Surveillance par observateurs des systèmes dynamiques hybrides

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1 N d Ordre : Unversé de Llle 1: Scences e Technologes Laboraore d Auomaque, de Géne Informaque e Sgnal LAGIS UMR CNRS 8219 Ecole Docorale SPI 072 THÈSE Présenée en vue de l obenon du grade de DOCTEUR DE L UNIVERSITÉ Spécalé : Géne Elecrque par TAKROUNI Hedf Asma Ingéneure ENIT en Géne élecrque Survellance par observaeurs des sysèmes dynamques hybrdes Thèse en couelle enre l'unversé de Llle 1: Scences e Technologes (France) e l Unversé El Manar de Tuns (Tunse) Souenue publquemen le 26 Sepembre 2013 à 10h devan la commsson d examen : Co-dreceurs : Rapporeurs : Examnaeurs : Mekk KSOURI, Professeur, Ecole Naonale d Ingéneurs de Tuns (Tunse) Vncen COCQUEMPOT, Professeur, Unversé de Llle 1: Scences e Technologes (France) Fayçal Ben Hmda, Professeur, Ecole Supéreure des Scences e Technques de Tuns (Tunse) José Rago, Professeur, Unversé de Lorrane (France) Ramon Sarrae, Doceur, Unversé Polyechnque de Caalogne (UPC), Terrassa, (Espagne), Nada Zanzour, Mare de conférences, Insu Préparaores aux éudes d ngéneurs de Tuns 1

2 Remercemens Cee hèse a éé réalsée dans le cadre d une couelle enre l Ecole Naonale d Ingéneur de Tuns e l Unversé Llle 1 : Scences e Technologes, au sen des laboraores LACS : Laboraore d Analyse, Concepon e Commande des Sysèmes e LAGIS UMR 8219 : Laboraore d Auomaque, Géne Informaque e Sgnal. Les ravaux on éé co-drgés par Monseur Mekk KSOURI, professeur à l ENIT e Monseur Vncen COCQUEMPOT, Professeur à l Unversé Llle 1. Mes vfs remercemens s adressen à Monseur José Rago, Professeur, Unversé de Lorrane (France) e Monseur Fayçal Ben Hmda, Professeur, école Supéreure des Scences e Technques de Tuns (Tunse) qu on accepé d êre rapporeurs de cee hèse. Leur lecure approfonde du mémore, leurs remarques e nerrogaons m on éé rès préceuses. Je ens égalemen à les remercer pour leurs grandes qualés humanes. Je ens à remercer Monseur Ramon Sarrae, Doceur, Unversé Polyechnque de Caalogne (UPC), d avor accepé de fare pare du jury pour examner ce raval. Je ens à remercer auss mon dreceur de hèse, Monseur Mekk Ksour pour ses préceux consels, sa paence ans que pour la confance qu l m a accordée. Je souhae exprmer ma plus sncère reconnassance à Monseur Vncen Cocquempo pour la confance qu l a eue en m offran la possblé d négrer son équpe de recherche. Je remerce égalemen Mme Nada ZANZOURI pour l nérê consan qu elle a poré à mes recherches ans que pour ses remarques plenes d humour. Nul remercemen ne saura exprmer ma graude envers Monseur Salah SALHI, Maîre conférence à Insu Supéreur d Informaque de Tuns (ISI) pour sa dsponblé. Je voudras auss remercer ous mes ams e mes collègues du groupe ACS. Sur le plan personnel, j adresse un grand merc à mes parens qu m on ou donné. Je remerce égalemen mon époux Ndhal e mes deux enfans Mohamed e Merem pour les bons e joyeux momens, mes frères Al e Ram, ma sœur Rm pour leur souen ndéfecble. 2

3 TABLE DES MATIERES CHAPITRE LES SYSTEMES DYNAMIQUES HYBRIDES (SDH) Prncpes généraux des SDH Les dfférenes classes de SDH Modélsaon des SDH Les prncpales approches de modélsaon des SDH Modélsaon d un SDH par auomae hybrde Formalsaon d un modèle de SDH Représenaon d un SDH par auomae hybrde Descrpon e modélsaon des défallances dans un SDH Les défallances affecan la dynamque connue Les défallances affecan la dynamque dscrèe Concluson CHAPITRE SURVEILLANCE DES SYSTEMES DYNAMIQUES Défnons e ermnologe de la survellance e du dagnosc Termes généraux La survellance Survellance à base de modèles Survellance des sysèmes connus Survellance des sysèmes à événemens dscres Concluson CHAPITRE SYNTHESE D OBSERVATEURS POUR LA SURVEILLANCE DES SDH Inroducon Présenaon générale des observaeurs asympoques Observaeur de Luenberger pour un sysème lnéare Evaluaon des résdus en présence de bru Synhèse d un observaeur de Luenberger par placemen de pôles Synhèse des observaeurs hybrdes Tour d horzon sur les observaeurs hybrdes Srucure d un observaeur hybrde pour l denfcaon du mode, la déecon e localsaon des défaus Banc d observaeur pour la généraon d une sgnaure du mode Banc d observaeurs pour la généraon d une sgnaure de défaus Exemples llusrafs Exemple académque Exemple d une régulaon d un sysème hermque Robusesse à une enrée nconnue affecan la dynamque de l éa Banc d observaeurs à enrée nconnue pour la généraon de sgnaures de mode Banc d observaeur à enrée nconnue pour la généraon de sgnaure de défaus Technque de synhèse ulsan une foncon de Lyapunov Eude de robusesse e de sensblé Temps de convergence de l observaeur Concluson CHAPITRE DISCERNABILITE, SIMILARITE ET GRAPHES DE COMPORTEMENT Noon de (non) dscernablé Défnons de la non dscernablé enre modes Vérfcaon de la non dscernablé des modes Graphes des comporemens Graphe de Comporemen Normal (GCN) Graphe des Comporemens Défallans (GCD) Smlaré e réducon de graphes

4 4.4 Sraége de survellance des SDH ulsan les graphes de comporemen Applcaons des graphes de comporemen Concluson Concluson générale ANNEXE A ANNEXE B ANNEXE C Bblographe

5 Lse des fgures Fgure 1. 1 Sysème hybrde : neracon enre la pare connue e dscrèe Fgure 1. 2 Auomae hybrde Fgure 2.1 Prncpe d un généraeur de résdus Fgure 2.2 Généraeur de résdus srucuré Fgure 2.3 Résdus dreconnels Fgure 2.4 Sysème à dagnosquer Fgure 2.5 Dagnosqueur Fgure 3.1 Schéma srucurel d un observaeur pour un sysème connu Fgure 3. 2 Srucure d un observaeur hybrde pour l denfcaon du mode couran, la déecon e la localsaon des défaus Fgure 3. 3 Srucure de généraeur des résdus servan à l denfcaon du mode Fgure 3. 4 Srucure de généraeur des résdus servan à la localsaon des défaus Fgure 3.5 Descrpon du sysème hybrde Fgure 3.6 : l évoluon des modes réels e de l éa x Fgure 3. 7 Les résdus pour les 4 modes en fonconnemen normal (sans défau e sans bru) Fgure 3. 8 Sgnaure expérmenales pour l denfcaon du mode couran en fonconnemen Normal Fgure 3. 9 Esmaon de l éa x 3 dans chaque mode Fgure Les résdus pour les 4 modes dans le cas d un défau dscre Fgure Sgnaure expérmenale pour la déecon de défau dscre Fgure Les résdus pour les 4 modes en présence d un défau capeur e de bru de mesure Fgure Les normes L 2 des résdus pour les 4 modes en présence d un défau capeur e de bru de mesure Fgure Sgnaure expérmenale pour l denfcaon du mode couran en présence de défau capeur e bru de mesure Fgure Résdus srucurés du mode 1, 2, 3 e 4 en présence des défaus capeurs e de bru de mesure Fgure Norme L2 des résdus srucurés e seuls de déecon de défau capeur des 4 modes Fgure Sgnaure expérmenales des résdus srucurés pour la déecon des défaus capeur Fgure Exemple du hermosa Fgure Varaon de la empéraure Fgure Evoluon des résdus du mode 1 e Fgure Sgnaure réelle des modes 1 e 2 du hermosa Fgure 3.22 Idenfcaon du mode couran en ulsan un banc d observaeurs à enrée nconnue Fgure 3.23 Localsaon des défaus capeur en ulsan un banc d observaeurs à enrée nconnue Fgure 3.24 Evoluon des résdus du mode 1, 2, 3 e Fgure 3.25 Evoluon des sgnaures expérmenales des modes 1, 2, 3 e Fgure 3.26 Evoluon des résdus srucurés du mode 1 e les seuls de déecons de défau capeur

6 Fgure 3.27 Evoluon des sgnaures de défaus Fgure Résdus affecés par un défau capeur e un bru blanc de varance Fgure Norme 2 des résdus e les dfférens seuls Fgure Sgnaures expérmenales des modes Fgure Evoluon des résdus srucurés sensble au défau capeur Fgure Evoluon des normes 2 des résdus srucurés e les dfférens seuls de déecon de défau capeur Fgure Evoluon des sgnaures expérmenales des résdus srucurés Fgure Eude comparave des sgnaures de modes générées par la méhode de placemen de pôle e Robusesse/Sensblé Fgure 4. 1 Auomae hybrde comple Fgure 4. 2 GCN() Fgure4. 3 GCD() Fgure4. 4 Les GCD des modes, j k e l Fgure4. 5 Cas des modes smlares non groupables Fgure4. 6 Auomae rédu avec modes e j smlares Fgure4. 7 Descrpon du sysème hybrde (auomae exhausf) Fgure 4. 8 Auomae rédu dans le mode d exploaon chos Fgure 4. 9 Les GCN() Fgure Les GCD() pour chaque mode poenel 1,2,4 e Fgure4. 11 Synopque de la survellance ulsan les graphes de comporemens Fgure Sysème à deux réservors Fgure4. 13 Auomae rédu Fgure4. 14 Graphes de comporemens normaux GCN() Fgure4. 15 Les GCDs pour les 4 modes

7 Inroducon générale La survellance des sysèmes echnologques e envronnemenaux es une préoccupaon majeure de la par de ous les aceurs ndusrels. Conscene des enjeux en ermes de producvé, de sécuré, de fablé ou de qualé de producon, la communaué auomacenne s néresse à cee problémaque depus une renane d années. De façon plus précse, le dagnosc a pour objecf de déecer, de localser, de caracérser les défaus survenan sur un sysème de producon e son envronnemen. Les défaus son des dysfonconnemens du sysème, ce derner changean de régme ou de mode de fonconnemen pouvan le condure dans un éa naccepable. Lorsqu un modèle du sysème es dsponble, des echnques parculères peuven êre mses en œuvre pour répondre à ces objecfs. La survellance repose sur l analyse des sgnaux ndcaeurs de défaus (résdus) qu doven réagr dès l apparon d un défau ou en resan robuses aux perurbaons agssan sur le sysème. Les âches que le sysème es censé réalser peuven êre conrarées par l occurrence de défaus. Afn de paller ce problème, e garanr un nveau de sûreé de fonconnemen accepable à chaque nsan, une procédure de dagnosc précoce s avère nécessare pour empêcher la propagaon des défaus. La procédure de dagnosc n'a pas seulemen pour objecf de déecer s un défau se produ ou non, mas elle vse auss à localser le composan défallan e à denfer précsémen ce défau (naure, amplude). Pour réalser la âche de dagnosc, des echnques ulsan un modèle analyque comporemenal on éé ulsées avec succès. Cependan, les echnques de dagnosc basées sur des modèles on éé peu abordées lorsque le sysème compore des dynamques connues gouvernées par des événemens dscres générés par exemple par des conrôleurs numérques. Les ravaux développés pour ces sysèmes qualfés d hybrdes, en ulsan en parculer le formalsme de modélsaon par auomaes hybrdes, monren la complexé de la âche de survellance qu nécesse à la fos l denfcaon du mode de fonconnemen couran e le dagnosc des évenuels défaus. La hèse présenée propose une méhodologe pour effecuer le dagnosc des sysèmes hybrdes en ulsan les observaeurs d éas. L objecf es de fournr une méhode ulsan en cohérence des ouls consacrés à la survellance des sysèmes connus e d aures spécfques aux sysèmes à événemens dscres (SED). La prse en compe explce 7

8 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes des deux dynamques ans que leurs couplages muuels nécessen de développer une nouvelle méhode de dagnosc combnan les deux ypes d ouls, basée sur des graphes de comporemen. De plus, nous proposons une éude des propréés de dscernablé e de smlaré enre modes de fonconnemen. L évoluon du sysème hybrde es consdérée comme éan une séquence de modes de fonconnemen où le mode es enèremen défn par un éa dscre, une évoluon connue e un domane admssble (nvaran) représené par des conranes négalés. Le passage d un mode à l aure es appelé ranson. Les défallances peuven nfluencer so le comporemen dans un mode so l évoluon dscrèe, c'es-à-dre les ransons. La survellance des SDH nécesse la survellance des équaons d éa (conranes égalé), e la survellance de l éa dscre e de son évoluon. Nous présenons une méhode de dagnosc basé sur deux modules ssus d un observaeur hybrde. Le premer module ser à denfer le mode couran e le deuxème es synhésé auour d un DOS qu perme de déecer e localser les défaus capeurs. Objecfs de la hèse Cee hèse propose des ouls e méhodes dédés à la survellance des sysèmes hybrdes. Les méhodes de survellance on éé prncpalemen développées pour des sysèmes puremen connus ou puremen dscres. Une approche a éé proposée dans la hèse de Toura El Mezyan [Mezyan, 05], en ulsan la méhode de généraon de résdus (ndcaeurs de défaus) de de l espace paré. Nous reprenons e éendons ces ravaux afn de générer les résdus (ndcaeurs de défaus) en ulsan des observaeurs d éa. Les propréés, elles que la dscernablé e la smlaré enre modes, son auss parculèremen éudées. Organsaon du mémore Ce mémore es organsé en quare chapres comme su : Chapre 1 : Nous présenons les sysèmes don l évoluon emporelle résule de deux évoluons connue e dscrèe en neracon, appelés sysèmes dynamques hybrdes (SDH). Les dfférenes classes de SDH e la modélsaon par auomaes hybrdes son présenées. Les dfférens défaus affecan un SDH son auss brèvemen décrs. Chapre 2 : Nous rappelons brèvemen les défnons e la ermnologe ulsées dans le domane de la survellance. Les prncpales méhodes e echnques de survellance à base de modèle applquées sur les sysèmes connus e sur les sysèmes à événemens dscres son exposées. 8

9 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes Chapre 3 : Dans ce chapre une méhode de survellance pour les SDH soums à des effes ndésrables dus aux enrées nconnues, es proposée. La méhode de dagnosc proposée es basée sur deux modules ssus d un observaeur hybrde. Le premer module perme l denfcaon du mode couran e le deuxème module ser à déecer e localser les défaus capeurs. Nous présenons les observaeurs d éa els que l observaeur de Luenberger. Nous avons ulsé une echnque de placemen de pôles ans qu une echnque ulsan des foncons de Lyapunov mulples pour garanr une convergence exponenelle de l erreur d esmaon. En présence de perurbaons, des observaeurs à enrée nconnue doven êre ulsés pour générer des résdus sensbles aux défaus e nsensbles aux perurbaons afn de répondre au Problème Fondamenal de Généraon des Résdus (PFGR). La synhèse de résdus robuses aux perurbaons (enrées nconnues) e sensbles aux défaus es ensue abordée. Une formulaon LMI (négalé marcelle lnéare) es proposée. Chapre 4 Nous présenons dans ce chapre une sraége de survellance à base de graphes de comporemens normaux e défallans. Nous présenons une condon nécessare e suffsane de non dscernablé enre les modes. La propréé de smlaré enre modes, qu découle de la dscernablé, es ensue nrodue. Celle-c perme de grouper des modes e rédure ans la complexé des graphes de comporemen. Ces noons son llusrées sur un procédé hydraulque (sysème à deux réservors). 9

10 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes Chapre 1 Les sysèmes dynamques hybrdes (SDH) Inroducon De nombreux sysèmes auomasés ne son pas puremen connus ou à événemens dscres mas combnen les deux aspecs. On parle alors communémen de sysèmes dynamques hybrdes (SDH). Les sysèmes dynamques hybrdes son des sysèmes pour lesquels les dynamques dscrèes e connues neragssen [Ansakls e al, 03], [Ansakls e al, 97], [Alur e al, 95], [Bergsra e al, 06], [Shela, 00], [Cocquempo e al, 04(a)], [Gueguen e al, 04], [Boel e al, 99], [Bswas e al, 03]. Les dynamques connues corresponden aux dfférens modes de fonconnemen du sysème e la dynamque dscrèe déermne les changemens dscres enre ces dfférenes dynamques. De els sysèmes son largemen ulsés pour le conrôle de processus ndusrels comme par exemple le monorng de cenrales nucléares, le conrôle de sysèmes de ranspor, l ade au ploage d avons, ec [Zayoon, 01]. La modélsaon des sysèmes hybrdes consue une éape préalable mporane à l éude de la commande, de la survellance e de la supervson de ces sysèmes. Dans ce chapre, nous présenons les dfférenes classes de SDH. Nous nous néressons ensue à la modélsaon des sysèmes hybrdes dans un bu de survellance. 1.1 Prncpes généraux des SDH Un SDH es composé de sysèmes dynamques connus, d un sysème à événemens dscres (SED) e d une nerface qu gère les neracons enre ces deux ypes d évoluons (connue e dscrèe) [Ansakls e al, 03]. Dynamque dscrèe La dynamque dscrèe d un SDH es assocée à un SED don l espace d éa es un ensemble fn. Les ransons enre les éas dscres son réalsées grâce à l occurrence d événemens dscres. Ces événemens son de deux ypes : - événemens conrôlés, - événemens auonomes. Les événemens conrôlés son des événemens exernes qu corresponden aux commandes dscrèes auomaques ou manuelles. 10

11 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes Les événemens auonomes ou sponanés son des événemens nernes produs lorsque le veceur d éa connu raverse ceranes fronères de l espace d éa. Ces événemens exprmen donc l nfluence de l éa connu sur l éa dscre. Les auomaes à éas fns permeen de modélser l évoluon emporelle d un SED. Dynamque connue L évoluon connue du sysème hybrde es classquemen modélsée par des équaons d éa, en général non lnéares. Ces équaons dfférenelles conragnen l évoluon de l éa connu. On parle alors de conranes de ype égalé. Inerface enre les dynamques L nerface radu l neracon enre la pare connue e la pare dscrèe du SDH. L éa dscre q déermne la dynamque connue spécfque de la pare connue du SDH [Ansakls e al, 97] vor fgure 1.1. Fgure 1. 1 Sysème hybrde : neracon enre la pare connue e dscrèe 1.2 Les dfférenes classes de SDH Les SDH on éé éudés nensvemen au cours de ces dernères années. De nombreuses classes de SDH on éé éudées par les auomacens. Nous cons dans cee secon brèvemen les dfférenes classes de SDH ; pour plus de déals le leceur pourra se référer à l ouvrage [Zayoon, 01] e aux hèses [Mezyan, 05], [Belkha, 12]. a. Sysèmes connus commandés par un sysème à événemens dscres (sysèmes à commuaons) Un SDH par la commande es un procédé connu, commandé ou supervsé par un sysème à événemens dscres. Comme exemple de ce ype de sysème, nous pouvons cer le hermosa ulsé pour manenr la empéraure dans une pèce. Les sysèmes posfs à commuaons on éé éudés dans [Farna e al, 00]. Il s ag de sysèmes à commuaons parculer pour lesquels l évoluon connue es décre par un sysème posf. 11

