Article PanaMaths Irrationalité de e

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Article PanaMaths Irrationalité de e"

Transcription

1 Articl PaaMaths Irratioalité d Itrodctio L ombr, bas ds logarithms épéris, st bi co ds élèvs d trmial. Das ctt ot d lctr, o commc par établir c ombr st la limit d la sit ( d trm gééral =... = (pls tard, o parl pltôt d la séri d! 2!! k! trm gééral. U fois c résltat établi, o pt alors accédr à atr résltat, très! importat : l irratioalité d. C st l bt d ctt ot d lctr t o vrra ls otios t raisomts tilisés appartit tos a programms ds classs d trmial (S t ES. E fi d collèg, o pt facilmt établir l irratioalité d ombr 2. E trmial, o accèd à cll d ombr. Cll d π, probablmt la pls célèbr d tots ls costats mathématis, rirt ds otios i sot malhrsmt pas a programm ds classs d trmial t sa démostratio st ttmt pls délicat ls d atrs. k = 0 La sit d trm gééral...! 2!! k! = = k= 0 Das prmir tmps, os allos établir l prmir résltat fodamtal sivat : lim = lim... =! 2!! E fait c résltat st cas particlir d résltat pls gééral (hors programm : 2, lim... =! 2!! C st c résltat i st à l origi d la démarch ci-dssos. Por tir atrl o l, o cosidèr d abord la foctio f défii sr par : 2 f ( =...! 2!! PaaMaths [-6] Mai 20

2 / Irratioalité d O ot l o a : f ( 0 = t f ( = =. Par aillrs, la foctio f st dérivabl sr tat prodit d d foctios dérivabls sr ct itrvall ( foctio polyôm t l ivrs d la foctio potill. Por tot rél positif, o a alors : 2 2 f '( = ! 2!!! 2!! 2 2 =......! 2! (!! 2!! =! Por o l, o a doc : f '( < 0 t o dédit immédiatmt la foctio f st strictmt décroissat sr. O a doc : f ( < f ( 0, soit : <. D où : ( Cosidéros maitat la foctio g défii, égalmt sr, par : 2 g( = f ( =... (!! 2!! (! O a immédiatmt : g( 0 = f ( 0 = t g( f ( ( ( PaaMaths [2-6] Mai 20 = =.!! Par aillrs, la foctio g st dérivabl sr tat somm d d foctios dérivabls sr ct itrvall (la foctio f t foctio polyôm. Por tot rél positif, o a alors : ( g' ( = f '( (! ( =! (! =!! = (! =! <. Aisi, por tot strictmt positif, o a : 0 g' > 0. O dédit immédiatmt la foctio g st strictmt croissat sr. O a doc : g( > g( 0, soit :! >. D où : ( >! ( > t doc : ( ( 2.

3 / Irratioalité d E défiitiv, ls d iégalités ( t ( 2 obts ci-dsss dot : *, < <! ( Comm lim ((! =, o a immédiatmt : lim = (! gdarms os prmt d coclr immédiatmt : lim = t l théorèm ds lim = lim... = =! 2!! k = 0 k! La otatio st hors programm mais pos pas d difficlté particlièr. k k! = 0 D sits adjacts O cosidèr maitat la sit ( t la sit ( v v sivat : Por tot tir atrl o l : =... = =! 2!!!! k!! O pt calclr facilmt ls trms : 5 0 =, = = 2, 2 = = 2 = = 2,5,! 2! = 2 = = 2,67, 4 = 3 = = 2,708, tc. 3! ! v0 = 0 = = 2, v = = 2 = 3, v2 = 2 = = 3,! 2! v3 = 3 = = 2,83, v4 = 4 = = = 2,75, tc. 3! ! La sit ( smbl croissat t la sit ( PaaMaths [3-6] Mai 20 k = 0 v smbl décroissat à partir d = (o porra avatagsmt tilisr tablr por calclr davatag d trms t étayr p pls la scod «cojctr», mois «évidt» la prmièr. Nos allos fait motrr cs d sits sot adjacts.

4 / Irratioalité d O a facilmt, por tot tir atrl o l : = k= 0 k! k= 0 k! =......! 2!! (!! 2!! =! ( Or, por tot tir atrl o l, o a : (! > 0t doc : O dédit aisi la sit ( st strictmt croissat. = 0! >. ( Par aillrs : v v =!! ( =!! ( =!!! ( ( 2 =!! = = ( 2 ( (!! ( Por tot tir atrl o l, o a : 0 (t mêm < 0 à partir d = 2. v st décroissat (t mêm strictmt décroissat à O dédit aisi la sit ( partir d = 2. Efi, os avos : v Comm : lim! =.! =, o a immédiatmt : ( v lim = 0. Comm ls sits ( t ( = 2, strictmt décroissats t la sit ( v fialmt ls sits ( t ( v sot adjacts. PaaMaths [4-6] Mai 20 v sot rspctivmt (strictmt croissats t (à partir d td vrs 0, o coclt D fait, lls covrgt vrs mêm limit i st, d après l résltat obt das la parti précédt, l ombr.

