limite e foctio de l. c) Calculer l e utilisat fx) = l + x). d) Si f de R + das C est cotiue et vérifie f0) = 0, motrer qu il peut y avoir divergece de la suite v ). Limites des suites mootoes Exercice 30 [ 065 ] [Correctio] Soit u ) ue suite croissate de limite l. O pose a) Motrer que v ) est croissate. b) Etablir que v u+v. c) E déduire que v l. v = u + + u Exercice 3 [ 066 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle covergete. Etudier la limite de la suite v = sup u p. p Exercice 3 [ 067 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle borée. O pose v = sup u p et w = if u p p p Motrer que les suites v ) et w ) possèdet chacue ue limite das R et comparer celles-ci. Exercice 33 [ 068 ] [Correctio] [Somme harmoique] Pour tout N, o pose Motrer que E déduire que lim H = +. H = k= k N, H H Exercice 34 [ 069 ] [Correctio] Soit H ) la suite défiie pour N par H = a) Motrer que H +. b) Soit u ) ue suite telle que u + u ). Motrer que u +. k= Exercice 35 [ 070 ] [Correctio] O pose 3 5 ) u = 4 6 ) a) Exprimer u à l aide de ombres factoriels. b) Motrer que la suite u ) coverge. c) O pose v = + )u Motrer que la suite v ) coverge. E déduire la limite de la suite u ) d) Simplifier ) k k= et comparer ce produit à u. e) E déduire que la limite C de la suite v ) est strictemet positive. Exercice 36 [ ] [Correctio] Soiet a > 0 et u = + a) + a )... + a ) a) Motrer que si a alors u +. b) O suppose 0 < a <. Motrer que la suite u ) est covergete. O pourra exploiter la majoratio + x e x valable pour tout x R. Suites adjacetes Exercice 37 [ 07 ] [Correctio] Soiet θ ]0, π/[ et u = si θ, v = ta θ k

5 [ édité le 6 octobre 05 Eocés 5 Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. Quelle est leur limite commue? Exercice 38 [ 0035 ] [Correctio] O pose u = et v = + k k k= k= Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. E déduire u équivalet de k Exercice 39 [ 07 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = k= k= k et S = S + Motrer que les suites S ) et S ) sot adjacetes. O peut motrer que leur limite commue est π /6, mais c est ue autre histoire... Exercice 40 [ 073 ] [Correctio] [Critère spécial des séries alterées ou critère de Leibiz] Soit u ) ue suite de réels décroissate et de limite ulle. Pour tout N, o pose S = ) k u k Motrer que les suites extraites S ) et S + ) sot adjacetes et e déduire que S ) coverge. Exercice 4 [ 074 ] [Correctio] [Irratioalité du ombre de Néper] Soiet a = k! et b = k! +.! = a +.! a) Motrer que a ) et b ) sot strictemet mootoes et adjacetes. O admet que leur limite commue est e. O désire motrer que e / Q et pour cela o raisoe par l absurde e supposat e = p q avec p Z, q N. b) Motrer que a q < e < b q puis obteir ue absurdité. Exercice 4 [ 075 ] [Correctio] [Moyee arithmético-géométrique] a) Pour a, b) R +, établir : ab a + b b) O cosidère les suites de réels positifs u ) et v ) défiies par u 0 = a, v 0 = b et N, u + = u v, v + = u + v Motrer que, pour tout, u v, u u + et v + v. c) Etablir que u ) et v ) coverget vers ue même limite. Cette limite commue est appelée moyee arithmético-géométrique de a et b et est otée Ma, b). d) Calculer Ma, a) et Ma, 0) pour a R +. e) Exprimer Mλa, λb) e foctio de Ma, b) pour λ R +. Exercice 43 [ 0034 ] [Correctio] [Irratioalité de e] O pose pour, u = k! et v = u +.! a) Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. b) E exploitat l iégalité de Taylor-Lagrage appliquée à la foctio x e x, motrer que u e. c) O suppose que e = p/q avec p, q N. E cosidérat q.q!u q et q.q!v q obteir ue absurdité. Suites extraites Exercice 44 [ 076 ] [Correctio] O suppose que u ) est ue suite réelle croissate telle que u ) coverge. Motrer que u ) coverge.

6 [ édité le 6 octobre 05 Eocés 6 Exercice 45 [ 077 ] [Correctio] Soit u ) ue suite complexe telle que u ), u + ) et u 3 ) coverget. Motrer que u ) coverge. Exercice 46 [ 078 ] [Correctio] Justifier que la suite de terme gééral cos) diverge. Exercice 47 [ 0037 ] [Correctio] Motrer que la suite de terme gééral si) diverge. Exercice 48 [ 079 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle telle que Motrer que u ) ted vers 0. Exercice 49 [ 0334 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle vérifiat, p N, 0 u +p + p p u + u 0 et u + Motrer qu il existe ue applicatio ϕ : N N strictemet croissate vérifiat u ϕ) 0 Limite de suites de solutios d ue équatio Exercice 50 [ 090 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + ta x = d icoue x ] π/, π/[. a) Motrer que l équatio E possède ue solutio uique otée x. b) Motrer que la suite x ) coverge et détermier sa limite. Exercice 5 [ 088 ] [Correctio] Motrer que l équatio xe x = possède pour tout N, ue uique solutio x das R +. Etudier la limite de x ). Exercice 5 [ 09 ] [Correctio] Soit u etier aturel o ul et E l équatio : x l x = d icoue x R +. a) Motrer que l équatio E admet ue uique solutio x, et que x. b) Motrer que la suite x ) est décroissate et coverge vers. Exercice 53 [ 09 ] [Correctio] Soiet N et E : x + x + + x = a) Motrer que l équatio E possède ue uique solutio x das R + et que x [/, ] b) Motrer que x ) coverge. c) Détermier la limite de x ). Exercice 54 [ 0034 ] [Correctio] Motrer que pour tout, l équatio x! = possède ue uique racie x das ]0, + [. Détermier lim x. Exercice 55 [ 0035 ] [Correctio] Motrer que la relatio u + + )u = défiit ue suite positive u ) uique. Etudier sa covergece et préciser sa limite. Expressio du terme gééral d ue suite récurrete Exercice 56 [ 093 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral et la limite de la suite récurrete réelle u ) 0 défiie par : a) u 0 = 0 et N, u + = u + b) u 0 = 0 et N, u + = u+. x k k!