12 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes Supposons que S x = Ax x = x A { A A } : ( ) ( ), (0) 0, ( ) 1,..., m S es posf s x0 0 enraîne x () 0 quelque so 0. Le sysème S es posf s e seulemen s l élémen hors dagonale de la marce A es non négaf. Ces marces son appelées les marces de Mezler. b. Sysèmes connus qu comporen des dsconnués Les dsconnués se produsen lorsque l éa passe soudanemen de la valeur courane à une aure valeur. Cee classe de sysèmes à commuaons es llusrée à ravers l exemple d une balle rebondssane ou la collson enre deux corps. c. Sysèmes comporan des élémens dscres e connus Cerans sysèmes son consués d élémens connus e d élémens dscres. A re d exemple, on peu cer les crcus élecronques qu conennen des élémens à caracérsques connues (réssance, condensaeur, self,...ec) e des élémens à caracérsques dscrèes (nerrupeur, dode, ranssor, hyrsor,...ec). d. Sysèmes connus pour lesquels des dynamques dscrèes son nrodues par absracon Dans les cas où les phénomènes physques son complexes, la modélsaon nécesse l ulsaon de foncons non-lnéares qu son dffcles à manpuler. Cerans ravaux enden à nrodure des phénomènes dscres au sen de l évoluon connue afn de smplfer la modélsaon. Un sysème non-lnéare, un mul-modèle, ou un sysème connu par pares, ressemblen ous à des srucures résulan de l assocaon de modèles connus locaux. Cee assocaon de modèles connus peu êre représenée comme un SDH. La dynamque dscrèe sera nrodue par solaon des dynamques rapdes qu peuven avor leu au momen du changemen de modèle (commuaons sponanées). Les dynamques complexes mas rès rapdes par rappor à la dynamque globale peuven êre néglgées. e. Sysèmes dscres pour lesquels des dynamques connues son nrodues par absracon Ces sysèmes son généralemen des sysèmes don l évoluon de l éa dscre es rapde par rappor à la dynamque globale. 12

13 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes f. Sysèmes complexes composés de sous-sysèmes connus e dscres Dans les ndusres des de process, élaboran les maères premères qu seron ravallées par les ndusres manufacurères, la producon peu se fare en connu ou par raemens successfs : on parle de procédés de raemen par los. Ces procédés, rès présens dans le domane de l ndusre chmque, pharmaceuque ou agro-almenare, comporen des séquences de ransfer e de condonnemen relevan de sysèmes à événemens dscres e des opéraons connues pendan un ceran emps : évaporaon, crsallsaon, mélange [Zayoon, 01]. 1.3 Modélsaon des SDH Un même sysème peu êre modélsé de nombreuses façons dfférenes. Le modèle chos dépend des objecfs vsés (observaon, commande, dagnosc, ec.), du caher des charges (ype de défallance à déecer par exemple) ou/e des ouls/echnques ulsés pour répondre à ces objecfs [Ansakls e al, 97], [Cocquempo e al, 04(a)], [Ansakls e al, 03], [Bergsra e al, 06]. Exemple d llusraon Consdérons l exemple d une vanne commandée en ou ou ren (TOR). La vanne es un sysème physque connu pusque le passage de la suaon «vanne fermée» à la suaon «vanne ouvere» (ou nversemen) n es pas nsanané. Ce sysème, peu-êre modélsé dfféremmen suvan que la dynamque d ouverure (ou de fermeure) es, ou n es pas, prse en compe ou suvan les varables d éa (dscrèes e connues) choses : - lorsque les dynamques d ouverure e de fermeure son néglgées, la vanne peu êre consdérée comme un sysème dscre, comporan deux éas (vanne ouvere : VO, vanne fermée : VF) correspondans à la commande TOR (ouverure vanne : OV, fermeure vanne : FV). Le sysème peu alors êre représené par un modèle puremen dscre caracérsan les éas VO e VF (par exemple un auomae à éa fn) ou par un modèle décrvan le déb Q crculan au ravers de la vanne : Avec : a= 1 s VO a = 0 s VF Q= aq max (1.1) - la vanne peu êre consdérée comme un sysème puremen connu, réagssan à une commande u ( ) de ype «échelon». Les dynamques d ouverure e de fermeure (qu 13

14 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes peuven êre dfférenes) son représenées par des foncons non lnéares. Le modèle peu êre ms sous la forme générale d éa suvane : Q () = f((), s u ()) (1.2) avec - Q() le déb au ravers de la vanne, - s() la secon d ouverure de la vanne. - Le modèle peu auss êre représené sous forme d un auomae hybrde (combnason d un auomae à éa fn e d équaons d éa connu), de manère à mere en évdence cerans modes de fonconnemen parculers de la vanne, caracérsés par un éa dscre: VO, VF, vanne en cours d ouverure (VCO), vanne en cours de fermeure (VCF), e des dynamques connues assocées à chacun de ces éas dscres Les prncpales approches de modélsaon des SDH Un même sysème peu êre modélsé de nombreuses façons dfférenes. Le modèle chos dépend des objecfs vsés (observaon, commande, dagnosc, ec ). De manère générale, les approches de modélsaon de sysème hybrdes peuven êre classées en ros caégores prncpales : Absracon en un modèle puremen connu Ce son des modèles représenés sous forme d équaons dfférenelles non lnéares négran des varables bnares, correspondan aux modes de fonconnemens ms en évdence. Ces modèles son complexes à manpuler. Ils son ulsés essenellemen pour l éude de la sablé. Absracon en un modèle puremen événemenel Ces modèles son de ype auomaes à éas fns ou réseaux de Per [Zayoon, 01]. La dynamque connue es remplacée par une dynamque dscrèe. A re d exemple, les ravaux de Pur [Pur e al, 96] présenen une méhode permean d obenr un modèle événemenel en découpan l espace d éa connu en pluseurs régons, qu son ensue assocées à un éa dscre. Cee méhode de modélsaon es confronée au comproms enre la précson e le nombre d éas dscres qu deven rapdemen explosf. Modélsaon mxe L approche de modélsaon de mxe consse à négrer les aspecs connus e dscres au sen d un même formalsme de modélsaon. Cee démarche d négraon perme d obenr de nouveaux formalsmes hybrdes à parr de formalsmes de modélsaon dscres ou connus. Les modèles développés son classés en deux caégores : 14

15 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes La premère caégore de modèles es obenue à parr de formalsmes de modélsaon dscres. Les réseaux de Per hybrdes, les auomaes hybrdes (exenson des auomaes emporsés) ou les saechars hybrdes en son des exemples [Zayoon, 01]. La deuxème caégore de modèles es obenue à parr des modèles connus. Le prncpe es d nrodure des varables booléennes (ou enères) dans l équaon d éa connue e de consdérer des négalés défnssan des conranes enre les varables connues e dscrèes. Cec a donné nassance à des nouveaux formalsmes de modélsaon des sysèmes hybrdes. Les modèles MLD en son des exemples [Bemporad e al, 99]. Dans la sue nous ulsons l auomae hybrde comme oul de modélsaon des SDH Modélsaon d un SDH par auomae hybrde Formalsaon d un modèle de SDH L évoluon dynamque d un SDH es décre par une successon de modes. Chaque mode ( { 1, 2,, M} =, où M es le nombre de modes) correspond à une confguraon physque possble, c es-à-dre à un éa dscre donné. En enan compe des aspecs connus e dscres précédemmen décrs, e de leurs neracons, le modèle d un SDH es formellemen représené par le 9-uples suvan [Cocquempo, 07] : s f QXGFYcYdHσ,,,,,,,, σ (1.3) Q es l ensemble des modalés que peu prendre le veceur d éa dscre q, Q { q; { 1,2,, M} } X X ; { 1,2,, M} = = e q 0 es l éa nal dscre. { } = = défn l espace d éa connu x( ) X avec dm x ( ) = n es l éa connu correspondan à l éa dscre q. Le domane X es décr par un ensemble de conranes négalé g : g ( x( )) 0. G représene l ensemble de oues les conranes négalés. Le couple ( q, x) Q X représene l éa comple ou éa hybrde du sysème dans le mode, F { f f f } = 1, 2,..., M es un ensemble fn de foncons lsses. Chaque foncon défn une m rajecore du veceur d éa connu x() : x ( ) = f( x( ),u( ), δ( )), où u ( ) R es le δ veceur d enrées connues, δ( ) R es un veceur d enrées nconnues éendu (ncluan les perurbaons, les enrées nconnues, les défaus), 15

16 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes Yc { Yc; { 1,2,, M} } k = = défn l espace des sores connues. Y c R dénoe l espace des sores assocées au mode. y( ) Yc es le veceur des sores mesurées à l nsan s à ce nsan l éa dscre es q, Y { Yd; { 1,2,, M} } d = = défn l ensemble des mesures dscrèes, H { h h h } = 1, 2,, M es un ensemble fn de foncons vecorelles qu décrven le len enre les varables d éa, les varables d enrées e les varables mesurées. Nous avons ans : y( ) = h ( x( ),u( ), δ( )) (1.4) En plus de la descrpon des pares connues e dscrèes, la modélsaon hybrde do représener les ransons sponanées e conrôlées. Deux foncons de ransons son donc consdérées : S S σ { σ j } = ou S σ j es une applcaon : Q X T Q X qu défn une ranson S + sponanée : σ ( q, x, ) = ( q, x0 ), q e j j qj Q ; x X e x + 0 X j. Une ranson d un mode vers un mode j (appelé mode successeur) se produ lorsque le veceur d éa connu x() nersece une surface : Sj { x X q sj ( x) 0} ranson. = = où s ( x ) représene la condon de En général, mas cec n es pas une oblgaon, les surfaces S j corresponden aux fronères de l espace X. Une ranson sponanée se produ donc lorsque s ( x) = g ( x) = 0. = es une applcaon : Q E X Q X qu défn une ranson forcée : - f f σ { σ j } σ f + j ( q, e j ) = ( qj, x0 ) où j e E j j es un événemen exerne. Dans le cas où e j es un événemen exerne conrôlé, résulan d une commande dscrèe, la ranson es de conrôlée. Les ransons forcées ne son pas oues conrôlées mas peuven auss résuler de perurbaons ou défallances Représenaon d un SDH par auomae hybrde Un auomae hybrde es un oul de représenaon qu perme de enr compe explcemen des deux évoluons connue e dscrèe du SDH. Il apparaî comme l assocaon d un auomae à éas fns ploan un ensemble d équaons dynamques connues. Les équaons modélsan le comporemen connu à un nsan donné dépenden 16

17 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes de l éa de l auomae, mas ce derner peu évoluer en foncon de la valeur des grandeurs connues [Zayoon, 01], [Alur e al, 95]. Un auomae hybrde es un graphe composé de sommes (ou places) e d arcs orenés modélsan les ransons dscrèes qu relen les sommes. Tou arc orené do avor un somme desnaon. Pour chaque place, on précse l éa dscre q, l acvé de l éa connu Ac( q) e l nvaran Inv( q ) : l acvé dans la place q es donnée par les équaons d éa e de mesure dans le mode, c es-à-dre : x( ) = f( x( ),u( ), δ( )) (1.5) y( ) = h ( x( ),u( ), δ( )) l nvaran correspond à l ensemble des conranes négalé g ( x( )) 0 qu défnssen le domane d admssblé du veceur d éa dans le mode : Inv ( q ) : g ( x( )) 0 A chaque ranson sponanée Ts j de la place q vers la placeq j on assoce un arbu, appelé garde( Ts j ). Cee dernère fa correspondre à chaque ranson une condon de garde qu spécfe quelles condons doven êre vérfées pour que la ranson so franche : garde( Ts ): s ( x( )) = 0 j Les varables d éa connues son nalsées après le franchssemen d une ranson. Cee nalsaon de l éa connu es décre par une foncon d affecaon de la ranson T j noée Aff ( T j ). Ans, cee noaon fa correspondre à l éa connu x du mode un éa connu x + du mode j : j f s { } Aff ( T ) σ, σ j j j La place de desnaon es appelée successeur, e la place de dépar es appelée prédécesseur. Les condons de franchssemen d une ranson T j ( garde( Tsj ) ou événemen exerne) son ndquées sur chaque arc. La foncon Aff ( Tj ) es auss précsée dans le cas où la ranson provoque un sau d éa. La fgure 1.2 décr la synaxe générale d un auomae hybrde. 17

18 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes Fgure 1. 2 Auomae hybrde Descrpon e modélsaon des défallances dans un SDH Les défallances au sen d un SDH peuven êre classfées suvan la dynamque affecée. On dsngue ans les défallances affecan la dynamque connue e celles affecan la dynamque dscrèe [Cocquempo, 07], [Mezyan, 05] Les défallances affecan la dynamque connue Deux ypes de défallance peuven affecer la pare connue des SDH : - Défallances affecan les conranes égalés Ces défallances son classquemen consdérées dans la communaué FDI. Des varables représenan les défallances son ajouées aux équaons d éa afn de décrre quelles composanes du sysème son affecées par chaque défallance. x ( ) = f ( x( ), u( ), d( ), ϕ ( )) y ( ) = h ( x ( ), u ( ), d ( ), ϕ ( )) où : - des ( ) le veceur de perurbaons, - ϕ( ) es le veceur de défallances. (1.6) Ce modèle (1.6) représene le fonconnemen défallan du mode, ( M) don la défallance modfe la rajecore d éa connu du sysème dans le mode. - Défallances affecan les conranes négalés L nvaran du mode es décr par un ensemble de conranes négalés qu représenen so des lmaons physques du sysème, so des domanes pour lesquels l n y a pas de changemen de caracérsques physques du sysème. Les défallances de composans enraînan la non vérfcaon d un ensemble de conranes négalé (ou en abrégé défallances des conranes négalés) n on reçu que rès peu d aenon dans la léraure même s elles enraînen souven de rès lourdes conséquences pour le sysème lumême ou son envronnemen e consuen de ce fa une classe rès mporane de défallances. Dans ce mémore, nous ne raons pas ce ype de défallance. 18

19 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes Les défallances affecan la dynamque dscrèe Les défallances affecan la pare dscrèe von enraîner un changemen anormal de mode de fonconnemen, c'es-à-dre une évoluon anormale de l éa dscre. Tros cas peuven êre consdérés : Transon vers un mode non successeur S le sysème es en fonconnemen normal, seul un sous-ensemble Σ( ) de modes es accessble à parr d un mode (modes successeurs au mode ).Une ranson du mode vers un mode n apparenan pas à Σ( ) es donc anormale e correspond donc à un comporemen défallan. Non ranson La non ranson se caracérse par le fa que le sysème rese dans son mode couran alors que la condon normale de ranson es vérfée e qu elle devra normalemen enraîner une évoluon dscrèe vers un mode successeur. Les condons de ransons éan ncluses dans l ensemble de conranes négalé du mode, ce ype de défallance enraînera une volaon de conranes négalé. Transon anormale vers un mode successeur Le cas où le sysème passe d un mode à un successeur poenel j alors que la condon normale de ranson n es pas vérfée, correspond à un aure ype de comporemen défallan. Noaons Pour la sue de cee hèse, e parculèremen dans le chapre 4, nous noons les défaus affecan les conranes égalé du mode par Φ ( ), les défaus de non ranson par 19 CE Φ () e les défaus de ranson forcée par Φ ( ), ces derners regroupen les ransons Nr anormales vers un mode successeur e les ransons vers un mode non successeur. 1.4 Concluson Dans ce chapre, nous avons présené quelques noons générales sur les sysèmes hybrdes. Nous avons présené brèvemen les ros enés qu caracérsen les SDH : évoluon dscrèe, évoluon connue e neracon enre les deux évoluons. Nous avons ensue dégagé les caracérsques communes qu doven êre consdérées lors de la modélsaon afn de donner une représenaon unforme à ous les ypes de SDH. Pluseurs formalsmes son proposés dans la léraure pour décrre complèemen l évoluon de la pare connue, de la pare dscrèe e les neracons enre elles. Nore chox s es arrêé sur Fr

20 Chapre 1 : Les sysèmes dynamques hybrdes un modèle de SDH de ype auomae hybrde. Ce modèle a pour avanage de décrre explcemen e avec des ouls adapés les phénomènes connus e dscres. Enfn, nous avons dscué des défallances affecan le comporemen d un SDH e présené une classfcaon de ces défallances suvan la dynamque affecée. Dans le chapre suvan, nous nous néressons aux echnques mses en œuvre pour la survellance (déecon e localsaon des défaus) des sysèmes dynamques connus e événemenels 20

21 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques Chapre 2 Survellance des sysèmes dynamques Dans la premère pare de ce chapre, nous rappelons brèvemen les défnons e la ermnologe ulsées dans le domane de la survellance des sysèmes dynamques. Le prncpe du dagnosc à base de modèle sera alors présené ans que les dfférenes méhodes proposées dans le cadre des sysèmes connus e SED. 2.1 Défnons e ermnologe de la survellance e du dagnosc Les défnons de la survellance e du dagnosc de défaus on éé formalsées par dfférens groupes de raval els le Groupemen pour la Recherche en Producque (hp://homepages.laas.fr/combacau/spsf/sursup.hml) ou le comé echnque TC 6.4 de l IFAC «Faul Deecon, Supervson and Safey for Techncal Processes» (hp:// Termes généraux Défau, Défallance, Panne, Résdu : nous rouvons de nombreuses défnons de ces ermes dans la léraure. Dans ce rappor, nous prendrons les défnons suvanes : Défau : le défau es défn comme l écar exsan enre la valeur réelle d une caracérsque du sysème e sa valeur nomnale [Venka e al, 03]. Défallance : la défallance es l nerrupon permanene de la capacé d un sysème à fournr une foncon requse dans des condons opéraonnelles spécfées. Panne : une panne es l éa d un sysème ncapable d assurer le servce spécfé à la sue d une défallance. Résdu : le résdu es un sgnal poenellemen ndcaeur de défaus. Il reflèe la cohérence des données vs-à-vs du modèle comporemenal du sysème La survellance La survellance es une couche logcelle ou maérelle qu a pour objecfs de déermner l éa de fonconnemen d un sysème, de déecer le passage d'un fonconnemen normal vers un fonconnemen anormal e de caracérser ce changemen de fonconnemen 21

22 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques La survellance peu êre plus ou mons précse e complèe. Elle réalse plus ou mons précsémen : la déecon des défallances, la localsaon du ou des élémens physques défallans e l denfcaon des défallances. la déecon vse à déermner l apparon e l nsan d occurrence d une défallance. la localsaon consse à déermner le ou les élémens défallans. La localsaon peu êre plus ou mons fne, précse. Dans la plupar des cas, l sera mpossble de déermner précsémen l élémen défallan. Par conre la foncon de localsaon permera de déermner un sous-ensemble de canddas, c es-à-dre d élémens physques suscepbles d êre en défau [Akhenak e al, 04]. L denfcaon consse en la déermnaon du ype de défau afn de mere en œuvre le ype de manenance appropré au défau [Domlan, 06], [Akhenak e al, 04], [Venka e al, 03]. Le dagnosc consse à déecer un fonconnemen anormal au sen du sysème, à déermner sa cause en localsan le ou les composans du sysème présenan une anomale de fonconnemen e, évenuellemen, en caracérsan l'anomale (sévéré, nsan d'apparon, durée, ec.) [Narasmhan e al, 01], [Chabr e al, 06]. Typquemen, le dagnosc débue par la comparason enre le comporemen ou le fonconnemen réel du sysème (don une mage es fourne par les observaons) e le comporemen ou le fonconnemen héorque aendu fourn par le modèle [Hocne, 06], [Domlan e al, 04], [Narasmhan e al, 01]. 2.2 Survellance à base de modèles Survellance des sysèmes connus L ulsaon des modèles pour la survellance des sysèmes connus ou dscrésés (model-based FDI: Faul Deecon and Isolaon, Model-based dagnoss) dae du débu des années 70. Depus, de nombreux arcles fon régulèremen le pon sur l avancemen des dfférenes approches [Isermann,84], [Frank, 90], [Frank,96], [Paon e al, 91], [Dng e al,94], [Gerler, 93], [Maqun e al, 00], [Saroweck e al,00], [Venka e al, 03],[Blanke e al, 03]. Ces méhodes reposen sur l éude de sgnaux ndcaeurs appelés résdus. La fgure 2.1 llusre le prncpe général d un sysème généraeur de résdus. Les résdus son calculés à parr des sgnaux d enrées e de sores dsponbles en-lgne sur le sysème. 22

23 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques Commandes Mesures Résdus Fgure 2.1 Prncpe d un généraeur de résdus Les résdus son héorquemen nuls en fonconnemen normal e dfférens de zéro lorsque les données d enrée/sore ne son pas en cohérence avec le modèle ulsé pour consrure le généraeur de résdu. En praque, la présence de brus de mesure, de perurbaons, d ncerudes paramérques fon que les résdus son généralemen dfférens de zéro même en fonconnemen non défallan. Une procédure de décson applquée sur les résdus do êre ulsée pour décder s une alarme do êre déclenchée (présence de défallance) ou non. a- La généraon des résdus L algorhme ulsé pour obenr les résdus es appelé généraeur de résdus. La concepon d un généraeur de résdus es appelée communémen dans la léraure : le Problème Fondamenal de Généraon de Résdus (FPRG : Fundamenal Problem of Resdual Generaon) [Cocquempo, 93]. Il exse dans la léraure une grande varéé de méhodes pour générer des résdus. Nous présenons c 3 approches à savor l approche par esmaon paramérque [Isermann, 84], l approche par relaons de redondance analyque (encore appelée méhode de l espace de paré dans le cas lnéare) [Paon e al, 91], [Chow e al, 84], e l approche par observaeurs [Clark, 78], [Frank, 96], [Garca e al, 97], [Balluch e al, 02(a)]. Les approches par denfcaon paramérque Elles conssen à denfer en lgne les dvers paramères du sysème e à comparer ces esmaons aux valeurs nomnales des paramères connues a pror. L erreur d esmaon es ulsée comme résdu. Le leceur néressé par cee approche peu consuler [Isermann, 84], [Bachr, 02], [Bachr, 10]. L approche à base de Relaons de Redondance Analyque Les relaons de redondance analyque (RRA) son des équaons dans lesquelles oues les varables son accessbles en-lgne. Les résdus son obenus en subsuan dans ces RRA 23

