CORRIGÉ : MATH 2 ; MP ; Mines-ponts_2015
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- Maximilien Bruneau
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1 CORRIGÉ : MATH ; MP ; Mies-pots_05 A Norme d opérateur d ue matrice ) est u espace vectoriel ormé de dimesio fiie et S est u fermé boré de, c est doc u compact de L applicatio x Mx est u edomorphisme de l espace vectoriel ormé de dimesio fiie, doc cotiu, et l applicatio orme est cotiue, alors l applicatio x Mx est cotiue sur, alors boirée et atteit ses bores sur le compact S D où l existece de M op maxmx ; x S ) Soiet M, N M et O a bie M op pour tout M M si M op 0 alors Mx 0 pour tout x S et puisque pour tout x \0, x xy avec y S alors Mx 0 pour tout x et doc M est la matrice ulle M op maxmx ; x S max Mx ; x S maxmx ; x S M op Fialemet : x S ; M Nx Mx Nx Mx Nx M op N op D où M N op maxm Nx ; x S M op N op O a démotré alors que M M op est ue orme sur M Soit x \0 ; x xy avec y S et Mx xmy xm op Fialemet : x ; Mx M op x e particuler e remplaçat x par x y o obtiet : x, y ; Mx My M op x y 3) M est symétrique réelle, alors M est diagoalisable et admet ue base i, i orthoormale de vecteurs propres, otos alors,, les valeurs propres respectivemet associées à i, i Soit x x k i k u vecteur uitaire de Mx k k x k i k k k x k k max k k x max k k Doc Mx max ; M, d où M op max ; M D autre part pour k0 max k o a : i k0 est u vecteur uitaire et Mi k0 k0 alors M op k0 k Fialemet : M op k0 max ; M 4) J est symétrique réelle doc diagoalisable, de plus so rag est, alors ue première valeur propre est 0 et so sous espace propre est l hyperpla d équatio : x k 0 De plus le vecteur U k est u vetceur propre de J associé à la vaeur propre Le sous espace propre associé à la valeur propre est doc ue droite vectorielle egedrée par U O e déduit que J 0,, alors d aprés la questio précèdete : J op 5) Soit e,, e la base caoique de Notos que les vecteurs de cette base sot uitaires Me j M k,j e k et M op Me j M k,j M i,j et ce pour tous i, j, k k D où M op max M i,j ; i, j,
2 6) Soit x u vecteur uitaire de Mx Mx, Mx t MMx, x t MMx x t MMx t MM op La matrice t MM est symétrique réelle, alors d aprés la questio 3) t MM op max ; t MM Mx, Mx t MMx, x 0, alors toute valeur propre de t MM est positive t MM op max ; t MM t MM m trace t MM M i,j m est la multiplicité de i j Pour tout vecteur uitaire x de, Mx M i,j d où M op i j M i,j i j Si o a égalité, alors t MM op max ; t MM m t MM Alors au plus ue valeur propre o ulle avec m Or d aprés l égalité Mx, Mx t MMx, x o déduit que M et t MM ot le même oyau doc le même rag O e déduit alors que : M op M i,j si et seulemet si rgm i j 7) Soit M, alors d aprés la questio précèdete : M op M op si et seulemet si i, j, ; M i,j et M op M i,j i j M op si et seulemet si i, j, ; M i,j et M de rag M i,j i j Notos M, M,, M les coloes de M M état choisie ayat tous ses coefficiets das, et pour tout k, ; M k M Le ombre de choix possible pour M,, M est Le ombre de choix M est le ombre de parties de,,,, c est à dire Le ombre des matrices M de pour lesquelles M op est alors égal à B Variables aléatoires sous-gaussiees 8) Pour tout réel t o a : cht 0 t! et exp t 0 t! Il suffit alors de motrer que pour tout etier aturel, o a :!! Le cas 0 est évidet, et pour,!!, ce qui permet alors de coclure 9) Soiet t, et x, La foctio expoetielle est covexe sur, x et x sot deux réels positifs de somme, et doc : exptx exp x t x x t expt x expt 0) EX 0 et X à valeurs das,, alors d aprés la questio précèdete : exptx X expt X expt, doc EexptX E X X expt E expt EexptX EX expt EX expt cht exp t O suppose maiteat que EX 0 et X à valeurs das,, alors d aprés la questio précèdete : expt X X X expt expt EexptX Eexpt X E X X expt E expt EexptX EX expt EX expt cht exp t
