Chapitre 16 Espace vectoriel, applications linéaires- résumé de cours. Dans tout ce chapitre désigne le corps ou. 1. Complément : notion de groupe

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1 Chaptre 16 Espace vectorel, applcatos léares- résumé de cours Das tout ce chaptre désge le corps ou. 1. Complémet : oto de groupe Def: Sot E u esemble, o appelle lo de composto tere sur E toute applcato de E² das E. S la lo est otée, l'applcato correspodate est (x,y) x y. Exemples: + et das ou + das M,p( ) et das M ( ) La composto, otée, das l'esemble F(E,E) = E E. La réuo et l'tersecto das E = P(A) Cotre-exemples: - das Le produt scalare La multplcato d'ue focto par u réel. Def: Sot G u esemble mu d'ue lo de composto tere otée. O dt que (G, ) est u groupe lorsque vérfe les proprétés suvates : (1) est assocatve (2) admet u élémet eutre () Tout élémet de G est versble pour S de plus est commutatve alors G est u groupe commutatf ou abéle. Exemples et cotre-exemples Exemples de groupes addtfs: (, +) (, +) (, +) Exemples de groupes multplcatfs: ( *, ) ( *, ) (, +) (, ), ( *, ) e sot pas des groupes. (F(, ), +) est u groupe mas pas (F(, ), ) S o ote (E) l'esemble des bjectos ou permutatos de E sur E, alors ( (E), ) est u groupe o commutatf. Les matrces carrées d ordre versble formet u groupe pour le produt matrcel appelé groupe léare et oté GL ( ) (chaptre 12). Notatos: S la lo est otée +, l'élémet eutre est oté 0 E et le symétrque de x est oté -x S la lo est otée, l'élémet eutre est oté 1 E et le symétrque de x 1/x ou x Noto d espace vectorel et exemples de référece: 2.1 Défto et vocabulare: Def: Sot E u esemble mu de deux los ue lo tere (x, y) E² x + y E ue lo extere (, x) xe.x E O dt que (E,+,.) est u -espace vectorel ( -E.V.) s et seulemet s (E, +) est u groupe abéle La lo extere vérfe, x, y E et,, () () 1.x = x.(x+y) =.x+.y N.Véro-LMB-févrer 2017

2 () (v) ( + ).x =.x+.y (.x) = ( ).x Vocabulare: Sot (E,+,.) u -E.V. Les élémets de E sot appelé vecteurs et peuvet être oté x ou x, l'élémet eutre de E est alors oté 0 E ou 0 E. Les élémets de sot appelés les scalares. Def : Sot ( x vecteur ) 1 ue famlle fe vecteurs de E et ( ) 1 ue famlle fe de scalares, le x x x est ue combaso léare des vecteurs ( x Cas partculer : Deux vecteurs x et y sot coléares lorsqu' l exste tel que y Proposto 16.1: Règles de calcul das les -E.V. x E, 0. x = 0 E et,. 0 E = 0 E x E,,. x = = 0 ou x = x E, (-1). x = - x opposé de x pour la lo + x, y E², (, ) lk²,.( x - y )=. x -. y et ( - ). x =. x -. x 2.2 Exemples de référece: 0 E ) 1 x. Les esembles des vecteurs du pla et de l'espace mus de l addto vectorelle et de la multplcato par u réel sot des -E.V. Le chox d'u repère permet d'detfer u vecteur du pla à u couple de réels et u vecteur de l'espace à u trplet de réels : ² et sot des -EV avec les los suvates: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) et (x, y) = ( x, y), le vecteur ul est (0, 0) (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) et (x, y, z) = ( x, y, z), le vecteur ul est (0, 0, 0) est u -E.V. est u -E.V. Remarque: Tout -E.V. est u -E.V. Sot X u esemble o vde, F(X, ) et F(X, ) mu des opératos usuelles sur les applcatos sot des -EV. Pour X =, o obtet que les sutes réelles et les sutes complexes, et, mues des opératos usuelles sot des -EV. Pour X = I tervalle de ou, o obtet que les foctos umérques défes sur I à valeurs das ou, mues des opératos usuelles sot des -EV. Les matrces p à coeffcets das mues de l addto matrcelle et de la multplcato par u scalare formet u -EV. 2. Espace vectorel produt: Proposto 16.2: Sot E et F deux -E.V., l'esemble ExF = {(x, y), x E, y F} mu des los: x, x' E, y, y' F, (x,y) + (x', y') = (x + x', y + y') et x E, y F,, (x, y) = ( x, y) est u -espace vectorel appelé espace vectorel produt. Remarque: O retrouve que ² = x est u -EV mas auss que 2 est u -EV. N.Véro-LMB-févrer 2017

