Chapitre 3 : Statique

Transcription

1 haptre 3 : Statque 3. INTDUTIN La mécaque ratoelle ou théorque, est ue scece qu étude le mouvemet de la matère sous sa forme la plus smple. est ue scece qu trate des los géérales régssat le mouvemet mécaque et l état d équlbre des corps ou des partes de corps matérels. Par mouvemet de la matère o eted, tous les chagemets qu se produset pedat les processus thermques, chmques, électromagétques, tra-atomques et autres. La mécaque ratoelle se bore à cosdérer la forme la plus élémetare du mouvemet, à savor : Le mouvemet mécaque. Par mouvemet mécaque, o eted le chagemet de posto relatve des corps matérels qu se produt das le cours du temps. Pusque l état d équlbre (statque, fe, stable) est qu u cas partculer du mouvemet, la mécaque ratoelle se doe auss comme objet l étude de l équlbre des corps matérels. La mécaque ratoelle utlse des smplfcatos, et des abstractos utles, qu serot trodutes pour eamer la questo sur le pla théorque et de dégager la soluto par les moes les plus facles. Le préset cours a pour objet la mécaque classque, c est à dre ue mécaque fodée sur des los coues dot les premers éocés remotet à Gallée ( ) et à Newto ( ). Vers la f du 9 eme sècle et au début du 2 eme sècle, les chercheurs ot costaté que les los de la mécaque classque cesset d être applcables au mouvemet des partcules mcroscopques et des corps dés que leurs vtesses deveet proches de celle de la vtesse de la lumère. Le début du 2 eme sècle marque l apparto de la mécaque relatvste, qu a pour base la théore de la relatvté développée par. Este ( ). ette théore a précsé les lmtes de la valdté des los de la mécaque classque e établssat des relatos quattatves rgoureuses etre l espace, le temps, la masse et l éerge. omme les autres sceces de la ature, la mécaque ratoelle utlse beaucoup les abstractos. La méthode des abstractos, jote à la gééralsato des résultats de l observato mmédate, de la producto et de l epérece, permet de dégager quelques cocepts premers qu se poset e aomes. Tous les développemets de la mécaque classque se déduset de ces aomes par voe de rasoemet logque et de calcul mathématque. 3. XIES DE L STTIQUE La méthode des abstractos et la gééralsato de l epérece accumulée pedat des sècles d observato mmédate et d actvté pratque des hommes ot perms de dégager certas los géérales de la statque. es los s appellet aomes. Tous les développemets ultéreurs de la statque élémetare se déduset des aomes par rasoemet mathématque.

2 ome : Pour que deu forces applquées à u solde parfat se trouvet e équlbre, l faut et l sufft qu elles soet de module égal, de ses cotrare et soet portées par la drote jogat leurs pots d applcato (gure 3.). 2 gure 3. ome 2 : u sstème de forces applqué à u solde parfat, o peut ajouter ou retracher mporte quel sstème de forces équlbré sas que l effet du premer sstème s e trouve modfe. ome 3 : Les forces eercées par deu soldes l u sur l autre sot toujours de même module, de même drecto et de ses opposé (Prcpe de l acto et de la réacto). ome 4 : S u sstème de force doé est équlbré sur u solde, l reste équlbré auss sur tout autre solde. (Les dmesos et la forme du solde e jouet aucu rôle das la statque du solde parfat) ome 5 : S u corps déformable se trouve e équlbre, l le reste auss après la soldfcato (Prcpe de soldfcato). ome 6 : La résultate de deus forces applquées à u même pot du solde a so pot d applcato e ce même pot ; so module et sa drecto sot détermés par la dagoale du parallélogramme costrut sur ces deu forces (ègle du parallélogramme). 3.2 LIISNS, PPUIS ET ETINS 3.2. Défto Les soldes cosdérés e mécaque peuvet être lbres ou lés, suvat le cas. U solde est dt lbre s l peut se déplacer e toute drecto, par eemple ue perre lacée das l espace est u solde lbre. U solde est dt lé s l e peut se déplacer que das des drectos détermées ou s l est assujett à rester mmoble. Les corps matérels qu s opposet au mouvemet du solde sot appelés lasos et les forces qu ls eercet sur le solde, sot des réactos de lasos.

3 3.2.2 Dfférets tpes des lasos et de réactos Les lasos peuvet être matéralsées sot par des appus, artculatos, ecastremets, etc. Das les cas éumérés sot cofectoées à partr d u matérau absolumet rgde, et à partr que le frottemet, au pots de cotact avec les soldes cosdérés, est cosdéré églgeable. a) Laso lbre ette laso est e fat ue absece de laso, le solde est «lvré à lu même» (cas d u satellte das l espace, ou d u projectle). Il este s degrés de lberté et aucu effort de cotact trasms (pas de réacto). b) Laso poctuelle et appu pla (appu smple) Pour u solde repose smplemet sur ue surface pole (horzotale, vertcale ou clée) gure 3.2 (a, b) ou sur le rouleau cldrque gure 3.2c, la réacto de la surface est applquée au solde e pot de cotact et drgée suvat la ormale à la surface d appu. Elle s appelle réacto ormale et se ote. gure 3.2a gure 3.2b gure 3.2c c) Soldes artculés (ppus doubles) Das la pratque, o trouve parfos le corps solde artculé sot par : - u appu artculé (gure 3.3a), - ue artculato cldrque (laso pvot glssat, laso léare aulare) (gure 3.3b), - ou ue artculato sphérque (laso rotule) (gure 3.3c). Le module et la drecto de la réacto das so pla sot cous z gure 3.3a gure 3.3b gure 3.3c

