aa ab ac ab ac avec ordre ba bb bc ba bc ca cb cc ca cb sans ordre aa ab ac ab ac bc bb bc cc

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1 Chaitre I ANALYSE COMBINATOIRE Exemle itroductif Le but de ce chaitre est d'aredre à déombrer des esembles das des coditios variées. La comréhesio de ce chaitre et des exercices qui s' y raortet costitue u réalable idisesable à l'étude du calcul classique des Probabilités. O cosidère u esemble E ayat 3 élémets, E = {a, b, c} choisir 2 élémets das cet esemble eut se faire de lusieurs maières différetes suivat que l'o ordoe les élémets et que l'o autorise la ossibilité de choisir lusieurs fois le même objet ou o. O visualise tous les cas ossibles das le tableau ci-dessous : réétitio sas réétitio aa ab ac ab ac avec ordre ba bb bc ba bc ca cb cc ca cb sas ordre aa ab ac ab ac bc bb bc cc A) ARRANGEMENT AVEC REPETITION DÉFINITION: État doé u esemble fii de objets, o aelle arragemet avec réétitio de ces objets à, tout grouemet ordoé de objets choisis armi les objets avec réétitio. Le ombre d'arragemets de objets à est égal à. 3

2 Pour costruire u tel arragemet, o choisit u élémet de l'esemble que l'o lace e remière ositio, il y a choix ossibles. Puis o choisit u élémet de l'esemble que l'o lace e deuxième ositio, il y a choix ossibles, ce ombre de choix se multiliet doc au ombre de choix récédets Puis o choisit u élémet de l'esemble que l'o lace e troisième ositio et aisi de suite jusqu'au - ième élémet. Aisi il y a choix ossibles et le ombre d'arragemets de objets à est égal à. Exemles a) Si E et F sot des esembles fiis et si F(E,F) désige l'esemble des alicatios de E das F, alors si Card(E) = et Card(F) =, Card( F(E,F) ) =. b) Si E est u esemble fii et si P(E) désige l'esemble des arties de E, alors si Card(E) =, Card(P(E) ) = 2. ( à ue artie de E o associe sa foctio idicatrice) c) Le ombre de tirages différets de boules das ue ure coteat boules umérotées de 1 à est égal à lorsque les tirages sot exhaustifs (c'est à dire avec remise arès chaque tirage). o d) Le ombre de faços de lacer objets disticts das cases, chaque case ouvat évetuellemet coteir lusieurs objets est. B) ARRANGEMENT SANS REPETITION DÉFINITION: État doé u esemble fii de objets, o aelle arragemet sas réétitio de ces objets à, tout grouemet ordoé de objets choisis armi les objets sas réétitio. Le ombre d'arragemets de objets à est égal à (-1)...(-+1) si et ul sio et sera oté A. O otera que A =! ( - )! etque 4

3 E gééral o dit arragemet sas récisios sulémetaires. Pour costruire u tel arragemet, o choisit u élémet de l'esemble que l'o lace e remière ositio, il y a choix ossibles. Puis o choisit u élémet de l'esemble différet du remier que l'o lace e deuxième ositio, il y a - 1 choix ossibles, ce ombre de choix se multiliet doc au ombre de choix récédets Puis o choisit u élémet de l'esemble différet des deux remiers que l'o lace e troisième ositio et aisi de suite jusqu'au - ième élémet. Aisi il y a (-1)...(-+1) choix ossibles et le ombre d'arragemets de objets à est égal à (-1)...(-+1). Exemles a) Si E et F sot des esembles fiis et si I(E,F) désige l'esemble des alicatios ijectives de E das F, alors si Card(E) = et Card(F) =, Card( I(E,F) ) = (-1)...(-+1). b) Si E est u esemble fii et si B(E) désige l'esemble des bijectios de E, alors si Card(E) =, Card(B(E) ) =! (ue bijectio est ue ijectio de E sur E). c) Le ombre de tirages différets de boules das ue ure coteat boules umérotées de 1 à est égal à (-1)...(-+1).lorsque les tirages sot exhaustifs (c'est à dire sas remise arès chaque tirage). d) Le ombre de faços de lacer objets disticts das cases, chaque case ouvat coteir au lus 1 objet est (-1)...(-+1). C) PERMUTATION DÉFINITION: État doé u esemble fii de objets, o aelle ermutatio de ces objets tout grouemet ordoé de objets choisis armi les objets. Le ombre de ermutatio de objets est égal à!. Ue ermutatio est u arragemet sas réétitio de ces objets à, ar coséquet o est das le cadre du aragrahe récédet. O eut oter que! est le ombre de faços d'ordoer objets. 5

