Correction du baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2009

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1 Correctio du baccalauréat S Podichéry 6 avril 009 EXERCICE 7 poits La foctio f est défiie sur l itervalle [0 ; + [ par : f (x)=xe x. Partie. a. O remarque que, pour tout x> 0, f (x)= x x e. x lim x + x =+ Or X lim X + e X = 0 (Iverse de limite de référece.) x doc lim = 0 et lim = 0 et, par produit des limites, x + x e x + x lim f (x)=0. x + b. La foctio f est dérivable sur so esemble de défiitio comme produit de foctios dérivables. Pour tout x 0, g (x)=e x + x ( x)e x. Formules utilisées (uv) = u v+ uv et (e u ) = u e u. Doc g (x)=( x )e x. Comme e x > 0, g (x) est du sige de x, polyôme du secod degré ul [ pour x = / et égatif sauf etre ses [ ] [ racies. Doc g (x)>0 si x 0; et g (x)<0 si x ; +. La foctio g est doc croissate puis décroissate et admet u maximum ( ) e. Efi, g = e / =. e a [. F (a)= xe x dx = ] a 0 e x = 0 e a. lim F (a)= a + car lim a + e a = 0. + Partie B u = f (x)dx ] [. a. La foctio f est décroissate sur ; + et doc, pour tout etier aturel, f est décroissate sur [ ; + ] et pour tout x [ ; + ], f (+ ) f (x) f (). L iégalité de la moyee permet de dire que (+ )f (+ ) c.-à-d. f (+ ) u f () + f (x)dx (+ )f () b. Pour tout, u f (+ ) u + doc la suite est décroissate à partir du rag. c. Comme lim f () = 0, que lim f (+ ) = 0 et que pour tout, f (+ ) u f (), la suite (u ) coverge vers 0. (Théorème de comparaiso). a. Pour tout, u k = f (x)dx+ f (x)dx+ + f (x)dx. E k=0 0 }{{} utilisat la relatio de Chasles, u k = k=0 0 termes f (x)dx = F ().

2 . P. M. E. P. Corrigé du baccalauréat S b. Le tableau illustre le fait que (F ()) coverge vers /, coséquece du résultat démotré e.. Mais il illustre aussi le fait que la covergece est très rapide. E effet, / F () = e et, pour tout 5, o a e e 5 < 7.0. Doc F (5) est ue boe approximatio de l aire sous la courbe etre 0 et+. EXERCICE Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité 5 poits N Γ M Γ Q v D C O u. a. b. B c b a b = +i = i(+i) = i de module et d argumet π/ doc +i +i B = BC et ( B ; BC ) = π/. (Iterprétatio géométrique d u quotiet). Le triagle BC est doc rectagle isocèle de sommet B. c. a = 9+= 0 et b = +9= 0 doc O = OB = 0. Les poits sur le cercle de cetre O et de rayo 0.. a. La rotatio de cetre M(m) et d agle π/ a pour expressio complexe : z = e iπ/ (z m)+m soit z = iz+ ( i)m. b. N () est l image de par r, doc = ia+ ( i)m= +i+( i)m.. Le milieu Q du segmet [N ] a pour affixe q = a+ = +i+ ( i)m. 4. Das cette questio, M est u poit du cercle Γ. a. Le poit M(z) est sur le cercle de cetre Ω(ω) et de rayo r si et seulemet s il existe u réel θ tel que z = ω+r e iθ (Représetatio paramétrique d u cercle). Ici, M est sur le cercle de cetre O et de rayo 0 doc il existe u réel θ tel que : m= 0e iθ. b. q i = ( i)m = i. m = 0 = 5. Si D est le poit d affixe d = +ı, alors DQ = 5 doc Q est sur le cercle de cetre D et de rayo 5. Plus précisémet, q d = ( i)m = e iπ/4 0e iθ = 5e i(θ π/4). Quad M décrit le cercle Γ, θ décrit R, θ π/4 décrit R et le poit Q décrit tout le cercle de cetre D et de rayo 5. Podichéry 6 avril 009