5 / Irratioalité d Nos povos fialmt écrir : lim = lim v = = lim... = lim... =! 2!!! 2!!! k = 0 k! Irratioalité d Por tot tir atrl spérir o égal à 2, o a, ls mootois état stricts :, 2 < < v Spposos soit ombr ratiol. état strictmt positif. O pt alors l écrir : p où p t sot d tirs atrls prmirs tr. Comm 2,5 = 2 < < v2 = 3, l ombr st pas tir t o dédit immédiatmt l tir st spérir o égal à 2. O a doc : p < < v Soit : p... < <...! 2!!! 2!!! E mltipliat tos ls mmbrs d ctt dobl iégalité par!, il vit : p... < <...! 2!!! 2!!! p...! <! <...!! 2!!! 2!!!!!!!!!!!!!... < p (! <!...! 2!!!! 2!!!! Posos alors : 0;, l rapport ( ( (!!!! N =!.... Comm, por tot tir atrl k das! 2!!!! st tir atrl, il va d mêm por l ombr N. k! O a fialmt : ( N < p! < N PaaMaths [5-6] Mai 20

6 / Irratioalité d Ctt sitatio st absrd pis l tir p (! pt êtr cadré, strictmt, par d tirs coséctifs (N t N. Ayat aboti à cotradictio, os povos affirmr l hypothès iitial st rroé : st pas ombr ratiol. L ombr, bas ds logarithms épéris, st pas ratiol. Qls décimals por fiir Por fiir, os forissos ci-dssos l écritr décimal d faisat apparaîtr ls 500 prmièrs décimals : = PaaMaths [6-6] Mai 20

Chapitre 3 - La fonction exponentielle.doc 1/6 Chapitre 3.: La fonction exponentielle. 1

Chapitre 3 - La fonction exponentielle.doc 1/6 Chapitre 3.: La fonction exponentielle. 1 Chapitr 3 - La foctio potilldoc /6 Chapitr 3: La foctio potill I Défiitios t propriétés II L ombr t la otatio puissac III Etud d la foctio potill 3 / Ss d variatio, tagts t approimatio affi 3 / Limits

Plus en détail

CORRECTION DU BAC 2007

CORRECTION DU BAC 2007 CORRECTION DU BAC 007 Trmial S Liba Exrcic ) a) l x = 0 x = ; l x > 0 x > ; l x < 0 x < (la foctio l 0 ; + ) état strictmt croissat sur ] [ l x = 0 lx = x = ; l x < 0 lx > x > ; l x 0 lx x 0 ; + ) >

Plus en détail

corrigé BAC MATHEMATIQUES - mai LIBAN

corrigé BAC MATHEMATIQUES - mai LIBAN corrigé B MTHEMTIQUES - mai - LIBN Ercic (4 poits) Qustio La propositio d) st vrai par élimiatio : la a) st fauss car ls vcturs dircturs sot pas coliéairs, b) st fauss car il y a pas d poit d itrsctio

Plus en détail

LFA / Terminale S Cours mathématiques Mme MAINGUY Chapitre 10 LA FONCTION EXPONENTIELLE. ; h est aussi dérivable sur R et : , h x f x f x 1. sur.

LFA / Terminale S Cours mathématiques Mme MAINGUY Chapitre 10 LA FONCTION EXPONENTIELLE. ; h est aussi dérivable sur R et : , h x f x f x 1. sur. LFA / Trmial S Cours mathématiqus Mm MAINGUY Chapitr Trmial S Ch. LA FONCTION EPONENTIELLE I. La foctio potill / défiitio, istc t uicité Propriété Si f st u foctio défii t dérivabl sur R tll qu f ' f t

Plus en détail

Les suites. Suite définie par une fonction (= Suites définies en fonction du rang n (du type ;

Les suites. Suite définie par une fonction (= Suites définies en fonction du rang n (du type ; Les sites Rappel : désige l esemble des etiers atrels, ;;;; UNE SUITE DE NOMBRES REELS EST UNE LISTE ORDONNEE DE NOMBRES REELS, FINIE OU INFINIE I ) Gééralités Notio de site Défiitio : Ue site est e foctio

Plus en détail

Premières S A et S C : pour s entraîner pour le devoir n 8

Premières S A et S C : pour s entraîner pour le devoir n 8 Premières S A et S C : por s etraîer por le devoir 8 Savoirs et savoir faire (oveax depis le DS7) : Barycetres das l espace : Démotrer qe des poits sot coplaaires à l aide de barycetres Savoir détermier

Plus en détail

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ; 16 )

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ; 16 ) EXERCCES PRMTVES ET CALCUL NTÉGRAL Sit MathsTCE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako EXERCCE : Trouvr u primitiv d chacu ds foctios f défiis par ) f () 6 ; ) f () ) f () 9 ; ) f () 7 ) f () ( )( ) ; 6 ) f

Plus en détail

Cours et exercices de mathématiques SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES Cors et exercices de mathématiqes SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice. Les sites sot défiies par f (. ( Doer la foctio mériqe f correspodate, idiqer le terme iitial de la site, pis calcler les

Plus en détail

La loi des grands nombres

La loi des grands nombres La loi ds grads ombrs Espérac mathématiq d la valr absol (iégalité d Markov)... La loi ds grads ombrs (iégalité d Biaymé-Tchbychv)... 3 Ls Grads ombrs à l aid d Biaymé-Tchbychv... 4 L Théorèm d MOIVRE-LAPLACE...