4 D) COMBINAISON SANS REPETITION DEFINITION: État doé u esemble fii de objets, o aelle combiaiso sas réétitio de ces objets à, tout grouemet o ordoé de objets choisis armi les objets sas réétitio. Le ombre de ( -1)...(- +1) combiaisos de objets à est égal à et oté C!. O otera que si,c = A! =!!( - )! La otatio aglo-saxoe est ( ). et zéro sio. E gééral o dit combiaiso sas récisios sulémetaires. A artir d'ue combiaiso sas réétitio de objets à, o obtiet u arragemet de objets à e ordoat ces objets. Comme il y a! faços d'ordoer objets, o eut dire qu' à ue combiaiso corresod! arragemets et aisi o obtiet la relatio. Exemles a) Si E est u esemble fii et si P (E) désige l'esemble des arties de E ayat élémets, alors si Card(E) =, Card(P (E) ) = C b)le ombre d'alicatios d'u esemble ayat élémets das {0,1} qui evoiet exactemet élémets das 0 et les autres das 1 est égal à C. c) Le ombre de faços de lacer objets idiscerables das cases, chaque case ouvat coteir au lus 1 objet est C. d) La formule du biôme valable exclusivemet das le cas où la loi multilicative est commutative ou du mois lorsque les élémets a et b commutet. (a+b) = = Â C = 0 a b - e) Le ombre d'alicatios strictemet croissates de ={1, 2,, } das ={1, 2,, } est égal à C. 6

5 Proriétés ** Formule et triagle de Pascal O motre facilemet ar réductio au même déomiateur la formule C = C -1 + C -1-1 qui ermet à l'aide du tableau ci-dessous d'obteir les différetes valeurs des combiaisos. Ce tableau s'aelle triagle de Pascal ** Utilisatio de la formule du biôme our le calcul de différetes sommes. A artir de l'égalité olyomiale (1+X) = 7 = C = 0 Â 1 X - o eut, e remlaçat l'idétermiée X ar ue valeur 1 ar exemle, obteir la relatio 2 = Â C. O eut obteir d'autres relatios olyomiales ar dérivatio ou ar multilicatio ar u olyôme. Aisi, e doat ue valeur à l'idétermiée o obtiet des relatios du tye récédet. O eut aussi e recherchat le coefficiet corresodat au terme X du olyôme (1+X) +m =(1+X) (1+X) m, obteir la relatio : = = 0

6 Â i=1 C m i C -i = C m + ** Gééralisatio. Le ombre d'alicatios d'u esemble ayat élémets das {0,1, 2} qui evoiet exactemet 1 élémets das 0, 2 élémets das 1, 3 =- 1-2 élémets das 2 est égal à: C 1 C 2-1 =! 1! 2! 3! Plus gééralemet, le ombre d'alicatios d'u esemble ayat élémets das {0,1, 2,, -1} qui evoiet exactemet 1 élémets das 0, 2 élémets das 1, 3 =- 1-2 élémets das 2,..., élémets das -1 est égal à : C 1 C C! = 1! 2! 3!...! avec =. E) COMBINAISON AVEC REPETITION DÉFINITION: État doé u esemble fii de objets, o aelle combiaiso avec réétitio de ces objets à, tout grouemet o ordoé de objets choisis armi les objets avec réétitio. Le ombre de combiaisos avec réétitio de ces objets à, est égal à : et estoté K. C + -1 La démostratio de ce résultat cosiste à costruire ue bijectio de l'esemble des d'alicatios croissates de das sur l'esemble des d'alicatios strictemet croissates de das

7 Plus récisémet, o associe à f alicatio croissate de das l'alicatio g = g(f) défiie ar : si i est das g(i) = f(i) +i-1. O motre alors que g est ue bijectio de l'esemble des d'alicatios croissates de das sur l'esemble des d'alicatios strictemet croissates de das +-1. Le ombre de combiaisos avec réétitio de N objets à est égal au ombre de combiaisos formées d u seul objet, lus le ombre de combiaisos formées de deux objets et aisi de suite jusqu au ombre de combiaisos formées de objets. O obtiet aisi la relatio : K = C C -1 C C -1-1 C i = ÂC -1 C i+1 = ÂC -1-1 i= 0-1 i= 0 -i-1 C i+1 = C +-1 Exemles a) Le ombre de faços de lacer objets idiscerables das cases, chaque case ouvat coteir évetuellemet lusieurs objet est K. b) Le ombre d'alicatios croissates de das est égal à K. c)le ombre d'alicatios f d'u esemble E de élémets das l'esemble { 0,1,..., } telles que  f(x) = est égal à K = K P. xœe O ourra observer que ce cas reviet à lacer objets idiscerables das cases, si a est u élémet de E, f(a) corresod au ombre d objets que l o lace das la case a. 9

