Espaces probabilisés finis et dénombrement

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1 CNAM MULHOUSE. Ramm Algebra Ceter Formatio Igéieur Iformatique Mathématiques: PROBABILITES Cours Michel GOZE Chaitre 3 Esaces robabilisés fiis et déombremet 1. Problèmes de déombremet 1.1. Arragemets. Soit E u esemble coteat élémets: E = {e 1, e 2,, e }. Raelos que le roduit cartésie E est l esemble formé des -ules (e i1,, e i ) d élémets de E. Chaque e ij aaraissat das ce -ule est aelé ue coordoée de (e i1,, e i ). Défiitio 1. O aelle arragemet des élémets de E à (avec ) tout élémet de E ayat des coordoées différretes 2 à 2. Soit ar exemle E = {a, b, c, d}. Les élémets de E 2 sot (a, a) (a, b) (a, c) (a, d) (b, a) (b, b) (b, c) (b, d) (c, a) (c, b) (c, c) (c, d) (d, a) (d, b) (d, c) (d, d) Le roduit E 2 cotiet 16 = 2 4 élémets. De maière géórale, o a Proositio 1. Soit E u esemble fii coteat élémets. Pour tout etier o ul, le roduit cartésie E cotiet élémets Rereos l exemle. Les arragemets 2 à 2 corresodet aux coules dot les coordoées sot différetes c est-à-dire: (a, b) (a, c) (a, d) (b, a) (b, c) (b, d) (c, a) (c, b) (c, d) (d, a) (d, b) (d, c) 1

2 2 CNAM Probabilités Il y a doc 12 arragemets 2 à 2 de E. Das le cas gééral, ous avos: Proositio 2. Soit E u esemble fii coteat élémets. Pour tout etier o ul, le ombre d arragemets 2 à 2 de E est A! = ( 1)( 2) ( + 1) = ( )! Permutatios. Soit E u esemble fii coteat élémets. Défiitio 2. O aelle ermutatio de E tout élémet de E dot les coordoées sot deux à deux différetes. Ue ermutatio de E est rie d autre qu u arragemet de E à où est lma cardialité (le ombre d élémets) de E. O e déduit Proositio 3. Soit E u esemble fii coteat élémets.le ombre de ermutatios de est P =!. Il suffit de faire das A, = et de se raeler que, ar covetio, 0! = 1. Raelos qu ue alicatio f : E E est dite ijective si our tout (x, y) E 2 tel que f(x) = f(y), alors x = y. Ceci sigifie que deux élémets disticts de E o deux images distictes. L alicatio f est dite surjective si our tout élémet y E, il existe x E tel que y = f(x), c est-à dire tout élémet de E est l image de quelqu u. Efi l alicatio f est dite bijective si elle est à la fois ijective et surjective. E gééral, l ue seule des deux roriétés que sot l ijectivité et la surjectivité imlique as la surjectivité. La théorie des automates, très e vogue actuellemet, est friade des cas articuliers où l ijectivité imlique la bijectivité, c est-à-dire des cas où ces deux otios sot syoymes. C est ce qui se asse das la situatio qui ous itéresse ici: Proositio 4. Soit E u esemble fii coteat élémets. ijective f : E E est aussi bijective (et doc surjective). Alors toute alicatio Soit E = {e 1,, e } et soit f : E E ue bijectio de E. Alors l image de f, soit (f(e 1 ),, f(e )) e cotiet que des élémets deux à deux disticts. O e déduit que (f(e 1 ),, f(e )) est ue ermutatio de E. Iversemet toute ermutatio de E défiit ue bijectio de E das E. Aisi Proositio 5. Soit E u esemble fii coteat élémets. Le ombre de bijectios f : E E est!.

3 1.3. Combiaisos. Reveos aux arragemets de E. Michel Goze - Elisabeth Remm 3 Défiitio 3. Soit E u esemble fii coteat élémets. O dit que deux arragemets défiisset la même combiaiso s ils e diffèret que ar l ordre de leurs coordoées. Chaque combiaiso à doe ar ermutatio de ces coordoées,! arragemets. O e déduit: Proositio 6. Soit E u esemble fii coteat élémets. Le ombre de combiaisos à est! = 1, =!( )! = A!. Das l exemle du remier aragrahe, les seules combiaisos sot (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d). O a bie 2 = 4! 4 2!2! = ermutatios 2 à Quelques roriétés des coefficiets ( ). Les coefficiets s aellet les coefficiets biomiaux tout simlemet car ils sot les coefficiets aaraissat das la formule du biôme de Newto (x + y) = x + x 1 y + x 2 y x y + + xy 1 + y. Ces coefficiets vérifiet les roriétés suivates: (1) = 1, = =. ( ) ( ) (2) =. 1 (3) = C est cette derière roriété qui ermet de costruire le fameux triagle de Pascal, aelé aussi triagle de Tartaglia (robablemet l auteur de cette découverte): =

