Cours LO/L1 biostatistiques. UE4 PARTIE ANALYSE. Chapitre I. Intégrales et équations différentielles.

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1 Diel Aécssis. Aée iversitire 00/0 Cors LO/L iosttistiqes. UE4 PARTIE ANALYSE Chpitre I. Itégrles et éqtios différetielles. I. Clcl des primitives.. Défiitio : Soiet f et F de foctios défiies sr itervlle I. Dire qe F est e primitive de f sr I sigifie qe F est dérivle sr I et qe, por tot de I, o F (=f(. Le t de ce prgrphe est ps doer cors cdémiqe sr l otio qi cocere le clcl des primitives. Il por t de redre simple et ccessile ces otios. O rppelle qe lors d clcl d e primitive ( et doc d e itégrle ) il est importt de mettre e évidece le crctère licite de ce clcl. Celi-ci ser mis e évidece pr le théorème sivt : Théorème : Soit f e foctio défiie sr itervlle fermé I. f dmettr des primitives F sr cet itervlle fermé Si et Selemet Si f est défiie et cotie sr cet itervlle.. Clcl d e primitive simple. L méthode qe os llos order ici permettr lecter de détermier de fço simple et rigorese l primitive d e foctio f défiie et cotie sr itervlle. O rppelle, por ce fire, qe : R [ + ]' = ( + ) '. Cette reltio met e évidece de cs simples : er cs : o lors Si + [ ]' = '. + f + [ ]' = '. + + = '. lors F = + K + où K est e costte qelcoqe. d Cs. : Si =. o se trove e fce d cs prticlier : ' f = lors F = l + K où K est e costte qelcoqe.

2 Preos, por illstrer ceci eemple simple. Soit f défiie pr f ( = ( + 3) f est défiie por tot 3 Por tot ] 3; + [ il est clir qe f soit défiie et cotie e tt qe composées de foctios coties sr cet itervlle. A ce titre, f dmet des primitives F sr cet itervlle. O lors f ( = ( + 3) =. vec =+3 or (= d où f ( = ' (. Il est lors clir q e primitive F de f r por epressio : F ( = = ( + 3) Théorème. Si f est e foctio défiie sr itervlle I et s il eiste e primitive F de f sr I lors, por torte tre primitive G il eiste réel k tel qe I, o,, G( = F( + k Cel motre qe totes les primitives de f sot défiies à e costte près Remrqe : l vler de l costte redr licite le crctère iqe d e primitive F de f. Théorème 3. est réel doé d itervlle I et est réel doé. Si F est e primitive de f sr I, lors il eiste e iqe primitive G de f sr I telle qe : G()=. 5 Eercice : Soit f l foctio défiie pr f ( = ( + 3) 3. Détermier l esemle des primitives de f sr l itervlle ] ; + [. Qelle est l primitive de f qi s le por =4? I. Notios d itégrles.. Défiitio. Soit et de réels qelcoqes d itervlle I et f e foctio cotie sr cet itervlle. Pr défiitio, o ppeller itégrle de f etre et l vler : Où F est e primitive de f sr I. f ( d = F( ) F( )

3 Remrqe : Pr l site et pr s de lgge, l ottio ss les ores f ( d sigifier qe l o cosidère e primitive de f sr itervlle déqt. Théorème. Soit f e foctio CONTINUE sr itervlle I. L primitive de f qi s le e poit de I est l foctio défiie sr I pr G ( f ( t) dt =. Propriétés des itégrles. O rppelle les priciples propriétés des itégrles.. L liérité : ( α + βg)( d = α f ( d + β f g( d. L reltio de Chsles. ( d + f ( d = c f f ( d Cette reltio est licite por tot, et c de I (qelqe soit l ordre ) 3. Si f est e foctio défiie cotie sr I. Si f est positive sr itervlle [ ;], lors f ( d 0 c 4. Si f et g sot de foctios coties sr itervlle I et si et sot de réels de I vec et si [ ; ] o ( g( f lors ( d Attetio : LA RECIPROQUE EST FAUSSE. f g( d 5. Itégrle et vlers soles. Si f est e foctio cotie sr itervlle [ ;] f ( d f ( d 6. Théorème Si f est e foctio cotie sr itervlle [ ;] telle qe, [ ; ], il eiste de réels m et M m f ( M lors m ( ) f ( d M ( )