24 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques les varables par leurs valeurs mesurés, prélevées sur le sysème en fonconnemen. L obenon hors lgne des RRA es un problème général d élmnaon de varables dans un sysème d équaons algébro- dfférenelles [Chow e al, 84], [Venka e al, 03]. x () = f ( x(), u()) M; = { 1,2,, m} (2.1) y() = h( x(), u()) Lorsque le modèle es lnéare c'es-à-dre f e h son lnéares, l élmnaon peu se fare par projecon dans un sous espace appelé espace de paré [Chow e al, 84]. Dans le cas non lnéare où f e h son non lnéares polynomales [Cocquempo e al, 04], des echnques d élmnaon formelle peuven êre ulsées elles que les algorhmes basés sur les bases de Groebner ou la héore des résulans [Cox e al, 92] ou encore les ensembles caracérsques. Dans le cas où f e h son non lnéares e non polynomales, l es souven possble de ransformer ces foncons en foncons polynomales e l on se ramène au cas précéden. Les approches à base d observaeurs ou de flres Ces approches son les plus courammen ulsées. Les premers ravaux daen des années 70. Les observaeurs ou flres son des ouls ben connus des auomacens à des fns de commande en boucle fermée [Kalman e al, 60], [Clark, 78]. Le prncpe général es de concevor un sysème dynamque permean de donner une mage, ou esmaon, de ceranes varables, ou combnasons de varables, nécessares au bouclage. Lorsque le sysème es dynamque e que ceranes varables son nconnues, l esmaon n es correce qu après un ceran emps de convergence, fxé par la dynamque de l observaeur. Ces ouls on éé adapés à des fns de dagnosc e les ravaux ulsan ces approches son nombreux [Vswanadham e al, 87], [Dng e al, 94], [Hammour e al, 99]. Le prncpe général consse à comparer des foncons de sores esmées avec les mêmes foncons des sores mesurées. L écar enre ces foncons es ulsé comme résdu. b- La déecon La déecon consse à prendre une décson bnare : so le sysème fonconne correcemen, so une panne s es produe. Le résula de la procédure de déecon es une alarme sgnfan que le fonconnemen réel du sysème ne concorde plus avec le modèle de fonconnemen san [Hocne, 06]. 24

25 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques c- La localsaon Une fos que le défau es déecé, l conven de le localser. Il fau donc répondre à la queson : sur quel composan le défau es-l apparu à l nsan consdéré? La caracérsaon du défau précsera le ype du défau, sa durée, son amplude vore son évoluon probable. Cec es possble à parr de la sgnaure du défau (la sgnaure d un défau éan l effe parculer de celu-c sur un ou pluseurs résdus). La procédure de localsaon nécesse d ulser un ensemble (ou veceur) de résdus [Cocquempo e al, 04(b)], [Domlan, 06]. Pour permere la localsaon, le veceur de résdus do avor des propréés permean de caracérser de manère unque chaque faue. Deux méhodes peuven êre ulsées [Gerler, 93]: - La consrucon de résdus srucurés, - La consrucon de résdus dreconnels. Les résdus srucurés Les résdus srucurés son consrus de façon à êre chacun affecé par un sous-ensemble de défaus e à êre nsensble aux aures défaus. Ans, pour un défau donné, seuls cerans résdus réagssen, c es-à-dre s écaren noablemen de la valeur zéro, pour ndquer la présence de ce défau [Venka e al, 03]. La concepon de els résdus passe par deux éapes. Tou d abord, l es nécessare de défnr les sensblés ou robusesses désrées des résdus par rappor aux défaus à déecer ou à ne pas déecer. Pus, selon ces conranes, l fau concevor le généraeur de résdus appropré. Les nformaons de sensblé e de robusesse souhaées pour les résdus son réperorées dans une able bnare, appelée able des sgnaures héorques. Pour consrure cee able, on affece, lorsque le j ème résdu do êre sensble (respecvemen robuse) au j ème défau, la valeur bnare 1 (respecvemen 0) à la lgne e à la colonne correspondane de la able des sgnaures héorques. Une fos la able des sgnaures héorques consrue, on applque à chaque résdu une procédure de décson afn d obenr la sgnaure réelle des résdus à chaque nsan. S cee sgnaure réelle es nulle, alors le sysème es déclaré exemp de ou défau. Lorsqu un défau nerven, au mons un des résdus générés es sensble à ce défau e la sgnaure réelle deven alors non nulle. La procédure de localsaon consse ensue à fare une comparason enre la sgnaure réelle obenue e les sgnaures présenes dans la able des sgnaures héorques. 25

26 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques Illusraon des résdus srucurés Consdérons ros résdus r 1, r 2 e r 3 ans que ros défausφ 1, φ2 eφ 3. La able 2.1 présene ros ables de sgnaures héorques ayan des propréés de localsaon dfférenes. - la able 2.1.a, les défaus φ 1 e φ 2 ne son pas solables car ls possèden ous deux la même sgnaure. Ans, l es mpossble de fare la dsncon enre ces deux défaus lorsqu ls nervennen. - la able 2.1.b, ous les défaus son solables. Il fau consaer que les sgnaures deφ 1 e de φ 2 ne dffèren que d un b (la dsance de Hammng enre 2 sgnaures vau 1). Nous drons que les défaus son solables d ordre 1. - dans la able 2.1.c la dsance de Hammng enre 2 sgnaures vau 2. Les défaus son donc solables d ordre 2. La able 2.1.a es qualfée de able non localsane alors que la able 2.1.b es de fablemen localsane. La able 2.1.c es de foremen localsane. TABLEAU 2.1 : TABLES DE SIGNATURES THEORIQUES φ 1 φ 2 φ 3 r r r Table 2.1.a φ 1 φ 2 φ 3 r r r Table 2.1.b φ 1 φ 2 φ 3 r r r Table 2.1.c Concernan la généraon de résdus srucurés, on rouve, dans la léraure, les Schémas DOS (Dedcaed Observer Scheme) qu a éé proposé par [Clark, 78] e le schéma GOS (Generalzed Observer Scheme) par [Frank, 87] dans le bu d soler les défaus capeurs. 26

27 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques Les schémas DOS e GOS son classquemen défns comme méhodes de dagnosc à base d observaeurs e peuven êre ulsés quelle que so la méhode de généraon de résdus employée [Fang, 93], [Bramblla e al, 08]. On parlera alors de schémas DRGS (Dedcaed Resdual Generaor Schemes) e GRGS (Generalzed Resdual Generaor Schemes). Ces approches (DRGS e GRGS) son composé d un banc de généraeurs de résdus e peuven êre défns par rappor aux enrées (aconneurs) ou par rappor aux sores (capeurs). Dans le schéma DRGS relaf aux capeurs (aconneurs), chaque généraeur de résdus es sensble à oues les enrées (sores) e à une seule sore (enrée) (Fgure 2.2(a)). Dans le schéma GRGS relaf aux capeurs (aconneurs), chaque généraeur de résdus es sensble à oues les sores (enrées) sauf une (Fgure 2.2(b)). Dans le premer schéma, la able de sgnaures héorques sera donc dagonale. Par conre, dans le deuxème schéma, elle comporera unquemen des zéros sur sa dagonale. (a) Schéma DRGS relaf aux capeurs (b) Schéma GRGS relaf aux capeurs Fgure 2.1 Généraeur de résdus srucuré 27

28 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques Les résdus dreconnels Les résdus dreconnels son consrus els que, en réponse à un défau donné, le veceur des résdus se drge suvan une drecon ben précse dans l espace des résdus (cf Fgure 2.2) [Venka, 03]. Le veceur de résdus dreconnels r (), en réponse à un défau ϕ ( ) ( = 1... η), s exprme sous la forme : où l r ( / ϕ ) = α ( ) l, { 1, 2, η} es un veceur consan appelé la sgnaure dreconnelle de la panne dans l espace des résdus e α es une foncon scalare qu dépend de la alle e de la dynamque de la panne. La âche de localsaon des pannes consse à déermner la sgnaure dreconnelle héorque la plus proche de la sgnaure dreconnelle obenue par le calcul des résdus. La fgure 2. 3 llusre ce problème d solaon de défaus. Les ros veceurs l1, l2 e l 3 représenen les sgnaures dreconnelles héorques. Les veceurs r1 e r2 représenen des sgnaures réelles du résdu à des nsans dfférens. La sgnaure réelle r 1 es rès proche de la sgnaure héorque du défau 3. Il es donc probable que ce défau so présen à l nsan auquel r 1 a éé calculé. Par conre, l es plus dffcle de conclure sur le résdu r 2 qu es auss proche de l1 que de l 2 Fgure 2.2 Résdus dreconnels d- Idenfcaon des défallances L objecf de cee procédure consse à déermner (denfer) les caracérsques précses de la défallance. L denfcaon (ou esmaon) du défau es une âche plus délcae qu nécesse d ulser un modèle de comporemen du sysème en présence des défallances avec un nveau élevé de connassance sur les défallances (c'es-à-dre une 28

29 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques connassance de la srucure e de la dynamque de la défallance). Esmer le défau perme ben enendu de donner une mage beaucoup plus précse de l éa du sysème mas auss e surou perme de mere en évdence des procédures (de commande par exemple) oléranes aux défallances Survellance des sysèmes à événemens dscres Un sysème à événemens dscres (SED) es un sysème dynamque défn par un espace d éa dscre e des évoluons, nommées rajecores, basées sur une successon des éas e des ransons [Ansakls e al, 03], [Marchand e al, 02]. Les ransons son équeées par des symboles, appelés événemens, défns avec des élémens d un alphabe [Hashrud e al, 98]. Une approche courane pour l éude de ces sysèmes consse à gnorer la valeur explce du emps e à s néresser unquemen à l ordre d occurrence des événemens. Les modèles non emporsés ans obenus son généralemen élaborés à l ade d auomaes à éas fns ou de réseaux de Per [Zayoon e al, 01]. Comme pour les sysèmes connus, la survellance à base de modèle de sysèmes à événemens dscres consse à vérfer la conssance des observaons avec le comporemen de modèles de référence qu décrven les comporemens normal ou défallans du sysème. a- Déecon de défaus La déecon de défaus d un SED consse à comparer la séquence d événemens préde par le modèle avec l évoluon réelle du sysème. Tros méhodes son ulsées pour la déecon : le modèle en flre, le modèle en émulaon e le modèle en référence [Challe, 95] b- Localsaon e dagnosc des défaus Le dagnosc nécesse d éablr des modèles dans lesquels non seulemen on décr le comporemen normal du sysème mas auss son fonconnemen en cas de défallance. Ces modèles décrven le comporemen en cas de défallance du sysème e permeen d en dédure des hypohèses de dagnosc. Ans, quand le dagnosc es éabl, on rerouve dans le modèle l ensemble des événemens pouvan avor eu leu e qu explquen les observaons. Ce ensemble peu conenr des événemens correspondan à l évoluon normale du sysème ou des événemens qu on condu aux pannes. La méhode des auomaes dagnosqueurs s'applque aux sysèmes à événemens dscres. Paran d'un modèle de fonconnemen d'un sysème décr en erme d'auomaes, elle consse à consrure drecemen un auomae parculer appelé dagnosqueur don les 29

30 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques ransons corresponden aux événemens observables e les éas décrven les pannes du sysème. Dagnosquer le sysème consse à parcourr le dagnosqueur au fur e à mesure de l'arrvée d'événemens observables [Sampah e al, 95], [Sampah e al, 96], [Pencolé e al, 05]. Cee approche présene les caracérsques suvanes : - les événemens qu déclenchen les ransons du sysème son unquemen des événemens observables. - ses éas fournssen des nformaons sur les faues ayan oblgaoremen eu leu (fgure 2.5). - l peu êre consdéré comme un observaeur qu rensegne sur les défallances du sysème consdéré en ajouan dans chaque éa de l observaeur des équees de défaus, chaque équee représenan une hypohèse de panne. - son calcul s effecue hors lgne e nécesse la consrucon d un modèle global du sysème. L algorhme en lgne effecue des recherches en profondeur de l auomae représenan l évoluon du sysème afn d éablr des races servan d explcaons aux observaons reçues. Le processus de dagnosc consse donc à parcourr l auomae dagnosqueur en foncon des observaons reçues e à donner l nformaon résumée dans l éa couran du dagnosqueur. Illusraon Consdérons un SED décr par l auomae de la fgure 2.4 don «1» es l éa nal. Les événemens a, b, c, d, e e k son des événemens observables, l événemen «j» es non observable e les événemens d 1, d 2, d 3 son des événemens correspondan aux défallances. A parr de ce modèle auomae le dagnosqueur es éabl. A chaque éa du dagnosqueur, nous dsposons d une nformaon sur l éa du sysème qu peu êre «Normal (N), Ambgu (A) ou Défallan (D)». Fgure 2.3 Sysème à dagnosquer 30

31 Chapre2 : Survellance des sysèmes dynamques Fgure 2.4 Dagnosqueur Dans l éa nal du dagnosqueur, le sysème es dans l éa «1» e aucune défallance ne s es produe. S nous observons par exemple l événemen «a» alors le dagnosqueur nous nforme que le sysème es so dans l éa «4» e ou es normal, so dans l éa «9» avec la défallance «d 1», so dans l éa «16» avec la défallance «d 2», ou dans l éa «20» avec la défallance «d 3». S ensue nous observons l événemen «b» le dagnosqueur nous nforme que le sysème es so dans l éa «5» e ou es normal, so dans l éa «10» avec la défallance «d 1», so dans l éa «17» e nous ne pouvons pas savor s c es «d 2» ou ben «d 3» qu a eu leu, l y a ambguïé (chemn nceran). 2.3 Concluson Ce chapre a perms de défnr les conceps e le vocabulare de la survellance à base de modèles développés par les communaués des sysèmes connus e des SED. Ces méhodes son, de manère générale, basées sur l esmaon, à parr du modèle, des éas connus e dscres e leur comparason avec les observaons. Peu de ravaux exsen dans la léraure sur la survellance des sysèmes dynamques hybrdes. En général, les aueurs prvlégen so la dynamque connue so la dynamque dscrèe e cherchen à applquer des méhodes de survellance "connue" ou "dscrèe". La survellance, dans ce cas, ne peu êre que parelle. Dans le chapre suvan, nous allons nous néresser à la méhode de généraon de résdus ulsan des observaeurs d éa. La synhèse d observaeurs hybrdes sera abordée afn de pouvor surveller les SDH. 31

32 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Chapre 3 Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Inroducon Pour la majoré des sysèmes ndusrels, l ulsaon des mesures d enrées, de sores e/ou des éas nernes es nécessare pour commander le sysème. Cec nécesse la dsponblé de l ensemble de ces mesures. Cependan, l arrve souven que oues ces mesures ne soen pas dsponbles, que le coû des capeurs so élevé e que leur mplanaon ne so pas économquemen renable ou physquemen réalsable. Un recours aux observaeurs (capeurs logcels) pour l esmaon ou la reconsrucon de la mesure désrée peu êre rès avanageux. Les observaeurs on donc éé largemen développés par la communaué auomacenne à des fns de commande. Les observaeurs on ensue éé éendus pour la généraon de résdus. Dans ce chapre, nous exploons les résulas de [Balluch e al, 01] e de [Hamd, 10] qu conssen à ulser un observaeur hybrde : l observaeur dscre perme d denfer le mode couran e l observaeur connu perme d esmer l éa connu. Afn d denfer correcemen le mode couran e de déecer e localser les défaus, nous proposons dans ce chapre une approche de déecon du mode couran e de déecon & localsaon de défaus pour les SDH. Avan d exposer la méhodologe du dagnosc, les hypohèses seron présenées. La srucure de dagnosc proposée compore deux modules prncpaux basés sur des observaeurs. Le premer consse à générer les résdus permean d denfer le mode couran. Le deuxème module es un généraeur de résdus srucurés, sensbles aux défaus affecan l évoluon connue du SDH. Pour ce derner nous ulsons un schéma DOS afn d soler les défaus capeurs. Une méhode de synhèse de résdus d observaeurs respecan des crères de robusesse aux enrées nconnues e de sensblé aux défaus es ensue présenée pour les SDH lnéares. Ces ravaux, nsprés des hèses de [Ichalal, 09] e [Belkha, 12], posen le problème de synhèse sous forme d un ensemble de LMI (Lnear Marx Inequales) à résoudre. 32

33 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH 3.1 Présenaon générale des observaeurs asympoques Les premers ravaux sur les observaeurs (ou flres) on éé publés dans [Kalman e al, 61] pus [Luenberger, 71]. Les observaeurs son des sysèmes dynamques qu permeen, sous ceranes condons des d observablé, d esmer l éa en ulsan les grandeurs accessbles (varables mesurées) du sysème, elles que ses enrées e ses sores. Plus formellemen, un observaeur (ou reconsruceur d éa) asympoque [Fossard e al, 93] d un sysème dynamque S : ( x( ), u( ) ) ( x( ), u( ) ) x ( ) = f S : (3.1) y( ) = h es un sysème dynamque O don les enrées son consuées des veceurs d enrée e de sore du sysème à observer e don le veceur de sore xˆ( ), es l éa esmé : Z () = fˆ ( Z(), u(), y()) O : ˆ( ) ˆ x = h ( Z ( ), u ( ), y ( )) (3.2) Ce sysème O (les foncons fˆ e ĥ ) es déermné pour que la norme de l erreur enre le veceur d éa x( ) e xˆ( ) ende asympoquemen vers zéro. e () = x() xˆ () 0quand (3.3) Fgure 3.1 Schéma srucurel d un observaeur pour un sysème connu 33

34 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Observaeur de Luenberger pour un sysème lnéare Consdérons le sysème dynamque lnéare : x ( ) = S : y( ) = où () A x( ) + B u( ) + E C x( ) + D u( ) + E x d( ) + F ϕ( ) y x d( ) + F ϕ( ) y (3.4) n k m x R es le veceur d éa, y () R le veceur de sore, u () R le veceur d enrée, p d R () le veceur des perurbaons e enrées nconnues, e ϕ() défaus. l R représene le veceur des La marce d éa es A R n* n, la marce d enrée es B R n* m, la marce d njecon drece es D R k* m e la marce de sore es C R k* n. Les marces de dsrbuon des perurbaons son E n* p x R e Ey k* p R. F x R n* l e k* l F y R son les marces de dsrbuon des défaus agssan respecvemen sur l équaon d éa (défaus nernes e d aconneurs) e sur l équaon de mesure (défaus capeurs) dans le mode. Pour esmer y(), nous pouvons ulser l observaeur de Luenberger qu es défn par : x ˆ( ) O : yˆ( ) = = A xˆ( ) + B u( ) + K C xˆ( ) + D u( ) ( y( ) yˆ( ) ), xˆ( 0) = xˆ 0 (3.5) L erreur d esmaon enre l éa du sysème x () e l éa reconsru xˆ ( ) à l ade de l observaeur e O es : ( ) = x( ) xˆ( ) (3.6) So r (), l erreur d esmaon sur les sores obenue en ulsan l observaeur O r ( ) = y( ) yˆ( ) (3.7) En ulsan (3.4) e (3.5), on oben : * * e () = ( A KC) e() + Exd() + Fxϕ () r() = Ce() + Eyd() + Fyϕ () (3.8) 34

