pour un régime de rentiers

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1 Les Crières normes d allocaion IFRS en assurance d acifs pour un régime de reniers 1 er juille 2004 Frédéric PLANCHET Acuaire associé Pierre THEROND Acuaire 1 er juille 2004 Page 1

2 Conexe (1) La déerminaion de l allocaion d acif es un hème cenral dans les problémaiques d assurance vie, pariculièremen développé dans le conexe des conras d épargne e des régimes de reraie supplémenaires. Dans le cas de la reraie, ou de presaions de renes viagères, la durée des conras perme aux services de gesion acif/passif d élaborer des sraégies d allocaion d acifs à long erme a priori indépendanes de spéculaions à cour erme (qui relèven de l allocaion acique). 1 er juille 2004 Page 2

3 Conexe (2) Les premiers modèles d allocaion d acifs à inégrer le risque lié aux placemens on éé inspirés de echniques financières, en pariculier de crières de ype Markowiz [1952]. Boyle [2004] monre les limies de l uilisaion de elles approches lorsque l on inègre l esimaion des paramères des acifs. Depuis 2001, des aueurs comme Baochio, Menoncin, Scaille, Milevsky ou Boulier on développé des modèles inégran les conraines assuranielles (noammen le risque de moralié), mais leur mise en œuvre praique es délicae (choix d une foncion d uilié, calcul sochasique complexe). 1 er juille 2004 Page 3

4 Conexe (3) Dans le cadre des réflexions sur la solvabilié issues de «solvabilié II», de nouveaux modèles inégran les paramères de solvabilié par le biais d une conraine sur la probabilié de ruine son apparus. On déermine ainsi une allocaion d acifs qui conrôle la probabilié de ruine de l assureur ou en d aures ermes la capacié de faire face à ses engagemens. L objecif de ce ravail es de proposer une démarche de déerminaion de l allocaion sraégique spécifique des régimes de renes inégran les pariculariés de l assurance, sans nécessié de fixer à priori la probabilié de ruine (qui es simplemen conrôlée ex pos). 1 er juille 2004 Page 4

5 SOMMAIRE 1. Présenaion du porefeuille de reniers 2. Présenaion du modèle 3. Déerminaion d un crière d allocaion d acifs 4. Impac de la revalorisaion des renes 1 er juille 2004 Page 5

6 Présenaion du porefeuille de reniers (1) Porefeuille de reniers issu d un conra de prévoyance d enreprise. Principales caracérisiques : Nombre de reniers = 374 Age moyen = 64 ans Rene annuelle moyenne = 5,5 k A parir de la TV 2000 e d un aux echniques de 2,5% : Provision mahémaique iniiale = 32,8 M Duraion = 12,3 ans 1 er juille 2004 Page 6

7 Présenaion du porefeuille de reniers (2) k k k k 500 k 0 k Flux de presaions (espérance mahémaique) 1 er juille 2004 Page 7

8 Présenaion du porefeuille de reniers (3) k k k k 500 k k Flux de presaions Inervalle de confiance à 95% 1 er juille 2004 Page 8

9 Problémaique Le porefeuille es exclusivemen consiué de renes en cours de service non réversibles. L assureur ne reçoi donc plus de primes e doi gérer ses acifs «de manière opimale». Nous proposons d aborder le problème du choix de porefeuille enre un acif sans risque e un acif risqué selon le crière de maximisaion des «fonds propres économiques». PASSIF Réglemenaire Fonds propres réglemenaires Economique Fonds propres économiques Provisions mahémaiques (aux d'acualisaion = aux echnique) Provisions mahémaiques économiques (aux d'acualisaion = aux de rendemen espéré des acifs) 1 er juille 2004 Page 9

10 Principales noaions E le monan des fonds propres à la dae, L le monan des provisions mahémaiques à la dae, A la valeur des placemens à la dae, F ~ le flux de presaion (aléaoire) qui aura lieu à la dae, i le aux (discre) d escompe des provisions mahémaiques, r le aux sans risque insanané, supposé consan, P la probabilié hisorique e Φ sa filraion naurelle, J l ensemble des individus, x(j) l âge en 0 de l individu j e r j le monan de sa rene annuelle. 1 er juille 2004 Page 10