Plus en détail

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet. Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm

Plus en détail

Suites réelles 2. ) sur l axe des abscisses. 2) Répondre par «Vrai ou Faux» aux questions suivantes, en utilisant le graphique : a) ( ) n

Suites réelles 2. ) sur l axe des abscisses. 2) Répondre par «Vrai ou Faux» aux questions suivantes, en utilisant le graphique : a) ( ) n 4 ème aée Maths Sites réelles Septembre 9 A LAATAOUI Exercice : O cosidère la site ( ) défiie par : a) Motrer qe por tot de IN, < 4 b) Motrer qe ( ) est strictemet croissate c) E dédire qe ( ) + 4+, por

Plus en détail

Euler. Cette égalité est la relation d Euler.

Euler. Cette égalité est la relation d Euler. Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Rappls L tau d accroissmt d u foctio f tr a t a h st égal à : f ( a h) f ( a) h U foctio st dérivabl a si l tau d accroissmt d ctt foctio

Plus en détail

TS DS 1 Lundi 25/09/ Recopier et compléter l algorithme dessous, pour qu il affiche la plus petite valeur de n pour laquelle u 4,999

TS DS 1 Lundi 25/09/ Recopier et compléter l algorithme dessous, pour qu il affiche la plus petite valeur de n pour laquelle u 4,999 TS DS Ldi /0/07 Exercice : sr 6 poits O cosidère la site défiie par 0 0 et por tot, 3.. Démotrer, par récrrece, qe por tot,.. Etdier le ses de variatio de la site 3. Détermier la limite de la site 4. Recopier

Plus en détail

Eléments de correction du BAC Amérique du Nord -30 mai 2013

Eléments de correction du BAC Amérique du Nord -30 mai 2013 Elémts d corrctio du BAC Amériqu du Nord -3 mai 3 Ercic A, B t C sot pas aligés si t sulmt si ls vcturs AB t AC sot pas coliéairs O a AB ; ; t AC ; 5; 3 poits A, B t C sot las aligés or 5 a Comm A, B t

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

EXERCICES SUR LES SUITES NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICE : I) ; ; r t S EXERCICES SR LES SITES NMÉRIQES Sit MathsTICE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako désigat rspctivmt l prmir trm, l ièm trm, la raiso t la somm ds prmir trms d u suit arithmétiqu,

Plus en détail

Terminale S Les ROC d analyse à connaître.

Terminale S Les ROC d analyse à connaître. Termiale S Les ROC d aalyse à coaître Vos troverez ici les démostratios qe vos avez officiellemet des faire e cors (das le programme) Il est importat de préciser qe cela e sigifie e ac cas q il e faille

Plus en détail

France métropolitaine/réunion. Septembre Enseignement spécifique. Corrigé

France métropolitaine/réunion. Septembre Enseignement spécifique. Corrigé Frac métropolitai/réuio. Sptmbr 15. Esigmt spécifiqu. Corrigé EXERCICE 1 Qustio 1 D après la formul ds probabilités totals fourit p(b) = p(a) p A (B)+p ( A ) p A (B) =,6,+(1,6),3 =,1+,1 =,4. La bo répos

Plus en détail

Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles Foctios potills I Foctios potills d bas. Foctio :, avc > 0 La suit ( u ) d trm gééral u st u suit géométriu d raiso. La octio potill déii par ( ) st l prologmt d ctt suit géométriu. La courb rpréstativ

Plus en détail

La présentation, le soin et la rigueur des résultats entreront pour une part importante dans l évaluation de la copie.

La présentation, le soin et la rigueur des résultats entreront pour une part importante dans l évaluation de la copie. NOM Tle S-A/B/C DS - Mathématiqes - Ldi 26 septembre 206 La présetatio, le soi et la riger des résltats etrerot por e part importate das l évalatio de la copie Exercice : sr 8 poits Cet exercice est costité

Plus en détail

Calcul de rayon de convergence concret

Calcul de rayon de convergence concret [http://mp.cpgedpydelome.fr] édité le 24 septembre 206 Eocés Calcl de rayo de covergece cocret Exercice [ 0097 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : (a) 0 2 + 3 z (b) 0 e 2

Plus en détail

6.1. Les fonctions exponentielles x q n avec q>0

6.1. Les fonctions exponentielles x q n avec q>0 6. Foctios potills L foctio 6.. Ls foctios potills vc >0. Défiitio : st foctio défii sr. S cor rprésttiv st ot rlit pr li coti t rélièr ls poits d coordoés ( ) foctio st pplé foctio potill d s. Cs > Cs

Plus en détail

Fiche d exercices 7 : Intégrales et primitives

Fiche d exercices 7 : Intégrales et primitives Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Itégrals t propriétés Ercic O cosidèr ls foctios f ( ) + t f ( ). E utilisat la défiitio d u itégral, calculr : Ercic (a) f ( ) d (c) f ( ) (b) g ( ) d (d) g ( ) 5

Plus en détail

arlesrsuitesraurbacr2013r==corriges=z

arlesrsuitesraurbacr2013r==corriges=z arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z Frace métropolitaie septembre 5 poits 7 La foctio x x, ratioelle, est dérivable sr tot itervalle cote das so esemble x de défiitio * doc f est dérivable sr ] ; + [ et,

Plus en détail

1S 1 : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 (2 heures)

1S 1 : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 (2 heures) S : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 ( heres) Exercice ( poits) Calcler les sommes sivates : S + + 3 +... + + et S + + 3 +... + 8 +. Exercice (3 poits) La site ( ) est arithmétiqe de raiso r. O sait qe 5 46 et 86..