35 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH avec : E F * x * x = = E F x x KE K F y y (3.9) Noons e f ( ) = e ( ), e d = 0 d( ) = e ( ) e r () () ϕ = 0 d = r ϕ = e r () () 0 f = r d = 0 En applquan le prncpe de superposon, les erreurs d esmaon e () e () décomposer en : r peuven se e ( ) r ( ) = = e d ( ) + e r ( ) + r d f f ( ) ( ) (3.10) Avec e r d d ( ) ( ) = = ( A C e K C ) e d ( ) + E y d ( ) + E d( ) * x d( ) (3.11) * e f () = ( A KC ) ef () + Fxϕ() rf () = Cef () + Fyϕ () Cee reformulaon monre que le résdu es la somme de deux composanes l une dépend des enrées nconnues d e l aure dépend du veceur de défaus ϕ (eq.3.10). Dans la dernère pare de ce chapre, nous reprendrons cee décomposon pour opmser les résdus pour la déecon robuse e performane des défaus. L objecf sera de mnmser l effe de la composane r d () ou en maxmsan l effe de la défallance, c'es-à-dre de la composane r f () Evaluaon des résdus en présence de bru En présence de brus de sysème e de mesure, les résdus seron perurbés. La décson deven alors plus délcae. Comme dans [Emam e al, 88], nous proposons d ulser la moyenne quadraque du résdu calculée sur une fenêre glssane. La valeur du seul de déecon J h do êre fxée en foncon des nveaux de bru e de la sensblé des résdus à ces perurbaons. Le seul peu êre déermné pour garanr une cerane probablé de fausse alarme (déclenchemen d une alarme alors que le défau n es pas présen). Il es, so calculé 35

36 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH s les caracérsques du bru son supposées connues, so déermné en ulsan des données expérmenales [Belkha, 12]. Pour résumer, la norme du résdu r () 2, J h. On a alors 2, T h T es calculée sur une fenêre T e comparée au seul S = 1 s r( ) > J alarme, (3.12) S = 0 s r( ) J aucune alarme, 2, T h Où S es la sgnaure expérmenale. La norme r () es défne comme su : 2, T T r () = () () () () () () () 2, T r r d = rd + rf = Ce 2, T + Eyd + Fyϕ (3.13) 2, T T Le seul de déecon es calculé comme su : J = sup r ( ) avec h c 2, T rc() = r () ϕ= (3.14) Synhèse d un observaeur de Luenberger par placemen de pôles Afn de dmensonner l observaeur, l fau calculer une marce K (gan de l observaeur) elle que les valeurs propres de (A K C ) soen oues à pares réelles srcemen négaves. Un observaeur sable pourra êre synhésé s e seulemen s la pare (A, C ) es déecable [Larroque, 08] [Wonham e al, 85]. En praque, nous chosssons une dynamque de l observaeur plus rapde que la dynamque du sysème. Touefos, nous sommes lmés au nveau de la grandeur de ces dynamques choses. Idéalemen, nous devrons prendre des dynamques (aux de convergence) rès grandes afn d assurer une convergence rapde e précse. Cependan, nous ne pouvons ulser que des gans réalsables, ce qu resren le chox de K. De plus, plus la valeur du gan sera élevée plus les brus nflueron sur la qualé de la reconsrucon d éa [Larroque, 08]. 3.2 Synhèse des observaeurs hybrdes Le problème d'esmaon d'éa a aen une cerane mauré pour les sysèmes respecvemen connus [Luenberger, 71] e dscres [Ramadge e al, 89]. Cec n es pas le cas 36

37 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH pour la synhèse d observaeurs hybrdes. De nombreux pons doven encore êre approfonds. L observaeur hybrde do esmer à la fos l éa connu e l éa dscre du sysème Tour d horzon sur les observaeurs hybrdes Dans la léraure nous rouvons pluseurs echnques de synhèse d observaeurs hybrdes. Nous pouvons cer par exemple [Balluch e al, 01], [Saadaou, 06], [Prandn, 09]. La synhèse d observaeurs hybrdes peu êre subdvsée en deux grandes famlles : celle qu suppose la connassance de l éa dscre (mode dscre q) à chaque nsan [Alessandr e al, 01], [Prandn, 09] e celle qu s affranch de cee hypohèse e qu esme l éa dscre e connu à la fos [Balluch e al, 01], [Balluch e al, 02(a)], [Peerson, 05], [Brouche e al, 06]. Lorsque le mode dscre n es pas connu, des echnques qu prennen en charge conjonemen l esmaon du mode dscre e de l éa connu doven êre ulsées. Dans [Alessandr e al, 01], les aueurs on éudé la synhèse d observaeur pour les sysèmes lnéares à commuaon en supposan que le mode es connu. Il rese donc à esmer l éa connu en ulsan la héore de Lyapunov e en résolvan un ensemble de condons mses sous forme de LMI. Dans les ravaux de Balluch [Balluch e al, 01], la déecon du mode couran d un sysème à commuaon modélsé par auomae hybrde es effecuée en calculan un banc de résdus e par la sue esmer l éa connu en enan compe du emps de séjour du mode nécessare pour chaque commuaon. Dans [Balluch e al, 02(a)], la déecon du mode es réalsée en ulsan des auomaes à éa fn (FSM) e un observaeur de Luenberger pour l esmaon de l éa connu. Les ravaux de [Balluch e al, 02(b)] présenen le même concep décr précédemmen mas en enan compe de la rénalsaon de l éa lors de la commuaon (Rese). Dans [Peerson, 05], afn d esmer l éa dscre, l aueur ulse une logque de sélecon e pour l éa connu l ulse des foncons de Lyapunov mulples (formulaon LMI). Dans [Peerson, 06], l ajoue la noon du emps de séjour (dwell-me) pour déermner l éa connu esmé. Les ravaux de [Julosk, 04] éuden les sysèmes lnéares par morceaux à emps connu e à emps dscre en supposan oujours que le mode es connu e en esman l éa connu à l ade d une foncon commune de Lyapunov. De même, dans [Brouche e al, 06], les aueurs consdèren les sysèmes lnéares par morceaux à emps dscre. Ans la méhode de déecon du mode es smlare à celle de la déecon de 37

38 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH l nsan de commuaon. Une foncon mulple de Lyapunov es ulsée pour prouver la convergence de l erreur d esmaon sur l éa connu. Dans [Ferrar e al, 02], les aueurs ulsen une approche de sélecon pour l esmaon du mode e l observaeur à horzon glssan pour esmer l éa connu. Dans les ravaux de [Hamd, 10], le sysème à commuaon es modélsé par des réseaux de Per dfférenels e deux blocs d observaeurs son ulsés pour esmer l éa dscre e l aure pour l esmaon de l éa connu. Dans ce chapre nous consdérons les hypohèses suvanes : - le SDH ne dspose d aucune sore dscrèe mesurable : Y d = {}. - l évoluon dscrèe du SDH (successon des modes) es connue a pror. Cee hypohèse perme de déecer les défaus dscres. - le changemen de mode e l occurrence de défaus ne se produsen pas au même nsan. - oues les pares ( A, C ), = 1,..., M son observables Srucure d un observaeur hybrde pour l denfcaon du mode, la déecon e localsaon des défaus La srucure de l observaeur hybrde es composée de deux blocs d observaon. Le premer ser à esmer le mode en cours en ulsan un banc de résdus afn d esmer l éa dscre ˆq. L aure bloc ser à déecer e localser les défaus connus, nous ne consdérons dans ce chapre que les défaus connus des capeurs (fgure3.2). 38

39 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure 3. 2 Srucure d un observaeur hybrde pour l denfcaon du mode couran, la déecon e la localsaon des défaus Banc d observaeur pour la généraon d une sgnaure du mode Ce module es composé d un banc de M (nombre de modes) observaeurs (Om_, es l ndce de mode) de Luenberger. Nous assocons à chaque sous-sysème (mode) un observaeur. Chaque observaeur reço l ensemble des E/S du SDH, les sores reconsrues par chaque observaeur y ˆ( ) son comparées, à ou nsan, aux sores mesurées pour générer des veceurs de résdus r (fgure 3.3 où Om_ désgne «Observaeur de mode»). Les résdus r seron par la sue évalués pour générer les sgnaures de modes. Fgure 3. 3 Srucure de généraeur des résdus servan à l denfcaon du mode 39

40 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Table des sgnaures héorques e évaluaon des résdus Dans la able de sgnaures héorques, l nersecon de la colonne correspondane au éme mode de fonconnemen, = 1,, M, avec la lgne représenan le ème veceur de résdu prend la valeur 1 e la valeur bnare 0 alleurs. A re d exemple la sgnaure héorque du mode 3 es S r3 = (0, 0, 1, 0,..., 0) vor ableau 3.1. La able des sgnaures héorques des modes es donnée par le ableau suvan : TABLEAU 3.1 TABLE DE SIGNATURES THEORIQUES POUR L IDENTIFICATION DU MODE COURANT Mode 1 Mode 2 Mode 3. Mode M S r S r S rm Après consrucon de la able de sgnaures héorques, la deuxème éape consse à calculer chaque résdu e à applquer une procédure d évaluaon afn d obenr la sgnaure réelle des résdus S { S, S,..., S } = à chaque nsan. qˆ r1 r2 rm Pour un sgnal de résdu r ( ) de k élémens : 1 2 j k T ( ) = ( ) ( )... ( )... ( ) = 1,..., e = 1,..., r r r r r M j k, La norme r j () es défne comme su : 2, T j jt j r () = r () () 2, T r d (3.15) T La procédure d évaluaon des normes des résdus (norm-based resdual evaluaon) consse à comparer chaque élémen r j ( ), j = 1,..., k,calculée sur l nervalle T, à un seul 2, T S j (avec Sj représene un seul de déecon, qu es défn en foncon des perurbaons, des erreurs de modélsaons e de bru de mesures), nous ulsons alors la logque de décson suvane : 40

41 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH S = 0 s r ( ) > S (3.16) j rj 2, T j S = 1 s r ( ) S j rj 2, T j k S = Sr = Sr.* Sr.*.* Sr.* Sr, = 1,..., M (3.17) r j 1 2 j k j= 1 Où S r es la sgnaure expérmenale du mode. La sgnaure réelle des résdus es alors S = { S, S,..., S,..., S } qˆ r1 r2 r rm L denfcaon du mode couran consse à fare la correspondance enre la sgnaure réelle obenue e les sgnaures llusrées dans la able des sgnaures héorque. Nous éudons par la sue le deuxème module qu es le banc d observaeurs pour la généraon de sgnaure de défaus, nous consdérons dans ce qu su l hypohèse suvane : j - Tous les couples ( A, C ) = 1,..., M e j = 1,..., k son observables Banc d observaeurs pour la généraon d une sgnaure de défaus Une fos le mode a éé denfé en ulsan le premer module (sous l hypohèse qu l n y a pas de défaus), nous ulsons k observaeurs correspondan au mode denfé els que chacun de ces observaeurs es sensble à une sore unque (vor chapre 2). Pour les k défaus de capeurs à déecer e localser, e pour chaque mode denfé ( = 1, M), un schéma DOS à base d observaeurs es ulsé pour générer des résdus sensbles à une unque panne capeur vor fgure 3.4 (où ODDC_j désgne «Observaeur pour la Déecon de Défau Capeur j»). Chaque mode es décr par: x ( ) = Ax ( ) + Bu ( ) + Exd( ) + Fxϕ( ), x(0) = x0, = 1,..., M e j = 1,..., k S : (3.18) j j j yj () = C x() + Ey d() + Fy ϕ() 41

42 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure 3. 4 Srucure de généraeur des résdus servan à la localsaon des défaus La srucure de l observaeur sensble à la j ème composane du veceur de sore es donnée par : j x ˆ() = Ax ˆ() + Bu () + L ( y j() yˆj() ), = 1,..., M e j = 1,..., k j j O : yˆj () = C xˆ() + D u() (3.19) j z () = y () ˆ () j yj n où x ˆ( ) R es le veceur d éa esmé, yˆ () es la j ème composane du veceur de sore j esmé e z () es la j ème composane du veceur des résdus à l nsan. L j es le gan d observaeur à calculer e représene l ndce du mode denfé à l nsan. Le veceur des résdus du mode denfé es donné alors par : T 1 j k 1 j k 1 j k z z z = H( uy, ) H( uy, ) H( uy, ), (3.20) j où H ( u, y ), j = 1,, k e = 1,, M, représene la foncon qu le le veceur des enrées j u e le j ème élémen du veceur des sores y. D après l équaon (3.19), la j ème composane du veceur des résdus z ( z ) ne peu êre nfluencée que par la j ème composane du veceur des j défausϕ capeurs ( ϕ() = φφ 1 2 φj φ k ). Table des sgnaures héorques pour la localsaon des défaus capeurs T Afn de consrure la able de sgnaures héorques des défaus capeurs, nous affecons la valeur bnare 1 (respecvemen 0), à la lgne e à la colonne correspondane, j T 42

43 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH lorsque le j ème résdu es sensble (respecvemen robuse) à l apparon du j ème défau (vor ableau 3.2) : TABLEAU 3.2 TABLE DE SIGNATURES THEORIQUES POUR LA LOCALISATION DES DEFAUTS φ 1 φ2 φ 3. φk 1 Sz Sz k Sz k La sgnaure réelle des résdus, déermnée à ou nsan, es Sϕ = { Sz, Sz,..., Sz } S ϕ es nulle alors le sysème es déclaré exemp de défaus (san). Lorsqu un défau nerven le résdu correspondan sera dfféren de 0 e la sgnaure réelle deven alors non nulle. Nore objecf es de déermner les marces de gan L j qu assuren la convergence de chaque observaeur eq Pour ce fare, nous éudons la convergence des erreurs d esmaon.. S j j j * j * e () = ( A L C ) e() + Ex d() + Fx ϕ() 1,..., e 1,..., j = M j = k j j j z () = C () () () e + E yd + F yϕ (3.21) avec E = E L E F F L F * j j x x y * j j x = x y (3.22) Afn d évaluer les résdus srucurés, nous applquons l approche d évaluaon basée sur la norme des résdus qu consse à comparer la norme du sgnal du résdu srucuré z j (), 2, T 43

44 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH calculée sur l nervalle T, à un seul S j. Chaque élémen de la sgnaure réelle es défn comme su : S = 1 s z ( ) > S (3.23) j j z 2, T j S = 0 s z ( ) S j j z 2, T j Où j Sz es la sgnaure expérmenale. La norme z j () es défne comme su : 2, T j j T j j j j z () = () () () () () 2, T z z d = C e + Eyd + Fyϕ (3.24) 2, T T Le seul de déecon es calculé comme su : j S = sup( z ( ) ) (3.25) j 2, T ϕ = 0 La procédure de localsaon consse à fare la correspondance enre la sgnaure réelle obenue e celle llusrée dans la able de sgnaures héorque ableau Exemples llusrafs Exemple académque Afn d llusrer l ulsaon des résdus d observaon pour l denfcaon de mode e la déecon de défallances, nous consdérons le sysème hybrde décr par la fgure 3.5. Fgure 3.5 Descrpon du sysème hybrde Chaque mode es représené par (3.26): x ( ) S : y( ) = = A x( ) + Bu( ) y1( ) Cx( ) + Eyd( ) + Fyϕ( ) = y2( ) (3.26) 44

45 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Avec: A1 = 0 5 0, A = A3 = 0 8 0, A = (3.27) 1 1 B1 = B2 = B3 = 1, B 4 1 = = = = = , C1 C2 C3 C E1y = E2y = E3y = E4y = ; F1y F2y F3y F4y 0 = = = = 0 1 φ ϕ() = 0 ; 1 (3.28) e 1 es un événemen conrôlé (commandé par l'opéraeur). Ce événemen se produ à =3s. La ranson d'un mode à un aure es due à la présence (ou absence) de ce événemen exerne e de la valeur de l'éa x 3 () (la rosème composane de x()). Dans ce exemple, le banc d observaeurs dédé à la généraon des sgnaures de modes es consué de quare observaeurs, { 1,2,3,4} O, chaque observaeur es assocé à un mode de fonconnemen afn d esmer le mode couran. Fasons un placemen de pôle pour chaque sous sysème (mode), nous chosssons de fxer les dynamques de chaque observaeur O, { 1,2,3,4} en : P1 = ; P ; P ; P = = = Les gans de chaque observaeur O, { 1,2,3,4} son: K1 = , K = K3 = , K = (3.29) (3.30) Pusque nore sysème possède, dans chaque mode, un veceur de sores de deux composanes (y 1 e y 2 ), nore banc d observaeurs pour la généraon de sgnaure de mode génère égalemen pour chaque mode deux composanes du résdu. Nous fxons aux résdus r les ndces (=1, 2,3 e 4) e j (j=1,2) pour ndquer respecvemen le mode assocé au veceur de résdu e la composane du résdu. Les expressons des résdus son données dans le ableau 3.3: 45

46 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 TABLEAU r () 2 r () e () = ( A K C )() e K E () (), ˆ(0) ˆ yd K F yϕ x = x 1 r1 () φ1 = Ce 2 1 () + d() r () EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES RESIDUS r( ) =, { 1,2,3,4} e () = ( A K C ) e() K E d() K F ϕ(), xˆ(0) = xˆ 1 r2 () φ1 = Ce 2 2 () + d () r () y 2 2y 0 e () = ( A K C ) e() K E d() K F ϕ(), xˆ(0) = xˆ 1 r3 () φ1 = Ce 2 3 () + d() r () y 3 3y 0 e () = ( A K C ) e() K E d() K F ϕ(), xˆ(0) = xˆ 1 r4 () φ1 = Ce 2 4 () + d () r () Y 4 4y 0 En premer leu nous consdérons le cas ou le sysème évolue en fonconnemen normal, non défallan e sans bru. La smulaon es réalsée sous Malab/Smulnk sur l nervalle de emps [0,6s]. L enrée u() es un échelon unare. Nous supposons que le sysème es nalsé dans le mode 1. Quand l'éa x 3 () aen la valeur 0.8 (fgure 3.6), le sysème commue vers le mode 2, ec... 46

47 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure 3.6 : l évoluon des modes réels e de l éa x 3 Les 8 résdus son reporés à la fgure 3.7: Fgure 3. 7 Les résdus pour les 4 modes en fonconnemen normal (sans défau e sans bru) 47

48 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Afn de pouvor denfer le mode acf en fonconnemen normal e sans bru de mesure, nous ulsons la logque de décson suvane : j S = 0 s r ( ) > S, = 1,..., M e j = 1,..., k rj j j S = 1 s r ( ) S rj j (3.31) j avec r () représene la valeur absolue de la j ème composane de résdus r( ). Nous chosssons les seuls (ableau 3.4) d une manère judceuse afn d éver les fausses déecons du mode acf. TABLEAU 3.4 SEUILS DE DETECTION DU MODE COURANT MODE Mode1 Mode2 Mode3 Mode4 Seul S 11 =0.07 S 12 =0.028 S 21 =0.009 S 22 =0.008 S 31 =0.008 S 32 =0.007 S 41 =0.01 S 42 =0.009 La fgure 3.8 représene la sgnaure expérmenale des 4 modes. Fgure 3. 8 Sgnaure expérmenales pour l denfcaon du mode couran en fonconnemen Normal La sgnaure expérmenale S r (fgure 3.8) es obenue en applquan (3.17). Par exemple, sur l nervalle de emps 0.1s<<1.39s, S 11 = S 12 = 1, nous aurons alors, S = Sr.* Sr qu es égal à 1 à chaque nsan de l nervalle de emps [0.1s, 1.39s]. r Le ableau 3.5 présene les résulas de l denfcaon des modes sur l nervalle [0,600s]. Ces résulas son générés à parr des résdus. Par exemple dans le même nervalle [0.1s, 1.39s], les résdus r 1 1 =r 2 1 =0 e les aures résdus à ce nsan son dfférens de zéro, donc la sgnaure du mode 1( q ˆ = 1) es S 1 = (1,0,0,0). Nous consaons ben que le mode couran en fonconnemen normal peu êre denfé à parr des résdus en ulsan 48 r r

