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1 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

2 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet CALCUL NUMERIQUE 3. DEFINITIONS DE BASE 3. PUISSANCES D UN NOMBRE 3.3 GRANDES ET PETITES VALEURS, ORDRE DE GRANDEUR 3.4 CALCUL FRACTIONNAIRE 4.5 PROPORTIONS ET POURCENTAGES 4.6 OPERATEUR SOMME 5.7 DIFFERENTS TYPES DE MOYENNES 5.8 BASES D ECRITURE ERREUR! SIGNET NON DEFINI. CALCUL LITTERAL 6. MISE EN FORME ET DEFINITIONS 6. CALCUL LITTERAL DANS DES CAS SIMPLES 6.3 POLYNOMES 6.4 OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 6 3 RAISONNEMENT ET MISE EN EQUATION 7 3. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE 7 3. MISE EN EQUATION D UN PROBLEME 8 Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

3 Calcul umérique. Défiitios de base Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet. Calculer le quotiet et le reste de a divisé par b (divisio euclidiee) puis calculer le résultat (e posat la divisio) approché à la 5 ième décimale : a. a = 5, b = 4 ; b. a = 5, b = 6 ; c. a = 435, b = puissaces d u ombre. Calculer : a. (, ) ; b.,., ; c. (,. ) 70 ; d. 3 45, , e., , 3. 0 ; f. 6 3 ; g., 44 0, 6 0, 64 ; h ;. Les réels x et y sot-ils égaux? a. x = 3 et y = 3 ; b. d. x = 3 + et y = + x = et y = ; c. x = 0 5 et y = 50 ;.3 Logarithmes Simplifier : a. log 0 (000) ; b. log 0 (0,0) ; c. log (5) + log (0,6) 3 d. log 0 ; e. log 0 (0,07) ; f. 8 log 00 0( 5 ) ; g. 8 l( 5 ).4 grades et petites valeurs, ordre de gradeur. Calculer la valeur exacte et l exprimer e otatio scietifique : 3 a., , 9. 0 ; b.,.,. d. 3 45, , ; c. (,. ) ; e., , ;. Ordre de gradeur : simplifier mauellemet pour obteir u résultat approché rapide, puis comparer avec le résultat plus précis doé par la calculatrice : a. 4, 0. 5, 30. 7, 330., 3, 07 6, ; b., 0. 3, 0. 5, , 4, 50. 6, ; Page 3 sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

4 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet c. 4, 7, 34 9, ; d. 5, 3 6, 8, 5 e , 0 4, 0 4, 0,,, ; f ;.5 calcul fractioaire. Doer la valeur exacte du résultat sous la forme d ue fractio irréductible : 6 a ; b. 5 3 ; c ; d ; e ; 5 3 f ; g , , 5 7 ; h ; i ; j proportios et pourcetages a. Sachat qu il faut 300 grammes de farie et œufs pour faire trete petits gâteaux, combie faut-il de farie et d œufs pour faire soixate quize petits gâteaux? Et si l o veut e faire cet ciquate? b. 8 petites baaes sot équilibrées par 3 poids de 50 grammes et poids de 5 grammes. Combie dois-je retirer de baaes si j ai retiré u poids de 50 grammes et que j ai rajouté poids de 5 grammes? c. Trois tuyaux débitats chacu 5 m 3 par heure permettet e ue jourée de 8 heures d arroser 50 hectares. Ayat augmeté la surface à arroser de 5 %, Pedat combie de temps dois-je arroser maiteat avec les 3 tuyaux? d. O place u capital C 0 = 5000 à itérêts composés au taux auel t = 5 %. Chaque aée, les itérêts sot calculés à partir du capital possédé à l aée précédete puis vieet s ajouter à ce capital. Exprimer C + e foctio de C et de t, calculer le capital possédé au bout de 0 as, et dire au bout de combie de temps o obtiedra le double du capital de départ. e. U capital de 5000 est déposé à itérêts composés pedat 7 as. Détermier le taux d itérêt auel sachat que ce capital a produit 3569 d itérêts. f. U article vaut 79 TTC. Le taux de TVA s élève à 8,6 %. Quel est le motat HT? Page 4 sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