7 [ édité le 6 octobre 05 Eocés 7 Exercice 57 [ 094 ] [Correctio] Soit x ) et y ) deux suites réelles telles que N, x + = x y et y + = x + y E itroduisat la suite complexe de terme gééral z = x + i.y, motrer que les suites x ) et y ) coverget et détermier leurs limites. Exercice 58 [ 095 ] [Correctio] Soit z ) ue suite complexe telle que N, z + = 3 z + z ) Motrer que z ) coverge et exprimer sa limite e foctio de z 0. Exercice 6 [ 0056 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle telle que u 0 = et N, u + = + ) u + Doer l expressio du terme gééral u de cette suite. Suites récurretes liéaires d ordre Exercice 63 [ 098 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral de la suite récurrete complexe u ) 0 défiie par : u 0 = 0, u = + 4i et N, u + = 3 i)u + 5 5i)u Exercice 59 [ 096 ] [Correctio] Soit u ) et v ) les suites détermiées par u 0 =, v 0 = et pour tout N : u + = 3u + v et v + = u + 3v a) Motrer que la suite u v ) est costate. b) Prouver que u ) est ue suite arithmético-géométrique. c) Exprimer les termes gééraux des suites u ) et v ). Exercice 60 [ 097 ] [Correctio] Soiet ρ > 0 et θ ]0, π[. O cosidère la suite complexe z ) défiie par z 0 = ρe iθ et a) Exprimer z sous forme d u produit. b) Détermier lim + z. N, z + = z + z Exercice 6 [ ] [Correctio] Etudier la suite z ) 0 défiie par z 0 C et N, z + = z + z Exercice 64 [ 099 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral des suites récurretes réelles suivates : a) u ) 0 défiie par u 0 =, u = 0 et N, u + = 4u + 4u b) u ) 0 défiie par u 0 =, u = et N, u + = 3u + u c) u ) 0 défiie par u 0 =, u = et N, u + = u + u. Exercice 65 [ 0300 ] [Correctio] Soit θ ]0, π[. Détermier le terme gééral de la suite réelle u ) défiie par : u 0 = u = et N, u + cos θu + + u = 0 Exercice 66 [ 0683 ] [Correctio] Détermier les foctios f : R + R + vérifiat x > 0, ffx)) = 6x fx) Etude de suites récurretes Exercice 67 [ 0304 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par u 0 = a R et N, u + = u

8 [ édité le 6 octobre 05 Eocés 8 Exercice 68 [ 0305 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 69 [ 0303 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 70 [ 0306 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 7 [ 0307 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 7 [ 0308 ] [Correctio] Etudier la suite u ) défiie par Exercice 73 [ 0309 ] [Correctio] Soit u ) la suite réelle défiie par u 0 R et N, u + = u + u 0 = et N, u + = + u u 0 et N, u + = + lu ) u 0 R et N, u + = e u u 0 > 0 et N, u + = + u Exercice 74 [ 030 ] [Correctio] Soit a C tel que 0 < a < et u ) la suite défiie par u u 0 = a et N, u + = u Motrer que u ) est bie défiie et u <. Etudier la limite de u ). Exercice 75 [ 03 ] [Correctio] Soit a > 0 et u ) la suite défiie par u 0 > 0 et N, u + = u + a ) u a) Etudier la covergece de la suite u ). b) O pose pour tout N v = u a u + a Calculer v + e foctio de v, puis v e foctio de v 0 et. c) Motrer que, si u 0 > a, o a u a u0.v 0 Aisi, u réalise ue approximatio de a à la précisio u 0.v 0 0. O peut alors par des calculs élémetaires, détermier ue approximatio de a. Exercice 76 [ 033 ] [Correctio] O cosidère l équatio l x + x = 0 d icoue x > 0. a) Motrer que l équatio possède ue uique solutio α. b) Former, par l algorithme de Newto, ue suite récurrete réelle u ) covergeat vers α. u 0 = a [, ] et N, u + = u a) Justifier que la suite u ) est bie défiie et N, u [, ] b) Quelles sot les limites fiies possibles pour u )? c) Motrer que u ) coverge puis que lim u = 0. E déduire lim u. Exercice 77 [ 03 ] [Correctio] Détermier le terme gééral de la suite u ) défiie par : u 0 = a > 0, u = b > 0 et N, u + u = u + A quelle coditio u ) coverge?

9 [ édité le 6 octobre 05 Eocés 9 Exercice 78 [ 030 ] [Correctio] Soit a R +. O défiit ue suite u ) par u 0 = a et N, u + = a) Détermier la limite de u ). b) Détermier la limite de u + u. Exercice 79 [ ] [Correctio] Etablir + Exercice 80 [ 039 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle vérifiat Soit v ) la suite détermiée par + + = + N, u [/, ] u k v 0 = u 0 et N, v + = v + u + + u + v Motrer que la suite v ) coverge et détermier sa limite. Exercice 8 [ 0038 ] [Correctio] Étudier la suite défiie par u 0 R + et N, u + = + 4 u Exercice 8 [ ] [Correctio] Soiet a > 0, u = a, u = a + a, u 3 = a + a + a, Motrer que u ) est covergete. Exercice 83 [ 0033 ] [Correctio] Soit et u ) la suite défiie par f : x x3 + 3 u 0 R et N u + = fu ) a) Justifier que l équatio fx) = x possède trois racies réelles qu o exprimera pas). b) Etudier le sige de fx) x aisi que la mootoie de f. c) Préciser le comportemet de u ) e discutat selo la valeur de u 0. Exercice 84 [ 0033 ] [Correctio] Soiet f : x x3 + 3ax 3x + a avec a > 0) et u ) la suite défiie par u 0 > 0 et N,u + = fu ) Etudier les variatios de f, le sige de fx) x et e déduire le comportemet de u ). Exercice 85 [ ] [Correctio] Soiet u 0 ]0, [ et pour tout N, u + = u u Motrer que u ) est mootoe de limite ulle. Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats u k et u k ) Exercice 86 [ ] [Correctio] Soit f : [a, b] [a, b] ue foctio de classe C telle que x [a, b], f x) < a) Motrer que f admet u poit fixe uique α. b) Motrer, pour tout u [a, b], la covergece vers α de la suite u ) défiie par u 0 = u et N, u + = fu )