49 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH unquemen le premer module qu es le banc d observaeurs pour la généraon d une sgnaure de mode. TABLEAU 3.5 IDENTIFICATION DU MODE COURANT EN FONCTIONNEMENT NORMAL Inervalle de emps S ˆq Sr1 Sr2 Sr3 Sr4 denfcaon du Mode couran 0.1s< <1.39s Mode s< <1.81s Mode s< <2.57s Mode s < <3.00s Mode s<<3.63s Mode s < <3.92s Mode s< <4.69s Mode s< <6.00s Mode 3 Esmaon des ransons sponanées La ranson d'un mode à un aure es due à la présence (ou absence) d un événemen exerne e/ou de la valeur de l'éa. Les ransons sponannées son des événemens non observables dépendan de l éa. Pusque nous pouvons donner une esmaon de l éa (calcul de ˆx ), nous pouvons exrare la condon de garde de la ranson qu es un ensemble de condons algébrques sur les varables connues. -Hypohèse: Nous supposons que nous connassons l éa qu nflue sur la ranson e que le sysème es non défallan. Nous allons esmer les ransons sponanées. σ ˆ S + j ( q, x, ) = ( qj, x0 ), q e q j Q, x + 0 X j. La ranson du mode vers le mode j se produ lorsque le veceur d éa connu esmé xˆ( ) nersece une surface : { ˆ ( ˆ) 0} S = x X q s x =. j j Une ranson sponanée se produ donc lorsque s ( xˆ ) = g ( xˆ ) = 0(où g es défne dans la 49 j secon ). Dans l exemple académque (vor fgure 3.5) nous avons comme hypohèse que le sysème fonconne en mode normal e les événemens sponannés ne dépenden que de l éa x 3. Les fgures c-dessous llusren l éa x 3 connu esmé pour chaque mode de fonconnemen. Nous remarquons dans le mode 1 sur l nervalle de emps [0.8s, 1.40s] e sur

50 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH l nervalle de emps [3.08s, 3.64s] (vor fgure a), que ˆx >0.8. Dans le cas de la ranson du 3 mode 2 vers le mode 4 (vor fgure b), l esmaon de l éa connu dans l nervalle de emps [1.56s,1.82s] es elle que ˆx 3 >2. Lors de la ranson du mode 4 vers le mode 3 dans l nervalle de emps [2.05s, 2.58s], on a ˆx <0.8 (vor fgure c). 3 Fgure a Fgure b Fgure c Fgure 3. 9 Esmaon de l éa x 3 dans chaque mode Déecon des défaus dscres Supposons qu aucun défau capeur n es présen. Consdérons le cas d un défau produsan une ranson dscrèe vers un mode non successeur. Nous supposons que le défau dscre se produ à l nsan 1.82 où le SDH commue vers le mode 3 au leu du mode 4 en fonconnemen normal. Nous supposons que nous connassons la rajecore dscrèe

51 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Les résdus pour les 4 modes dans le cas d un défau dscre Après généraon des résdus pour chaque mode, nous ulsons ensue une logque de décson (expresson 3.31) pour pouvor denfer le mode couran. Même chose que précédemmen, les S r (vor fgure 3.11) son obenues en ulsan l équaon TABLEAU 3.6 SEUILS DE DETECTION DU MODE COURANT MODE Mode1 Mode2 Mode3 Mode4 Seul S 11 =0.007 S 12 =0.004 S 21 =0.006 S 22 =0.005 S 31 = S 32 = S 41 = S 42 = Fgure Sgnaure expérmenale pour la déecon de défau dscre TABLEAU

52 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH IDENTIFICATION DES MODES CORRESPONDANT A L EVOLUTION DE SDH EN PRESENCE D UN DEFAUT DISCRET Inervalle de emps S ˆq Sr1 Sr2 Sr3 Sr4 denfcaon du Mode couran 0.20s< <1.39s Mode1 1.55s< <1.81s Mode2 2.50s< <3.00s Mode3 3.06s < <3.60s Mode1 3.73s<<3.95s Mode2 4.17s < <6.00s Mode3 Lorsqu un défau dscre nerven à l nsan 1.82s la rajecore dscrèe change de son évoluon normale vor ableau 3.7. Déecon des défaus connus (défaus capeurs) en présence de bru de mesure Consdérons manenan une défallance (bas de capeurs) φ 1 qu se produ sur l nervalle de emps [5.20s, 5.31s] avec une amplude de 0.2. La défallance φ 1 se produ quand le sysème es dans le mode 3. Afn d llusrer le problème d denfcaon, de déecon e de localsaon des défaus dans un conexe brué consdérons le cas où un bru gaussen de moyenne nulle e de varance 10-4 es ajoué sur la mesure y 1. Les résdus en présence du bru e de défallances son donnés par la fgure Commençons par denfer le mode couran en ulsan le premer module (banc d observaeurs pour la généraon de sgnaure de mode). Fgure Les résdus pour les 4 modes en présence d un défau capeur e de bru de mesure 52

53 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Les valeurs des seuls e la norme 2 des résdus son présenés dans la fgure Nous consaons que chaque composane des veceurs de résdus r () ne converge vers zéro que lorsque le SDH évolue dans le mode, snon l s élogne noablemen de zéro. La convergence des observaeurs n es pas nsananée. On peu observer que l effe du emps de convergence n es pas néglgeable sur l denfcaon du mode couran. Après la généraon des résdus, l éape suvane es l évaluaon de ces résdus afn de déermner leurs sgnaures expérmenales (vor expresson 3.16). Les seuls de déecon de modes e l évoluon des normes L 2 des résdus générés son donnés par la fgure Fgure Les normes L 2 des résdus pour les 4 modes en présence d un défau capeur e de bru de mesure Les seuls de déecon son déermnés à parr d un jeu de données en l absence de défaus, pour T =0.1s. Ces seuls son donnés dans le ableau

54 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH La longueur de la fenêre d négraon T es chose afn de rédure les aux de fausse alarme e de non déecon. L denfcaon du mode sera cependan réalsée avec un ceran aux d erreurs. TABLEAU 3.8 SEUILS DE DETECTION POUR L IDENTIFICATION DU MODE COURANT MODE Mode1 Mode2 Mode3 Mode4 Seul à T=0.1s S 11 =0.054 S 12 =0.048 S 21 =0.03 S 22 =0.042 S 31 =0.058 S 32 =0.048 S 41 =0.042 S 42 =0.042 Pour ces valeurs de seuls (ableau 3.8) e en applquan eq.3.17, les sgnaures expérmenales des dfférens modes son données dans la fgure (3.14). Fgure Sgnaure expérmenale pour l denfcaon du mode couran en présence de défau capeur e bru de mesure Les résulas de l denfcaon du mode couran, obenus sur un nervalle de smulaon de 6s, son donnés dans le ableau (Tableau 3.10). Afn d soler la défallance nous ulsons le deuxème module qu es basé sur un banc d observaeurs pour la généraon de la sgnaure de défaus. Il es consué d un banc de deux observaeurs de Luenberger pour chaque mode, chaque observaeur es sensble à une sore. L expresson analyque des résdus srucurés j z es llusrée dans le ableau

55 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH TABLEAU 3.9 j EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES RESIDUS STRUCTURES z, { 1,2,3,4 }, j = { 1,2} Mode e () = ( A L C ) e() L E () (), ˆ(0) ˆ y d L F yϕ x = x z1 = C1e() + E1y d() + F1yϕ () e () = ( A L C ) e (), xˆ(0) = xˆ 2 2 z1 = C1 e() Mode e () = ( A L C )() e L E () (), ˆ(0) ˆ y d L F yϕ x = x z2 = C2 e() + E2y d() + F2yϕ () e () = ( A L C ) e (), xˆ(0) = xˆ 2 2 z2 = C2 e() Mode e () = ( A LC ) e () L E () (), ˆ(0) ˆ y d L F yϕ x = x z3 = C3e() + E3y d() + F3yϕ () e () = ( A L C )(), e xˆ(0) = xˆ 2 2 z3 = C3 e() Mode e () = ( A L C )() e L E () (), ˆ(0) ˆ y d L F yϕ x = x z4 = C4 e() + E4y d() + F4yϕ () e () = ( A L C )(), e xˆ(0) = xˆ 2 2 z4 = C4 e() Ulsons la echnque du placemen de pôle pour déermner les gans d observaeurs de chaque sous sysème. On chos L P11 = P12 = P21 = P22 = P31 = P32 = P41 = P 42 = ; 20 j Les gans de chaque observaeur O, { 1,2,3,4} e j { 1,2} son: = 10 [ ] = 10 [ ] = 10 [ ] = 10 [ ] = 10 [ ] = 10 [ ] = 10 [ ] 10 [ ] L L L L L L L = Les résdus srucurés son présenés dans la fgure (3.32) (3.33) 55

56 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Résdus srucurés du mode 1, 2, 3 e 4 en présence des défaus capeurs e de bru de mesure Les seuls de déecon de défau capeur son déermnés en absence de défaus vor eq.3.25, pour T =0.1s. Ces seuls son donnés dans le ableau TABLEAU 3.10 SEUILS DE DETECTION DE DEFAUTCAPTEUR MODE Mode1 Mode2 Mode3 Mode4 Seul S 11 =0.15 S 12 =0.17 S 21 =0.15 S 22 =0.17 S 31 =0.15 S 32 =0.17 S 41 =0.15 S 42 =0.17 Les normes L 2 des résdus srucurés e les seuls choss (ableau 3.10) son donnés dans la fgure Dans la fgure 3.17, nous présenons les sgnaures expérmenales pour la déecon de défau capeur. 56

57 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Norme L2 des résdus srucurés e seuls de déecon de défau capeur des 4 modes 57

58 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Sgnaure expérmenales des résdus srucurés pour la déecon des défaus capeur 58

59 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH TABLEAU 3.11 IDENTIFICATION DU MODE COURANT EN FONCTIONNEMENT DEFAILLANT Le ableau 3.11 présene les résulas de l denfcaon des modes e de la déecon & Inervalle de emps Sgnaures du mode S ˆq Mode couran sr1 sr2 sr3 sr4 sz11 sz12 Sgnaures de défaus localsaon du défau capeur sur l nervalle [0,6s]. Les nervalles de emps ou ou on ne peu pas denfer correcemen le mode son présenées par «????», La non déecon du mode acf es due au emps de convergence de l observaeur ou ben au emps de ranson (changemen de mode), dans ce cas on lance en parallèle le deuxème module afn de calculer l ensemble des résdus srucurés s Sz j =0 alors pas de défau capeur s non alors le défau affece le mode précédemmen denfé. sz21 sz22 S ϕ sz31 sz32 sz41 sz42 Mode couran e déecon de défau 0.25s 1.39s Mode1 0 0 Mode1 n ???? ????? Mode Mode2 n ???? ????? Mode4 00 Mode4 n ???? ????? Mode3 00 Mode3 n ???? ????? Mode1 00 Mode1 n ???? ????? Mode2 00 Mode2 n ???? ????? Mode4 00 Mode4 n ???? ????? s Mode3 00 Mode3 n ???? Mode3 défallan ???? ????? Mode3 00 Mode3 n 59

60 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Nous remarquons d après le ableau que le défau es déecé à l nsan 5.23s ndquan la présence d un défau de capeurs sur la sore 1 du sous-sysème 1(Sz 1 1 =1, Sz 1 2 =1, Sz 1 3 =1 e Sz 1 4 =1), ce qu correspond à un reard de déecon d ordre de 0.03s Exemple d une régulaon d un sysème hermque Le sysème es composé d un élémen chauffan, d un capeur de empéraure e d un hermosa permean de réalser une régulaon TOR (ou ou ren) de empéraure dans une pèce d habaon. Les valeurs nféreurs e supéreurs (seuls) du hermosa son fxées à θ mn e θ max avec (θ mn <θ max ). Le sysème de chauffage es en marche an que la empéraure dans la pèce es nféreure à la valeur θ mn. Le chauffage es arrêé lorsque le capeur déece la valeur supéreur θ max e l rese en arrê jusqu au momen où la empéraure descend endessous de la valeur nféreur θ mn. Les éas dscres du sysème corresponden aux éas "Marche" e "Arrê" du sysème de chauffage. La empéraure de la pèce es une varable don l évoluon es connue. Sous ceranes hypohèses classques le modèle décrvan l évoluon de empéraure dans l encene hermque es donné par les équaons d éa suvanes : θ( ) = k( α θ( )) S le chauffage es en marche (3.34) θ( ) = kθ( ) S le chauffage es en arrê où «α» es une consane réelle posve qu dépend de la pussance du sysème de chauffage, e «k» es une consane déermnée par la pèce. Ans, l évoluon de la empéraure es conrane par une équaon d éa qu dépend de l éa dscre "Marche" ou "Arrê". L auomae hybrde représenan le sysème hermque (assocé à sa commande TOR), es llusré fgure Dans la place 1 le hermosa es en marche e dans la place 2 le hermosa es en Arrê. Les acvés dans les places 1 e 2 corresponden respecvemen à l évoluon de la empéraure quand le chauffage es en marche e à l évoluon de la empéraure quand le chauffage es en arrê. L évoluon de la empéraure es dessnée dans la fgure Les négalés θ θmax e θ θmn son les nvarans assocés respecvemen aux places 1 e 2. Nous consdérons les valeurs de paramères suvanes : 60

61 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH θ =10 e θ = 20 α = 24 e k = 1 mn max L ulsaon de l nvaran dans les sommes de l auomae lme l évoluon de la empéraure dans un domane défn par les conranes négalé. Nous consdérons un défau capeur ϕ ( ) affecan le mode 1 dans l nervalle de emps [3.17, 3.32] d amplude 2. Afn de générer des résdus nous ulsons un observaeur de Luenberger, l équaon de l observaeur es défne par : ˆ θ() = A ˆ() () ( () ˆ θ + Bu + K θ θ()), O : ˆ θ() C ˆ = θ() [ 1; ] [ 1; ] [ 1] [ 1; ] [ 0; ] [ 1] A1 = B1 = C1 = A = B = C = (3.35) L exemple de hermosa c es un sysème SISO (sngle npu sngle oupu) pour ce ype de sysème le module de généraon de sgnaure de mode es suffsan, l nous perme d denfer le mode couran e de déecer e localser la défallance. Dans l exemple du hermosa la mesure présene le veceur d éa θ () vor ableau Le résdu (r 1 ()), perme de déecer la défallance du capeur vor fgure TABLEAU 3.12 EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES RESIDUS () { 1,2} CAPTEUR Mode 1 e () = ( A1 KC 1 1)() e KF 1 1yϕ() r1() = Ce 1 () + F1y ϕ() Mode 2 e () = ( A2 KC 2 2)() e KF 2 2yϕ() r2() = C2e() + F2yϕ () r EN PRESENCE D UN DEFAUT avec [ ] F = ; e () = θ ˆ θ ; K 1 =13 1y 1 avec [ ] F = ; e () = θ ˆ θ ; K 2 =14 2 y 1 Fgure Exemple du hermosa 61

62 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Varaon de la empéraure Fgure Evoluon des résdus du mode 1 e 2 Pusque le sysème présené es SISO donc la logque de décson es basée sur les deux hypohèses (expresson 3.36) pour l denfcaon du mode couran e la déecon & la localsaon des défaus. S = 0 s r( ) > S, = 1,..., M r S = 1 s r( ) S r (3.36) Afn d denfer le mode couran e de déecer la défallance nous avons chos un seul pour chaque mode : s 1 =0.05 e s 2 =0.035 Les sgnaures réelles du mode 1 e 2 son llusrées dans la fgure

63 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Sgnaure réelle des modes 1 e 2 du hermosa Quand =3.16s, le résdu du mode 1 es égal à 0 e le résdu du mode 2 es dfférens de 0, ce qu perme l denfcaon du mode couran 1. Quand le défau capeur ϕ( ) se produ à =3.17s, r 1 change de son évoluon normale à =3.18s donc le reard de déecon de défau es de 1s. Il deven dfféren de 0 comme dans la fgure Donc le résdu r 1 es sensble au défau ϕ( ) vor ableau TABLEAU 3.13 IDENTIFICATION DU MODE COURANT EN FONCTIONNEMENT DEFAILLANT POUR L EXEMPLE DE THERMOSTAT résdus S r1 S r2 denfcaon du mode couran e emps déecon de défau 0.29s< <1.82 s 1 0 Mode1 2.09s< <2.52s 0 1 Mode s< <3.17s 1 0 Mode s< <3.45s 0 0 Mode 1 défallan 3.46s< <3.78s 1 0 Mode s < <4.48s 0 1 Mode2 4.74s<<5.74s 1 0 Mode1 =6s 0 1 Mode 2 63

64 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH 3.4 Robusesse à une enrée nconnue affecan la dynamque de l éa Nous cherchons à répondre au problème fondamenal de généraon des résdus r() qu consse à rouver un sysème dynamque (observaeur) el que : 1) r () 0 quand ϕ () = 0 e d () = 0 avec () + ϕ e () défau e le veceur perurbaon, 2) r() n es pas affecé par d() (veceur perurbaon), 3) r() es affecé par ϕ (). d présenen respecvemen le veceur En ulsan un observaeur de Luenberger e d après l équaon (3.37) de la dynamque de l erreur d esmaon nous remarquons qu l n y a pas de possblé de découplage enre les perurbaons e les défaus affecan le sysème, e ( ) r ( ) = = ( A K C ) e( ) + E C e( ) + E y * x d( ) + F ϕ( ) y * d( ) + F ϕ( ) x (3.37) Les observaeurs à enrée nconnue (OEI ou UIO : Unknown Inpu Observer) peuven êre ulsés pour effecuer ce découplage. Ces dernères années, la concepon d observaeur à enrées nconnues a fa l obje de nombreux ravaux, que ce so pour la commande en présence de perurbaons ou pour la généraon de résdus en vue de la déecon de défaus Banc d observaeurs à enrée nconnue pour la généraon de sgnaures de mode Le module «banc d observaeurs pour la généraon de sgnaure de mode» es consué d un banc de M observaeurs à enrée nconnue dans une sraége parallèle (vor fgure 3.22) pour générer M veceurs de résdus e d un bloc d analyse des résdus qu perme d denfer le mode couran. La fgure 3.22 décr la sraége générale d esmaon du mode couran pour un SDH ulsan un banc d'observaeurs à enrée nconnue. Afn de déermner le mode couran, un ensemble de résdus dédés à chaque modèle connu, es consru. En fonconnemen normal (sans défau), seuls les résdus qu corresponden au mode couran doven êre nuls. 64

65 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure 3.22 Idenfcaon du mode couran en ulsan un banc d observaeurs à enrée nconnue La méhodologe de synhèse d observaeurs robuses sera présenée en l absence de perurbaon sur y (). su: Le modèle du mode dans le cas normal e en présence de perurbaons es comme x () = A. x() + B. u() + Ex. d() y () = C. x () n k (3.38) avec x () R le veceur d éa, y () R le veceur de sore, u () R le veceur d enrée, e p d R () le veceur d enrée nconnue. m La marce d éa es A R nn *, la marce d enrée es nm * B R e k* n C R es la n* p marce de sore. La marce de dsrbuon des perurbaons es E R. Supposons que rang( C ) = k e rang( E ) x = p avec k>p Nous proposons d ulser un observaeur à enrée nconnue de la forme : Z () = FZ. () + TBu. () + Ky (), = 1,..., M x ˆ( ) = Z () + H. y () x (3.39) e() = x () x ˆ() e () = ˆ x () x () Ax.() + Bu.() + E.() d Z () + H. y () x Posons K = K 1+ K 2 (3.40) ( ) e () = A H C A K C e () ( F ( A H C A K C )) xˆ () + ( I H C T ) Bu() 1 1 ( K FH ) C y( ) + ( I H C ) E d( ) 2 x (3.41) 65

66 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Un observaeur es un «observaeur à enrée nconnue» s l erreur d esmaon e() end vers zéro asympoquemen, ndépendammen de la présence des enrées nconnues (perurbaons) agssan sur le sysème (robusesse vs-à-vs des enrées nconnues). Nous chosssons les marces F, T, K, comme: ( I HC ) Ex = 0 ( a) T = ( I H C) ( b) F = A H CA K1C sable ( c) K2 = FH ( d) K = K + K ( e) 1 2 Compe enu de ces relaons, l'erreur d'esmaon d'éa se rédu à: (3.42) e () = F e () (3.43) En agssan sur F de elle sore qu elle so Hurwz, e () va endre vers zéro asympoquemen. Le généraeur des résdus es consru comme su : Z () = F. Z() + TB. u() + Ky() (3. 44) r() = CZ() + ( I CH) y() Le résdu r () es robuse aux enrées nconnues s les condons (3.42) son vérfées [Chen e al, 05]. Théorème 3.1 Un observaeur à enrée nconnue exse s e seulemen s: 1) rang( C E ) = rang( E ) pour ou mode, { 1,..., M} x x 2) HC 1 1 = H2C2 =... = HM CM 3) ( C, A1 ) es déecable (Hurwz) avec T 1 T 1 = x ( x) ( x) ( x) A A E CE CE CE CA Preuve 1) Dans l équaon (3.42(a)) ( I HC) Ex = 0 Ex HC Ex = 0 HCE = E x x H exse s e seulemen s rang( CE ) = rang( E ). Cee condon es nécessare pour un sysème connu [Wunnenberg e al, 86]. x x 66