Plus en détail

Mathématiques Logarithmes et exponentielles Terminal e C Exercice 1

Mathématiques Logarithmes et exponentielles Terminal e C Exercice 1 Mathématiqus Logarithms t potills Trmial C Ercic Résoudr das IR ls équatios : l 4 ; l - ; l ; l + l 5 - Ercic Démotrr qu pour tout rél, o a : l ( + ) + l ( + - ) Ercic Résoudr das IR l'équatio l + l (

Plus en détail

TS Fonction exponentielle (1)

TS Fonction exponentielle (1) TS Foctio potill () I Costructio d l potill ) Itroductio O démotr physiqu das l étud d la radioactivité (abordé èr ) qu si N(t) désig l ombr d oyau désitégrés à l istat t, o a : N(t) = N(t) où désig u

Plus en détail

pour tout n de N, u n u n+1 ( resp. u n > u n+1 ). On dit d une suite ( u n ) qu elle est décroissante ( resp. strictement décroissante ) si :

pour tout n de N, u n u n+1 ( resp. u n > u n+1 ). On dit d une suite ( u n ) qu elle est décroissante ( resp. strictement décroissante ) si : Sites mootoes Sites adjacetes Approximatios d réel Développemet décimal Pré reqis Axiome de la bore spériere Limite d e site Partie etière d réel Divisio eclidiee Sites mootoes Défiitios : O dit d e site

Plus en détail

SUITES AFFINES - EXERCICES CORRIGES. ), définie à partir de la suite ( u. 1. On pose vn

SUITES AFFINES - EXERCICES CORRIGES. ), définie à partir de la suite ( u. 1. On pose vn Exercice SUITES AFFINES - EXERCICES CORRIGES Das chaqe cas, motrer qe la site ( v, défiie à partir de la site ( v pis de e foctio de = = Exercice = et v = = 4 O cosidère e site ( défiie sr N par : a Motrer

Plus en détail

Fonctions - Dérivation

Fonctions - Dérivation Termiale S Dériatio Chapitre 4 Foctios - Dériatio I- Dériabilité f est e foctio défiie sr D f (iteralle o réio d iteralles C f est sa corbe représatie Foctio dériable e a Nombre dérié Défiitio (Rappels

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE 4 ème MATHEMATIQUES. Exercice 1. Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = e. d) Montrer que x IR on a : f (x) 1

FONCTION EXPONENTIELLE 4 ème MATHEMATIQUES. Exercice 1. Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = e. d) Montrer que x IR on a : f (x) 1 FONCTION EXPONENTIELLE 4 èm MATHEMATIQUES Ercic A) Soit g la foctio défii sur IR par : g() + ( ) ) Motrr qu IR o a : g () ( ) ) Etudir l ss d variatio d g Calculr g () 3) E déduir qu IR o a : g () > B)

Plus en détail

SUITES RECURRENTES - EXERCICES CORRIGES

SUITES RECURRENTES - EXERCICES CORRIGES Exercice. SUITES RECURRENTES - EXERCICES CORRIGES O cosidère la site ( ) défiie par ) Etdier la mootoie de la site ( ) ) a) Démotrer qe, por tot etier atrel, b) Qelle est la limite de la site ( )? = por

Plus en détail

TS Exercices sur les limites de suites (3) 4 Pour tout entier naturel n 1, on pose :

TS Exercices sur les limites de suites (3) 4 Pour tout entier naturel n 1, on pose : T Exercices sr les limites de sites () Por tot etier atrel, o pose : O cosidère la site ( ) défiie sr N par so premier terme récrrece ( ) = + por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier

Plus en détail

fonctions logarithme et exponentielle : propriétés analytiques

fonctions logarithme et exponentielle : propriétés analytiques Lycé Juls Sigfrid - L Hvr - Mrc Bizt - Clss d Trmil STID foctios logrithm t potill : propriétés lytiqus. Trsformr u produit u somm Cosidéros u foctio f tll qu pour tous réls strictmt positifs t b, f (

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques Sites arithméties et géométries A Sites arithméties Défiitio et formles Défiitio : forme récrsive Ue site est arithmétie lorse, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e ajotat

Plus en détail

Les suites réelles. Comportement global d une suite : Suite croissante Suite décroissante Suite majorée Suite minorée. 1. Des suites Arithmétiques.