4 7. Vler moyee d e foctio. f est e foctio défiie et CONTINUE sr itervlle [ ;] vec l itervlle [ ;] est le réel défii pr f ( d I. 3 Clcl pr prties d e itégrle. <, l vler moyee de f sr Lorsqe le clcl des primitives simples e ser ps possile, il fdr mettre e plce e itégrtio pr prties. O rppelle qe cette itégrtio cosiste à tiliser l formltio sivte : '. v( = [. v( ]. v'( d Remrqe : le clcl d e primitive o d e itégrle pr prties se fer à chqe fois qe l première méthode e porr pls être eploitée. E effet, os vos mis e évidece qe l première méthode cosistit à plcer l foctio dot o désire détermier e primitive sos l forme : Cotre eemple : f = '. Soit f l foctio défiie pr : f ( = ( + 3) f est défiie,cotie et dérivle sr [ 0; + [ e tt qe foctio rtioelle. A ce titre, f dmet e primitive sr cet itervlle. Pr illers : f ( = = ( + 3) =. ( + 3) f ( =. ' (. vec =+3 et = o lors (= d où Qe fire de l vrile restte. O costte ie ici l limite de cette méthode. L tilistio de l méthode de recherche d e primitive pr prtie predr e l occrrece, tot so crctère licite. I.4. Iterpréttio géométriqe d e itégrle. Soit f e foctio POSITIVE et cotie sr i itervlle [ ;] et s core représettive ds repère orthoormé direct ( O ; i ; j ) Pr défiitio, l ire d domie pl délimité pr l core, l e des scisses et les droites d éqtio = et = est, e ités d ires (.)

5 A f ( d (.) = Attetio : cette iterpréttio géométriqe motre ie q e itégrle est ps écessiremet sr srfce. Por q il e soit effectivemet isi, il ft et il sffit qe l core représettive de f soit desss de l e des scisses ie qe f ( > 0 sr l itervlle cosidéré. Si cel est ps le cs l itégrle r, d près les théorèmes précédets, e vler égtive. Por clcler l srfce, il fdr cosidérer e vler sole. Ds ce cs, l srfce d domie pl délimité pr l core représettive de f, l e des scisses et les droites d éqtio = et = ser, e ités d ires ; f ( d = A = f ( d Remrqe : por voir l srfce e cm il fdr mltiplier l itégrle précédete pr les de échelles de l e des scisses et de l es des ordoées. Pr eemple si l ité de l e des scisses est cm et celle de l e des ordoées est 3 cm lors l srfce e cm ser : A = [ f ( d] 3 = 6 f ( d.( cm ) I.5. Eqtios différetielles.. Géérlités. O ppelle éqtio différetielle tote éqtio fist iterveir e foctio y=f(, cotie dérivle ( le pls sovet plsiers fois) et ses dérivées. Ds le cdre de ce cors, les seles éqtios différetielles qi sot à otre progrmme sot les éqtios d premier ordre ( ie sele l dérivée première de y=f( iterviedr) liéire, à coefficiets réels et vec secod memre. De telles éqtios rot por modèle mthémtiqe : (E) y '( + y( = g( et sot des réels. Ce sot les coefficiets de l éqtio. y( est l foctio soltio de l éqtio différetielle. g( est e foctio qelcoqe crctérist le secod memre.. Eqtio homogèe.

6 O ppelle l éqtio homogèe ssociée à l éqtio différetielle (E ), l éqtio ss secod memre. (H) y '( + y( = 0 3. Théorèmes fodmet.. Théorème. Tote comiiso liéire de soltios d e éqtio différetielle est soltio de l même éqtio Si y ( ) et y ( ) sot de soltio d e éqtio différetielle (E ) lors α, β ) l foctio défiie pr y( α. y( + β. y ( ( R = est soltio de l éqtio (E). Théorème. Ce théorème est l coséqece directe d théorème précédet. Il permet l détermitio des foctios défiies et dérivles sr itervlle I soltio de l éqtio différetielle (E) L esemle des soltios de l éqtio différetielle (E) y '( + y( = g( est l esemle des foctios y( défiies, coties et dérivles sr itervlle I telles qe : Avec : y y ( = y( + y ( y (, soltio, de,( H ) (, soltio, prticlière, de,( E) Remrqe : Q ppelle-t-o soltio prticlière? y ( ser dite soltio prticlière de l éqtio différetielle (E) Si et Selemet Si y ( vérifie l éqtio. y' ( +. y( = g( Attetio : Géérlemet, e soltio prticlière de (E ) ser de l forme d secod memre. Si g( est polyôme, l soltio prticlière ser polyôme. Si g( = α cos( ω. lors y ( =.cos( ω. +.si( ω. ) Si g( = β si( ω. lors y ( =.cos( ω. +.si( ω. ) Si g ( = P(. e lors y ( = Q(. e Si g ( = P(.l[ ] lors y ( = Q(.l[ )]

7 Théorème 3. Ce théorème permet l détermitio de l soltio de l éqtio homogèe (H) Les soltios de l éqtio différetielle homogèe (H) y '( + y( = 0 est l esemle des foctios y ( ) défiies, coties et dérivles sr itervlle I telles qe : y ( = C. e C est e costte.