10 [ édité le 6 octobre 05 Eocés 0 Exercice 87 [ ] [Correctio] Soit f : [a, b] [a, b] ue foctio lipschitziee et α [a, b]. O cosidère la suite défiie par u 0 = α et u + = u + fu ) Motrer que u ) coverge vers u poit fixe de f. Exercice 88 [ 0039 ] [Correctio] Soit u ) la suite défiie par u 0 ]0, 4[ et N u + = 4u u a) Motrer que u ) est borée. Quelles sot les limites possibles de u )? b) Motrer que si u ) coverge alors u ) est soit statioaire égale à 0, soit statioaire égale à 3. c) E posat u 0 = 4 si α, détermier les valeurs de u 0 pour lesquelles la suite u ) est statioaire. Exercice 89 [ ] [Correctio] Soiet ρ R + et θ ] π ; π]. O cosidère la suite complexe z ) N défiie par. Exprimer z à l aide d u produit. z 0 = ρe iθ et N, z + = z + z. Détermier la limite de la suite z ) N. Exercice 90 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels positifs telle que N, u + u + u + ) Motrer que u ) coverge. O pourra commecer par étudier la mootoie de v = maxu +, u ). Exercice 9 [ ] [Correctio] Soiet u ) N et v ) N les suites récurretes réelles défiies par : u 0, v 0 R + et N, u + = u v, v + = u + v Motrer que les suites u ) N et v ) N coverget vers ue même limite. Exercice 9 [ 0036 ] [Correctio] Pour α ]0, π/], o étudie les suites u ) et v ) défiies par { { u0 = cos α u+ = u + v )/ et N, v 0 = v + = u + v a) Etablir que pour tout N, u = v cos α et v = cos α k k= b) Etudier si α v et e déduire les limites de u ) et v ). Exercice 93 [ 0783 ] [Correctio] Soit x ) N ue suite de réels positifs. O pose, pour tout > 0, y = x + x + + x a) Ici x = a pour tout, où a > 0. Etudier la covergece de y ). b) Même questio das le cas où x = ab pour tout, avec b > 0. c) Motrer que y ) coverge si, et seulemet si, la suite x ) est borée. Exercice 94 [ 0365 ] [Correctio] Soiet a ) ue suite réelle positive, borée et u ) la suite récurrete défiie par u 0 > 0 et u + = u + a + pour tout N Motrer que la suite u ) coverge si, et seulemet si, la suite a ) coverge. Exercice 95 [ ] [Correctio] Motrer que la suite réelle x ) défiie par x 0 [a, b] et N, x + = fx ) + x ) où f est -lipschitziee de [a, b] das [a, b], coverge vers u poit fixe de f.

11 [ édité le 6 octobre 05 Correctios Correctios Exercice : [éocé] Posos m = l + l )/. O a u l < m. Pour ε = m l > 0, il existe 0 N tel que 0, u l < ε et doc 0, u < m De faço symétrique, il existe N tel que et alors pour tout max 0, ) o a, v > m u < m < v Exercice : [éocé] Si u ) est statioaire, il est clair que cette suite coverge. Iversemet, supposos que u ) coverge et otos l sa limite. Motros l Z. Par l absurde, si l / Z alors El) < l < El) + doc à partir d u certai rag El) < u < El) +. Or u Z. Absurde. Aisi l Z. Puisque u l et l < l < l +, à partir d u certai rag l < u < l +. Or u Z et l Z doc u = l. Fialemet u ) est statioaire égale à l. Exercice 3 : [éocé] O a l ecadremet doc u a puis 0 a u a u ) + b v ) = a + b) u + v ) 0 Exercice 5 : [éocé] O a doc maxa, b) = a + b) + a b ) maxu, v ) = u + v ) + u v ) maxlim u, lim v ) Exercice 6 : [éocé] O a 0 u + v ) = u + u v + v u + u v + v ) 0 Aisi u + v 0 puis et doc u v = u + v ) u + u v + v ) 0 u + v = u + u v + v ) u + v ) 0 qui permet de coclure u 0 et v 0. Exercice 7 : [éocé] O a u v u, v Par le théorème d ecadremet o obtiet lim u = lim v = Exercice 8 : [éocé] Puisque u + /u 0 < /, il existe u rag N N vérifiat N, u + /u / v = u + v ) u a + b) a = b c est-à-dire N, u + u Exercice 4 : [éocé] Supposos u + v l et u v l. u = u + v ) + u v ) l+l et de même v l l. O a alors par récurrece et doc par comparaiso u 0. N, u N u N

12 [ édité le 6 octobre 05 Correctios Exercice 9 : [éocé] Motros que la suite u ) coverge vers 0 par l epsilotique... Soit ε > 0. Puisque la suite ε ) coverge vers 0, il existe u rag N N pour lequel N, 0 ε ε et alors pour tout N O e déduit et par récurrece 0 u + u + ε K 0 u + u K + ε K + ε K p N, 0 u +p u p K p + ε K i i= La suite u ) est majorée par et o peut ecore écrire p N, 0 u +p K p + ε /K) p K /K K p + ε K Pour p assez grad, o a /K p ε et alors 0 u +p ε + ε K = λε avec λ ue costate strictemet positive ce qui permet de coclure. Exercice 0 : [éocé] a) b) c) d) u = u = /3) + /3) = u = + / + / 0 u = + ) Exercice : [éocé] a) u = e l+/)) or l + ) = / l ) + car l+x) x. Par x 0 suite u e. b) u = e l car l 0. c) ) si / = e lsi ) or l si ) l 0 doc si ) /. ) ) ) d) + = e l +) or l + doc + e. Exercice : [éocé] a) u 0 doc u 0. b) 0 u doc u 0. c) + u + avec +, + doc u. d) 0 u e e e 0 doc u 0. e) u 3 = e l 3 doc u. Exercice 3 : [éocé] a) S = + k= b) S k= c) 0 S = +. k= d) 0 S e) k= f) + = k=+ + S k= + = + 0 doc u 0. +) +) 0. k= + doc + S k= + S + puis u. = + + par le théorème des gedarmes : S. g) S =! )! + )! + + ). Par regroupemet de termes. Si est pair alors S! )! et si est impair S! )!. Puisque! )! = ). )! +, o a S +. Exercice 4 : [éocé] lim m + ) = m et lim lim m ) = 0 et lim m + ) = e l ) e. lim m + + lim + m + m ) =. m ) = 0.

13 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 3 Exercice 5 : [éocé] a) Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ <. Comme u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel u ρ doc 0 < u ρ. O a alors u 0. b) Même démarche mais par mioratio. c) u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu o e peut rie dire. Exercice 6 : [éocé]. Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ <. Comme u+ u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel O a alors u + u ρ 0 u = u u u u un+ u N u N ρ N u N 0 doc u 0. O peut aussi raisoer e observat que la suite u ) est décroissate à partir d u certai rag, doc covergete et que sa seule limite possible est ulle.. Même démarche mais par mioratio ou par croissace. 3. u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu o e peut rie dire. Exercice 7 : [éocé] a) O a p+ p dx p+ x dx p p = p car la foctio décroissate x x est majorée par p sur [p, p + ]. Par u argumet semblable p dx p p x dx p p = p Pour, +k+ +k dx x +k + k dx +k x doe e sommat + + Or + et + dx x S dx x dx x = l + + l dx x = l doc S l. b) O a S = = ) ) doc S = k= k k = k= k=+ k = k= + k = S Par suite S l. De plus S + = S + + l doc Exercice 8 : [éocé] O a S l u = + + k k= Or pour k {,..., }, ) ) = k doc puis u. k= ) + + ) ) 3) 0 k ) 0