4 d) arres rgdes Les barres de pods églgeables peuvet servr comme des lasos. Leur réacto sera drgée suvat la logueur de celle-c (gure 3.4). (S) arre rgde gure 3.4 e) Laso fleble (fl, corde, chaîe) (gure 3.5) La réacto T porte le om de teso. Elle est applquée au pot d attache du le fleble au solde, drgée le log de la laso fleble (du fl, de la corde, de la chaîe, etc..). D haîe T D T P P gure 3.5a gure 3.5b f) Laso Ecastremet (gure 3.6) La laso ecastremet e permet aucu mouvemet relatf etre les deu soldes. Leurs réactos sot représetées par u momet qu empêche la rotato du solde, et des réactos horzotale et vertcale, qu empêchet les déplacemets horzotau et vertcau. Ecastremet gure 3.6a osol X Y gure 3.6b

5 3.3 XIE DES LIISNS Pour tout corps solde lé (gure 3.6a), l est possble de supprmer les lasos e les remplaçat par les réactos et, de lu cosdérer comme u corps solde lbre (gure 3.6b) soums à l acto des forces doées et des réactos de lasos. orde Ecastremet D Poutre Pla clé gure 3.6a. orps solde lé T X D Y gure 3.6b. orps solde lbre 3.4. ENT D UNE E P PPT UN PINT Sot ue force et u pot (gure 3.7). eos par u pla coteat. bassos de ue perpedculare P sur la drecto de la force. La logueur de la perpedculare est le bras de lever h de la force par rapport au pot ; ce pot s appelle pôle. o () h P h P gure 3.7a gure 3.7b gure 3.7 omet d ue force par rapport à u pot

6 Le momet de par rapport à est le produt du module du vecteur de la force par le bras de lever h, qu peut être affecté de sge postf ou égatf. o ( ) h (3.) o ( ) s la force fat tourer le pla das le ses cotrare à celu des agulles d ue motre. o ( ) s la force fat tourer le pla das le ses des agulles d ue motre. La valeur absolue du momet d ue force est le double de l are du tragle costrut sur la force et le pôle ou l are du parallélogramme (gure 3.7b). () h 2 S où : () h s r s r d où () r (3.2) Le vecteur momet o () est égal e module à l are du parallélogramme costrut sur les vecteurs r où et. Il est perpedculare au pla de ces deu vecteurs. s, le vecteur momet d ue force o () par rapport à u pot est u vecteur lé e, qu s écrt : o () r (3.3) 3.5. TSEUS DES ES EXTEIEUES Les efforts applqués sur u sstème matérel peuvet être représetés mathématquemet par u torseur, appelé torseur d'acto, qu s'écrt e u pot : (3.4) ù

7 eprésete la résultate des forces etéreures applquées ; Le momet de la force par rapport au pot. Les efforts etéreurs à u sstème matérel (S) sot les efforts eercés sur (S) par d'autres sstèmes etéreurs ( gure 3.7a). S (S) est soums à des forces et des couples (gure 3.7a), le torseur des efforts etéreurs eercés sur (S) e u pot ( gure 3.7b), s'écrt : e e e (3.5) ( ) gure 3.7a gure 3.7b 3.6 NDITIN D EQUILIE STTIQUE 3.6. as Gééral U solde (S) est e équlbre par rapport à u repère fe () s chaque pot de (S) reste fe das le temps par rapport à (). E coséquece, le torseur des forces etéreurs e tout pot est ul où : e e (3.6) e Pour que le sstème de forces applquées à u solde sot e équlbre, l faut et l sufft que la résultate géérale du sstème et le momet résultat par rapport à u cetre de réducto quelcoque soet égau à zéro, où :, ( ) (3.7) odto d équlbre aaltque orces quelcoques La codto d équlbre aaltque d u corps solde est que la projecto des élémets du torseur des forces etéreures sot ulle. ette projecto sur les aes d u repère orthoormé (, z) permet d obter e gééral s équatos : - Tros équatos lées à la résultate des forces etéreures :

8 z z Et, tros équatos lées au momet des forces par rapport au aes du repère : z z orces cocourates Das le cas d'u sstème de forces cocourates au cetre, le momet sera ul par rapport à, l reste seulemet tros équatos pour la projecto de la résultate: z z orces plaes Das le cas d u problème pla (par eemple X et Y), o aura tros équatos d'équlbre. -Deu équatos lées à la résultate statque : Et ue équato pour le momet des forces par rapport au cetre :

9 orces parallèles Das le cas d u sstème de forces parallèles, où u couple, ue équato pour le momet des forces par rapport au cetre : odto d équlbre géométrque Pour que le sstème de forces cocourates sot e équlbre, l faut et l sufft que le polgoe des forces sot fermé.