67 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH 2) Afn de garanr la connué de e () (eq. 3.44), l fau que H 1 C 1 = H 2 C 2 =... = HM CM, so vrae car nous avons la connué de Z() e de x() [Chen e al, 05]. 3) e () converge asympoquemen vers zéro s e seulemen s F sable F = A H C A K C = A K C sable Pour garanr la sablé de F, l es nécessare que la pare ( CA 1) so déecable. T 1 T x = x = x ( x ) = x ( x ) ( x ) ( x ) HCE E H E CE E CE CE CE T 1 T 1 = = x ( x) ( x) ( x) A A H C A A E C E C E C E C A avec ( CE ) représene la pseudo nverse de ( ) x CE. Calcul du gan de l observaeur à enrée nconnue x Nous proposons c-dessous un algorhme permean de déermner le gan de l observaeur à enrée nconnue pour un SDH. Soen A, B, C e E x les marces de la représenaon d éa supposées connues pour chaque mode ; 1 M : 1 - S rang( C E ) = rang( E ) e la condon 2 du héorème 1 son vraes aller à 2 snon passer à 9. x x 2 - Calculer H, T, A 1 pour chaque mode : 1 M où: 1 ( ) 1 T H = E x CE x CE x ( CE x) T = I H C A = T A T 3 - Tes de déecablé pour ou mode (1 M) : s (C, A 1 ) es déecable aller à 4 snon aller à Tes d observablé - s (C, A 1 ) es observable alors calculer K 1 en ulsan la méhode de placemen de pôle e aller à 8 67

68 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH - snon (C, A 1 ) es non observable aller à Consrure P afn d obenr cee forme : 1 A Ap = PA 1P = ; Cp C P [ C1 0] A21 A = = Tes de déecablé: - s la pare (C p, A p ) es déecable aller à 7 - snon (A 22 nsable) l observaeur à enrée nconnue n'exse pas, passer à l éape Séleconner n (ordre de A 11 ) valeurs propres souhaables e les assgner à: A 1 Calculer K p avec placemen de pôles, pus calculer 1 : ( Kp ) 2 T es une marce non nulle T T K avec 1 ( 1 ) T ( 2 K ) 1 = P Kp Kp 8 - Calculer F, K avec F = A1 K1C e K = K1+ K2 = K1+ FH pour chaque mode 9 Fn K C 11 p 1 el que Banc d observaeur à enrée nconnue pour la généraon de sgnaure de défaus Le module de généraon de sgnaure de défau perme de déecer e localser la défallance pour les sysèmes MIMO. Les sgnaures de défaus son obenues à l ade d un schéma DOS consué d observaeurs à enrée nconnue. Pour les k défaus de capeurs à déecer e localser, nous ulsons k observaeurs à enrée nconnue els que chacun de ces observaeurs es sensble à une sore. Fgure 3.23 Localsaon des défaus capeur en ulsan un banc d observaeurs à enrée nconnue 68

69 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Le sous sysème MIMO es décr par : x () = Ax () + Bu () + Exd() S : j j j y () = C x() + F yϕ() (3.45) Le généraeur des résdus srucurés es consru comme su : j j j j j j Z () = F. Z () + T B. u() + L y () j j j j j j z () = C Z () + ( I C H ) y () (3.46) j Le résdu z () es robuse aux enrées nconnues s les condons suvanes, son vérfées [Zare e al,11] : Nous chosssons les marces F j, T j, L j comme: j j x ( I H C ) E = 0 (a) j j j T = ( I H C ) (b) j j j j j 1 F = A H C A L C sable j j j 2 = L F H j j j = L L L (c) (d) (e) (3.47) Calcul du gan de l observaeur à enrée nconnue pour la déecon des défaus capeur Soen A, B, C j e E x les marces de la représenaon d éa supposées connues pour chaque mode ; 1 M : 1 - S rang( C j E ) = rang( E ) e la condon 2 du héorème 1 son vraes aller à 2 snon passer x x à Calculer H j,t j,a 1 pour chaque mode ;1 M e 1 j k où: T 1 j j j j T = x x x ( x ) j 1 = T A ( ) H E C E C E C E j j j = T I H C A 3 - Tes de déecablé pour ou mode (1 M): -s (C j, A 1 ) es déecable aller à 4 snon aller à 9 4- Tes d observablé 69

70 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH - s (C j j, A 1 ) es observable alors calculer L 1 en ulsan la méhode de placemen de pôle e aller à 8 - snon (C j, A 1 ) es non observable aller à 5 5- Consrure P afn d obenr cee forme : 1 A11 0 j j 1 j Ap = PA 1P = ; C p C P C 1 0 A21 A = = Tes de déecablé: -s la pare (C j p, A p ) es déecable aller à 7 -snon (A 22 nsable) l observaeur à enrée nconnue n'exse pas, passer à l éape 9 7- Séleconner n (ordre de A 11 ) valeurs propres souhaables e les assgner à: 1 j j 11 LpC 1 A calculer 1 j p j L avec placemen de pôles, pus calculer L 1 : avec T T ( ) ( ) el que 2 j ( Lp ) j 1 1j 2j 1 = p p L P L L T T j j j es une marce non nulle. 8 - Calculer F j, L j avec F = A1 L 1C e L j = L j j j j j 1+ L 2 = L 1+ F H pour chaque mode 9 - Fn Exemple llusraf Prenons le même exemple académque de la secon décr précédemmen. Chaque mode es représené par l équaon (3.38) avec E = [ ] T ; E2 = E3 = E4 = E1 x x x x x Pour applquer l algorhme de calcul de gan de l observaeur pour chaque mode, la condon 1 du héorème es d'abord vérfée rang( C E ) = rang( E ), Ensue, pour calculer les x x marces H, T e A 1 la condon 2 es égalemen vérfée. Nous remarquons que (C, A 1 ) es déecable pour chaque mode. Les marces H, T e A 1 son calculées comme su: H H H H H A A = ; 2 = 3 = 4 = ; 1 T 1 = ; T 2 = T 3 = T 4 = T = ; A = ; ; A = ; = (3.48) Le gan de l observaeur K pour chaque mode es chos en garanssan que la dynamque de 70

71 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH l'observaeur es plus rapde que le sous-sysème lu-même. Nous ulsons alors la méhode de placemen de pôle. K K = , 3 K = , 3 K K = K + K = K + FH = , (3.49) = Les gans de l observaeur pour les quare modes son: K1 = ; K = (3.50) K3 = ; K = L expresson analyque des résdus pour chaque mode es llusrée dans le ableau TABLEAU r () 2 r () EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES RESIDUS r() = { 1,2,3,4} Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 DEFAUT ET D ENTREE INCONNUE Z () = FZ 1. () + TBu 1 1. () + Ky 1 () 1 r1 () = C 2 1Z() + ( I C1H1) C1x() + ( I C1H1) F1y ϕ() r1 () Z () = F2. Z() + T2B2. u() + K2y() 1 r2 () = CZ 2 2 () + ( I CH 2 2) Cx 2 () + ( I CH 2 2) F2yϕ () r2 () Z () = F3. Z() + T3B3. u() + K3y() 1 r3 () = C 2 3Z() + ( I C3H3) C3x() + ( I C3H3) F3yϕ () r3 () Z () = F4. Z() + T4B4. u() + K4y() 1 r4 () = CZ 2 4 () + ( I CH 4 4) Cx 4 () + ( I CH 4 4) F4yϕ () r4 (), F1 y F, 2 y, F3 y, F4 y EN PRESENCE DE 1 0 = = = =

72 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Le sysème a éé smulé pendan 600s. Idenfcaon du mode en présence de perurbaons en ulsan le généraeur de sgnaure du mode Les résdus dans les modes 1, 2, 3 e 4, son présenés dans la fgure 3.24, Nous remarquons d après les expressons analyques des résdus que ces derners (résdus) pour chaque mode son robuses à la perurbaon. D après l évoluon des résdus pour chaque mode, nous pouvons donc denfer le mode couran vor ableau Fgure 3.24 Evoluon des résdus du mode 1, 2, 3 e 4 72

73 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Pour l denfcaon du mode couran nous ulsons la même logque de décson cée précédemmen (eq.3.31). Les seuls son choss afn d denfer correcemen le mode couran vor ableau TABLEAU 3.15 SEUILS DE DETECTION DE DEFAUT CAPTEUR MODE Mode1 Mode2 Mode3 Mode4 Seul S 11 =5* S 21=3*10 S 31=1*10 S 41=1*10 S 12 =2*10-10 S 22 =3*10-6 S 32 =7* S 42 =9*10-11 Fgure 3.25 Evoluon des sgnaures expérmenales des modes 1, 2, 3 e 4 Les sgnaures expérmenales (fgure 3.25) son obenues en ulsan la formule Les sgnaures réelles pour l denfcaon du mode couran son présenées dans le ableau Observaeurs pour la déecon des défaus Nous avons ulsé un même observaeur à enrée nconnue pour les deux composanes de sore e nous avons lu assocé la sore y 1 afn de générer z 1 1 pus la sore y 2 pour calculer z 2 1, pusque pour ous les modes un seul UIO exse qu es pour =1( ndce de mode) e j=2 (j ndce de la composane de sore). TABLEAU 3.16 EXPRESSION ANALYTIQUE DES RESIDUS STRUCTURES Mode ϕ Z() = F1. Z() + T1 B1. u() + L1 ( C1 x() + F1y ()) z1 () = C1 Z() + T1 C1 x() + T1 F1y ϕ() 73

74 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Z () = F1. Z() + T1 B1. u() + L1 ( C1 x()) z1 () = C1 Z() + T1 C1 x() L 0.14 = avec : ; L 1 = L 11+ F 1H1 H = = , 2 5 F1, 2 T = , L = (3.51) Les seuls de déecon de défaus capeurs son : S 1 =S 2 =0.15*10-3 (3.52) Fgure 3.26 Evoluon des résdus srucurés du mode 1 e les seuls de déecons de défau capeur 74

75 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure 3.27 Evoluon des sgnaures de défaus TABLEAU 3.17 IDENTIFICATION DU MODE COURANT EN FONCTIONNEMENT DEFAILLANT Inervalle de emps S ˆq Sr1 Sr2 Sr3 Sr4 Sz 1 1 S ϕ Sz 1 2 Mode couran 0.25s< <1.39s s< <1.81s s< <2.58s s < <3.02s s<<3.64s s < <3.93s s< <4.98s < <5.20s < <5.39s < <6.00s Mode 1 Mode 2 Mode 4 Mode 3 Mode 1 Mode 2 Mode 4 Mode 3 Mode 3 défallan Mode 3 75

76 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Dans la sue de ce chapre e afn de calculer les gans de l observaeur en garanssan un emps mnmum de convergence de l observaeur, e de bonnes propréés de sensblé/robusesse (résdu à la fos sensble aux défaus e robuse aux perurbaons), nous posons un problème d opmsaon basée sur les foncons du Lyapunov. 3.5 Technque de synhèse ulsan une foncon de Lyapunov L équaon de l observaeur d éa es décre par (3.5). La synhèse de l observaeur s effecue afn de garanr la convergence exponenelle de l erreur d esmaon [Hamd, 10], [Peerson,05]: e () λ e μ e (0) (3.53) où λ es une consane e μ es le aux de convergence de l observaeur, l négalé (3.53) ndque que la rapdé de convergence de l observaeur es foncon de μ. L erreur d esmaon vau : e() = x () x ˆ() La dynamque de l erreur d esmaon sans défau es donc la suvane : (3.54) e () = ( A K C ) e () (3.55) Consdérons les foncons canddaes de Lyapunov suvanes: V ( e ( )) = e T ( ) Pe ( ) avec = 1,..., M (3.56) La dynamque de l erreur d esmaon es exponenellemen sable s la condon suvane es vérfée : V ( e ( )) < 2 μ V ( e ( )) (3.57) En dérvan (3.56), nous obenons à parr de (3.57) : T T T e () Pe () + e () Pe () < 2 μ e () P e () (3.58) Pus, en remplaçan e () = ( A K C ) e () dans (3.58): ( A K C ) T P + P( A K C ) + 2μ P < 0 (3.59) T T T A P C Z + PA Z C < 2μ P (3.60) Enfn, afn de rendre les négalés marcelles (3.60) lnéares nous nrodusons une nouvelle varable n k Z R elle que : Z = PK (3.61) T 76

77 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Les gans d observaeurs son alors égaux à : K = ( P) Z (3.62) 1 T Afn de réécrre (3.59) sous la forme d une LMI, nous devons fxer μ. Cec nous perme d obenr des gans K pour chaque mode. En agssan sur la valeur de μ nous pouvons garanr un emps mnmum de convergence de l observaeur de elle sore qu l so rès nféreur au emps de séjour dans chaque mode. Dans la secon 3.5.2, nous donnons une méhodologe du calcul de emps de convergence de l observaeur en foncon du emps de séjour Eude de robusesse e de sensblé Un processus physque es souven soums à des perurbaons (brus, ). Ces perurbaons on des effes ndésrables sur la procédure de déecon de défaus e peuven causer so des fausses alarmes so des non déecons. Pluseurs ravaux on abordé le problème de la sensblé e de la robusesse des généraeurs de résdu pour le cas des sysèmes LTI [Qn e al, 1998]. Il n es pas oujours possble de synhéser un observaeur oalemen robuse aux perurbaons e aux enrées nconnues. Dans ce cas, nous devons chercher à mnmser sur les résdus, l nfluence de la perurbaon ou en maxmsan l nfluence des défaus. Le bu de cee secon es de synhéser un observaeur à la fos robuse par rappor aux enrées nconnues e sensble aux défaus. Consdérons la classe des sysèmes à commuaons présenée au débu de ce chapre, x () = Ax () + Bu () + Exd() + Fxϕ(), x(0) = x0 S : (3.63) y() = C x() + Du () + Eyd() + Fyϕ() Nous proposons, une approche de robusesse, nsprée des ravaux de [Ichalal, 09] e [Belkha, 12] qu ulsen les ouls de la commande robuse à savor la synhèse H. Pour ce fare nous allons consdérer la composane rd () = r () ϕ =. 0 Le prncpe consse à mnmser le ransfer des enrées nconnues d() par rappor aux résdus rd ( ) selon l négalé suvane : γ 2 2 r () d() < 0 (3.64) d 77

78 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH où γ es un scalare posf. Manenan nous allons maxmser la sensblé de l observaeur. Pour ce fare nous allons consdérer la composane r () = r(). L améloraon de la sensblé des résdus = 0 f d consse à maxmser le ransfer du veceur de défaus ϕ par rappor aux résdus r ( ) selon l négalé suvane : f β 2 ϕ 2 r () () > 0 (3.65) f où β es un scalare posf Théorème 3.2 Le sysème eq es localemen asympoquemen sable e sasfa les condons (3.64) e (3.65) s l exse des marces P (symérque e défne posve) e Z = PK elles que les quare conranes suvanes son vérfées : mn γ C C + A P + PA C Z Z C C E + PE Z E T T T T T Ey C + Ex P Ey Z Ey Ey γ ² I T T T T T y x y A P + PA Z C C Z C C PF + Z F + C F T T T T T Fx P + Fy Z + Fy C Fy Fy + β ² I T T T T T x y y 0 < 0 (3.66) (3. 67) Afn d assurer une convergence rapde on ajoue la conrane (3.68) pour garanr un emps mnmum de convergence de l observaeur pour ben déecer le mode acf e déermner l nsan d apparon de défau : T H P + PH + 2μ P < 0 (3.68) β > mn (3.69) où H = A KC e max es une consane ajusée pour garanr la fasablé du problème. Preuve La condon 3.64 peu êre reformulée de la façon suvane : 78

79 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH T d d 0 0 T ( r ( τ ) r ( τ )) d τ γ ² ( d ( τ ) d( τ )) d τ (3.70) Pour pouvor mnmser le ransfer des enrées nconnues d() par rappor aux résdus r () on do répondre au crère J 1 suvan : 1 T d d 0 0. (3.71) T J = ( r ( τ) r ( τ)) dτ γ ² ( d ( τ) d( τ)) dτ 0 d En nrodusan une foncon de Lyapunov V( e ( )) = e T ( ) Pe ( ) 0, P > 0, nous obenons : d d d T T dv( ed( τ )) J1 = ( rd ( τ) rd ( τ) γ ² d ( τ) d( τ) + ) dτ V ( ed( )) (3.72) dτ 0 Sachan V( e ( )) = e T ( ) P e ( ) d d d ϒ T T T * C C + H P + PH C Ey + PE T T x ed ( τ ) J1 = ed ( τ) d ( τ) dτ V( ( )) T * T T ed E ² ( ) 0 y C + Ex P Ey Ey γ I d τ (3.73) S ϒ 0 nous pouvons donc vérfer que J1 0 C C + H P + PH C E + PE ϒ= T T T * y x 0 T * T T Ey C + Ex P Ey Ey γ ² I (3.74) avec H = A KC e * Ex = Ex KEy. De plus avec le changemen de varable Z = PK, la dernère négalé peu êre écre sous la forme donnée par (3.66). La condon 3.65 peu êre reformulée de la façon suvane : T f f > 0 0 T ( r ( τ ) r ( τ )) d τ β ² ( ϕ ( τ ) ϕ ( τ )) d τ (3.75) Pour amélorer la sensblé des résdus aux défaus nous devons alors maxmser le ransfer du veceur de défaus ϕ par rappor aux résdus r ( ) selon le crère suvan: f 2 T f f 0 0. (3.76) T J = ( r ( τ) r ( τ)) dτ β ² ( ϕ ( τ) ϕ( τ)) dτ > 0 79

80 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH En nrodusan une foncon de Lyapunov V( e ) = e T ( ) Pe ( ) 0, P > 0, nous obenons : f f f dv( e f( τ )) T T J2 = ( rf ( τ) rf ( τ) β ² ϕ ( τ) ϕ( τ) ) dτ + V ( ef ( )) (3.77) dτ 0 Sachan V( e ()) = e T () P e () f f f Λ T T T * C C H P PH C Fy PF T T x e f ( τ ) J2 = ef ( τ) ϕ ( τ) dτ + V( ( )) T * T T ef F ² ( ) 0 y C Fx P Fy Fy β I ϕτ (3.78) S Λ> 0 nous pouvons donc vérfer que J 2 > 0. Afn d écrre Λ sous une formulaon LMI, nous pouvons la mulpler par I. C C + H P + PH C F PF T T T * y x 0 T * T T < Fy C Fx P Fy Fy + β ² I (3.79) Avec H = A KC e F = F K F. (3.80) * x x y De plus avec le changemen de varable Z = PK, la dernère négalé peu êre écre sous la forme donnée par (3.67). Nous pouvons donc déermner les gans d observaeurs : K = P Z 1 L dée consse à mnmser γ afn de garanr la robusesse vs-à-vs des enrées nconnues. En conrepare, nous devons enr compe de la conrane (3.67) qu condu à l augmenaon de la sensblé aux défaus e la conrane (3.69) qu ade à la fasablé du problème. Ce héorème nous perme de garanr un bon comproms enre la robusesse vs-àvs des enrées nconnues e la sensblé aux défaus. Exemple llusraf Consdérons l exemple académque don l évoluon connue es décre par l équaon : x () = Ax () + Bu (), x(0) = x0 S : (3.81) y() = Cx() + Eyd() + Fyϕ () 80

81 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH 4 Un bru gaussen de moyenne nulle e de varance 10 es ajoué sur la mesure y1 e une défallance (bas de capeurs) φ 1 se produ dans l nervalle de emps [5.20s 5.31s] Ey = = { 1, 2, 3, 4} 0, Fy = = { 1, 2, 3, 4} 0 1 Pour la mse en œuvre de premer module (banc d observaeurs pour la généraon de sgnaure de modes) nous n ulsons que les conranes (3.66) e (3.67). Nous chosssons μ1 = 20, μ2 = μ4 = 12, μ3 = 15 (3.82) En applquan les conranes (3.66) e (3.67) du héorème de robusesse/sensblé e en fxan les valeurs μ (3.82) nous obenons les gans d observaons (3.84) e les valeurs de γ (3.85). Les modes 2 e 4 son deux sous sysèmes posfs pusque A2 e A4 son deux marces de Mezler. Nous pouvons donc ulser une foncon commune de Lyapunov V 4 (vor annexe B) donc une même marce : P4 = K1 = , K2 K , K = = = (3.83) (3.84) γ = 84.32, γ = 17.86, γ = (3.85) Les 8 résdus son reporés sur la fgure 3.28 : 81