Les suites réelles. Comportement global d une suite : Suite croissante Suite décroissante Suite majorée Suite minorée. 1. Des suites Arithmétiques. Les sites réelles Cote discipliaire 2A Scieces 3A Scieces expérimetales 4AScieces expérimetales Sites arithmétiqes. Sites géométriqes. Comportemet global d e site : Site croissate Site décroissate Site

Plus en détail

0 Rappels sur fonctions et graphes ( )

0 Rappels sur fonctions et graphes ( ) Rappls sur foctios t graphs U foctio f défii sur u itrvall I d R prmt d fair corrspodr à tout élémt d I u, f das l pla mui d u rpèr. Ls rél. O appll graph d f l smbl ds poits ombrs f ( ) pour I sot ls

Plus en détail

CH V : Fonction exponentielle

CH V : Fonction exponentielle TSTID CH V : Fonction ponntill A la décovrt d n novll fonction d référnc Ls calclatrics possèdnt n toch On not ctt fonction : p. L imag d n rél par la fonction ponntill st noté qi corrspond à n fonction

Plus en détail

Suites généralités. u est une fonction qui à tout entier naturel n associe un nombre réel, noté u

Suites généralités. u est une fonction qui à tout entier naturel n associe un nombre réel, noté u Sites gééralités A Sites mériqes Notio de site Défiitio : Ue site ( qe : : a La site se ote o avec des parethèses ( est e foctio qi à tot etier atrel associe ombre réel, oté tel Le terme iitial de la site

Plus en détail

Chapitre n 10 : Intégration Exercices BAC

Chapitre n 10 : Intégration Exercices BAC Chapitr : Itégratio Ercics BAC Ercic : Polyési Sptmr - 6 poits Ercic : La Réuio 6 poits 3 Ercic 3 : Ctrs Etragrs 6 poits 4 Ercic 4 : Frac 7 poits 5 Ercic 5 : Asi 5 poits 7 Ercic 6 : Podichéry Avril : 6

Plus en détail

Contrôle du samedi 1 er octobre 2016 (2 heures) TS1. III. (4 points : 1 ) 2 points ; 2 ) 2 points)

Contrôle du samedi 1 er octobre 2016 (2 heures) TS1. III. (4 points : 1 ) 2 points ; 2 ) 2 points) TS Cotrôle d samedi er octobre 6 ( heres) Préom et om : Note : / I ( poits : ) poit ; ) poit) O cosidère le polyôme 4 P 6 9 6 89 avec ) Démotrer qe por tot ombre complexe o a : P 6 89 III (4 poits : )

Plus en détail

Correction DEVOIR COMMUN TS (3 heures)

Correction DEVOIR COMMUN TS (3 heures) Corrcto DVOIR COMMUN TS hrs) rcc 6 pots) O cosdèr plsrs sacs d blls S, S, S,, S, tls q : L prmr sac S cott blls jas t vrts ; Chac ds sac svats S, S,, S, cott blls jas t vrts L bt d ct rcc st d étdr l évolto

Plus en détail

3 f x, or pour x [3, [, f '( x) 0 car

3 f x, or pour x [3, [, f '( x) 0 car Foctio potill Ercics corrigés Fsic 996, rcic Soit f la foctio défii sur * par f( ) t C sa courb rpréstativ 3 3 a f st u bijctio d * sur ; 7 b La droit ( ) d équatio 3 st a d symétri d la courb C O t ll

Plus en détail

Amérique du Nord Mai 2011 Série S Exercice Partie A : Restitution organisée des connaissances

Amérique du Nord Mai 2011 Série S Exercice Partie A : Restitution organisée des connaissances Amériqe d Nord Mai 0 Série S Exercice Partie A : Restittio orgaisée des coaissaces Démotrer le théorème de Gass e tilisat le théorème de Bézot Partie B O rappelle la propriété coe sos le om de petit théorème

Plus en détail

Mise à niveau licence 1 de mathématiques. Les fonctions racine carrée, valeur absolue ou partie entière

Mise à niveau licence 1 de mathématiques. Les fonctions racine carrée, valeur absolue ou partie entière Mise à ivea licece de mathématiqes Les foctios racie carrée, valer absole o partie etière Eercice Détermier la limite de + + qad ted vers Eercice Vérifier qe ( 5) 6 5 A-t-o l'égalité 6 5 5? Eercice O sohaite

Plus en détail

SUITES. ) définie pour tout entier naturel n par : =. Calculer les trois premiers termes de la suite. ) définie par : MATHOVORE.FR

SUITES. ) définie pour tout entier naturel n par : =. Calculer les trois premiers termes de la suite. ) définie par : MATHOVORE.FR SUITES I Calcls de termes Exercice : O cosidère la site ( ) défiie por tot etier atrel par : a) Calcler,, b) Calcler,, c) Calcler les trois premiers termes de la site 5 Exercice : O cosidère la site (

Plus en détail

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes, puissances

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes, puissances Fich Ercics Fich 3 : Eponntills, logarithms, pissancs Opérations élémntairs t fonction ponntill on appliq ls égalités rmarqabls pis ls propriétés ds ponntills L prodit ds ponntills d d réls st égal à l

Plus en détail

Fonction Logarithmes Exercices

Fonction Logarithmes Exercices Trmial S Foctio Logarithms Ercics Itroductio d L STL Frac, Jui 006 3 STL, Frac, spt 004 4 STL, Frac, jui 005 ( poits) 3 5 ROC+costructio géo, La Réuio 007 4 6 ROC+ Étud, Atills-Guya, spt 00, 7 pts 5 7