8 TABLEAU RECAPITULATIF Arragemets de objets à (*) A Combiaisos de objets à (*) C Permutatios de objets! Arragemets avec réétitio d'ordre ( 1,, ) de {1,,} i =! 1! 2!...! Combiaisos avec réétitio d'ordre de {1,,} K Permutatios avec réétitio d'ordre ( 1,, ) i = (ermutatios de élémets armi lesquels i sot du tye i et ce our i=1,,). Ragemets de boules das cases distictes Alicatios de {1,,} das {1,,}! 1! 2!...! Alicatios ijectives de {1,,} das {1,,} (*) A Alicatios croissates de {1,,} das {1,,} K Alicatios strictemet croissates de {1,,} das {1,,} (*) C Solutios de l'équatio  x i = x i das N K = C +-1 i =1-1 x i das N*, C -1 Solutios de l'iéquatio  x i x i das N K +1 i =1 =C + x i das N*, C (*) Si cette coditio 'est as vérifiée il y a zéro ossibilité. 10

9 EXERCICES DU CHAPITRE I Exercice 1 Écrire tous les arragemets avec réétitio d'ordre 2 des 4 ombres 1, 2, 3 et 4. Écrire tous les arragemets avec réétitio d'ordre 3 des 3 ombres 4, 5 et 6. Exercice 2 O cosidère u jeu forai où 4 souris, umérotées de 1 à 4, se diriget vers 5 cases A, B, C, D et E, lusieurs souris ouvat choisir la même case. Sur chaque billet, le joueur iscrit ue réartitio des souris das les cases et il gage lorsque so roostic se réalise. Combie de billets le joueur doit-il acheter our être sûr de gager? Exercice 3 O a u jeu de 32 cartes. O e red 8, ce qui costitue "ue mai". Déombrer les mais qui cotieet : -Exactemet u as -Exactemet deux as -Aucu as -Au mois u as -Deux cœurs et trois iques -2 cœurs, 3 iques et 1 trèfle -2 cœurs et 1 as -2 cœurs et 2 dames -U carré Exercice 4 O jette 3 dés A, B, C ayat chacu 6 faces. Les faces sot umérotées de 1 à 6. O s'itéresse aux résultats ossibles. Déombrer : 11

10 -Tous les résultats ossibles -Les résultats où les 3 faces ameées sot idetiques -Les 3 faces sot différetes -Les résultats e comortat aucu as -Les résultats comortat au mois u as -Les résultats comortat exactemet 1 as, 2 as Exercice 5 U damier comorte 25 cases. Quel est le ombre de faço de lacer 5 ios de telle faço qu'il y e ait 1 ar liges et 1 ar coloes. Exercice 6 Combie de ombres disticts eut-o former avec trois chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 1) E suosat que les trois chiffres sot disticts. 2) E suosat que chaque chiffres eut-être réété. 3) Reredre le roblème sachat que l'o utilise seulemet les chiffres imairs. Exercice 7 U réseau téléhoique déartemetal comorte des uméros de 6 chiffres. Quelle est la caacité théorique du réseau? Quel est le ombre de uméros comreat : Exercice 8 a) 6 chiffres différets. b)1 chiffre aaraissat 2 fois, les autres ue fois. c)2 chiffres aaraissat 2 fois, les autres ue fois. d)3 chiffres aaraissat 2 fois. e)2 chiffres aaraissat 3 fois. f)1 chiffre aaraissat 4 fois, les autres ue fois. g)1 chiffre aaraissat 5 fois. Dix lais idiscerables sot réartis das trois cages. De combie de faços cela eut-il se faire si : 12

11 -Aucue restrictio 'est imosée -Aucue cage e doit être vide -Aucue cage e doit être vide et aucu lai 'est isolé Reredre les questios récédetes si l'o suose maiteat qu'il y a 2 mâles et 8 femelles. Exercice 9 Quel est le ombre de faço de disoser hommes et femmes autour d'ue table rode e resectat l'itercalatio des sexes? Exercice 10 De combie de maières eut-o costituer ue somme de 100 Euros avec des ièces de 1, 2, et de 5? Exercice 11 U rectagle est costitué ar 6 cases carrées égales umérotées de 1 à 6 comme l'idique la figure ci-dessous : O disose de 6 laquettes carrées, égales à chacue des cases et umérotées de 1 à 6. a) O lace les laquettes sur les cases, à raiso de ue ar case. Combie y a-t-il de ositios ossibles se distiguat : -uiquemet ar la lace des laquettes? -à la fois ar leur lace et leur orietatio b) Chaque laquette coïcidat avec la case de même uméro, o colorie e rouge le érimètre du rectagle qu'elles costituet, uis o les diserse. 13