82 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Résdus affecés par un défau capeur e un bru blanc de varance 10-4 Les seuls de déecon son déermnés à parr d un jeu de données en l absence de défaus, pour T =0.1s. Ces seuls son donnés dans le ableau La longueur de la fenêre d négraon T es ajusée afn de rédure les aux de fausses alarmes e de non déecons. Nous consaons que chaque composane des veceurs de résdus r () ne converge vers zéro que lorsque le SDH évolue dans le mode, snon l s élogne de zéro. Après la généraon des résdus, la deuxème éape es l évaluaon de ces résdus afn de déermner leurs sgnaures expérmenales. Nous ulsons la même méhode d évaluaon des résdus pour la déecon du mode couran vor secon Pour nore exemple de smulaon, les seuls de déecon obenus, pour T = 0.1s, son donnés dans le ableau Les seuls de déecon de modes choss e l évoluon des normes L 2 des résdus générés son donnés par la fgure TABLEAU 3.18 SEUILS DE DETECTION DU MODE COURANT MODE Mode1 Mode2 Mode3 Mode4 Seul pour T=0.1s S11=0.08 S12= S21=0.07 S22=0.045 S31=0.042 S32= S41=0.06 S42=

83 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Norme 2 des résdus e les dfférens seuls En ulsan les formules (3.15, 3.16 e 3.17) e en se basan sur un chox judceux des seuls S j nous pouvons alors déecer le mode couran vor ableau Les sgnaures expérmenales des dfférens modes son données dans la fgure (3.30). 83

84 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Sgnaures expérmenales des modes Pour la déecon e la localsaon des défaus capeurs nous ulsons un DOS vor secon La srucure de l observaeur en présence de bru de mesure e de défau capeur es donnée par : j j j j j j e () = ( A L C )() e L Eyd() L Fyϕ () 1,..., e 1,..., j j j j = M j = k z () = C () () () e + E yd + F yϕ (3.86) En applquan le prncpe de superposon, les erreurs d esmaon e () e le résdu j srucuré z () peuven se décomposer en : e() = ed() + ef() j j j z () = z d() + z f() (3.87) Noons e f ( ) = e ( ), e d = 0 d( ) = e ( ) e ϕ = 0 avec j j z d () = z () e ϕ = 0 j j z () = z () f d = 0 j j j j e d () = ( A L C ) ed () L Eyd() j j j z d () = C ed () + E yd() (3.88) e 84

85 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH j j j j e f () = ( A L C ) ef () L F yϕ() (3.89) j j j z f () = C ef () + F yϕ() Le prncpe consse à mnmser le ransfer des enrées nconnues d() par rappor aux j résdus z ( ) selon l négalé suvane : d 2 j 2 2 γ 2 2 j z () d () < 0 (3.90) d j où γ es un scalare posf. Manenan nous allons maxmser la sensblé de l observaeur. Pour ce fare nous j j allons consdérer la composane z () = z (). L améloraon de la sensblé des résdus f d = 0 j consse à maxmser le ransfer du veceur de défaus ϕ par rappor aux résdus z () selon l négalé suvane : f 2 j2 2 β 2 ϕ 2 j z () () > 0 (3.91) f j où β es un scalare posf Théorème 3.3 Le sysème eq es localemen asympoquemen sable e sasfa les condons 3.90 e 3.91 s l exse des marces quare LMI suvanes son vérfées : j P (symérque e défne posve) e Z = PL elles que les j j j Mn j γ C C + A P + P A C Z Z C C E Z E j T j j T j T j T j j E y C E y Z E y E y γ ² I jt j T j j jt jt j j jt j j j y y 0 (3.92) T j j j j jt jt jt j j j jt j A P + P A Z C C Z C C Z Fy + C F y 0 jt jt jt j jt j j < (3. 93) Fy Z + Fy C Fy Fy + β ² I Afn d assurer un emps mnmum de convergence de l observaeur nous ajouons la conrane (3.94) : jt j j j j j H P + P H + 2μ P < 0 (3.94) 85

86 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH j j β > mn (3.95) où mn j es une consane ajusé en foncon de la fasablé du problème. Afn d soler la défallance nous ulsons le deuxème module qu es basé sur un banc d observaeurs pour la généraon des sgnaures de défaus. Il es consué d un banc de deux observaeurs de Luenberger pour chaque mode, chaque observaeur es sensble à une sore. L expresson analyque des résdus srucurés précédemmen présené dans la secon 3.3. j z es llusrée dans le ableau 3.9 Nore objecf es de déermner les marces de gan L j qu assuren la convergence de chaque observaeur en garanssan une robusesse vs-à-vs des perurbaons e une sensblé aux défaus capeur. Pour ce fare, nous ulsons les résulas du héorème 3.3 afn de générer des résdus srucurés. j j En applquan le héorème 3.3 e en fxan mn = 0.01, μ = 15, nous obenons les gans suvans pour la premère composane (j=1) : L1 = , L =, L4 = (3.96) Pour : γ 1 = , γ 3 = , γ 4 = β 1 = 0.574, β 3 = 0.577, β 4 = E pour la deuxème composane (j=2) nous obenons les gans suvans : L1 = , L =, L4 = Pour : γ 1 = , γ 3 = , γ 4 = β 1 = 0.309, β 3 = 0.299, β 4 = L évoluon des résdus srucurés es présenée dans la fgure (3.97) 86

87 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Evoluon des résdus srucurés sensble au défau capeur Une fos que les résdus son générés, l éape suvane es d applquer la méhode d évaluaon basée sur la norme des résdus, qu consse à comparer la norme du sgnal du résdu srucuré z j (), aux seuls choss (ableau 3.19). Les sgnaures expérmenales son 2, T obenues en ulsan l expresson 3.23 de la secon 3.2. La norme 2 des résdus srucurés e les sgnaures expérmenales son présenées respecvemen dans la fgure 3.32 e la fgure TABLEAU 3.19 SEUILS DE DETECTION DU DEFAUT CAPTEUR MODE Mode1 Mode2 Mode3 Mode4 Seul pour T=10s S11=0.09 S12=0.1 S21=0.09 S22=0.1 S31=0.1 S32=0.1 S41=0.09 S42=0.1 87

88 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Evoluon des normes 2 des résdus srucurés e les dfférens seuls de déecon de défau capeur 88

89 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Fgure Evoluon des sgnaures expérmenales des résdus srucurés Les résulas de l denfcaon du mode couran e de déecon de défau capeur obenu sur un nervalle de smulaon de 6s, son donnés dans le ableau (Tableau 3.20). 89

90 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH TABLEAU 3.20 IDENTIFICATION DU MODE COURANT EN FONCTIONNEMENT DEFAILLANT Inervalle de emps Sgnaures du mode S ˆq Mode couran sr1 sr2 sr3 sr4 sz11 sz12 Sgnaures de défaus sz21 sz22 S ϕ sz31 sz32 sz41 sz42 Mode couran e déecon de défau Mode1 00 Mode1 n ???? ????? Mode Mode2 n ???? ????? mode4 00 Mode4 n ???? ????? mode3 00 Mode3 n ???? ????? Mode1 00 Mode1 n ???? ????? Mode2 00 Mode2 n ???? ????? Mode4 00 Mode4 n ???? ????? s Mode3 00 Mode3 n ???? Mode3 défallan ???? ????? Mode3 0 0 Mode3 n Nous remarquons que le calcul des gans d observaons en ulsan le héorème 3.2 es plus pernen que la premère méhode qu ulse le placemen de pôle. En effe pour la premère méhode, le reard de déecon de défau capeur éa de 0.03s par conre pour cee deuxème méhode le reard es de 0.01s. Le deuxème consa concerne le emps de convergence de l observaeurs qu es plus cour en ulsan la deuxème méhode ce qu a un effe non néglgeable sur la déermnaon du mode couran (vor fgure 3.34). 90

91 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH (a) Sgnaure de mode par placemen de pôle (b) sgnaure de mode par robusesse/sensblé Fgure Eude comparave des sgnaures de modes générées par la méhode de placemen de pôle e Robusesse/Sensblé Temps de convergence de l observaeur Théorème 3.4 [Geromel e al, 06] On suppose que, pour τ>0, l exse une collecon de marces défnes posves e symérques {P 1,, P M }de dmensons compables elles que : T A P + PA < 0, = 1,..., M (3.98) T A τ A τ e Pe j P < 0, j = 1,..., M Alors le sysème à commuaon es exponenellemen sable pour un emps mnmum de séjour enre deux commuaons successves supéreur ou égal à τ ( k 1 + k τ ). Ce héorème nous perme de proposer le lemme suvan: Lemme 3.1 Afn de calculer le emps de convergence de l observaeur nous pouvons remplacer A par H = A KCdans l négalé L erreur d esmaon converge de manère exponenelle avec un emps de séjour mnmalτ obs j el que: T HP + PH < 0, = 1,..., M T H τ obs j H τ e Pe obs j (3.99) j P< 0, j= 1,..., M avec H = A KC (3.100) 91

92 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Le erme "exponenelle" produ une BMI (Blnear Marx Inequaly) qu es plus dffcle à résoudre que les LMIs. Exemple de smulaon Calcul de Temps de convergence de l observaeur ulsan la méhode de placemen de pôle secon 3.2 Pour déermnerτ obs j, nous procédons de la manère suvane: calculer les gans de l observaeur en ulsan la méhode de placemen de pôle (vor secon 3.2). la valeur de τ obs j reformulaon LMI es fxé à une valeur enranan la fasablé srce de la Afn de déermner le emps de convergence de l observaeur en ulsan l négalé 3.99, nous remplaçons les K (3.101) obenus vor secon 3.2 dans l négalé (3.99) K1 = , K = K3 = , K = Ensue, nous fxonsτ obs j 92 (3.101) de elle sore que cee valeur enrane la fasablé srce de la reformulaon LMI (3.99). Nous obenons les résulas suvans : τ obs 12 = 0.2s, τ obs 24 = 0.5s, τ obs 43 = 0.5s (3.102) Donc pour que l observaeur converge avan la commuaon: - du mode 1 vers le mode 2, l fau avor un emps de séjour du mode 1 supéreur à τ obs du mode 2 vers le mode 4, l fau avor un emps de séjour du mode 2 supéreur à τ obs du mode 4 vers le mode 3, l fau avor un emps de séjour du mode 4 supéreur àτ obs 43. Calcul de emps de convergence de l observaeur ulsan la méhode de robusesse/sensblé secon 3.5 Afn de déermnerτ obs j nous calculons les gans de l observaeur en ulsan la méhode de robusesse/sensblé (héorème 3.2) e nous fxons la valeur de τ obs j la fasablé srce de la reformulaon LMI à une valeur enranan

93 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH Pour déermner le emps de convergence de l observaeur, nous subsuons les gans d observaeur (3.103) dans l négalé (3.99) K1 = , K2 = K4 = , K3 = (3.103) Ensue, nous fxonsτ obs j de elle sore que cee valeur enrane la fasablé srce de la reformulaon LMI (3.99). Nous obenons alors les résulas suvans : τ obs 12 = 0.1s ; τ obs 24 = 0.3s, τ obs 43 = 0.3s (3.104) Après comparason nous consaons que le emps de convergence de l observaeur obenu en ulsan le héorème 3.2 (les LMI) es nféreur au emps de convergence de l observaeur ulsan la méhode de placemen de pôle. 3.6 Concluson Dans ce chapre, nous avons proposé une méhodologe de survellance par observaeur hybrde ulsan deux modules d'observaons : un module d observaon pour la généraon de sgnaure de mode afn d denfer le mode couran e l aure module pour déecer e localser les défaus capeur. Le premer module es composé d un banc d observaeurs pour chaque mode afn de générer un veceur de résdus. Dans un cas réel, les sysèmes peuven êre perurbés par des brus de sysème. De plus, les paramères des modèles ne son pas parfaemen connus. Nous ulsons donc une méhode d évaluaon basée sur la norme des résdus qu nous perme de déecer le mode acf en présence des brus de mesures e ncerudes paramérques. Le deuxème module es synhésé auour d un schéma DOS afn de générer un veceur des résdus srucurés pour pouvor localser les défaus capeurs. Pour le dmensonnemen de l observaeur hybrde (calcul des gans d observaons) nous avons ulsé la méhode de placemen de pôle classque. Pusque le découplage parfa n es pas possble, dans le bu de garanr un comproms enre les deux qualés requses dans un généraeur de résdus, à savor la robusesse vs-à-vs des enrées nconnues e la sensblé aux défaus, nous avons posé un problème d opmsaon qu abou à une formulaon LMI. Nous avons remarqué la pernence de cee dernère par rappor à la méhode de placemen de pôle classque, en ce qu concerne le emps de convergence de l observaeur e le emps de déecon d'un défau capeur. 93

94 Chapre 3 : Synhèse d observaeurs pour la survellance des SDH La survellance du SDH peu ans êre réalsée. La déecon des ransons suppose l ulsaon de l ensemble des résdus des modes successeurs normaux e anormaux. Ans le nombre des résdus calculés peu êre consdérable. Pour cela, nous proposons dans le chapre suvan un concep basé sur les graphes de comporemen afn de hérarchser la survellance. 94

95 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Chapre 4 Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Inroducon La dscernablé enre modes de fonconnemen es une propréé essenelle lorsqu on aborde la survellance des sysèmes dynamques hybrdes. Cee propréé caracérse le fa que 2 modes, don les comporemens son régs par 2 modèles connus (ou dscrésés), soums aux mêmes enrées, produsen des sores dfférenes. Ans, dans le cas où ous les modes d un SDH son dscernables, le mode couran pourra êre denfé de manère unque à l ade des sores mesurées. Les résdus éan des ndcaeurs de comporemens, ls permeen de caracérser la dscernablé. Dans ce chapre, nous proposons une condon nécessare e suffsane permean de savor s deux modes son dscernables. Comme nous l avons vu dans le chapre précéden, le prncpe de la survellance d un SDH (déecon de défaus connus e dscres) repose sur un ensemble (ou veceur) de résdus qu possèden de bonnes propréés de robusesse aux ncerudes e de sensblé aux défaus. La sgnaure réelle obenue es comparée aux sgnaures héorques qu caracérsen chaque mode e chaque défau connu. S on consdère que le sysème peu se rouver dans n mpore quel mode de fonconnemen, ous les résdus doven êre calculés à chaque nsan. Le nombre de résdus à calculer peu dans ce cas êre rès mporan. Les SDH que nous consdérons évoluen d un mode à l aure sue à un événemen conrôlé ou sponané. Seuls cerans modes son des successeurs du mode couran, les rajecores dscrèes poenelles son donc en nombre lmé. Afn de rédure le emps de calcul de l ensemble des résdus nous proposons une méhodologe de survellance basée sur des graphes de comporemen qu caracérsen les modes accessbles (successeurs poenels) à chaque nsan. Deux graphes son ulsés : le GCN (Graphe de Comporemen Normal) e le GCD (Graphe de Comporemen Défallan). Le GCN es ulsé comme référence de bon comporemen dscre (événemenel) du sysème. Ce graphe sera ulsé pour la déecon des défaus dscres. Le GCD caracérse les modes accessbles lorsqu un défau dscre se produ. Ces graphes permeen de caracérser les défallances déecées. Les GCN e GCD peuven êre smplfés en consdéran la dscernablé. 95

96 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen 4.1 Noon de (non) dscernablé Défnons de la non dscernablé enre modes Défnon 4.1 [Cocquempo e al, 05]: Deux modes e j son non localemen dscernables s e seulemen s les sgnaux réels (u r (), y r ()), prélevés en lgne sur le sysème, peuven provenr ndfféremmen du mode ou du mode j. On d auss que le couple (u r (),y r ()) es conssan avec les deux modèles d éas défnssan les modes e j. Les deux modes e j son non localemen dscernables à parr des résdus r e r j s e seulemen s, r e r j son denquemen nuls lorsque : - les veceurs y e u son remplacés respecvemen par l expresson de y j e u j dans l expresson de r, - les veceurs y j e u j son remplacés respecvemen par l expresson de y e u dans l expresson de r j. Défnon 4.2 [Vdal e al, 02] : On d que deux éas { } dscernables dans l nervalle [, T] + s les sores respecves{ } 0 0 x, 0 q e {, j0 j} y e { y j } x q son non son égales. q e q j représenen respecvemen le mode couran e son successeur. Défnon 4.3 [H Lou e al, 09] : Les modes e j son ds dscernables en [0,T] s pour ou n n 1 m ( x0, xj0, u(.)) R R L(0, T, R ), [0,T]. les sores y (.) e y j (.) ne peuven pas êre denques en Vérfcaon de la non dscernablé des modes Dans cee pare en paran des défnons de la dscernablé [H Lou e al, 09], [Vdal e al, 02] e des résulas élaborés par [Cocquempo e al, 05], nous proposons un lemme donnan la condon nécessare de dscernablé enre deux modes lnéares. 96

97 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Lemme 4.1 Deux modes e j, décrs par des modèles d éa (A, B, C, D ) e (A j, B j, C j, D j ), de même ordre n = n j =n son non dscernables s: rang( OBSj ) = rang( OBSj COM j ) avec C D 0 0 CA CB D 0 0 =, = 0 0 N N 1 N 2 CA CA B CA B CB D 2 OBSj CA COM j CAB CB D où N= n 1 (n ordre de A e A j ) e A 0 B A =, B, 0 A = j B j C = C C, D = D D Preuve : So un sysème à commuaons décr par les marces el que : x () = Ax () +Bu () S : y() = Cx() +Du () n m k x () R, u () R e y () R A R, B R, C R, D R n n n m k n k m j j A, B, C e D : Les sores des modes e j son données respecvemen par (4.3) e (4.4) : A A( s) () = 0 + ( ) + (); 0 (4.1) (4.2) y Ce x C e Bu s ds Du (4.3) A j Aj( s) j = j j0 + j j + j 0 y () C e x C e Bu() s ds Du(); (4.4) On monre faclemen que l on a : A A( s) () y() yj() Ce x0 C e Bu() s ds Du(); 0 ϒ = + + (4.5) avec A 0 B A =, B, C C C j, D D D j 0 A = = = j B j (4.6) e x 0 es l éa nal connu (nconnu). 97

98 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Deux modes ayan la même commande u() son non dscernables s : y () y () j Cec mplque que oues les dérvées successves de ϒ() à =0 son denquemen nulles, e donc : ϒ () k (0) = 0, k = 0,1,2..., N (4.7) Le calcul de ces dérvées condu à l expresson (4.8) : T (0) T (1) T ( N) T T 0 (0)... (0) 0, MN x u u u = (4.8) C D 0 0 CA CB D avec M N = CA CAB CB D 0 0 N N 1 N 2 CA CA B CA B CB D so encore C C j D Dj CA CA j j CB CB j j D D j M j j j j j j j j 0 N = CA CA CAB CAB CB CB D D D Dj N N N 1 N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 CA CA B CA j j Bj CA B CA j j Bj CA B CA j j Bj... CB D CA j j CB j j D j Donc l équaon 4.7 peu s écrre sous cee forme ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) j j 0 j (4.9) ϒ (0) = y (0) y (0) = OBS ( C, A, k) x + COM ( A, B, C, D, k) u (0) = 0 (4.10) Nous pouvons donc écrre le sysème (4.10) sous la forme suvane : Ax= b (4.11) avec : A = OBSj ( C, A, k) es la marce des coeffcens, x = x 0 es le veceur nconnu e b= COM A B C D k u es le veceur des consanes (connu). ( k ) j (,,,, ) (0) OBS C A k x = COM A B C D k u (4.12) ( k ) j (,, ) 0 j (,,,, ) (0) Donc le sysème (4.12) es compable (vor annexe C) s e seulemen s : [ ] rang( A) = rang( A b ) 98