14 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 4 Exercice 9 : [éocé] a) ) + p + + d où la relatio. b) Par récurrece sur N : Pour = : S = ) et p + = + p + + ) + p + + p p + ) p + )p + ) ) = p + Or z + 0 doc lim + + z k) = z Exercice : [éocé] Exploitos S = e u + e v et P = e u.e v = e u+v Les ombres e u et e v sot solutios de l équatio X e u )X e v ) = 0 i.e. X S X + P = 0 ok Supposos la propriété établie au rag. S + = S +u + = HR Récurrece établie. c) d) Par opératios p +p+)u +)+u + = p +)u +) = p +p+)u +) 0 v = + p ) = + p!p! + p )! p! + 0 S p Exercice 0 : [éocé] O a z) + z k) = z) + z) + z )... + z ) Or z) + z) = z doc z) E répétat la maipulatio + z k) = z ) + z )... + z ) z) + z k) = z + ) À l ordre près, o peut exprimer e u et e v à partir du discrimiat de cette équatio. Or S et P, le discrimiat ted alors vers 0 et les deux suites tedet vers. O e déduit u 0 puis v 0. Exercice : [éocé] E exploitat la formule six) = si x cos x si a P = si a cos a cos a =... = sia) Si a = 0 alors P =. Si a 0 alors, pour assez grad, sia/ ) 0 et Puisque o a puis car six) x = P = P = sia) si a six) si 0 x 0 si a/ ) a/ + x 0 cos0) = sia) sia) si a + a si a + a = a

15 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 5 Exercice 3 : [éocé] a) u = exp l /). b) u = exp l + )) x = exp )) x + o)) e x. c) u = exp d) u = si + ) l + + e) ta π 4 + α u = exp l + α + o + ) / ) = + α + o ) doc = exp + o)) e. ) ) ) si / ))) = expα + o)) e α. f) u = + l + o l l )) e. g) = exp l ) = + l + o), u = + h) Par le théorème des accroissemets fiis avec c + doc = O ) 0. l o )) 3 4. larcta + )) larcta ) = + c arcta c u = exp ) + c e /π arcta c Exercice 4 : [éocé] E développat l /) u = cos π + π ) + o) = ) + sio)) 0 Exercice 5 : [éocé] Si a ]0, [, la suite est costate égale à 0. Si a =, la suite est costate égale à. Si a > alors a < a a doe a ) / < a / a et doc, par ecadremet, la suite coverge vers a. Exercice 6 : [éocé] A R +, l esemble E = { N/u < A} est fii car il cotiet au plus EA) + élémets. Par suite il possède u plus grad élémet N et alors N +, u / E doc u A. Aisi u +. Exercice 7 : [éocé] a) Si α > alors 0 u α + 0 doc u 0. Si α < alors u α + = α α + doc u +. b) u + u = > 0 doc u ) est croissate. De plus u + doc u ) est majorée et par coséquet covergete. c) u = + k l ) ) = l + k = l et u = doc u l. k= k= k= + k l + ) ) = l + + k + l k= Exercice 8 : [éocé] a) Il suffit de dresser le tableau de variatio des foctios x l + x) x + x et x x l + x). b) k + ) l u = et doc l u k= Exercice 9 : [éocé] a) La suite u ) est croissate car u + u = k= ) k k 4 = + + ) + ) 6 3 u e p + ) )p + ) + 0 et u p + p doc u ) coverge vers ue limite l. b) Commeços par le cas où f 0) = 0. Soit ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x [0, α] o ait f x) ε et par l iégalité des accroissemets fiis, o obtiet x [0, α], fx) ε x

16 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 6 O a alors v = p k= ε + k pε et doc v 0. Pour le cas gééral, il suffit d itroduire gx) = fx) xf 0). Puisque g 0) = 0, o a p ) g + k 0 + et doc et fialemet v lf 0). c) Pour fx) = l + x), k= v u f 0) + 0 p v = l + k + ) l + k) = lp + ) + ) l + ) lp + ) k= O coclut l = lp + ). d) Pour fx) = x, Exercice 30 : [éocé] a) v = doc v ) est croissate. b) p k= + k p + )p + v + v = u + u + + u ) + ) v = u + + u + u u 0 v + u c) O a v l pour tout N et v ) croissate doc v ) coverge vers u réel l l. La relatio précédete, passée à la limite, doe l l + l ce qui permet de coclure v l. Exercice 3 : [éocé] u ) coverge doc u ) est borée. La suite v ) est doc bie défiie et elle-même borée. O a v + v doc v ) est décroissate et doc coverge. Posos l = lim u et l = lim v. v u doc à la limite l l. Si l > l alors l > l +l > l. A partir d u certai rag v > l+l et u < l+l. Impossible. Il reste l = l. Exercice 3 : [éocé] Pour tout N {u p /p + } {u p /p } doc v + v et w + w. Les suites v ) et w ) sot respectivemet décroissate et croissate. De plus w v. La suite v ) est décroissate et miorée par w 0 doc elle coverge vers ue limite l. De même la suite w ) coverge vers ue limite m. Efi w v doe à la limite m l Exercice 33 : [éocé] O a H H = k=+ k k=+ = = H ) est croissate car H + H = + 0. Si H ) coverge vers l alors H H l l = 0. Ceci est impossible puisque H H. Par suite H ) diverge, et puisque H ) est croissate, H ) diverge vers +. Exercice 34 : [éocé] a) Sachat l + x) x, o a doc k l H + ) = lk + ) l k k lk + ) l k = l + ) k=

17 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 7 doc H +. b) Il existe N N tel que pour tout N, O a alors u + u N puis u +. Exercice 35 : [éocé] a) b) O a u + u ) / u k+ u k k=n u = k=n )!!) k = H H N ) + u + + ) + ) = u 4 + ) = + + doc u ) est décroissate. Or u ) est miorée par 0 doc u ) coverge. c) v + = + u + v + u = + ) or + ) + ) 4 + ) 3 = 3 < 0 doc v + v 0. v ) est décroissate et miorée par 0 doc v ) coverge. Nécessairemet lim u = 0 car sio v = + )u +. d) Par télescopage des facteurs k= Parallèlemet u = ) k k= ) = k 3... = ) ) ) = k k k= k= ) k e) O e déduit + )u + ) 4 et doc C /4. O peut motrer que C = /π e exploitat dès la première questio la formule de Stirlig si celle-ci est coue... ). Exercice 36 : [éocé] a) Si a alors u + doc u +. b) u > 0 et u+ u > doc u ) est croissate. De plus u e a e a... e a = exp a ) ) a a exp a a doc u ) est majorée et par suite covergete. Exercice 37 : [éocé] Via si a = si a cos a, o obtiet Via ta a = u = + si ta a ta a, o obtiet θ + cos θ + u + v = + taθ/ + ) ta θ/ + ) v + si x x et ta x x doc u θ et v θ d où v u 0. x 0 x 0 Les suites u ) et v ) sot adjacetes de limite commue égale à θ. Exercice 38 : [éocé] u + u = + + ) = De même v + v 0 et aisémet v u 0 d où l adjacece de ces deux suites. Notos l leur limite commue, o a = + l + o) = + o ) k k= Exercice 39 : [éocé] O a et S + S = S + S = + ) 0 + ) + + = + ) + ) 0 S S = 0