4 4 CNAM Probabilités Remarquos, our termier, que our des valeurs de ou relativemets grades, ce coefficiet est quasimet imossible à calculer Arragemets, ermutatios et combiaisos avec réétitios. Soit E = {E 1,, e } u esemble fii à élémets. O a défii u arragemet des élémets de E à comme u élémet de E dot les coordoées sot deux à deux différetes. Si o cosidère lus gééralemet u élémet de E, sas coditio sur les coordoées, o arlera das ce cas d arragemet avec réétitio. Aisi tout élémet de E est u arragemet avec réétitio. O e déduit que le ombre d arragemet avec réétitio à est égal à. O eut égalemt défiir ue otio de ermutatio avec réétitio. Doos ous etier ositif 1,, avec = s. Bie etedu s. Les élémets de E s coteat 1 coordoées égales à e 1, 2 coordoées égales à e 2, aisi de suite jusqu à coordoées égales à e. U tel élémet de E s s aellera ue ermutatio avec réétitio. Exemle. Soit E = {a, b} u esemble à 2 élémets. Les ermutatios corresodat à 1 = 2 et 2 = 3, et doc s = 5 sot (a, a, b, b, b) (a, b, a, b, b) (a, b, b, a, b) a, b, b, b, a) (b, a, a, b, b) (b, a, b, a, b) (b, a, b, b, a) (b, b, a, a, b) (b, b, a, b, a) (b, b, b, a, a) Proositio 1. Le ombre de ermutatios avec réétitio sur E avec 1 coordoées égales à e 1, 2 coordoées égales à e 2, aisi de suite jusqu à coordoées égales à e est ( )!. 1 2! Efi, deux arragemets avec réétitio qui e diffèret que ar l ordre de leurs coordoées sot dits défiir la même combiaiso avec réétitio. Proositio 2. Le ombre d arragemets à avec réétitio sur E est égal à Γ ( + 1)! = =.!( )! + 1 Exemles (1) Ue séquece d ADN est costituée d u echaiemet de 4 ucléotides labellisés A,C,G,T our Adéie, Cytosie, Guaie et Thymie. Nous ouvos ous itéresser das u remier tems aux arragemets de deux ucléotides. Il s agit d arragemets avec réétitios corresodat à = 4 et = 2. Il y a doc = 2 = 16 diucléotides ossibles: AA AC AG AT CA CC CG CT GA GC GG GT T A T C T G T T (2) Le tiercé das l ordre lors d ue course de chevaux est associé u arragemet sas réétitio. Par exemle, si la course comorte 20 chevaux, le ombre de tiercés ossibles à l arrivée est A 3 20 = 20! = = !

5 Michel Goze - Elisabeth Remm 5 2. Lois de robabilité et combiatoire 2.1. Défiitio. Soit Ω = {ω 1,, ω } u esemble fii à élémets. Cosidéros la tribu F = P(Ω). L esace (Ω, F) est doc u esace robabilisable. Pour d/ efiir ue loi de robabilité sur cet esace, il suffit de cosidérer ue alicatio telle que P : Ω [0, 1] P (ω 1 ) + P (ω 2 ) + + P (ω ) = 1. E effet, il est aisé d étedre P à F, et cette alicatio vérifie les coditios our être ue robabilité sur (Ω, P(Ω)) (voir Défiitio 6 Chaitre 2). Raelos u eu de vocabulaire. (1) Ω est l esemble fodametal, ou uivers ou oulatio. (2) Les élémets ω i sot les éreuves ou les évèemets élémetaires. (3) P (ω i ) est la robabilité de l éreuve ω i. (4) Tout sous-esemble A de Ω est u évèemet. Raelos efi que si A est ue artie de Ω, alors P (A) est la somme des robabilités des élémets de A Probabilité uiforme et combiatoire. O suose idas ce aragrahe que tous les évèemets élémetaires ot la même robabilité. O aura doc P (ω i ) = 1. Si A Ω est u évèemet, sa robabilité sera doc égale à: P (A) = card(a) = card(a) card(ω) Cette formule est bie simle, la seule difficult que l o ourra recotrer est celle de détermier coveable Ω, et les cardialités = card(ω) et our u évèemet A doé, card(a). (1) Jeu de cartes. O cosidère u jeu de N cartes (e gééral N = 52 ou 32. O distribue k cartes à u joueur. L uivers Ω est formé de l esemble des jeux à ciq cartes. Ceci est as ecore suffisat our détermier Ω. Soit l ordre e distributio des cartes comte our la suite de la artie de cartes, soit il iterviet as (ce qui est le cas das toutes les arties classiques: belote, rami,...). Si l ordre de distributio iterviet k as, alors le ombre d élémets de Ω est doé ar le ombre de combiaisos. (2) Lacer de dés Lorsqu o lace ue fois u dé (o truqué), la robabilité d avoir u uméro doé corresod à la robabilité d avoir u évèemet élémetaire. Suosos qu o lace le dé k fois. Das ce cas, l uivers sera Das ce cas o a Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} k. card(ω) = 6 k.