5 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet g. Das u article de presse, o peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmeté successivemet de 5%, 8% et 0%, puis a baissé de 5%. Etre les istats iitial et fial, quelle a été le taux de variatio du prix du gasoil? h. Vous placez u capital le er javier au taux auel de 6% mais vous désirez retirer votre arget au bout de 6 mois. Combie retirerez-vous?.7 Iterpolatio liéaire iterpolatio ou extrapolatio Das chaque cas, o doe deux poits E et F. O doe ue coordoée d u poit M aligé avec E et F, il s agit de trouver l autre! a. E( ; 8), F(5 ; ), M(4 ;?) ; b. E(-3 ; ), F(3 ; 4), M(? ; 6) ; c. E(6 ; ), F(3 ; -8), M(4 ;?).8 opérateur somme. Ecrire avec l'opérateur somme les expressios suivates : a. x + x + 3 x x x 5 ; b. x + x² + 3x³ + + x ; c. q 9 + p q 8 + p q 7 + p 3 q p 8 q + p 9. Calculer les sommes proposées : a. 4 i 6 i e. ( x + ) ; b. ( i 00 ) ; c. ( i + b) sachat que 6 i 3 5 ; d. x = 00 et 6 i 0 0 x = 6. 8 ;.9 différets types de moyees Das chaque exercice, résoudre le cas cocrètemet puis associer au résultat la défiitio d ue des moyees vues e remise à iveau, tout e vérifiat la formule doée pour cette moyee. a. U avio fait u trajet etre la ville A et la ville B distates de 650 km à la vitesse moyee de300 km/h à vide. Lourdemet chargé, il effectue le voyage retour à la vitesse moyee de 00 km/h. Quelle est la vitesse moyee sur le trajet aller-retour? b. Soiet ciq plaques carrées de côtés respectifs, 5, 7, 3 et 6 cm. Quelle est la mesure du côté du carré dot l'aire est la moyee arithmétique des aires des ciq plaques? c. Le prix d'u article augmete de 0 % la première aée, puis de 0 % la deuxième aée, et baisse de 0 % la troisième aée. Quel a été le pourcetage moye d'augmetatio par a? Page 5 sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

6 calcul littéral. mise e forme et défiitios. calcul littéral das des cas simples Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet. Développez les produits remarquables suivats : a. (x + 3)² ; b. (5 - x)² ; c. (3x - 5)² ; d. (6x - 5)(6x + 5) ; e. (3 + x)(3 - x) ; f. (-x - )² ; g. (-7 - (-3x))² ; h. (y - (-3x))² ; i. (y - + x)² ; j. (x y)(y x). Etablir le triagle de VOUS (à l image du triagle de Pascal) qui permet d établir les coefficiets des polyômes obteus e calculat ( a +b ). 3. Développer ( x ) 7, e déduire la valeur de Développer ( +x) 7, e déduire la valeur de Soit le ombre M = O souhaite coaître sa valeur exacte. a. Calculer P = ( )( 7 6 ) sas calculatrice. b. Exprimer M² e foctio de P, puis coclure sur la valeur de M. 6. Résoudre das R après avoir élimié les valeurs iterdites : 5 a. + = x x x ; b. x + 3 = x + ; c. x + 3 x 0 > 0 x ; d. x 4x + x 7. Trouver le moye d obteir ue écriture simplifiée de A + B C, A, B et C positifs, sous la forme a + b c, lorsque c est possible (dire sous quelles coditios ça l est). Applicatio : doez ue écriture simplifiée de polyômes.4 opératios sur les polyômes. Additios, multiplicatios ; simplifier : x 3x x 7 x 4x 3 6x a. ( ) + ( ) ; b. (( x + x x x ) ( x x x )) ( x + ) c. ( x + )( x 3)( x ). Doer les racies des polyômes ci-dessous : P x ax b cx d P x = x x + a. ( ) = ( + )( + ) ; b. ( ) 3 d. P ( x) = 3x + ; e. ( ) P x = x 4x 3x ; c. ( ) = P x 3x 7x ; Page 6 sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