18 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 8 Exercice 40 : [éocé] D ue part S +) S = u + u + 0 D autre part Efi S +)+ S + = u +3 + u + 0 S + S = u + 0 Les suites S + ) et S ) état adjacetes, elles coverget vers ue même limite. Par coséquet S ) coverge aussi vers cette limite. Exercice 4 : [éocé] a) a + a = doc a ) est strictemet croissate. b + b = + )! > 0 + )! + + ) + )! + ) + ) = < 0.! + ) + )! doc b ) est strictemet décroissate. Efi b a =.! 0 b) O a Par suite puis Or p.q! Z et q.q!.a q = q q a q < a q+ e b q+ < b q a q < p q < a q + q.q! q.q!a q < p.q! < q.q!a q + q! k! Z. Absurde. Exercice 4 : [éocé] a ) a) b 0 doe l iégalité demadée. b) Pour, u = u v u +v = v e vertu de a. u + = u v u = u et v + = u+v v = v. c) La suite u ) est croissate et majorée par v doc elle coverge vers ue limite otée l. La suite v ) est décroissate est miorée par u doc elle coverge vers ue limite otée l. E passat la relatio v + = u+v à la limite, o obtiet l = l+l d où l = l. d) Si b = a alors les deux suites u ) et v ) sot costates égales à a et doc Ma, a) = a. Si b = 0 alors la suite u ) est costate égale à 0 et doc Ma, 0) = 0. e) Notos u ) et v ) les suites défiies par le procédé précédet à partir de u 0 = λa et v 0 = λb. Par récurrece, u = λu et v = λv doc Mλa, λb) = λma, b). Exercice 43 : [éocé] a) Aisémet u ) est croissate v ) décroissate et v u 0. b) Par l iégalité de Taylor-Lagrage, pour tout x [0, ], x k ex k! M +x + + )! avec M + = sup e x ) +) = e. Pour x =, o obtiet x [0,] e u e + )! 0 doc u e. c) Par la stricte mootoie des suites u ) et v ) o a u < e < v pour tout N. q.q!u q est u etier et q.q!v q est l etier cosécutif. Or q.q!u q < q.q!e < q.q!v q doc q.q!e e peut être etier. Or q.q!e = p.q! N. Absurde. Exercice 44 : [éocé] La suite u ) état croissate, elle admet ue limite fiie ou ifiie). La suite u ) qui e est extraite a la même limite. Or u ) coverge, il e est doc de même de u ).

19 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 9 Exercice 45 : [éocé] u l, u + l et u 3 l. u 6 ) est extraite de u ) et u 3 ) doc u 6 l et u 6 l. Par suite l = l. u 6+3 ) est extraite de u + ) et u 3 ) doc u 6+3 l et u 6+3 l. Par suite l = l. Il e découle l = l. Puisque les suites extraites u ) et u + ) coverget vers ue même limite, la suite u ) coverge vers celle-ci. Exercice 46 : [éocé] Par l absurde, supposos cos) l R. doe cosp) + cosq) = cos p + q cos p q cos + ) + cos ) = cos cos) A la limite o obtiet l = l cos) d où l = 0. Or cos = cos doe alors à la limite 0 =. Absurde. Exercice 47 : [éocé] Par l absurde, supposos si) l R. doe sip) siq) = si p q cos p + q si + ) si ) = si) cos) A la limite, o obtiet cos) 0. Or cos) = cos ) doe alors à la limite 0 =. Absurde. Exercice 48 : [éocé] D ue part D autre part O e déduit u 0. 0 u = 0 0 u ) 0 Exercice 49 : [éocé] O défiit les valeurs de ϕ par récurrece e posat et pour tout N, ϕ0) = 0 ϕ) = mi {k N/k > ϕ ) et u k } Puisque u +, ϕ) est bie défii e tat que plus petit élémet d ue partie o vide de N. Il est immédiat par costructio que ϕ est ue applicatio strictemet croissate de N vers N. Il reste à vérifier u ϕ) 0 Par costructio, o a pour N u ϕ) et puisque ϕ) / {k N/k > ϕ ) et u k }, o a ϕ) = ϕ ) ou u ϕ) < Observos qu il e peut y avoir qu u ombre fii de pour lesquels ϕ ) = ϕ) Puisque u + u 0, à partir d u rag N, o a u + u < / Par costructio u ϕn) = N + α avec α 0. O a alors u ϕn)+k N + α + k/ Pour k assez grad, o a Or doc u ϕn)+k < N + k u ϕn+k) N + k ϕn + k) ϕn) + k Aisi, il est pas possible que pour tout p {N +,..., N + k} o ait ϕp) = ϕp )

20 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 0 et doc il existe p N + vérifiat et puisque uϕp) u ϕp) < /, o a et par récurrece o obtiet u ϕp) < p et u ϕp) p u ϕp) [p, p + /[ q p, u ϕq) [q, q + /[ Au-delà du rag p + o e peut avoir la propriété car celle-ci etraîe ϕ) = ϕ ) u ϕ ) [, /[ et u ϕ) [, + /[ Fialemet, o a obteu qu à partir d u certai rag Cela etraîe et doc u ϕ) < et u ϕ) 0 u ϕ) u ϕ) u ϕ) 0 u ϕ) 0 Exercice 50 : [éocé] a) Le tableau de variatio de f : x x + ta x permet d affirmer que cette foctio réalise ue bijectio croissate de ] π/, π/[ vers R. L équatio E possède alors pour solutio uique x = f ) b) O a x + ta x = avec x ] π/, π/[ doc x = arcta x ) Or x + car x ) borée et doc x π Exercice 5 : [éocé] Soit f : R + R défiie par fx) = xe x. f est dérivable et f x) = x + )e x > 0 doc f est strictemet croissate. f0) = 0 et lim + f = + doc l équatio xe x = possède ue uique solutio x. x = f ) +. Exercice 5 : [éocé] a) Le tableau de variatio de f : x x l x permet d affirmer que l équatio f x) = possède ue uique solutio x sur R + et que de plus x [, + [. = f x ) doc x + x car f est strictemet croissate sur [, + [. La suite x ) est décroissate et miorée par doc elle coverge. Posos l sa limite, o a l Si l > alors x l x l l l + ce qui est absurde car x l x =. Il reste l =. b) = x + + l x + = x + f x + ) doc f x + ) = x + Exercice 53 : [éocé] a) Itroduisos la foctio f : x x + + x qui est cotiue, strictemet croissate et vérifie f 0) = 0 et lim f x) = + x + La foctio f réalise ue bijectio de [0, + [ vers [0, + [, par suite l équatio E possède ue uique solutio x R +. Puisque f /) = / / < et f ) = o a x [/, ]. b) O a doc f + x ) = x x + x = x x + + x ) + x = x x + x La suite x ) est décroissate et miorée, doc elle coverge.

