Université d Orléans - Maitrise d Econométrie Econométrie des Variables Qualitatives

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1 Unversté d Orléans - Matrse d Econométre Econométre des Varables Qualtatves Examen Termnal Decembre C. Hurln Exercce 1 (12 ponts) : Modèle Tobt Smple Censuré Le but de cet exercce est d évaluer l mpact d une acton marketng sur le chffre d affare d une socété de cosmétque. Cette socété dspose pour cela de données d enquête concernant la consommaton annuelle du type de produt cosmétque concerné, notées c, récoltées auprès d un échantllon de ndvdus. Pour chaque ndvdu, ndcé, on dspose d observatons concernant: son revenu annuel moyen désgné par la varable r, exprmé en mllers d euros le prx moyen des bens en euros relevé à partr des dfférents achats effectués par l ndvdu, notép. s l a été ou non l objet dans l année d une opératon marketng. La varable dchotomque correspondante est codée m =1s l y a une acton marketng et m =0snon. la catégore soco-professonnelle (CSP) de l ndvdu représentée par une varable polytomque s codée respectvement 1 pour chômeurs, 2 pour un statut cadres et cadres supéreurs, 3 pour retratés et 0 pour le statut ouvrers et employés qu sera consdéré comme référence. On consdère alors le modèle tobt smple censuré suvant : c = c 0 s c > 0 s c 0 (1) où c désgne une varable nobservable telle que : où ε est N..d. 0, ε. c = β 0 + β 1 r + β 2 p + β 3 m + β 4 s + ε (2) Parte I : Analyse de la spécfcaton et modèle probt (7 ponts) Queston 1 (2 ponts) : () Précsez le sgne attendu des paramètres théorques β j,j=0, 1, 2, 3 en justfant économquement votre réponse. Que peut on conclure quant au sgne de β 4?Ondéfnt des varables dchotomques csp (j) assocées à la CSP de l ndvdu : csp (j) = 1 0 s s = j snon j =0, 1, 2, 3, =1,..,N () Proposez une écrture du modèle (2) en substtuant la varable s par autant de varables dchotomques csp (j) qu l est nécessare et commentez les sgnes des coeffcents γ j assocés à ces varables. Queston 2 (1.5 ponts) : On construt une varable dchotomque z valant 1 s la consommaton observée de l ndvdu est strctement postve et 0 dans le cas contrare. Dérvez la probablté que l agent consomme effectvement un produt cosmétque de cette gamme en foncton des vecteurs de paramètres β =(β 1 β 2 β 3 ) et γ =(γ 1 γ 2 γ 3 ), d une constante θ et de la varance des résdus ε. Queston 3 (1.5 ponts) : Les paramètres du modèle probt assocé à la probablté de consommer ont été estmés à partr des ndvdus de l échantllon par maxmum de vrasemblance. Le résultat de ces estmatons est reprodut sur la fgure (1). Commentez ces résultats.

2 Fgure 1: Résultats d Estmaton du Modèle Probt Queston 4 (2 ponts) : On s ntéresse au sous échantllon des ndvdus appartenant à la CSP cadres et cadres supéreurs. On suppose que le revenu moyen annuel de ces ndvdus est de euros, que le prx moyen de leurs achats est de 30 euros. Calculez pour l ndvdu moyen de cette CSP, la déformaton de la probablté d achat mputable à l acton marketng. Parte II : Modèle Tobt (5 ponts) Les résultats d estmaton par maxmum de vrasemblance du modèle tobt smple censuré sont reportés sur la fgure (2). On admet que l estmateur du maxmum de vrasemblance est convergent. On note x = 1 r p m csp (1) csp (2) csp (3) (1,K) Υ =(θβ 1 β 2 β 3 γ 1 γ 2 γ 3 ) (K,1) Queston 1 (1.5 ponts) : On consdère l ndvdu moyen de la CSP des cadres et cadres supéreurs (csp (2) =1)pour lequel on rappelle que r =20et p =30. Calculez pour cet ndvdu une prévson du nveau de consommaton potentel E (c /x ) en l absence d acton marketng, pus refates le même calcul en cas d acton marketng. Quelle est alors la varaton de consommaton potentelle c mputable, toutes choses égales par alleurs, à ce type d acton marketng? Queston 2 (1.5 ponts) :La socété X vous demande d évaluer (toujours pour le même ndvdu moyen) la varaton de la consommaton effectve mputable à l acton marketng. Vous calculerez pour cela la prévson de la varable dépendante E (c /x ) avec ou sans acton marketng, et vous en dédurez la varaton consommaton effectve mputable à cette acton marketng. 2

3 Fgure 2: Estmaton du Modèle Tobt Queston 3 (2 ponts) : Détermnez l effet margnal assocé au revenu r et décomposez cet effet margnal en un effet sur la probablté de consommer et un effet sur le montant de consommaton lorsque cette dernère est observable (McDonald 1 et Mofft 1980). Applquez cette décomposton à l ndvdu moyen de la CSP cadres et cadres supéreurs en l absence d acton marketng. 1 McDonald,J.andR.Mofftt (1980) The Uses of Tobt Analyss, Revew of Economc and Statstcs, 62, pp