3 . P. M. E. P. Corrigé du baccalauréat S EXERCICE Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité z = i et z B = +i. 5 poits. Les poits O et sot disticts et les poits et B aussi, il existe doc ue uique similitude directe S telle que : S(O)= et S()=B. (Similitude défiie par les images distictes de deux poits disticts). O ote z = az+ b l écriture complexe de la similitude S. S(O)= z = a 0+b b= i, S()=B z B = az + b +i= ai+i ai=+i a= i. L écriture complexe de S est doc z = ( i)z+ i Le complexe i a pour module cos(θ) = et pour argumet θ tel que si(θ)= soit θ= π 4 Le poit ivariat par S est le poit Ω(ω) vérifiat : w = ( i)ω+i iω=i ω= S est ue similitude directe de cetre Ω(), de rapport et d argumet π 4.. a. Les affixes z des poits vérifiet z 0 = 0 et z + = ( i)z +i. E outre, puisque Ω() est cetre de S, o a z + =( ı)(z ). La suite (z ) est doc géométrique de raiso i et de premier terme z 0 =. Et pour tout, z =( )( i), soit z = ( i). b. Ω a pour affixe z = ( i). + a pour affixe z + z = ( i) ( i) + = ( i) i. z + z Pour tout, = i = e iπ/ doc (Iterprétatio géométrique z ( d u quotiet), Ω = + et Ω, + )= π. c. Le triagle Ω + est doc u triagle rectagle isocèle idirect de sommet. Les poits successifs se costruiset doc e traçat des triagles rectagles isocèles. B = = v O = 0 u Ω 4 4. Le poit ( ) appartiet à la droite (ΩB) si et seulemet si ( ΩB, Ω )=kπ, (k Z). Or ( ΩB, ( ) z ( Ω )=rg = rg(( i) )= ( ) π ) doc z 4 ( ΩB, Ω )=kπ = k = 4k (mod 4) 4 Podichéry 6 avril 009

4 . P. M. E. P. Corrigé du baccalauréat S EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats ( Das u repère orthoormé de l espace O, ı, j, ) k a pour coordoées (,, 0), B (, 0, ), C (0,, 5) et D(, 5, 5). Propositio : L esemble des poits M de coordoées (x, y, z) tels que y = x+4 est ue droite. FUX L équatio y = x + 4 caractérise u pla passat E(0,4,0) et de vecteur ormal (,,0) Propositio : La trasformatio qui, à tout poit M de l espace associe le poit M tel que M M = M + MB + MC est l homothétie de cetre G, où G désige le barycetre du système {(, ), (B, ), (C, )}, et de rapport. FUX. L égalité vectorielle s écrit ecore M M = 4 MG (réductio vectorielle), soit ecore GM = GM, caractérisat ue homothétie de cetre G et de rapport. Propositio :, B, C et D sot quatre poits coplaaires. FUX Les vecteurs D (0, 6, 5), DB (, 5, ) et DC (,, 0) e sot pas coplaaires. E effet, les vecteurs D et DC e sot pas coliéaires (composates ulles différetes) et DB est pas combiaiso liéaire de D et DC. E effet DB = x D + y y = DC 6x+ y = 5 Équatios icompatibles. 5x = Propositio 4 : La sphère de cetre Ω de coordoées (,, 0) et de rayo 5 est tagete au pla d équatio : x + y + z + = 0. VRI. La distace du poit Ω au pla est égale à = 5 doc est égale au + + rayo de la sphère. EXERCICE 4 Commu à tous les cadidats 4 poits. a. Il s agit d ue expériece à deux issues avec ue probabilité de succès p = 6 et ue probabilité d échec q = 5 que l o répète de maière idépedate fois. X représete le ombre de succès et suit doc ue loi 6 biomiale de paramètres = et p = 6. b. L espérace d ue loi biomiale de paramètres et p est p. Doc E(X )= 6 = ( ) c. P(X = )= p q = 5 6 = a. / D 5/7 / D L évéemet «choisir le dé équilibré et obteir exactemet deux six» correspod à D p(d )= p(d) p D ()= 5 7 = /9 Podichéry 4 6 avril 009

5 . P. M. E. P. Corrigé du baccalauréat S L évéemet «choisir le dé truqué et obteir exactemet deux six» correspod à D. p(d )= p(d) p D (). O utilise u raisoemet aalogue au.c., ( ) p D ()= p q où p =. Doc p D ()= 9 et p(d )= 9 = 9. b. O e déduit que p()= p(d )+ p(d )= = 44 = c. Il s agit de calculer p(d sachat )= p(d ) = p() = 6. ( ) 5. a. p D (B ) = p D («obteir aucu 6») = q =. De même ( ) 6 p D (B )=. O applique alors la formule des probabilités totales : p = p(b )= p(d) p D (B )+ p(d) p D (B )= ( ) 5 ( ). 6 ( ) 5 ( ) b. lim = 0 et lim = 0 car et appartieet à ] ;[. Doc lim p =. Ce résultat est prévisible car, quel que soit le dé, à coditio de jouer suffisammet logtemps, o a ue quasi certitude d obteir au mois ue fois u 6. (ici, p > 0,99 et p 00 ). Podichéry 5 6 avril 009