Plus en détail

Exercices sur les suites arithmétiques (2)

Exercices sur les suites arithmétiques (2) ère S Exercices sr les sites arithmétiqes () Soit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso Exprimer e foctio de r Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso Détermier tel qe 09 r Soit

Plus en détail

Exercices sur les suites arithmétiques (2)

Exercices sur les suites arithmétiques (2) ère S Exercices sr les sites arithmétiqes () Soit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso Exprimer e foctio de r Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso Détermier tel qe 09 r Soit

Plus en détail

LES SUITES NUMERIQUES

LES SUITES NUMERIQUES LES SUITES NUMERIQUES I. Défiitio - Vocablaire - Notatios O appelle site mériqe tote foctio d'e partie P o ide de, das est le terme d'idice de la site. C'est l'image par de (o arait p la oter () mais est

Plus en détail

Août 2016 (2 heures et 30 minutes)

Août 2016 (2 heures et 30 minutes) 1 a) Soit IN 0 \ {1} Déiir : boul ouvrt d IR sous-smbl compact d Août 016 ( hurs t 0 miuts) IR (1 pt) b) Démotrr qu l produit cartési d smbls rmés d IR st u smbl rmé d IR (15 pt) c) Détrmir t rpréstr avc

Plus en détail

Elle est associative, commutative et son élément neutre est la suite nulle notée 0

Elle est associative, commutative et son élément neutre est la suite nulle notée 0 Chapitre 9 : Sites mériqes-résmé de cors 1. Gééralités 1.1 Défiitio et exemples Déf: O appelle site tote applicatio de das. Si la site est otée, l'image de est oté pltôt qe (). O otera idifféremmet la

Plus en détail

1 ère S Exercices sur les suites (3)

1 ère S Exercices sur les suites (3) ère S Exercices sr les sites () (Sites arithmétiqes - sites géométriqes) Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Exprimer e foctio de Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de

Plus en détail

EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. e = 4 ; 4 ) e x+3 e x 2 = e 3

EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. e = 4 ; 4 ) e x+3 e x 2 = e 3 EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Sit MathsTICE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako Ercic I résoudr das R ls équatios t iéquatios suivats : ) 5+ 3+ 3 ; ) + ; 3 ) 4 ; 4 ) +3 3 5 5 ) ; 6

Plus en détail

Convergence et limite de suites numériques

Convergence et limite de suites numériques Covergece et limite de sites mériqes 1. Covergece d e site 1.1. Défiitio Ue site de ombres réels est covergete et admet comme limite ombre réel l si, qelqe soit le ombre ε > 0 assi petit soit-il, il existe

Plus en détail

Exercices sur les suites (révisions de 1 ère et compléments)

Exercices sur les suites (révisions de 1 ère et compléments) T O cosidère la site Exercices sr les sites (révisios de ère et complémets) défiie sr par cos Étdier le ses de variatio de la site par étde de foctio Idicatio : O commecera par défiir e foctio f défiie

Plus en détail

SUITES DE NOMBRES RÉELS

SUITES DE NOMBRES RÉELS SUITES DE NOMBRES RÉELS SOMMAIRE. Covergece. Divergece. Gééralités.. Défiitio.. Propriété : icité de la limite 3.3. Défiitio : sites de Cachy. 3.4. Propriété : ( ) coverge ( ) de Cachy ( ) borée. Exemple

Plus en détail

SUITES - Cours. a a. C est donc une liste de nombres. On peut noter les éléments de la liste comme suit :... On appelle u. u (avec n N ).

SUITES - Cours. a a. C est donc une liste de nombres. On peut noter les éléments de la liste comme suit :... On appelle u. u (avec n N ). Cors de Mathématiqe S CHAPITRE N Partie : Algebre & Aalyse SUITES - Cors D abord qelqes petits rappels : a = a = a m m a a = a + ( )( ) a m = m a a = b b a + a a = a si a, alors a a a a = + a m = a m Notio

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

{ } Sujet I, éléments de correction. EXERCICE I (3 points) u = La suite u est définie par u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+ 1 =.

{ } Sujet I, éléments de correction. EXERCICE I (3 points) u = La suite u est définie par u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+ 1 =. Sjet I, élémets de correctio EXERCICE I ( poits) La site est défiie par 0 = et por tot etier atrel, + = 0 = ; =, 7 ; =, 7 ; =, 6666 ; =, 0 ; la site e semble pas être mootoe, elle paraît coverger vers

Plus en détail

( ) n n n. x x x n n n x

( ) n n n. x x x n n n x Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg sur 8 I) Présttio Itroductio Itrpoltio d ) Défiitio Téorèm: (voir TD itro d l foctio potill pr suits géométriqus) L'équtio différtill f ' = f vc l coditio iitil f = dmt

Plus en détail

BAC BLANC de MATHEMATIQUES TS

BAC BLANC de MATHEMATIQUES TS BAC BLANC de MATHEMATIQUES TS Décembre 205 Lycée Jea Calvi - Noyo Exercice Das cet exercice, les probabilités serot arrodies a cetième. Partie A U grossiste achète d soja chez dex forissers. Il achète