4 Exercce 2 (10 ponts) : Modèle de déséqulbre On cherche dans le cadre de cet exercce à construre la log-vrasemblance assocée à un modèle de déséqulbre suvant la méthodologe proposée par Nelson et Maddala (1974) 2. Cetypedemodèleseclasse dans la famlle des modèles à régme nobservable et présentent de fortes smlartés avec les modèles Tobt censurés. Les modèles de déséqulbre sont fondés sur l dée selon laquelle les prx ne s ajustent qu mparfatement et qu ls ne peuvent à tout moment équlbrer l offre et la demande sur le marché étudé (Benassy ). On note D t la demande qu dépend d un ensemble de facteurs X 1,t et S t l offre supposée dépendre d un ensemble de facteurs X 2,t. D t = X 1,t β 1 + ε 1,t (3) S t = X 2,t β 2 + ε 2,t (4) où ε 1,t et ε 2,t désgnent les résdus des deux régmes, β R K pour =1, 2 et où les varables explcatves X 1,t et X 2,t sont contnues et observables. En revanche, on suppose que l offre et la demande sur le marché ne sont pas drectement observables. En l absence d ajustement des prx, la règle nous permet toutefos de postuler que la quantté effectvement échangée sur le marché notée Q t, qu est observable, correspond au mnmum de l offre et la demande. Q t =mn(d t,s t ) (5) Ans par exemple, on observe la demande (Q t = D t ) dans le cas d un régme de demande c est à dre lorsque D t <S t. On suppose pour smplfer que le vecteur des résdus ε t =(ε 1,t ε 2,t ) est..d. et normalement dstrbué N (0, Ω), avec : σ Ω = E (ε t ε t)= 0 (6) 2 On cherche c à construre la log-vrasemblance assocée à un échantllon de T observatons q =(q 1,.., q T ) et x =(x 1,..., x T ) avec x =(x 1,t x 2,t ) pour un ensemble de paramètres θ = β 1 β 2 σ L (θ) =L (θ,q,x)= T log [f Qt (q t, θ)] (7) où f Qt (q t, θ) désgne la densté margnale de Q t assocée à une observaton q t. A partr de cette vrasemblance, Nelson et Maddala (1974) construsent des estmateurs du maxmum de vrasemblance des paramètres β. t=1 Les questons peuvent être tratées ndépendamment les unes des autres en utlsant les résultats fourns. On cherche tout d abord à construre la densté margnale f Qt (q t, θ), notéef Qt (q t ) pour smplfer les notatons, à la base de la constructon de la log-vrasemblance. Pour cela, on admet que : f Qt (q t )=f Qt D t<s t (q t )+f Qt S t<q t (q t ) (8) où f Qt D t<s t (q t ) désgne la densté margnale de Q t sous l hypothèse D t <S t et f Qt S t<q t (q t ) désgne la densté margnale de Q t sous l hypothèse S t <D t.onnoteg Dt,S t (d t,s t ) la densté jonte de D t et S t pour des réalsatons respectves d t et s t de la demande et de l offre. Queston 1 (3 ponts) : En remarquant que la densté margnale de la demande D t s écrt : f Dt (d t )= g Dt,S t (d t,z) dz 2 Nelson, F.D,.et Maddala, G.S., (1974), Maxmum Lkelhood Methods for Models of Markets n Dsequlbrum, Econometrca, 42, No. 6, November, pp Benassy, J.P. (1976), Macroéconome et théore du déséqulbre, Dunod 4

5 montrez que la densté margnale de la quantté Q t lorsque D t <S t s écrt sous la forme : f Qt D t<s t (q t )= et que de façon symétrque : f Qt S t <D t (q t )= q t =d t g Dt,S t (d t,z) dz (9) q t=s t g Dt,S t (z, s t ) dz (10) Queston 2 (2 ponts) : En reprenant la défnton de la densté margnale d un vecteur de varables normales, montrez que la densté jonte g Dt,S t (d t,s t ) des varables D t et S t s écrt : g Dt,S t (d t,s t )= 1 exp 1 2πσ1 2 qt x 2 1,tβ 1 1 exp 1 2πσ2 2 st x 2 2,tβ 2 (11) Queston 3 (3 ponts) : A partr des résultats des questons 1 et 2, montrez que la densté margnale de la quantté échangée Q t lorsque l on est en régme de demande D t <S t peut s écrre sous la forme : f Qt D t <S t (q t )= 1 qt x 1,tβ 1 1 exp 1 z x 2 2,t β 2 dz 2πσ2 2 où (.) désgne la foncton de densté de la lo normale centrée rédute. En posant un changement de varable z = z x 2,tβ 2 /σ2, avec dz = dz, montrez que cette expresson se ramène à : f Qt D t <S t (q t )= 1 qt x 1,tβ 1 x 2,t β 2 q t où Φ (.) désgne la foncton de répartton de la lo normale centrée rédute. q t (12) Queston 4 (2 ponts) : On admet que de façon, symétrque f Qt S t<q t (q t )= 1 qt x 2,tβ 2 x 1,t β 1 q t (13) Montrez que la log-vrasemblance du modèle de déséqulbre s écrt alors : L (θ) = T 1 qt x 1,tβ 1 x 2,t β 2 q t log + 1 qt x 2,tβ 2 x 1,t β 1 q t t=1 Que devent cette expresson lorsque tend vers 0? Quels problèmes cela pose-t-l en termes d optmsaton numérque lorsque l on cherche à détermner l estmateur du maxmum de vrasemblance des paramètres? 5

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