11 Modélisaion du passif En 0, on esime la suie de flux probables de sinisres que nous noerons : Où : ~ F = j J r T x(j) désigne la dae de décès (aléaoire) de la êe d âge x(j). x Avec les noaions classiques de l assurance vie : F = r * l j l A parir de cee esimaion, le monan iniial L 0 de la provision mahémaique es déerminé par : j * 1 ] [( T ) ; x( j) L F F = E ~ [ ] ( F ) 1 1 er juille 2004 Page 11 Φ 0 = 1 0 = 1 ( + ) F i ( j) + j J x( j)

12 JWA 1 er juille 2004 Page 12 Dynamique du bilan Supposons que les presaions son servies en débu d année, le bilan de l assureur évolue alors selon le processus suivan : où désigne le rendemen aléaoire du porefeuille financier enre -1 e. [ ] ( ) ( ) = + = + Φ = + = k k k L A E F A R A i F L ~ ~ ~ E R ~

13 Modélisaion de l acif Supposons que l assureur puisse consiuer son porefeuille financier avec deux acifs : Un bon de capialisaion non-risqué de prix Y àla dae : Y = Y 0 Un acif risqué don le cours X sui un mouvemen brownien géomérique : dx = µ d + σ db X Où B es un mouvemen brownien sandard sous la probabilié hisorique. Cee modélisaion es assez générale : on peu supposer que X es un indice. De plus, on peu complexifier cee modélisaion en inroduisan des saus (modélisés par exemple par un processus de Poisson composé). e r 1 er juille 2004 Page 13

14 Modélisaion de l acif Pour simplifier les écriures, on posera, sans pere de généralié : X = Y = Nous ferons égalemen l hypohèse naurelle que le rendemen espéré de l acif risqué es plus élevé que celui du placemen sans risque e que le aux maximal d escompe des provisions (fixé réglemenairemen) es, par prudence, moins élevé que le rendemen escompé des acifs, i.e. µ r i 0 1 er juille 2004 Page 14

15 Modélisaion des désinvesissemens Lorsque l assureur es amené à désinvesir pour payer des presaions, nous supposerons qu il vend les deux acifs de manière proporionnelle à leur par respecive dans la valeur de marché du porefeuille. De manière praique cela revien à considérer que l acif es invesi dans un fonds composé en 0 qui ne fera plus l obje d arbirage e don l assureur vendra des pars pour régler les renes. Par récurrence, il vien : A A θ X ( 1 θ) Y + 1 A F ( θ) Y + 1 = θ X + 1 ( θ X + ( 1 θ) Y ) A s ( ) = θ s= 1 F X θ s Où θ désigne la proporion iniialemen invesie en acif risqué. + Y s 1 er juille 2004 Page 15

16 Modélisaion des désinvesissemens Noons que l approche reenue : n es pas équivalene à : A A θ X + ( 1 θ) Y + 1 A F ( θ) Y + 1 = θ X + 1 ( θ) + 1 A F 1 = θ + X Y + X Y Cee approche alernaive correspond à la siuaion dans laquelle l assureur recompose, chaque débu de période, son acif en invesissan θ en acif risqué X e 1- θ en bon de capialisaion Y. 1 er juille 2004 Page 16

17 Modélisaion des désinvesissemens 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 Méhode reenue (sc. 1) Méhode alernaive alernaif (sc.1) Méhode reenue (sc. 2) Méhode alernaive (sc. 2) 0, Évoluion de l acif de l assureur 1 er juille 2004 Page 17

18 Déerminaion d un crière d allocaion d acifs Les disposiions réglemenaires imposen à l assureur : de disposer d un niveau minimal de fonds propres proporionnel au monan de la PM, dans le calcul de la PM, d escomper les flux fuurs probables au aux maximum de Min 60% * TME ; 3, 5%. { } Par ailleurs le profi de l assureur provien : Du rendemen financier du capial, Du surplus des produis financiers (lorsque le rendemen financier dépasse le aux echnique) générés par les provisions mahémaiques. N.B. Nous avons supposé que le conra ne conien pas de clause de paricipaion bénéficiaire. 1 er juille 2004 Page 18