6 6 CNAM Probabilités (3) Tirage das ue ure. Cosidéros ue ure coteat N boules de différetes couleurs. Das cette ure o effectue tirages. La détermiatio de l esemble fodametal Ω déed du mode du tirage. (a) Tirages simultaés. O tire les boules e même tems. L esemble Ω est l esemble de toutes les arties de élémets d u esemble de N élémets. O a doc ici CardΩ =. N (b) Tirages avec remise. O tire les boules ue ar ue et chaque boule tirée est remise das l ure avat le rochai tirage. Das ce cas, ue même boule eut êtree tiré lusieurs fois. L esemble Ω est l esemble de toutes les listes de élémets d u esemble de N élémets. O a doc ici CardΩ = N. (c) Tirages sas remise. O tire les boules ue ar ue et les boules tirées e sot as remises das l ure. Das ce cas, ue même boule e eut as être tirée lusieurs fois. L esemble Ω est l esemble de tous les arragemets de élémets d u esemble de N élémets. O a doc ici CardΩ = A N! N = (N )!.

7 Michel Goze - Elisabeth Remm 7 EXERCICES Exercice 1. O cosidère l esemble formé des trois lettres E,O,N. (1) Ecrire l esemble des ermutatios de cet esemble. (2) Calculer la robabilité des évèemets suivats: (a) mot de la lague fraçaise. (b) mot de la lague aglaise. (c) mot e verla. (d) mot i fraçais, i aglais. Exercice 2. (1) Combie de mots de 5 lettres (avec ou sas sigificatio) eut-o former avec otre alhabet? Trouver deux mots écrits avec les mêmes lettres mais avec des ses différets? (2) Combie de mots à 7 lettres eut-o ècrire à artir du mot CELLULE? Exercice 3. Quel est le ombre de maières de lace 8 covives autour d ue table? Exercice 4. O tire au hasard 5 cartes d u jeu de 52 cartes. (1) Quelle est la robabilité d avoir exactemet 3 coeurs? (2) Quelle est la robabilité d avoir au mois ue aire? Exercice 5. O lace u dé 6 fois de suite. Quelle est la robabilité d obteir les six uméros de 1 à 6? Exercice 6. Ue ure cotiet ciq boules umérotées de 1 à 5. Détermier la robabilité de tirer trois ombres dot la somme soit 8 (1) our des tirages avec remise, (2) our des tirages sas remise. Exercice 7. o cosidère trois ures U 1, U 2 et U 3 : U 1 cotiet 7 boules oires et 3 blaches, U 2 cotiet 4 boules oires et 4 blaches, U 3 cotiet 1 boule oire et 4 blaches, O choisit ue ure au hasard et o tire ue boule. (1) Quelle est la robabilité qu elle soit oire? (2) Sachat que cette boule est oire, quelle est la robabilité qu elle roviee de l ure U 1? Exercice 8. Comarer la robabilité d obteir au mois u as avec quatre lacers d u dé avec celle d obteir au mois u double as e 24 lacers de deux dés. Exercice 9. U exercice our ces tems de grie. Le quart d ue oulatio a été vaccié cotre la grie. Au cours de l éidémie actuelle, o costate qu il y a armi les malades u vaccié our euf o vacciés. (1) Les évèemets avoir été vaccié et être tombé malade sot-ils idéedats? (2) Au cours de cette éidémie, il y a u malade sur douze armi les vacciés. Quel était la robabilité de tomber malade our u idividu o vaccié?