Plus en détail

Corrigé de CCP 2015 Math PC

Corrigé de CCP 2015 Math PC Corrigé d CCP 5 Math PC Problèm : Aalys t probabilités Parti I : Aalys..a. Pour N, f st dérivabl sur R + t, pour t, f (t) = t t ( t).! f st doc croissat sur [; ], décroissat sur [; + [ t f () = = lim f

Plus en détail

u est une suite arithmétique

u est une suite arithmétique wwwmathseligecom SUITES ARITHMETIQUES EXERCICES A EXERCICE A O cosidère la site défiie por tot etier atrel par = a Calcler ; et b Exprimer e foctio de c Démotrer qe dot o précisera le premier terme EXERCICE

Plus en détail

Algorithmes type BAC sur les suites

Algorithmes type BAC sur les suites Algorithmes type BAC sr les sites 1. Algorithme permettat de détermier rag à partir dqel e site croissate de limite ifiie est spériere à ombre réel A O cosidère la site ( ) défiie par 0 = et por tot etier,

Plus en détail

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances Frace métropolitaie Jui 200 Série S Exercice Restitutio orgaisée de coaissaces Démotrer, à l aide de la défiitio et des deux propriétés cidessous que si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes, alors

Plus en détail

Théorie de l information et codage 2010/2011. Cours 3 1 er mars

Théorie de l information et codage 2010/2011. Cours 3 1 er mars Théori d l iformatio t codag 200/20 Cours 3 r mars Esigat: Marc Llarg Scrib: Guilhm Gamard Pour iformatio http://www.di.s.fr/~llarg/ifo.html 3. Codag d sourc uivrsl O chrch maitat à trouvr u codag pour

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs UFR SFA, Licece 2 e aée, MATH326 Séries à termes positifs Das ce chapitre, u Ø 0, pour tout, et o étudie q u. O a S S = u Ø 0 : (S ) est croissate!. Gééralités. Propositio. Soit (u ) Ø0 ue suite de réels

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Foctio potill I. Crctéristios d l foctio potill., Défiitios. Déf : Il ist u uiqu foctio dérivl sur R qui st égl à s dérivé t qui prd l vlur 0 : ctt foctio st oté p t vérifi : pour tout ЄR, p (p( t p(0).

Plus en détail

TS Exercices sur les suites (2) 10 Soit u n

TS Exercices sur les suites (2) 10 Soit u n TS Exercices sr les sites () Soit la site défiie sr * par Soit e site défiie sr Tradire sos la forme d e phrase qatifiée la propriété «coverge vers» O cosidère e site défiie sr Tradire e termes de limites

Plus en détail

Suites arithmétiques et Géométriques. Exemple 1. La suite des nombres 1, 3, 5, 7, 11, 13. ou la suite des nombres 100, 110, 121, 133.1, 146.41...

Suites arithmétiques et Géométriques. Exemple 1. La suite des nombres 1, 3, 5, 7, 11, 13. ou la suite des nombres 100, 110, 121, 133.1, 146.41... Sites arithmétiqes et Géométriqes Nos allos cosidérer des sites de ombres réels Exemple La site des ombres,, 5, 7,, o la site des ombres,,,, 464 Défiitio/Notatio : La site est e gééral oté ( ) (o ( v )

Plus en détail

Suites arithmétiques et suites géométriques Bilan et croissances

Suites arithmétiques et suites géométriques Bilan et croissances Sites arithmétiqes et sites géométriqes Bila et croissaces I Bila sr les sites arithmétiqes et géométriqes ) Tablea de formles Défiitio Relatio etre dex termes coséctifs Calcl d terme 4 ) Ue qestio de

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP - 207 Partie I L'applicatio ϕ est liéaire et P R [X], ϕ(p R [X] doc ϕ iduit sur R [X] u edomorphisme 2 ϕ( = et i, ϕ(x i = X i ix i O e déduit la matrice de ϕ

Plus en détail

BD - COEFFICIENTS BINOMIAUX

BD - COEFFICIENTS BINOMIAUX BD - COEFFICIENTS BINOMIAUX O ose ( C!!(! si 0 0 or les atres coles ( de Z 2 Doc (2 (3 0 ( 0 ( ( 0 (4 (5 ( ( 2 2 2 ( ( ( ( 0 ( 0 0 Formles élémetaires (6 (7 (8 (9 (0 ( ( ( 0 ( ( 0 BD 2 Les trois formles

Plus en détail

on note cette suite par ( u. Exemple concret:on peut considérer une suite comme une suite infinie de nombres réels : n+1 u n = un

on note cette suite par ( u. Exemple concret:on peut considérer une suite comme une suite infinie de nombres réels : n+1 u n = un I-Défiitios, vocablaire I- : Notio de site : Défiitio : e site d élémets d esemble A est e foctio de N vers R dot l esemble de défiitio est d type A R Si AR, o dit alors qe cette site est e site réelle