21 [ édité le 6 octobre 05 Correctios c) Posos l = lim x. Puisque x <, x x doe à la limite l <. doe à la limite car 0 x x 0 et fialemet = x + + x = x x x = l l l = / Exercice 54 : [éocé] O pose f x) = x! x k k!. O observe que f 0) =, lim f x) = + et x + f + = f. La propriété est vrai pour = et si elle est vrai au rag, le tableau de sige de f permet d assurer que f + est décroissate et doc strictemet égative) sur [0, x ] puis strictemet croissate sur [x, + ]. Par le théorème des valeurs itermédiaires, o peut assurer que f s aule e u x + > x et celui-ci est uique. La suite x ) est croissate. Si elle est majorée alors elle coverge vers u réel l et x! 0. Or la suite de terme gééral est x k k! est croissate et strictemet positive. Elle e peut doc coverger vers 0. Par coséquet la suite x ) est pas majorée et, état croissate, elle diverge vers +. Exercice 56 : [éocé] a) Posos v = u +. v ) est géométrique de raiso et v 0 = doc u = +. b) Posos v = u. v ) est géométrique de raiso / et v 0 = doc u =. Exercice 57 : [éocé] O a z + = + i z doc ) + i z = z 0 Or +i < doc z 0 puis x, y 0. Exercice 58 : [éocé] Itroduisos x = Rez ) et y = Imz ). O a x x 0 et y 0 doc z Rez 0 ). x + = x et y + = y 3 Exercice 55 : [éocé] L étude des variatios de la foctio x x + + )x assure l existece et l uicité de u > 0 vérifiat la relatio u + + )u = De plus o peut affirmer u. Puisque u u ) ) = et u o a puis permet de coclure u. u ) 0 u / Exercice 59 : [éocé] a) u + v + = u v et u 0 v 0 = doc u v ) est costate égale à. b) v = u + doc u + = 5u +. La suite u ) est arithmético-géométrique. c) u + a = 5u a) + 4a +. Pour a = /, u a) est géométrique de raiso 5 et de premier terme 3/. Aisi u = 3.5 et v = Exercice 60 : [éocé] + eiθ a) z = ρ = ρ cos θ ei θ, z = ρ cos θ cos θ 4 ei θ 4,..., doc z = ρ k= cos θ k ei θ

22 [ édité le 6 octobre 05 Correctios b) e iθ/ et doc cos θ k = si θ si θ si θ θ k= z ρ si θ θ Exercice 6 : [éocé] O peut écrire z 0 = ρe iθ avec ρ 0 et θ ] π, π] O a alors z = ρ + eiθ = ρ cos θ ei θ, z = ρ cos θ cos θ 4 ei θ 4,..., z = ρe i θ Si θ = 0 alors z = ρ ρ. Sio, pour tout N, si θ 0 et si θ k= cos θ k = si θ par exploitatios successives de l idetité si a = si a cos a. O e déduit cos θ k = si θ si θ si θ θ Fialemet k= Exercice 6 : [éocé] u 0 =, u =, u = 3,... Par récurrece, o motre aisémet z ρ si θ θ N, u = + Exercice 63 : [éocé] u ) est ue suite récurrete liéaire d ordre d équatio caractéristique r 3 i)r + 5 5i) = 0. O obtiet u = + i) 3i) k= cos θ k Exercice 64 : [éocé] a) u = ) b) u = 3 + c) u = cos )π 3. Exercice 65 : [éocé] u ) est ue suite récurrete liéaire d ordre d équatio caractéristique de solutios r = e iθ et r = e iθ. Par suite, il existe α, β R tels que r cos θr + = 0 N, u = α cos θ + β si θ = 0 doe α = et = doe α cos θ + β si θ = doc Fialemet β = cos θ si θ N, u = cos θ + ta θ = si θ/ si θ Exercice 66 : [éocé] Soit f ue foctio solutio. Pour x > 0, o cosidère la suite u ) détermiée par = ta θ si θ = cos )θ/) cosθ/) u 0 = x et N, u + = fu ) La suite u ) est formée de réels strictemet positifs et satisfait la relatio de récurrece liéaire N, u + + u + 6u = 0 Les racies de l équatio caractéristique associée sot et 3 de sorte qu il existe λ, µ R vérifiat N, u = λ + µ 3) Puisque la suite u ) est formée que de réels strictemet positifs, il est écessaire que µ soit ul. Après résolutio cela doe fx) = x. Iversemet, cette foctio est bie solutio.

23 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 3 Exercice 67 : [éocé] O a u 0 = a, u = a, u = a 4, par récurrece u = a. Pour a < alors u 0, pour a =, u et pour a >, u +. E passat la relatio d itératio à la limite, o obtiet l = + l l i.e. gl) = 0. Par l étude de la foctio g, o coclut l =. Fialemet u ) coverge vers. Exercice 68 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et supérieure à à partir du rag car la foctio itératrice f : x x + est défiie sur R et à valeurs das [, + [. u + u = u u + 0 car le discrimiat de x x + est = 3 < 0. La suite u ) est croissate. Si celle-ci coverge vers u réel l alors e passat à la limite la relatio d itératio : l = l +. Or cette équatio e possède pas de racies réelles. Par suite u ) diverge, or elle est croissate, doc u ) diverge vers +. Exercice 69 : [éocé] Pour tout u + u = u u + u + + u Puisque u u 0 = 0, la suite u ) est croissate. Si u ) coverge vers l alors u + = + u doe à la limite l = + l doc l l = 0 et l 0. Par suite l = + 5 = α Par récurrece o motre aisémet que N, u α et par suite u ) coverge vers α. Exercice 70 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et à valeurs strictemet supérieure à car sa foctio itératrice f : x + l x est défiie sur [, + [ à valeurs das [, + [. Pour : u + u = lu ) lu ) est du sige de u u. La suite u ) est mootoe et de mootoie détermiée par le sige de u u 0 = + l u 0 u 0. Etudios la foctio gx) = x + l x x défiie sur [, + [. g est dérivable, g x) = x 0 e s aulat qu e, g) = 0 doc g est strictemet égative sur ], + [. La suite u ) est décroissate. De plus elle est miorée par, doc elle coverge vers u réel l. Exercice 7 : [éocé] La suite u ) est bie défiie car sa foctio itératrice f : x e x est défiie sur R. Pour, u + u = e u e u est du sige de u u. La suite u ) est mootoe et de mootoie détermiée par le sige de u u 0 = e u0 u 0. Etudios la foctio gx) = e x x défiie sur R. g est dérivable et g x) = e x du sige de x. g0) = 0 doc g est positive. Si u 0 = 0 alors u ) est costate égale à 0. Si u 0 > 0 alors u ) est croissate. Si u ) coverge vers u réel l alors l = e l doc l = 0. Or u ) est miorée par u 0 > 0 doc e peut coverger vers 0. Par suite u ) diverge vers +. Si u 0 < 0 alors u ) est croissate et majorée par 0 doc u ) coverge vers la seule limite fiie possible 0. Exercice 7 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et strictemet positive car de foctio itératrice f : x +x défiie sur R+ et à valeurs das R +. Si la suite u ) coverge, sa limite l vérifie l = +l et l 0 doc l = +. u + l = + u + l = u l + u ) + l) 4 u l Par récurrece, o motre u l = 4 u 0 l et o coclut u l. Exercice 73 : [éocé] a) L applicatio x x est défiie de [, ] vers [0, ] [, ]. b) Supposos u l. Puisque, u [0, ], à la limite l [0, ]. La relatio u + = u doe à la limite l = l doc l + l = 0 d où l = ou l =. Or l 0 doc l =. c) u + = u + u u