19 Noons : Déerminaion d un crière d allocaion d acifs Λ θ = 1 F ~ + Cee variable aléaoire représene le monan nécessaire en 0 pour payer oues les [ ] renes. E peu s inerpréer comme la «provision mahémaique économique» Λ θ (aux d acualisaion = aux de rendemen financier). L inérê de l assureur es de minimiser cee quanié. Minimiser E revien à : = [ ] Λ θ θ X ( 1 θ) choisir l allocaion qui, en moyenne, amorira au mieux les flux de presaions fuurs, maximiser les fonds propres économiques iniiaux : Y ( E + L E [ ]) Λ 0 0 θ 1 er juille 2004 Page 19

20 Analyse du risque Noons qu il es possible d analyser le risque global supporé par la sociéé par le Λ θ biais de. La variance de peu en effe êre proposée comme indicaeur du risque global du Λ θ porefeuille. Sa décomposiion nous perme d apprécier les pars respecives des risques financiers e de moralié : V Où X es le cours de l acif risqué. [ Λ ] = E [ V ( Λ X )] + V [ E ( Λ X )] θ θ θ Alors : E V [ V ( Λ θ X )] [ E ( X )] Λ θ représene le risque financier, représene le risque lié à la moralié. 1 er juille 2004 Page 20

21 Analyse du risque Les echniques de simulaion permeen d esimer ces grandeurs. Si λ n,m (θ) es la réalisaion de résulan de la n-ième rajecoire de l acif risqué, de la m-ième rajecoire du passif, en noan : M ( θ) = 1 λ ( n, m θ) = 1 λ ( θ) = 1 1 n λ θ) n M 1 m= N N M ( λ N N M n, m n= 1 n= 1 m= 1 λ ( θ) ( λ ( θ) λ (θ ) N M N M n,m n n= 1 1 ) m= 1 N 1 n= 1 N ( λ ( θ) λ( θ ) n 1 ) 2 es un esimaeur convergen de es un esimaeur convergen de E V [ V ( X )] Λ θ [ E ( X )] Λ θ 1 er juille 2004 Page 21

22 Paramères Pour les illusraions numériques suivanes, nous avons uilisé les paramères suivans : E 4% * L 0 0 = r = ln { 1+ 4, 62% } 4, 52% σ = 25% µ = ln ( 1+ 6% ) 1 er juille 2004 Page 22

23 Éude du risque Par du risque financier dans le risque global Risque global 100% 2,0E+12 90% 1,8E+12 80% 1,6E+12 70% 1,4E+12 60% 1,2E+12 50% 1,0E+12 40% 8,0E+11 30% 6,0E+11 20% 4,0E+11 10% 2,0E+11 0% 0,0E+00 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 23

24 Éude du risque reniers 10 fois plus nombreux Par du risque financier dans le risque global Risque global 100% 2,0E+14 90% 1,8E+14 80% 1,6E+14 70% 1,4E+14 60% 1,2E+14 50% 1,0E+14 40% 8,0E+13 30% 6,0E+13 20% 4,0E+13 10% 2,0E+13 0% 0,0E+00 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 24

25 Opimisaion des fonds propres économiques Considérons le programme d opimisaion suivan : Inf E θ [ Λ ] θ [ 0; 1] Les echniques de simulaion permeen de résoudre ce problème : Il suffi pour cela de générer un grand nombre de rajecoires de l acif e du passif e d esimer E [ Λ θ ] pour chaque θ [ 0;1] grâce à la moyenne empirique des réalisaions. 1 er juille 2004 Page 25

26 Opimisaion des fonds propres économiques 82,0% Provision mahémaique économique (en % de L0) 81,5% 81,0% 80,5% 80,0% 79,5% 79,0% 78,5% opimum 78,0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 26

27 Opimisaion des fonds propres économiques Dans nore cas, un opimum es aein pour θ = 8,85%. La mise en œuvre de ce crière es aisée lorsqu on inègre le risque démographique, en supposan que le risque de moralié e le risque financier son indépendans. En effe : E F [ Λ ] = = 1 ~ E ( ) E ( ) * E [ F ] = 1 θ + 1 θ θ + 1 θ F * E X Y X Y θ X + ( 1 θ) = 1 ~ θ Y = 1 = 1 Lorsque ( F ) 1 a éé déerminé, il ne s agi plus que de simuler des rajecoires de l acif gain imporan de emps de simulaion. 1 er juille 2004 Page 27