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

SUITES SE RAMENANT AUX SUITES ARITHMETIQUES OU GEOMETRIQUES - EXERCICES CORRIGES

SUITES SE RAMENANT AUX SUITES ARITHMETIQUES OU GEOMETRIQUES - EXERCICES CORRIGES Cors et exercices de mathématiqes SUITES SE RAMENANT AUX SUITES ARITHMETIQUES OU GEOMETRIQUES - EXERCICES CORRIGES Exercice O cosidère la site défiie par O pose Motrer qe ( est e site géométriqe Exprimer

Plus en détail

Fiche 1 : les suites

Fiche 1 : les suites Fiche Cors Nº : 3 Fiche : les sites Pla de la fiche I - Défiir e site II - Comortemet global d e site III - Comortemet asymtotiqe d e site IV - Oératios et limites V - Théorèmes de comaraiso VI - Comortemet

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q Sites géométriqes Itrodctio : M. Fiace dispose d e somme de 5 FF et désire faire frctifier so pactole ; por cela il va voir so baqier qi li propose de optios : e agmetatios forfaitaire, aelle, de 5 F =

Plus en détail

a. Une suite numérique est une liste de nombres (les termes) repérés par un numéro d ordre (l indice), cette liste peut être infinie.

a. Une suite numérique est une liste de nombres (les termes) repérés par un numéro d ordre (l indice), cette liste peut être infinie. Stg Les sites I. Notios sr les sites a. Ue site mériqe est e liste de ombres (les termes) repérés par méro d ordre (l idice), cette liste pet être ifiie. Exemple. La site des ombres impairs :,,... Exemple.

Plus en détail

( ) ( x) I) Présentation

( ) ( x) I) Présentation Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg sur 9 I) Présttio Itroductio : Itrpoltio d Téorèm: (voir TD itro d l foctio potill pr suits géométriqus) L'équtio différtill f ' = f vc l coditio iitil f = dmt u uiqu

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

des nombres complexes

des nombres complexes Esmbl ds ombrs complxs I. Form algébriqu d u ombr complx. Théorèm Il xist u smbl, oté,d ombrs applés ombrs complxs, tl qu : cotit ; st mui d u additio t d u multiplicatio pour lsqulls ls règls d calcul

Plus en détail

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même.

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même. CCP 8. Filière MP. Mathématiques. Corrigé pour serveur UPS par JL. Lamard (jea-louis.lamard@prepas.org I. Gééralités. Pour > la série défiissat F coverge absolumet, pour < elle coverge par le critère spécial

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64 Sylvai ETIENNE 3/4 IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE, IMAGE D UN SEGMENT. CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE. Niveau : Complémetaire.

Plus en détail

Vestiges mathématiques d'une terminale scientifique L'intégralité des

Vestiges mathématiques d'une terminale scientifique L'intégralité des Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Qulqus mots d'itroductio Durat ctt aé difficil t très péibl, j'ai rcé mo pu d compétcs das u scod t u trmial S

Plus en détail

u = 3 4 et q = 2 3. Calculer u

u = 3 4 et q = 2 3. Calculer u wwwmathseligecom SUITES GEOMETRIQUES EXERCICES A EXERCICE A O cosidère la site défiie por tot etier atrel par a Calcler ; et b Exprimer e foctio de c Démotrer e dot o précisera le premier terme est e site

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

Terminale S Pondichéry, Avril 2009 Sujets de Bac

Terminale S Pondichéry, Avril 2009 Sujets de Bac D PINEL, Sit Mathmitc : http://mathmitcfrfr/idphp Trmial S Podichéry, Avril 009 Sujts d Bac D PINEL, Sit Mathmitc : http://mathmitcfrfr/idphp Trmial S Podichéry, Avril 009 Sujts d Bac D PINEL, Sit Mathmitc

Plus en détail

Terminale S 0,5. où C est une constante réelle. 2. La fonction définie pour tout x réel par

Terminale S 0,5. où C est une constante réelle. 2. La fonction définie pour tout x réel par Trmial S Ercics Qustios d cours : équatios différtills Calcul d primitivs Calcul d primitivs 4 Calcul d itégrals 5 Ecadrmt- 4 6 Ecadrmt- 4 7 Vrai-Fau justifié, Asi 7 4 8 Vrai-Fau justifié, Polyési 8 4

Plus en détail

Terminale S. 1. Introduction à l exponentielle (simple)

Terminale S. 1. Introduction à l exponentielle (simple) Trmial S Foctio potill Ercics Itroductio à l potill (simpl) -a : Approch par ls suits géométriqus -b : Itroductio d l'équa diff y'=ky -c : U approch graphiqu ds foctios solutios d f'()=f() -d : Utilisatio

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propositio P() dépedat de l etier () la propositio est

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

I. Suites géométriques

I. Suites géométriques Chapitre : Les sites géométriqes TES - Recoaître et exploiter e site géométriqe das e sitatio doée - Coaître la formle doat +q++q avec q - Détermier la limite d e site géométriqe de raiso strictemet positive

Plus en détail

Loi Gamma, loi du 2 et loi de Student

Loi Gamma, loi du 2 et loi de Student Loi Gmm, loi du t loi d Studt A. Foctio Gmm A.. Défiitio L foctio Gmm st défii pour ls réls positifs pr l itégrl : () t t dt pour A. Rltio d récurrc Cosidéros (+) : ( ) t t dt E itégrt pr prti ous otos

Plus en détail