24 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 4 doc u ) est décroissate et par suite coverge vers α 0. Si α > 0 alors + u = u u + doc u 0 puis u. C est impossible. Nécessairemet u 0 et doc u. Exercice 74 : [éocé] Par récurrece motros u existe et u <. Pour = 0 : ok Supposos la propriété établie au rag 0. Par HR, u existe et u < doc u 0 d où u + = Récurrece établie. u + u u u u < u + u u u doc u ) est décroissate d où u a puis puis Par suite u 0. u u + u a ) a 0 a u u existe et Exercice 75 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et à valeurs das [ a, + [ à partir du rag car de foctio itératrice f : x x + a ) x défiie sur R + et à valeurs das [ a, + [. ) Si u ) coverge vers u réel l alors l = l + a l et l 0 doc l = a. u + a = u + a a u = u a) u = u a u a u Pour, doc Par récurrece : u a u = u a u u + a u a u a u a doc u a. b) v + = u + a u + + a = u au + a u + au + a = u ) a u + = v a doc v = v 0. c) u a v u + a u0 v = u 0 v 0 Exercice 76 : [éocé] a) f : x l x + x réalise ue bijectio strictemet croissate de R + vers R. L équatio proposée possède ue uique solutio α = f 0). b) L algorithme de Newto, propose de défiir la suite u ) par la relatio : u + = u fu ) f u ) = u l u + u /u + = u l u ) u + La foctio f est de classe C, f x) = x + et f x) = x e s aulet pas. Pour u 0 > 0 tel que fu 0 )f u 0 ) 0, la suite coverge vers α. Exercice 77 : [éocé] Par récurrece, o motre que u existe et u > 0. La relatio de récurrece doe alors u + = u + u + u La suite u + /u ) est costate égale à u /u 0 = b/a. La suite u ) est doc géométrique de raiso b/a et fialemet ) b u = a a La suite u ) coverge si, et seulemet si, b a.

25 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 5 Exercice 78 : [éocé] a) Pour : u + u = u k u u k = u k + doc u ) est croissate. Supposos u l R. O a l u = a > 0 E passat la relatio précédete à la limite : 0 = Par suite u +. b) doc Par suite u + u et u u + u = u + + u u + = 0 u u + + u u + u = u + /u + 0 u k l l+l =. C est absurde. Exercice 79 : [éocé] Posos u ) la suite détermiée par u 0 = et pour tout N, u + = + u. La suite u ) est bie défiie et à valeurs positive. Si celle-ci coverge, c est vers l 0 vérifiat l = + l i.e. O a l = + 5 ombre d Or) u + l = + u u l + l = + u + + l u l Par récurrece, o obtiet et doc u l. u l u 0 l Aisi = l Posos v ) la suite détermiée par v 0 = et pour tout N, v + = + v. La suite v ) est bie défiie et à valeurs supérieures à. Si celle-ci coverge, c est vers l vérifiat l = + l. O retrouve l = l. O a v + l = v l v l v l v l l Par récurrece, o obtiet et doc v l car l >. Aisi v l l v 0 l Exercice 80 : [éocé] O vérifie sas difficultés que la suite v ) est défiie et que ses termes sot positifs. De plus, o vérifie par récurrece que car O a alors = l N, v u + ) v ) 0 v + u + + u + v v + v = u + v ) + u + v 0 et la suite v ) est doc croissate et majorée. Par coséquet celle-ci coverge vers ue certaie limite l R. Das le cas où la suite u ) est costate égale à, o observe que l =. Peut-être est-ce ecore vrai das le cas gééral? Pour le voir, étudios la suite v ). O a 0 v + = u +) v ) + u + v v )

26 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 6 doc par récurrece et o e déduit Exercice 8 : [éocé] 0 v v 0) v Exercice 84 : [éocé] f x) est du sige de 3x a) doc f est croissate et par suite u ) est mootoe. Les racies de l équatio fx) = x sot 0, a et a. Ce sot les seules limites possibles pour u ). fx) x est du sige de ax x 3 = xx a)x + a). Si u 0 ]0, a] la suite est croissate est majorée par a doc coverge vers a Si u 0 [ a, + [ la suite est décroissate et miorée par a doc coverge vers a. Si u ) coverge sa limite l vérifie l = + l /4 d où l =. u + u = 4 u ) 0 u ) est croissate. Si u 0 > alors u ) diverge vers +. Si u 0 [0 ; ] alors o vérifie aisémet que u ) est majorée par et o coclut u. Exercice 8 : [éocé] u + u doc u ) est croissate. Par récurrece motros u a +. La relatio est vraie pour = et l hérédité s obtiet par u + = a + u a + a +. Exercice 85 : [éocé] u + u = u 0 doc u ) est décroissate. Aisémet, o motre que u ]0, [ pour tout N et doc o peut coclure que u ) coverge. Sa limite l vérifie l = l l d où l = 0. et u k = u k u k+ = u 0 u + u 0 u k ) = u k+ u k = u + u 0 0 Exercice 83 : [éocé] a) Il suffit de dresser le tableau de variatio de f. O ote α < β < γ ces trois racies. x α β γ b) f est croissate et fx) x c) u u + fu ) fu + ) doc u 0 fu 0 ) u ) croissate. De même u u + fu ) fu + ) doc u 0 fu 0 ) u ) décroissate. Les seules limites fiies possibles pour u ) sot α, β, γ. Efi si u 0 α resp. β, γ) alors pour tout, u α resp. β, γ) et de même pour. Au fial o peut coclure : u 0 ], α[ doe u ) décroissat vers. u 0 = α doe u ) costate égale à α. u 0 ]α, γ[ doe u ) covergeat vers β. u 0 = γ doe u ) costate égale à γ. u 0 ]γ, + [ doe u ) croissat vers +. Exercice 86 : [éocé] a) Soit g : [a, b] R défiie par gx) = fx) x. g est cotiue, ga) 0 et gb) 0 doc g s aule e u poit α qui est alors poit fixe de f. Si α et β sot deux poits fixes disticts alors par applicatio du théorème des accroissemets fiis, il existe c [a, b] tel que f c) = ce qui est icompatible avec les hypothèses. b) La foctio x f x) est cotiue sur le segmet [a, b], elle y admet doc u maximum e u poit c [a, b] et e posat k = f c) o a x [a, b], f x) k avec k [0, [ Par l iégalité des accroissemets fiis, f est k lipschitziee et alors par récurrece : N, u α k u α 0 d où le résultat.