3 ) Les X i sot idépedates, alors les exp i X i le sot aussi D où Eexpt i X i E expt i X i Eexpt i X i exp t i exp t i i i i X i est alors sous gaussiee i ) X ue variable aléatoire sous gaussiee et 0 la variable aléatoire exptx est à valeurs positives, alors : EexptX exptpx Doc : PX EexptX expt exp t expt exp t t EexptX exp t exp t, alors X est aussi sous gaussiee alors d aprés l étape ci-dessus : PX exp t t P X PX PX exp t t Posos pour tout réel t, t exp t t ; est de classe C sur et x t t atteit alors so miimum e t P X exp 3) Soit X ue variable aléatoire à valeurs positives, et soit Y X ( la partie etière de X ) Y est à valeurs das Y X Y alors EX existe si et seulemt si EY existe Et d aprés le résultat admis das l éocé, EX existe si et seulemet si la série PY k coverge Mais pour tout etier aturel k, PY k PX k puisque Y k X k Fialemet EX existe si et seulemet si la série PX k coverge, et das ce cas : EY EX EY c est à dire PX k PY k EX PX k k 4) Soit X ue vraiable aléatoire sous gaussiee et 0 supposos k Pexp X k P X lk P X k lk lk 0, alors d aprés la questio ) ; Pexp X k exp Pexp X i lk k exp lk k k, avec Notos ecore que l iégalité est évidete pour k Si alors et la série de terme géèral k coverge, doc aussi la série de terme géèral Pexp X k La variable aléatoire exp X est à valeurs positives, alors d aprés la questio 3, elle admet ue espèrace majorée par Pexp X k k C Recouvremets de la sphère k Soit K ue partie compacte o vide de, et soit 0 5) Soit a K, si K Ba,, o pred A a, si o il existe a K \ Ba, Si K Ba, Ba,, o pred A a, a, si o il existe a 3 K \ Ba, Ba, Supposos que ce procédé e s arrête pas, o costruit alors ue suite a de K, telle que : ; a Ba k, cette suite admet ue sous suite a covergete vers u certai k a K, doc à partir d u certai rag N, a a N ce qui est absurde D où l existece d ue partie fiie A de K telle que : K Ba, k aa
4 6) Soit u sous esemble de K tel que pour tous x, y disticts das, x y Motros que est fii avec card carda x ; a x A ; x Ba x, ( Pour tout x o se fixe u tel a x A ) Motros que pour tous x, y ; o a : a x a y dés que x y Par cotraposée, si a x a y alors x y x a x y a y ; alors x y L applicatio x a x est alors ijective de vers A, alors est fii et card carda Supposos alors que card est maximal Motros que K Ba, Par absurde supposos qu o a pas cette iclusio, il existe b K \ a Ba, a, b vérifie aussi la même hypothèse que avec card card, ceci est absurde puisque card est supposé maximal D où K Ba, a 7) Soit ue partie fiie de S telle que pour tous x, y diticts das, x y Soiet a et x Ba,, alors x x a a x a a x a Ba, B0, les compacts Ba, sot deux à deux disjoits pour a a Ba, B0, c est à dire card, d où card a 8) Soit ue partie du compact S telle que pour tous x, y diticts de ; x y O suppose que est de cardial maximal, alors d aprés la questio 6), S Ba, D autre part, d aprés la questio 7), card 5 D Norme d ue matrice aléatoire 9) Pour tout i,, y i M i,j x j avec x j et les variables aléatoires M i,j, sot j j idépedates et sous gaussiees Alors d aprés la questio ) la variable aléatoire y i est aussi sous gaussiee Mais puisque les variables aléatoires M i,j sot idépedates, alors les y i sot aussi idépedates et par suite les expy i sot aussi idépedates a Eexpy Eexp y i E expy i Eexpy i i i i Mais d aprés l iéalité d Orlicz admise à la fi de la partie B o a : i, ; Eexpy i Eexp y i 5 4 Fialemet : Eexpy Eexpy i 5 i D autre part : Eexpy expr Py r Doc Py r Eexpy expr 5e r
5 0) Soit ue partie de S vérifiat les coditios de la questio 8) Soit r 0, et supposos que M op r Il existe x S tel que : M x M op Il existe a tel que : x a M a M a M x M x M x M a M x M op M a M x puisque M a M x M op a x M op alors M a M op r Soit alors y a M a M op r y a r a D ue part : PM op r Py a r a D autre part : Py a r 5e r card 5e r 5 5e r 5e r a a Fialemet : PM op r 5e r
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