3 Exteso: Par récurrece mmédate, s (E ) 1 est ue famlle de -E.V. alors le produt E 1xE 2x...xE est ecore u -E.V. C'est doc le cas de et plus gééralemet, pour 2, = x x...x et de avec les opératos suvates : (x 1, x 2,..., x ) + (y 1, y 2,..., y ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,...,x + y ) et (x 1, x 2,...,x ) = ( x 1, x 2,..., x ) le vecteur ul est (0, 0,..., 0). Sous-espace vectorel:.1 Défto, caractérsatos, exemples: Def: Sot E u -E.V. et F ue parte de E. F est u sous-espace vectorel (S.E.V.) de E ss F est o vde F est stable par la lo + F est stable par la lo. Das la pratque, o utlse les caractérsatos suvates: F est u S.E.V. de E 0 E F et (x, y) F², (, ) ², (.x +.y) F ou F cotet le vecteur ul et est stable par combaso léare. F est u S.E.V. de E 0 E F et (x, y) F²,, (.x + y) F NB: s 0 E F alors F 'est pas u S.E.V. Exemples: Sot E ue -E.V., les partes { 0 E } et E sot des S.E.V. de E, dts trvaux. Cosdéros I u tervalle de et E = F(I, )., les esembles suvats sot des SEV de E : 0 (I, ) esemble des foctos cotues sur I (I, ) esemble de classe sur I. (I, ) esemble des foctos défmet dérvables sur I. E = M ( ), l'espace vectorel des matrces carrées d ordre, cotet les S.E.V. suvats : Esemble des matrces dagoales : D ( ) Esemble des matrces tragulares supéreures (resp. féreures) : + ( ) et - ( ). Exercce résolu : méthode 1 Motrer que F = {(x,y,z), 2x - y + z = 0} est u sev de Motrer que G = {(2t + t', t + t', t), (t, t') ²} est u sev de Das la pratque: S F est u sous-espace vectorel d'u -EV E, alors F mu des restrctos des los + et., est lu-même u -EV. Das les problèmes, pour motrer qu'u esemble est u E.V. o motrera de préférece qu'l est u S.E.V. d'u espace vectorel de référece..2 Sous-espace vectorel egedré par vecteurs de E Proposto 16. et def: Sot E u -E.V. et A = { x 1, x 2,...,x } ue parte fe de E. La parte de E défe par Vect(A) = { 1 appelé le sous-espace vectorel egedré par A. x, ( 1,..., ) } est u sous-espace vectorel de E Remarque : Vect (A) est le plus pett SEV coteat A, au ses de l cluso N.Véro-LMB-févrer 2017

4 Vocabulare : S A = {u} alors Vect(A) = {k.u, k } est la drote vectorelle egedrée par u. S A = { u, v } avec u et v o coléares, alors Vect(A) = { u v, (, ) ²} est le pla vectorel egedré par {u,v}. Exemples à coaître : Les solutos sur I d ue équato dfféretelle léare homogèe d ordre 1 formet ue drote vectorelle du -EV des foctos dérvables sur I. Les solutos sur I d ue équato dfféretelle léare homogèe d ordre 2 formet u pla vectorel du -EV des foctos deux fos dérvables sur I. Exercce résolu : méthode 2 Motrer que F={ (x,y,z), 2x - y + z = 0 } est u S.E.V. de Motrer que G={(2t + t', t + t', t), (t, t') ² } est u S.E.V. de. Itersecto de sous-espaces: Proposto 16.4: Sot E u -E.V. S F et G sot deux sous-espaces vectorels de E alors F G est ecore u sous-espace vectorel de E. Exteso: Par récurrece mmédate, s (F ) 1 est ue famlle de S.E.V. de E, leur tersecto 1 F est ecore u sev de E..4 Somme de deux sous-espaces: E gééral, F G est pas u S.E.V. de E, o trodut doc la oto suvate : Def: Sot F et G deux SEV d'u E.V. oté E, o appelle somme de F et de G la parte de E défe par F+G = { x + y, x F, y G }. Proposto 16.5 : F + G est u SEV de E et c est le plus pett SEV coteat F G, au ses de l cluso. Def: Sot F et G deux S.E.V. d'u -E.V. E. O dt que F et G sot e somme drecte lorsque tout élémet de F + G s écrt de maère uque comme somme d u élémet de F et d u élémet de G. Das ce cas, la somme est otée F G ou leu de F + G. O dt que F et G sot supplémetares das E lorsqu'ls sot e somme drecte et que F G = E, c est à dre : x E,!x 1 F,!x 2 G, x = x 1 + x 2 Proposto 16.6: Sot F et G deux S.E.V. d'u -E.V. E. F et G sot e somme drecte ss F G = {0 E} F et G sot supplémetares ss E = F + G et F G = {0 E} Das la pratque : Pour motrer que F et G sot supplémetares, o a deux méthodes possbles : Motrer que E = F+G et F G = {0 E}. Motrer que tout élémet de E s écrt de maère comme somme d u élémet de F et de G Exemples de S.E.V. supplémetares à coaître: Sot E = F(, ), P est l'esemble des foctos pares et I l'esemble des foctos mpares, o a E = P I. N.Véro-LMB-févrer 2017

5 = d'après l'ucté de l'écrture d'u complexe sous forme algébrque. Les matrces symétrques et atsymétrques formet deux S.E.V. supplémetares das M ( ) Atteto: supplémetare e sgfe pas complémetare. Aexe : Quelques représetatos Drote vectorelle : Pla vectorel : Somme drecte : E 1 et E 2 sot e somme drecte : v E 1 + E 2,!x 1 E 1,!x 2 E 2, v = x 1 + x 2. Remarque : Ic o a auss E 1, E 2 et E e somme drecte. Sous-espaces supplémetares : F G = E w E,!u F,!v G, w = u + v N.Véro-LMB-févrer 2017