Centrale-Supélec Filière PC Corrigé de l'épreuve Mathématiques 2

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1 Cetrale-Supélec Filière C Corrigé de l'épreuve Mathématiques 2 Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes I Vitesse de covergece d'ue suite réelle IA - Des résultats gééraux IA ar exemple, la suite u = 2 appartiet à E c, puisqu'elle coverge vers l = 0, e vaut jamais 0, et que N, u c = u + l u l = 2, doc la suite u c est covergete Ceci motre que l'esemble E c est o vide IA2 No, E c 'est pas u sous-espace vectoriel de R N car il e cotiet pas la suite ulle elle coverge mais vaut costammet sa limite, doc elle 'est même pas das E IA3 ar exemple, la suite u déie par u 2k = u 2k+ = k! pour tout k N est das E puisqu'elle coverge vers l = 0 et e vaut jamais 0, mais pas das E c E eet, o a N, u c = u { + si = 2k = u k+ si = 2k +, doc lim k + uc 2k = lim k + uc 2k+ = 0, ce qui motre que la suite uc diverge L'esemble E c est doc strictemet iclus das E IA4 Si u E c, alors o a déjà l c 0 e tat que limite d'ue suite à termes positifs ar déitio de la limite de la suite u c : pour tout réel ε > 0, il existe 0 N tel que 0 = l c ε u c l c + ε Supposos que l c > O peut alors choisir ε 0 > 0 tel que l c ε 0 > par exemple ε 0 = l c /2, et o aura doc u c l c ε 0 > à partir d'u certai rag 0, ce qui se réécrit : 0 N, 0 = u + l l c ε 0 u l Ue récurrece immédiate etraîe alors 0 = u l l c ε 0 0 u 0 l, et doc lim u l = + puisque l c ε 0 >, ce qui est cotradictoire avec le fait + que lim u = l O a doc écessairemet l c [0; ] + IB - Exemples de calcul de vitesse de covergece IB La suite u = coverge vers l = 0 et e vaut jamais 0, doc u E De plus + k N, u c = u + u = doc u E c et l c = covergece lete k + + 2, + La suite v = k q coverge vers 0 par croissaces comparées et e vaut jamais 0 pour, doc v E De plus N, v c = v + v = + k q + q, doc v E c et l c = q ]0; [ covergece géométrique de rapport q

2 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 2/0 La suite w =! coverge vers 0 et e vaut jamais 0, doc w E De plus N, w c = w + = w + 0, + doc w E c et l c = 0 covergece rapide IB2 a O a v = e 2 l+2 pour tout N, doc puisque lim + 2 = 0, le développemet limité l + x = x x2 2 + o x 0 x2 doe le développemet asymptotique suivat : v = e o = e o = e e E, o utilise le développemet limité e y = + y + o + 2 qui ted bie vers 0 lorsque + : v = e 2 + o + 2 o + 2 o y avec y = y = e e o + 2 b La suite v coverge vers l = e et e vaut pas e à partir d'u certai rag, puisque v e e + 2 < 0, doc v + < e à partir d'u certai rag Ceci motre que v E De plus, v c = v + e e/2 +2 v e + e/2 + = 2, doc v c coverge vers l c = 2, ce qui motre que v appartiet à E c, et sa vitesse de covergece est géométrique de rapport /2 IB3 a our tout N et pour tout x R +, o pose f x = l + x e x Chaque foctio f est cotiue sur R +, la suite f coverge simplemet vers la foctio ulle sur R + et o a 0 f x x e x xe x pour tout x, R + N uisque x xe x est itégrable sur R + elle est cotiue sur R + et égligeable devat x x au voisiage de +, elle-même itégrable, o e déduit par le théorème de 2 covergece domiée que I = + f 0 xdx est bie déie pour tout N et que lim I = + 0dx = De plus, I 0 pour tout N car si o avait I = 0, la cotiuité et la positivité de f sur [0; + [ impliqueraiet que f est idetiquemet ulle sur [0; + [, ce qui 'est pas le cas Ceci motre bie que I E b Soit X > 0 et N Ue itégratio par parties doe : X 0 l + x [ e x dx = l + x e x] X + 0 uisque X 0 l + x e x dx I et [ l + x X + que l'itégrale e x dx coverge et que x I = x e x dx X 0 + x e x dx ] e x X 0, o e déduit 0 X + O obtiet alors par applicatio du théorème de covergece domiée ecore que lim I = E eet, I = + g + 0 xdx, avec g x = + e x x, chaque foctio g est cotiue sur R +, la suite g coverge simplemet sur R + vers la foctio x e x, et g x e x pour tout, x N R +, avec la foctio x e x qui est itégrable sur R + O a doc lim I = e x dx = Fialemet, o a l'équivalet I, qui motre que la suite I appartiet à E c, I et possède ue vitesse de covergece lete puisque + I = lim + Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes

3 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 3/0 IB4 a Cela résulte d'ue comparaiso série-itégrale : puisque t t α est décroissate sur ]0; + [, o a k+ k 2, t α dt k k α k t α dt k E sommat pour k variat de + à N, o obtiet, pour tous etiers N > : c'est-à-dire N+ + dt t α N k=+ N k α dt t α, N + α + α α N k=+ k α N α α α E faisat tedre N + das cette iégalité, o obtiet bie puisque α < 0 l'iégalité voulue : + α α k α α α, c'est-à-dire k=+ α + α l S α α b La suite S est strictemet croissate et coverge vers l, doc S < l pour tout N, ce qui motre que S E De plus, S c = l S+ l S, doc e utilisat les iégalités précédetes : α + 2 α Sc Cet ecadremet motre que S c vitesse de covergece lete IC - Vitesse de covergece d'ordre r d'ue suite réelle +, d'où S appartiet à E c et possède ue IC uisque u E et la vitesse de covergece de u est d'ordre r >, il existe ue costate M > 0 et u rag 0 N tel que 0 = u l et u + l u l r M O a doc, e multipliat cette iégalité par u l r : 0 = u + l u l M u l r uisque r > 0 et que lim u = l, o a lim u l r = 0, et doc lim u+ l u l = 0 par l'iégalité précédete, ce qui motre que la covergece de u est rapide x IC2 a O sait que la série coverge vers e x pour tout x R, doc e évaluat e! 0 x =, o obtiet que la suite S coverge vers s = e De plus, la suite S est strictemet croissate, doc o a S e pour tout N, ce qui motre que S E b Soit N O a s S = k=+ k! uisque c'est ue somme de termes positifs, elle est supérieure à so premier terme, ce qui doe l'iégalité s S +! De plus, e factorisat par +!, o a s S = k=+ + k! = + + k! = +! k=0 k=0 + j k+ j=2 Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes

4 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 4/0 Or, + j k+ 2 = 2 k pour tout k N, doc k+ j=2 j=2 s S ce qui motre l'ecadremet voulu +! 2 k = 2 +!, k=0 c Grâce à l'ecadremet précédet, o obtiet S + s S s 2 + 2, doc lim = 0, ce qui motre que la covergece de la suite S est rapide S+ s + S s d Supposos que la covergece de S soit d'ordre r > Il existe alors ue costate M > 0 et u etier 0 N tels que S + s M S s r pour tout 0 Les ecadremets précédemmet établis impliquet : soit + 2! S + s M S s r M +! r, 0, +! r M2 r + 2 Mais ceci est impossible car +2 est égligeable devat +! r vu que r > 0 Doc la covergece de S 'est pas d'ordre r IC3 a uisque f est dérivable e l, elle est cotiue e l O a doc fu qui coverge vers fl puisque u coverge vers l E faisat tedre + das la relatio u + = fu vraie pour tout, o obtiet doc par uicité de la limite l = fl b Supposos u o statioaire Tout d'abord, la suite u est das E E eet, s'il existe 0 N tel que u 0 = l, alors, puisque fl = l, ue récurrece immédiate motre que la suite statioe à l à partir du rag 0, et ceci est cotraire à l'hypothèse O a doc u l pour tout l, doc u E E outre, o a pour tout N : u + l u l = fu fl u l 2 r f l, + par déitio de la dérivabilité de f e l et cotiuité de la valeur absolue Ceci motre que u E c et que sa vitesse de covergece est f l c Supposos que f l > Si u 'est pas statioaire, la suite u est das E c d'après la questio précédete et l c = f l > Mais d'après la questio IA4, c'est impossible l c doit apparteir à [0; ] Doc la suite u est écessairemet statioaire d uisqu'o suppose ici que u 'est pas statioaire, o a écessairemet u E d'après la questio IC3b, doc le quotiet u+ l u l = fu fl r u l est bie déi r Motros alors l'équivalece voulue : Si f k l = 0 pour tout k {,, r }, alors la formule de Taylor-Youg doe : u + l u l r = fu fl f r l r! u l r + o u l r + u l r = u l r f r l + r! u+ l Etat covergete, la suite u l est borée, doc la vitesse de covergece r de u est d'ordre r Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes

5 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 5/0 Sio, l'esemble {k {,, r }, f k l 0} est o vide E otat j so miimum, la formule de Taylor-Youg doe : f u + l u l r = fu j l fl j! u l j + o u l j + C u l r = u l r + u l r j avec C > 0 et r j > 0, ce qui etraîe que covergece de u 'est pas d'ordre r u + l lim + u l r = +, et doc la II Autour de la loi faible des grads ombres IIA - rélimiaires IIA a uisque e x = =0 x! pour tout x R, o e déduit aisémet que t R, cosht = =0 t 2 2!, 2 et /2 = =0 t 2 2! le rayo de covergece de ces deux séries etières est doc + b our tout etier N, o a 2! 2!, car et le produit 2 k=+ k 2! = 2 k=+ k!, est supérieur à 2, puisque si, chacu de ses facteurs est supérieur à 2, et si = 0, il vaut = 2 0 O e déduit, puisque t 2 0 : t 2 + t R, cosht = 2! t 2 2! = 2 et /2 IIA2 Fixos λ [0; ] E divisat par e a > 0, o a l'équivalece : =0 =0 e λa+ λb λe a + λe b e λb a λ + λe b a, pour tous réels a < b E posat x = b a qui est strictemet positif, il sut doc de motrer que x > 0, e λx λ + λe x our cela, o étudie la foctio ϕ λ : x λ + λe x e λx Elle est dérivable sur [0; + [, et x 0, ϕ λx = λe x e λx 0 puisque 0 λ Cette foctio est doc croissate sur [0; + [, ce qui doe ϕ λ x ϕ λ 0 = 0, motrat aisi l'iégalité voulue IIA3 a ar déitio d'ue limite ie e +, il existe u réel l tel que E choisissat ε =, o a doc ε > 0, T 0 > 0, t T 0 = ft l ε T 0 > 0, t T 0 = l ft l +, ce qui motre que f est borée sur [T 0 ; + [ E outre, elle est cotiue, doc égalemet borée sur le segmet [0; T 0 ] Fialemet, f est borée sur R + qui est la réuio de ces deux itervalles Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes

6 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 6/0 b La foctio g : t te γt est cotiue sur R + c'est le produit de deux foctios cotiues, et o a gt = 0 par croissaces comparées car γ < 0 Doc g lim t + est borée sur R + par la questio précédete IIB - Variable aléatoire discrète admettat u momet expoetiel IIB Notos XΩ = {x, N} La série à termes positifs 0 e α x X = x coverge par hypothèse, et o a puisque α > 0 N, 0 e αx X = x e α x X = x, doc par comparaiso de séries à termes positifs, o e déduit que 0 e αx X = x coverge absolumet, c'est-à-dire que e αx admet ue espérace ie IIB2 a uisque X λ, o a XΩ = N et X = = e covergece de la série positive suivate, o a Ee α X = Ee αx = =0 λ λ! e α λ λ e! = e λ =0, doc sous réserve de λe α! O recoaît le développemet e série etière de l'expoetielle, doc cette série coverge pour tout réel α La variable X possède doc u momet expoetiel d'ordre α pour tout α > 0, et α > 0, Ee αx = e λ e λeα = e λeα b uisque Y Gp, o a Y Ω = N et Y = = p p, doc sous réserve de covergece de la série positive suivate, o a Ee α Y = Ee αy = = e α p p = p pe α p = Cette série géométrique coverge pour tout réel α tel que pe α < La variable Y possède doc u momet expoetiel d'ordre α pour tout α ]0; l p[ et α ]0; l p[, Ee αy = pe α pe α c uisque Z B, p, o a ZΩ = [0; ] et Z = k = k p k p k La variable aléatoire e α Z = e αz état d'image ie, elle possède ue espérace, doc Z possède u momet expoetiel d'ordre α pour tout α > 0 même pour tout α R e fait, et α R, Ee αz = e αk p k p k = pe α + p k k=0 d'après la formule du biôme IIC - Ue majoratio de S m ε IIC a our tout réel u, o a e u + u u se motre facilemet avec ue étude de foctio, doc uisque par hypothèse la série p N, α x p X = x p e α xp X = x p e α xp X = x p coverge, o e déduit par comparaiso de séries à termes positifs que x p X = x p coverge, c'est-à-dire que X admet ue espérace ie Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes

7 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 7/0 b Justios que X possède u momet d'ordre 2 : puisque lim x + x 2 e α x = 0 dû à α > 0, il existe a > 0 tel que x a = x 2 e α x O a doc e distiguat les cas x < a et x a : x R, x 2 a 2 + e α x Ceci amèe la majoratio : p N, x p 2 X = x p a 2 X = x p + e α xp X = x p uisque les séries a 2 X = x p et e α xp X = x p coverget, o e déduit par comparaiso de séries à termes positifs que x p 2 X = x p coverge Les variables X k k N qui sot réelles, discrètes et ot la même loi, celle de X, possèdet doc toutes u momet d'ordre 2, et elles sot deux à deux idépedates puisque mutuellemet idépedates par hypothèse, doc o peut appliquer la loi faible des grads ombres : e otat m = EX et σ 2 = V X, o a S ε > 0, m ε σ2 ε 2 IIC2 a La série de foctios t e txp X = x p coverge ormalemet sur le segmet [ α; α] : e eet, t [ α; α], p N, e tx p X = x p e α x p X = x p, et la série e α xp X = x p coverge par hypothèse Cette covergece ormale a deux coséqueces : d'ue part, elle etraîe la covergece absolue pour tout t [ α; α], ce qui motre que Ee tx est bie déie d'autre part, elle etraîe la covergece uiforme sur [ α; α], ce qui motre puisque les t e txp X = x p sot cotiues la cotiuité de la foctio somme Ψ : t Ee tx sur [ α; α] b our tout p N, la foctio t e txp X = x p est de classe C sur R Cosidéros la série dérivée : t d dt e tx p X = x p = x p e txp X = x p Motros que cette série de foctios coverge ormalemet sur tout segmet [ β; β] avec 0 < β < α O a t [ β; β], p N, x p e txp X = x p x p e β xp X = x p = x p e β α xp e α xp X = x p E utilisat la questio IIA3b, o obtiet, puisque β α < 0, qu'il existe ue costate M > 0 telle que p N, x p e β α xp M D'où la majoratio t [ β; β], p N, x p e txp X = x p Me α xp X = x p, qui motre bie la covergece ormale voulue puisque e α xp X = x p coverge par hypothèse Fialemet, o peut appliquer le théorème de dérivatio terme à terme d'ue série de foctios de classe C : la série t e txp X = x p coverge simplemet sur Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes

8 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 8/0 [ α; α] et sa série dérivée coverge uiformémet sur tout segmet [ β; β] ] α; α[, doc la foctio somme Ψ est de classe C doc dérivable sur ] α; α[ et t ] α; α[, Ψ t = p=0 IIC3 a O a directemet f ε 0 = Ψ0 = E =, et d e tx p X = x p = EXe tx dt t ] α, α[, f εt = m + εψt + Ψ t e m+εt, doc f ε0 = m + ε Ψ0 + }{{} Ψ 0 }{{} = ε = =EX=m b Faisos u développemet limité d'ordre e 0 : il existe ue foctio u :] α; α[ R telle que lim t 0 ut = 0 et t ] α; α[, f ε t = f ε 0 + tf ε0 + tut = + t ε + ut ar déitio d'ue limite ulle, il existe β ]0; α[ tel que t [ β; β] = ut ε [ 2 = f εt 3tε 2 ; tε ] 2 E choisissat alors t strictemet positif et susammet petit, o obtiet t 0 ]0; α[, f ε t 0 ]0; [ par exemple avec t 0 = mi β; 3ε, o a fε t 0 [ 2 ; [ IIC4 Soit t [ α; α] et N O a e ts = e tx k uisque les variables X k k N suivet la même loi que X, les variables e tx k k N admettet toutes ue espérace ie d'après IIC2a, égale à Ψt E outre, l'idépedace mutuelle des X k doe l'idépedace mutuelle des e tx k, doc par produit, la variable e ts est d'espérace ie et Ee ts = Ee tx k = Ψt = Ψt k= IIC5 a Soit t ]0; α] et N uisque t > 0 et que exp est strictemet croissate, les S évéemets m + ε, ts tm + ε, et e ts e tm+ε sot égaux Doc S m + ε = e ts e tm+ε = e ts e tm+ε La variable aléatoire e ts admettat ue espérace, o a e appliquat l'iégalité de Markov : k= e ts e tm+ε EetS e tm+ε = Ψt e tm+ε = e Ψt tm+ε, k= c'est-à-dire S m + ε f ε t b O choisit t = t 0 le réel obteu à la questio IIC3b das l'iégalité précédete qui est vraie pour tout t ]0; α] E posat r = f ε t 0, o a alors r ]0; [ et N S, m + ε r Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes

9 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 9/0 IIC6 our tout N, o a S m ε S = m + ε S + m ε S = m + ε S + m + ε X + + X X X = EX + ε + E X + ε O utilise alors le résultat motré à la questio IIC5b, qui s'éoce aisi : pour tous réels ε > 0, α > 0, pour toute variable aléatoire discrète T telle que e α T est d'espérace ie, et pour toute suite T k de variables mutuellemet idépedates suivat toutes la loi de T, o a : r ]0; [, N T + + T, ET + ε r E appliquat ce résultat à T = X, puis à T = X o peut car X suit les mêmes hypothèses que X, et les X k suivet la même loi que X, o obtiet l'existece de deux réels r, r 2 de ]0; [ tels que : N, ar somme, o e déduit : N, X + + X EX + ε r X X E X + ε r2 S m ε r + r2 La suite majorate u = r + r2 ted bie vers 0 et o a u c = u + u = r+ + r2 + r + maxr ; r 2 ]0; [ r + 2 Doc la vitesse de covergece de u est géométrique de rapport l c = maxr ; r 2 La majoratio obteue avec la loi faible des grads ombres à savoir S m ε σ2, elle, doe seulemet ue covergece lete, puisqu'e ε2 posat v = σ2 ε 2, o a lim v = 0, et v c = v + + v = + + IID - Ue majoratio de S ε IID our α > 0, o a p N, e α xp X = x p e αc X = x p puisque p N, x p c par hypothèse uisque la série e αc X = x p coverge vers e αc, état doé que X = x p =, o e déduit par comparaiso de séries à termes positifs que p=0 e α xp X = x p coverge, et doc que E e α X existe IID2 a uisque Y = 2 X, o a 2cY = c X, doc 2c X = c 2cY = c cy cy = cy + Y c b O xe ω Ω et o utilise l'iégalité motrée e IIA2, avec les réels a = c, b = c o a bie a < b et λ = Y ω = c Xω 2c [0; ] puisque c Xω c : e Xω = e Y ω c+ Y ωc Y ωe c + Y ωe c Ceci état vrai pour tout ω Ω, o e déduit e X Y e c + Y e c Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes

10 Corrigé Cetrale-Supélec C Mathématiques 2 0/0 IID3 a ar liéarité de l'espérace, la variable Y est d'espérace ie comme X, et EY = 2 2c EX = 2 ar croissace de l'espérace, l'iégalité établie à la questio précédete doe : Ee X EY e c + Y e c = e c EY + e c EY = 2 e c + e c = coshc b A la questio précédete, ous avos motré que pour toute variable T d'espérace ulle et borée par M, ous avos Ee T coshm O applique ce résultat avec T = tx, où t > 0 est xé o peut car EtX = tex = 0 et tx tc O obtiet : t > 0, Ψt = Ee tx coshct IID4 ar déitio de f ε, o a f ε t = e εt Ψt car m = 0 ici La questio précédete combiée à l'iégalité motrée e IIAb doe IID5 Utilisos IIC5a : t > 0, f ε t e εt coshct e εt e c2 t 2 /2 = e tε+ 2 c2 t 2 N, t > 0, S ε f ε t e eet m = EX = 0 et f ε est déie sur tout R ici L'iégalité de la questio précédete doe alors : N S, t > 0, ε e tε+ 2 c2 t 2, d'où e choisissat t = ε c 2 : N, S ε ε2 e 2c 2 Majoros maiteat S ε ar additivité de, o a S ε S = ε S + ε S = ε S + ε O viet de voir commet majorer le premier terme our majorer le secod terme, o applique tout ce qui précède à la variable X au lieu de X o peut car E X = EX = 0 et X = X c Cela reviet à remplacer chaque X k par X k, et doc S par S : il viet N S, ε ε2 e 2c 2 ar somme, o obtiet alemet N, S ε ε2 2e 2c 2 IID6 uisque Z B, p, il existe des variables mutuellemet idépedates X,, X suivat toutes la loi de Beroulli Bp et telles que X + + X = Z O a doc Z p ε X p + + X p = ε Il sut alors d'appliquer l'iégalité de la questio précédete avec les variables aléatoires Y k = X k p, qui sot bie cetrées car l'espérace de la loi Bp est p, et qui sot borées car Y k c = maxp; p pour tout k [; ] Cela doe : Z p ε Y + + Y = ε 2 exp ε 2 2 maxp; p 2 Damie Broizat & Nicolas Basbois Lycée Jules Ferry - Istitut Staislas, Caes