27 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 7 Exercice 87 : [éocé] u + u = fu ) fu )) + u u ) Puisque f est lipschitziee o a fu ) fu ) u u doc u + u est du sige de u u, e fait la foctio itératrice est croissate). Par suite u ) est mootoe et état borée elle coverge vers u l [a, b]. La relatio u + = u + fu ) doe à la limite l = l + fl) doc fl) = l.. e i θ et cos θ cos θ 4 cos θ = si θ si θ si θ θ Fialemet z si θ θ. ou si θ = 0) Exercice 90 : [éocé] O a u v et u + v, v + = maxu +, u + ) avec u + u + u + ) v et u + v doc v ) est décroissate. v ) est décroissate et miorée par 0 doc v ) coverge. O a u + v. ) v + max u + + u ), u + = max u + + u ), ) u + + u + ) = u ++ doc v + v u + v doc u ) coverge vers la même limite que u ). Exercice 88 : [éocé] a) O observe que x 4x x est ue applicatio de [0, 4] das lui-même. Par suite u [0, 4] pour tout N. Si u ) coverge alors, e posat l sa limite, o a l = 4l l d où l = 0 ou l = 3. b) Supposos que u 0. S il existe u rag tel que u = 0 alors la suite u ) est statioaire égale à 0. Sio o a u > 0 pour tout N et doc u + u 3u > 0. Aisi, à partir d u certai rag, la suite est strictemet croissate. De même si u 3 sas être statioaire égale à 3, o observe que la suite u 3 est strictemet croissate à partir d u certai rag. c) O obtiet aisémet u = 4 si α. La suite est statioaire si, et seulemet si, il existe N tel que u = 0 ou 3 i.e. si α) = 0, 3/, 3/ soit ecore α = kπ/3 avec k Z. Aisi les u 0 pour lesquels la suite est statioaire sot les sikπ/3. ) avec k Z et N. Exercice 89 : [éocé]. z = ρeiθ +ρ = ρ cos θ ei θ. Par ce pricipe : z = ρ cos θ cos θ 4 cos θ ei θ Exercice 9 : [éocé] Les suites u ) et v ) sot bie défiies et à termes positifs. Sachat a, b R +, ab a + b o a, u v puis u + u et v + v Les suites u ) et v ) sot respectivemet croissate et décroissate et o a, u 0 u v v 0 Par covergece mootoe, u ) et v ) coverget vers des limites l et l. E passat la relatio à la limite o obtiet l = l. v + = u + v

28 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 8 Exercice 9 : [éocé] a) Exploiter + cos x = cos x et raisoer par récurrece. b) si α v = si α via si a cos a = si a. Par suite et aussi v si α siα/ ) si α α u si α α Exercice 93 : [éocé] Notos que la suite y ) est croissate, elle est doc covergete si, et seulemet si, elle est majorée. a) Ici y + = a + y. Soit l la racie positive de l équatio l l a = 0 i.e. l = + + 4a O remarque que y = a l et o motre par récurrece y l. La suite y ) est croissate et majorée doc covergete. b) O observe que la ouvelle suite y ) est désormais égale à b fois la précédete, elle est doc covergete. c) Si y ) coverge vers l alors x Si x y l doc x ) est borée. ) est borée par ue certai M alors x M, la suite y ) défiie par x ) est alors iférieure à celle obteue par M ), cette derière état covergete, la suite y ) coverge. Exercice 94 : [éocé] Posos M = sup a N O vérifie aisémet que la suite u ) est bie défiie et que pour tout M + u Supposos la covergece de la suite u ). Sa limite est strictemet positive. E résolvat l équatio défiissat u + e foctio de u, o obtiet a = u + u O e déduit que la suite a ) coverge. Iversemet, supposos que la suite a ) coverge vers ue limite l, l 0. Cosidéros la suite v ) défiie par v 0 = et v + = v + l + pour tout N O vérifie que la suite v ) est bie défiie et à termes strictemet positifs. L équatio x = x + l + possède ue racie L > 0 et o a v + L v L + L ce qui permet d établir que la suite v ) coverge vers L. Cosidéros esuite la suite α ) défiie par α = u v O a et doc avec α + = α + l a ) u + a + )v + l + ) α + k α + a l ) k = [0, [ m + où m > 0 est u miorat de la suite covergete v ). Par récurrece, o obtiet α k α 0 + k p a p l p=0 Soit ε > 0. Puisque la suite a ) coverge vers l, il existe p 0 tel que p p 0, a p l ε

29 [ édité le 6 octobre 05 Correctios 9 et alors Pour assez grad p=p 0 k p a p l ε + k= k p = kε k p 0 p=0 k p a p l = C te k ε et k α 0 ε et o e déduit α ε + kε k Aisi α 0 et par coséquet u L Exercice 95 : [éocé] La foctio itératrice de cette suite récurrete est g : x fx) + x) O vérifie aisémet que cette foctio est défiie sur [a, b] et à valeurs das [a, b]. O e déduit que la suite x ) est bie défiie et que c est ue suite d élémets de [a, b]. O a x + x = fx ) fx )) + x x ) Puisque f est -lipschitziee, o a fx ) fx ) x x et doc x + x est du sige de x x. Par coséquet, la suite x ) est mootoe et sa mootoie découle du sige de x x 0. La suite x ) état de plus borée, elle coverge vers ue certaie limite l avec l [a, b]. La relatio x + = x + fx ) doe à la limite sachat f cotiue doc fl) = l. l = l + fl)