12 De combie de faços eut-o former le rectagle de telle sorte que le cotour rouge soit recostitué? Exercice 12 De combie de maières eut-o remlir u toeau de 10 litres avec u ot de 1litre et u ot de 2 litres? Exercice 13 Calculer les sommes ci-dessous (o suose que das N*). Exercice 14 = C Â ; 3 Â C ; Â ( + 1)( -1)C ; =1 = = =1 = =1 Â si(x)c ; Âcos(x)C =1 = =1 E est u esemble ayat élémets, o ote F = P(E) l esemble des arties de E, calculer : Exercice 15 S = Âcard(X) X ŒF Motrer que : Exercice 16 C m+ Â = C m i i=0 C -i Soiet A et B deux esembles fiis de cardiaux resectivemet, met et tels que A est iclus das B. Déombrer l'esemble des arties X telles que A Ã X ÃB Exercice 17 Quel est le ombre de coules de arties (X, Y) d'u esemble ayat élémets vérifiat la roriété : «X ÃY «? 14

13 Quel est le ombre de coules de arties (X, Y) d'u esemble ayat élémets vérifiat la roriété : «X «Y est u sigleto «? Exercice 18 Combie y a t il de coules d etiers (i, j) das D 2 tels que i < j? Exercice 19 Quel est le ombre d'élémets de l'esemble des - ulets (x 1, x 2,..., x ) tels que x 1 +x x avec x 1, x 2,...,x élémets de N *. Quel est le ombre d'élémets de l'esemble des - ulets (x 1, x 2,..., x ) tels que x 1 +x x = avec x 1, x 2,..., x élémets de N *. Reredre les questios récédetes e suosat que les élémets sot das N. Exercice 20 Motrer les relatios suivates : = = Â = (+1)/2 ; Â 2 = (+1)(2+1)/6 ; =1 Calculer = Â (+1)(+4). =1 =1 = Â 3 = ( (+1)) 2 /4. =1 Exercice 21 Calculer la somme ci-dessous: Exercice 22 Âij 1 i j Das les arèes de Rome, e 21 av J.C., 12 esclaves, 4 gaulois, 3 umides et 5 thraces, sot livrés e âture à u lio. Hyothèse 1: Le lio glouto, tue 3 esclaves d'u seul cou de atte et les dévore d'u seul cou. 15

14 Calculer : Thraces.. différetes. a) Le ombre N de choix ossibles de 3 victimes. b) Le ombre 1 de choix comreat exactemet u Gaulois. c) Le ombre 2 de choix comreat au mois u Gaulois. d) Le ombre 3 de choix comreat au maximum deux e) Le ombre 4 de choix de 3 victimes ayat même atioalité f) Le ombre 5 de choix de 3 victimes ayat des atioalités Hyothèse 2: Le lio gourmad, tue 3 esclaves successivemet avec lesquels il fera u meu comosé d'ue etrée, d'u lat de résistace et d'u dessert. Calculer: a) Le ombre N' de meus qu'il eut comoser. b) Le ombre '1 de meus dot l'etrée est u gaulois. c) Le ombre '2 de meus dot le dessert 'est as u umide d) Le ombre '3 de meus dot l'etrée est u gaulois ou le dessert 'est as u umide. e) Le ombre '4 de meus dot les 3 lats ot de même atioalité. f) le ombre '5 de meus comreat au mois u thrace. Hyothèse 3 Le lio, fi gourmet à l'estomac délicat, rélève 4 bouchées, évetuellemet lusieurs qu'il déguste successivemet. Calculer : a) Le ombre N'' de dégustatios ossibles. b)le ombre "1 de dégustatios dot la remière bouchée est rélevée sur u thrace. c) Le ombre "2 de dégustatios dot au mois ue bouchée est rélevée sur u Numide. d) Le ombre "3 de dégustatios dot la remière bouchée est rélevée sur u Thrace et au mois ue bouchée est rélevée sur u Numide. e) Le ombre "3 de dégustatios dot la remière bouchée est rélevée sur u Thrace ou au mois ue bouchée est rélevée sur u umide 16

15 Exercice 23 Pour tout coule d'etiers aturels (, ) tels que 0 <, motrer que : = ( +1)C +1. C -1 Soiet das N tel que 4 et E = {1,, }. E déombrat de deux maières les arties à 4 élémets de l esemble E, motrer la relatio -1 ( - )C 2 4 Â -1 =C =3 [O ourra cosidérer les artitios de l esemble E de la forme {{1,..., -1}, {}, {+1,,}} ]. Exercice 24 Combie y -a-t-il de lois de comositios iteres défiies sur D? Exercice 25 Quel est le ombre de artitios ijectives d'u esemble E ayat 2, élémets, 3 élémets, 4 élémets ( 2 artitios sot cosidérées comme idetiques si elles sot obteues ar chagemet d'idices). Exercice 26 Quel est le ombre de ermutatios totalemet désordoées de D? O eted ar là, les ermutatios où aucu ombre 'est à sa lace. 17