7 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 3. Divisios : 3x + 5x a. Diviser selo les puissaces CROISSANTES avec u reste de degré 5 : x 3x + 5x b. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : x 4 3 5x 4x + 3x x + c. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : x + x 4 3 5x 4x + 3x x + d. selo les puissaces CROISSANTES avec u reste de degré 4 x + x 4 + 5x x + x e. Diviser selo les puissaces CROISSANTES : x x 4 + 5x x + x f. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : x x 4. Décompositio sur les racies du diviseur : Soit à diviser les deux polyômes suivats puis à obteir la décompositio sur les racies du diviseur du reste (divisios par les puissaces décroissates) : 5 3 P x = 5x 3x + x + x + 00 DIVIDENDE : ( ) DIVISEUR : D( x) = x + x 3 a. Exprimer le quotiet Q( x ) et le Reste R ( x ) de b. Calculer les deux racies du diviseur D ( x) R ( x) c. Décomposer D( x) R ( ) d) Calculer P ( ), D ( ), Q( ), D ( ) ( ) ( ) P x D x. = x + x 3 à l aide des racies du diviseur. somme de deux fractios. Que peut o alors écrire?, ce derier état exprimé sous la forme d ue 3 raisoemet et mise e équatio 3. Raisoemet par récurrece. Motrer par récurrece que, pour tout etier supérieur ou égal à, que i = ( + )( + ) 6 3 et efi que i = i. ( + ) i =, puis. Motrer par récurrece que la dérivée ième de la foctio x x xe est ( )e x x x +. Page 7 sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

8 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 3. La spirale de Pythagore : Cette «spirale» est ue successio de côtés de triagles rectagles bâtis les us à partir des autres. Le premier est isocèle est les côtés perpediculaires sot de logueur. So hypotéuse sert de base au triagle rectagle, dot le côté perpediculaire est à ouveau de logueur. L hypotéuse du triagle sert de base au triagle 3, et aisi de suite. Motrer par récurrece que la logueur de l hypotéuse du triagle est Mise e équatio d u problème. Vol au vet : U avio de tourisme, dot la vitesse das l air calme est de 50 km/h, va d ue ville A à ue ville B et reviet aussitôt à la ville A. la distace AB vaut 308 km. Pedat la durée du vol, le vet a soufflé de maière uiforme das la directio (AB), das le ses A vers B. Calculez la vitesse du vet, sachat que l avio a mis, pour reveir ue demi-heure de plus qu à l aller.. Vol aux vets : Das la même situatio que précédemmet, mais das u cas gééral, o ote V la vitesse de l avio (fixée), v celle du vet (fixée) et D la distace AB (fixée). Motrer que quelle que soit la vitesse o ulle du vet, l avio mettra toujours plus de temps pour faire l aller-retour que s il y avait pas de vet. 3. Taxi : U taxi pred u cliet à l aéroport, le ramèe chez lui puis reviet à l aéroport. L allerretour lui a pris 50 miutes (dot 5 miutes d arrêt devat le domicile du cliet). La vitesse moyee à l aller a été 36 km/h et au retour 45 km/h. Quelle est la distace etre le domicile du cliet et l aéroport? 4. O fait le mur : U maço a mis jours pour moter so mur. So collègue, mois expérimeté et plus frêle, a mis 4 jours pour le même travail. Ils s associet pour moter u troisième mur, idetique aux deux premiers. Combie de temps mettrot-ils e travaillat esemble (o suppose qu ils e perdet pas de temps à discuter et qu ils travaillet sas s arrêter jusqu à ce que le mur soit fii)? Page 8 sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

9 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 5. Balace commerciale : Ue etreprise fabrique des pèse-persoes ultra-précis, qu elle commercialise das le mode etier Or le poids d ue persoe (P = mg) déped de sa masse m et aussi de g! U homme achète ue balace e Frace et s y pèse ; elle affiche : 80kg. Il emmèe sa balace e voyage e Equateur et se pèse là-bas. Quel «poids» (e fait : masse e kg) affichera sa balace? (o cosidère que la masse de cet homme est ivariable ; o predra pour valeurs de g : 9,8 e Frace et 9,78 e Equateur) 6. Problèmes géométriques : a. Parmi tous les triagles rectagles dot l hypotéuse mesure 0 cm, trouver celui qui a la plus grade aire. b. U côe est posé sur sa base circulaire, horizotale. A quelle hauteur faut-il faire ue coupe horizotale de ce côe pour que les deux parties détachées aiet le même volume? 7. Problèmes umériques : a. Vous avez 5 as, soit le double de l âge que j avais lorsque vous aviez l âge que j ai. Quel est mo âge? b. Trouver deux etiers cosécutifs dot la différece des carrés vaut 5. c. Soit a et b deux etiers positifs. Motrer que si a² - b² est u ombre premier, alors a et b sot forcémet deux etiers cosécutifs (o pourra raisoer par cotraposée, c'est-à-dire essayer de motrer que le cotraire de la coclusio implique le cotraire de l hypothèse). Page 9 sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04

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