99 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen c'es-à-dre rang( OBSj ) = rang( OBSj COM j ) (4.13) C D 0 0 CA CB D 0 0 avec : 2 OBSj = CA, COM j = CAB CB D 0 0 N N 1 N 2 CA CA B CA B CB D k = 0,1,2..., N (4.14) donc deux modes e j son non dscernables s la condon de rang suvane es vérfée: rang( OBSj ) = rang( OBSj COM j ) (4.15) 4.2 Graphes des comporemens Pour cerans sysèmes hybrdes, le nombre de modes es mporan, l n es pas envsageable de calculer à chaque nsan les résdus pour ous les modes aegnables du sysème (c'es-à-dre ceux de l auomae comple du sysème). Cec enraînera un nombre consdérable de calculs à réalser en lgne. Le emps de calcul de l ensemble des résdus sera alors mporan, ce qu dmnuera l effcacé de la survellance en augmenan en même emps les délas de déecon. La méhodologe de survellance par les graphes de comporemen perme de rédure le nombre de résdus calculés à chaque nsan en se lman à ceux unquemen nécessares Graphe de Comporemen Normal (GCN) Pour un mode d exploaon donné e une commande (connue e dscrèe) donnée, chaque comporemen normal (non défallan) poenel, paran d une condon nale, peu êre représené par un graphe. Ces graphes, consués de places e d arcs orenés son ssus de l auomae comple. Ils permeen de prévor les évoluons fuures du sysème commandé à parr d un éa hybrde nal correspondan à un mode. Chaque graphe sera appelé de ce fa, graphe de comporemen normal assocé au mode e noé GCN(). Un GCN() (fgure 4.2) sera consué de la place nale consdérée, de l ensemble de ses successeurs drecs aegnables en fonconnemen normal e de l ensemble des arcs orenés équeés par les ransons sponanées e/ou conrôlées lan la place nal aux dfférens successeurs. Ce ensemble de successeurs ds successeurs normaux n es en général pas consué d un seul élémen mas dépend [Cocquempo e al, 05]: de la commande dscrèe, 99

100 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen des acons de l ulsaeur (commande manuelle), de l évoluon de l éa connu dans le mode nal, de l évoluon passée du sysème (dynamque dscrèe). Un graphe de comporemen Normal peu êre présené sous la forme suvane : - Q Qpo Qsucc = avec Q { q; M} { } succ jsucc ; po QT, = où q représene le mode poenel ou acf e Q = q j M es l ensemble des successeurs du mode aegnables dans un mode d exploaon donné. = = avec S S σ { σ j } S f T Tj σ σ j : = défn la ranson sponanée du mode acf vers le mode S 0 σ j ( q, x, ) = ( qj, xj ), q Q e qj Qsucc σ = où ej f 0 j ( q, e j ) ( qj, xj ) E Exemple d llusraon e f f σ { σ j } es un événemen exerne. = es la ranson forcée : Consdérons l auomae hybrde comple llusré dans la fgure 4.1. Ce auomae conen 5 modes, j, k, l e m où m es un mode non aegnable dans un mode d exploaon donné. Les graphes de comporemen normaux son llusrés sur la fgure 4.2. Fgure 4. 1 Auomae hybrde comple L analyse d aegnablé consse à déermner s l exse une régon de l espace d éa de nale permean d aendre une régon donnée de l espace d éa [Gao, 01]. 100

101 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Fgure 4. 2 GCN() Les résdus r, r j, r k e r l assocés respecvemen aux modes, j, k e l son ulsés pour surveller le sysème. Les approches classques de survellance conssen à calculer ous les résdus à chaque nsan. Les calculs peuven êre rédus en consdéran le GCN du mode couran. Les GCN ndquen quels résdus doven êre calculés à chaque nsan (ableau 4.1). TABLEAU 4.1 LES RESIDUS CALCULES EN LIGNE Mode couran Résdus calculés en lgne r, r j, r k j r j, r l k r k, r l l r, r l Dans des condons de dscernablé enre les modes, le calcul de l ensemble de ces résdus es suffsan pour déecer l'occurrence d'un défau connu ou dscre. Dans cee méhodologe au leu de calculer ous les résdus du sysème (comme dans le chapre 3), nous calculons seulemen les résdus du GCN. Le GCN() es la référence de l évoluon dscrèe normale an que le sysème rese dans le mode. S une ranson vers un mode successeur j GCN( ) se produ, le graphe de référence consdéré sera alors le GCN(j) Graphe des Comporemens Défallans (GCD) L objecf de la survellance n es pas unquemen la déecon des défallances, mas auss la localsaon e l denfcaon de l élémen défallan. Il es alors nécessare de dsposer d un modèle de comporemen défallan comme en connu. Nous avons vu dans le chapre 1 que les défallances peuven avor des effes sur les conranes égalé dans un mode donné ou sur l évoluon (ou la non évoluon) de l éa dscre. Un modèle de comporemen défallan do enr compe de l ensemble de ces effes poenels. 101

102 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Les équaons d éa connues elles qu elles on éé défnes précédemmen dans le modèle formel du sysème, nègren ceranes défallances par l nermédare du veceur d enrées généralsées. Afn de enr compe des défallances enraînan une évoluon dscrèe anormale, les graphes de comporemen peuven êre éendus aux comporemens défallans. On parlera alors de graphe de comporemen défallan: GCD(). Cerans modes successeurs du GCD() corresponden aux modes successeurs du GCN() assocés au mode. En effe, ceranes défallances enraînen la non évoluon de l éa dscre ou l évoluon "anormale" vers un successeur poenel en fonconnemen normal. Par conre, les GCD() son compléés en enan compe de ous les chemns présens dans l auomae hybrde comple (modèle exhausf) du sysème, obenu en consdéran oues les modalés de l éa dscre e du mode d exploaon. Comme l es mpossble a pror de consdérer oues les suaons de défau possbles, un mode qualfé de mode nconnu es ajoué. Les événemens (ransons) consdérés dans le GCD() son des événemens sponanés correspondan aux défaus déecables. Les ransons vers les successeurs du GCD(), son équeées par les défaus Φ ( ) qu forcen les ransons du mode vers des Fr successeurs normaux ou anormaux (vor fgure 4.3). La non ranson es représenée dans le GCD() par un arc bouclan sur le mode. Ce arc es équeé par les défaus qu provoquen une non ranson du mode, e les défaus don l nfluence es consaée sur les conranes égalé du mode so l ensemble Φ () (défaus déecables). La ranson vers le mode nconnu es équeée par Φ antr (ranson anormale). Cee ranson correspond à oues les évoluons non envsagées du sysème e aux défallances non consdérées dans le caher des charges (défaus non déecables). Un graphe de comporemen défallan peu êre présené sous la forme suvane : Q= Q ( Q Q Q ) avec : - po nor _ succ anor _ succ nconnu - Q { q; M} po = où - Qnor _ succ { qj nor _ succ; j M} - Qanor _ succ { qj anor _ succ; j M} - Qnconnu { q ; j nconnu j M} 102 QT, q représene le mode poenel ou acf, = es l ensemble des successeurs normaux du mode, = es l ensemble des successeurs anormaux du mode poenel, = présene l ensemble des modes successeurs nconnus du mode poenel, on les noe par «?». T = Tj T ; T j =ΦFr Φ antr e T = Φ () =ΦCE ΦNr avec :

103 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen - Φ Fr la ranson forcée, - Φ antr la ranson anormale vers un mode nconnu «?», - T défn la ranson bouclan sur le mode, - ΦCE défau connu affecan les conranes égalé du mode, - Φ Nr défau dscre de non ranson. Les GCD de profondeur supéreure à 1 peuven égalemen êre conçus. Ces graphes permeen : - de représener ce que sera l nfluence des défallances sur la dynamque dscrèe fuure, - de consdérer des séquences de défaus (successon de défallances) qu peuven avor leu. Les GCD() de profondeur supéreure à 1 présenen ans les défaus canddas du mode e oues les rajecores du sysème en présence de ces défaus. Fgure4. 3 GCD() Le graphe de comporemen défallan de l exemple précéden (vor fgure 4.1) es présené dans la fgure 4.4. Fgure 4. 4 Les GCD des modes, j k e l 103

104 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Des propréés srucurelles (dscernablé) peuven êre ajouées pour permere de déermner sans ambguïé le mode en cours ans que le composan défallan. Pour cela, la noon de dscernablé sera consdérée afn de garanr que les modes soen denfables. Dans la secon précédene, nous avons défn la noon de dscernablé enre les modes, e nous avons proposé une condon nécessare e suffsane pour que deux modes soen dscernables en fonconnemen normal. La noon de non dscernablé perme de caracérser d aures propréés srucurelles du sysème comme par exemple l observablé e la smlaré. Nous nous néressons parculèremen à la propréé de smlaré des modes afn de rédure le nombre de modes consuan les GCN e les GCD. 4.3 Smlaré e réducon de graphes A parr de la dscernablé, nous caracérsons la smlaré de deux modes dans l objecf de smplfer les graphes de comporemens. Nous drons qu un événemen es D-observable quand son occurrence peu êre déecée à parr des seules nformaons dscrèes (commandes, mesures). Les événemens non D-observables résulen de condons de ransons qu ne peuven pas êre vérfées à parr unquemen de capeurs dscres. Dans le conexe des SDH, la dynamque connue fourn des nformaons supplémenares sur le mode couran e les changemens de modes. Ans un événemen non D-observable peu êre déecé en consdéran l évoluon connue (conranes égalés). Ce événemen deven alors observable [Mezyan, 05] A parr des noons de dscernablé e de D-observablé, la smlaré de deux modes peu défne de la manère suvane. Défnon 4.4 Deux modes e j non dscernables, ayan les mêmes nvarans, avec j es successeur de, e don l arc qu rele j e es équeé par des événemens non D- observables, son smlares [Mezyan, 05]. Deux modes smlares e j peuven êre regroupés pusqu ls conennen les mêmes nformaons d un pon de vue de la rajecore hybrde du sysème. Ce regroupemen s effecue de la manère suvane : - les modes e j seron regroupés en un mode résulan j. - l éa dscre assocé au mode.j es défn par l unon des deux éas dscres des modes e j prs séparémen. - les conranes égalé du mode.j son celles du mode ou ndfféremmen du mode j. 104

105 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen - un arc équeé par l unon des événemens équean les ransons relan e j e bouclan sur le mode.j es ajoué. Exemple Consdérons l exemple d un GCN de profondeur p>1fgure 4.5(a) don les modes 5 e 6 son non dscernables, successeurs du mode 4 e les événemensσ 56, σ 45 e σ 46 son non D- observables. Le regroupemen des modes 5 e 6 perme d obenr le graphe de comporemen pour lequel les événemens σ 56 ( σ45 σ46) son réuns sur le même arc bouclan sur le mode regroupés (5.6) fgure 4.5(b). L éa dscre assocé à ce mode résulan (5.6) es défn par l unon des deux éas dscres des modes prs séparémen. Les conranes égalés e les nvarans du mode 5.6 corresponden à ceux du mode 5 ou du mode 6. Les séquences ( ), ( ), ( ), ( ) données par le GCN corresponden à des comporemens normaux. Tou écar correspond à une défallance. Par exemple une ranson de 5 à 8. La survellance ulsan le graphe de la fgure 4.5(b), ne nous perme pas de consaer la défallance qu force la ranson du mode 5 au mode 8 (respecvemen la défallance qu force la ranson du mode 6 au mode 7). Dans ce cas on rsque des non déecons. Par conre, l ulsaon du GCN de la fgure4.5(a) perme de consaer cee défallance en consdéran la séquence (respecvemen la séquence ). Profondeur =1 Profondeur =2 Profondeur =3 Profondeur =4 (a) (b) Fgure4. 5 Cas des modes smlares non groupables 105

106 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Le regroupemen des modes 5 e 6 peu cependan fare perdre des nformaons mporanes pour le dagnosc. Nous donnons dans la secon une redéfnon de la smlaré en se basan sur la défnon 4.4 e en ajouan une hypohèse rès mporane. Formalsaon de la smlaré enre modes Défnon 4. 5 Deux modes e j non dscernables, ayan les mêmes nvarans, avec j es successeur de, e don l arc qu rele j e es équeé par des événemens non D-observables e ayan les deux le même successeur e le même prédécesseur son smlares [Takroun e al, 11]. Deux modes smlares e j peuven êre regroupés selon la fgure 4.6. Fgure4. 6 Auomae rédu avec modes e j smlares 106

107 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Exemple llusraf Nous consdérons le sysème hybrde décr par la fgure 4.7. Fgure4. 7 Descrpon du sysème hybrde (auomae exhausf) L évoluon connue du mode es décre par: x () = Ax () + Bu () y () = Cx () + Du () Avec: (4.16) A1 = ; A = A3 = ; ; A = A = B = 1; 4 1; B = C = e D = Les événemens conrôlés consdérés dans ce exemple son e 1, e 2 e e 3 (commande auomaque ou manuelle). La ranson d un mode à un aure mode es due à la présence (ou absence) de ces événemens exernes e de la valeur de l éa non observable x 3. Les évènemens sponanés (( x3= 1),( x3= 0.8),( x3= 0.8),... ) son non D-observable. L événemen e 3 es généré s x 3 > 1. L'événemen( x 3 = 1) qu les rele n'es pas un événemen D-observable. 107

108 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Consdérons le mode d'exploaon suvan: x0 = [0 0 0] e q0 = q1, Supposons que seul l'événemen commandé e 2 se produ (e 1 e e 3 ne se produsen pas dans le fonconnemen normal). Dans ce cas, le mode 5 n'es pas aegnable. T Fgure 4. 8 Auomae rédu dans le mode d exploaon chos Calculons ans les marces de commandablé e d observablé afn d éuder la dscernablé des dfférens modes. C C2 C OBS 24= CA C 2A 2 C 4A 4, COM 24 CB 0 0 C 2B 2 C 4B = = =, CA CA 2 2 CA 4 4 CAB CB 0 CAB CAB CB 2 2 CB Alors : [ ] [ ] [ ] rang( OBS ) = 2 = rang( OBS COM ) = rang( OBS COM = Les modes 2 e 4 son non dscernables. Vérfcaon de dscernablé pour les modes 1e 2 : C C1 C OBS 12 = CA C 1A 1 C 2A 2, COM 12 CB 0 0 C 1B 1 C 2B = = =, CA CA 1 1 CA 2 2 CAB CB 0 CAB CAB CB 1 1 CB [ 12 ] = [ COM ] rang( OBS ) 4 rang( [ OBS12 ]) rang( [ OBS12 COM12 ]) rang( OBS ) = Les modes 1 e 2 son dscernables. En vérfan la condon de la dscernablé nous pouvons conclure que les modes 2 e 4 son non dscernables (vor annexe A). L'événemen ( x 3 = 1) qu les rele n'es pas un événemen D-observable. De plus les modes 2 e 4 on le même successeur 3 e le même 108

109 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen prédécesseur 1. L évènemen e 2 qu rele 1 e 4 es observable, de plus le même événemen observable rele 2 e 3 donc d après la propréé de groupemen des modes smlares nous ne pouvons pas grouper les modes 2 e 4 en un seul mode. Les fgures 4.9 e 4.10 représenen le GCN e le GCD pour chaque mode poenel. Fgure 4. 9 Les GCN() Le mode 5 n apparaî pas dans le GCN car l es non aegnable en fonconnemen normal, mas l exse dans le GCD pusqu'l pourra correspondre à un comporemen défallan. Les événemens consdérés dans le GCD corresponden aux défaus dans chaque mode 1,2, 3 e 4. TABLEAU 4.2 RESIDUS CALCULES EN LIGNE POUR LES GCNS DE L EXEMPLE ACADEMIQUE Mode couran Résdus calculés en lgne 1 r 1, r 2 e r 4 2 r 2, r 4 e r 3 4 r 4, r 2 e r 3 3 r 3 e r 1 109

110 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Fgure Les GCD() pour chaque mode poenel 1,2,4 e Sraége de survellance des SDH ulsan les graphes de comporemen La survellance ulsan les graphes de comporemens compore 3 éapes : 1 ére éape Elle consse à denfer le mode couran en ulsan les nformaons connues (calcul de résdus) e dscrèes (éa dscre mesuré par les capeurs dscres). 2 éme éape Elle consse en la survellance du comporemen connu dans le mode denfé : vérfcaon de la cohérence des conranes égalés. 3 éme éape Elle consse à surveller le comporemen dscre : cohérence du mode denfé e des événemens conrôlés ou sponanés déecés grâce aux nformaons connues e dscrèes avec celles du GCN e GCD. La fgure 4.11 présene le synopque de survellance ulsan les graphes. Deux quanés son calculées : les résdus srucurés e les condons de gardes. 110

111 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Fgure4. 11 Synopque de la survellance ulsan les graphes de comporemens Algorhme de survellance Nous supposons que le mode nal es connu, que ous les modes son dscernables e que le sysème es non défallan. S le mode couran es nconnu, l fau calculer ous les résdus pour l ensemble des modes. L algorhme compore deux scénaros : - so le sysème rese dans le mode. - so le sysème que le mode. Scénaro 1 : Lorsque le sysème rese dans le mode, on cherche la cohérence des nformaons connues e dscrèes avec l éa dscre du mode e les conranes égalé e négalé de ce mode. L denfcaon du mode couran par les résdus consue le pon de dépar. Par la sue l denfcaon es confrmée ou nfrmée par les données ssues des capeurs dscres e les nformaons dsponbles sur les ransons (occurrence d événemen). 111

112 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Dans le cas où le mode denfé n es pas cohéren avec les nformaons ssues des capeurs dscres, l y a deux hypohèses : - so le capeur dscre es défallan, - so le sysème es manenu avec la dynamque du mode alors que son éa dscre a changé e dans ce cas c es une défallance de ype non ranson. Scénaro 2 : Le sysème que le mode. Dans ce cas, afn d denfer le mode d arrvée l es nécessare d ulser les nformaons connues e dscrèes. Cee évoluon dscrèe du sysème do alors êre caracérsée e nerpréée, so l évoluon correspond à une évoluon normale décre par le GCN(), so elle correspond à une évoluon anormale décre par le GCD(). Il fau eser les résdus des modes successeurs apparenan au GCN() afn de décder dans quel mode le sysème évolue, ros cas se présenen : - premer cas, supposons que le mode j GCN( ) es acf c'es-à-dre que r j ()=0 dans ce cas nous devons eser la ranson du mode vers j s l y a occurrence d un événemen conrôlé e j ou d une ranson sponané s j pour calculer ce derner vor secon chapre 3 comme résula de décson, pas de défau e le mode couran es j. Manenan s l événemen (sponané ou conrôlé) s j ou e j ne s es pas produ e le mode j es denfé (r j ()=0) alors dans ce cas une ranson anormale (ranson forcée) affece le sysème. - deuxème cas, r j () 0 oú j GCN() dans ce cas nous devons calculer les résdus r l () oú l GCN() e l GCD( ), s r l () =0 alors le sysème es alors affecé par un défau de ype ranson forcée. - rosème cas, s r l () 0 oú l GCN( ) e l GCD( ) dans ce cas nous décdons que le sysème a qué le mode vers un mode nconnu «?» le sysème es alors affecé par un défau de ype ranson anormale Ф antr vers un successeur nconnu. 4.5 Applcaons des graphes de comporemen Descrpon du sysème à deux réservors Le sysème consdéré se compose de deux réservors (vor fgure 4.12) R 1 e R 2 de secon denque S e d une pompe P qu fourn un déb d eau au réservor R 1. Le sysème es composé égalemen de quare condues cylndrques C 1, C 2, C 3 e C 4 de secons S ( = 1, 2, 3 e 4). Les réservors son relés par les condues C 2 e C 3 placées respecvemen aux nveaux b = 0cm e h = 0.5cm. Les condues C 1 e C 4 munes des vannes V 1 e V 4 permeen respecvemen de prélever le lqude de R 1 e R

113 Chapre 4 : Dscernablé, smlaré e graphes de comporemen Fgure Sysème à deux réservors La pompe P 1 commandée en ou ou ren, fourn au réservor R 1 un déb Q p. Le déb de la pompe es maxmal Q p = Q 0 lorsqu elle es en marche e égal à zéro quand elle es en arrê. Les condues C 1, C 3 e C 4 son munes des vannes respecvemen V 1, V 3 e V 4 qu son auss commandées en ou ou ren. Les varables h 1 e h 2 corresponden aux nveaux du lqude dans les réservors R 1 e R 2. Le sysème es équpé d un capeur de déb Q p e d un capeur dscre qu ndque s le nveau h 1 es supéreur à h. a- Aspecs dscres Les vannes V ( = 1,3 e 4) e la condue C 3 son des élémens pouvan prendre chacun deux modalés. - L éa EV de la vanne V peu prendre les deux modalés Ouvere : O ou Fermée : F. - L éa de la condue EC 3 peu prendre les deux modalés Plen (P) ou Vde (V). L éa «P» (respecvemen «V») de la condue C 3 se produ lorsque le nveau h 1 ou h 2 deven supéreur (respecvemen nféreur) au nveau h =0.5cm. La condue C 3 es plene s h1 h e/ou h 2 h e vde s h 1 < h e h 2 < h. L éa dscre de chaque mode du sysème peu êre représené par le quadruple (EV 1, EV 3, EC 3, EV 4 ) qu représene l éa de la vanne V 1, de la vanne V 3, de la condue C 3, e de la vanne V 4. -Événemens : Le sysème compore deux ypes d événemens : 113