28 Approche alernaive : probabilié de ruine Approche classique en assurance : choisir l allocaion d acifs qui conrôle au niveau désiré la probabilié de ruine du régime. Noons τ l insan de ruine de l assureur : τ = Inf Le profi espéré provenan du régime de renes éan croissan avec la par invesie en acif risqué, il s agi de résoudre : Sup θ 0; 1 P τ < π Où π max désigne la probabilié de ruine maximale que l assureur peu acceper. N.B. L assureur peu aussi s inéresser à la probabilié de ne pas saisfaire l exigence de marge de solvabilié, il s agira dans le programme ci-dessus de remplacer τ par : { [ ] ( ) } θ { N < % * } τ' = Inf E 4 L max { N E < 0} 1 er juille 2004 Page 28

29 Probabilié de ruine 80% 70% 60% Probabilié de ruine 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 29

30 Comparaison des résulas θ Probabilié de ruine Par du risque financier dans le risque global Par du risque financier dans le risque global (porefeuille x 10) Maximisaion des fonds propres économiques 8,85% 0,30% 12% 53% Probabilié de ruine < 1% 10,47% 1% 16% 65% Dans nore cas, l allocaion déerminée par le crière de maximisaion des fonds propres économiques aboui à une allocaion d acifs prudene. Sur un pei porefeuille, le risque echnique rese imporan. 1 er juille 2004 Page 30

31 Sensibilié à la volailié de l acif risqué (1) 115% Provision mahémaique économique (en % de L0) 110% 105% 100% 95% 90% 85% 80% 75% 70% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 65% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 31

32 Sensibilié à la volailié de l acif risqué (2) 100% 90% 80% Par d'acif risqué opimale 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% Volailié de l'acif risqué 1 er juille 2004 Page 32

33 Revalorisaion des renes Supposons que les renes son revalorisées dans la mesure de l inflaion. Noons I l indice des prix en. En modélisan le aux insanané d inflaion par un processus d Ornsein- Ulhenbeck on a : + h I = I * exp j x ds Avec : ( ) s + + h dx s = a x s ds + σ Pour les illusraions numériques, on fai l hypohèse d indépendance enre les évoluions des prix e du cours de l acif risqué X (hypohèse simplificarice que l on peu aisémen relâcher). 1 er juille 2004 Page 33 I db x es un processus gaussien, donc on peu calculer : I δ σ +δ = δ + + Φ δ a e a 2 E exp j x 1 I I 2 a 2 s 1 a e aδ aδ ( 1 e ) 2a 2

34 Revalorisaion des renes La prise en compe du processus de revalorisaion peu êre vu sous deux angles: Approche n 1 : le aux d acualisaion réglemenaire es conrain à un niveau bas par rappor aux rendemens financiers observés sur le marché, de manière à inégrer une revalorisaion implicie (conraine de 60% du TME). Alors : Taux de revalorisaion (maximum) = aux de rendemen réalisé aux d acualisaion Approche n 2 : on inègre expliciemen dans les provisions l engagemen de revaloriser les renes e on acualise au aux du marché. 1 er juille 2004 Page 34

35 Revalorisaion des renes 1 ère approche Considéran la première approche, il es naurel d observer la disribuion du premier insan auquel le rendemen des acifs ne suffi pas à compenser l inflaion e l acualisaion. En d aures ermes : I τ = Inf 1 > ( ) 1 θ X + 1 θ Y ( 1 + i) Lorsque τ es inférieur à la durée du régime, l assureur doi puiser dans ses fonds propres pour payer la revalorisaion des renes. N.B. Ce crière es différen de la probabilié de ruine précédemmen uilisée. Avec les paramères d inflaion esimés dans Fargeon & Nissan [2003] : j = 0,0279 a = 0,2631 σ I = 0,0056 x 0 = 0 1 er juille 2004 Page 35

36 Revalorisaion des renes 1 ère approche 100% 8 98% % 5 94% 4 Temps 92% 3 90% P [ Tau<72] E [ Tau Tau<72] % 0 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 36

37 Revalorisaion des renes 1 ère approche La probabilié de faire appel aux fonds propres pour financer la revalorisaion es rès proche de 1 quelle que soi l allocaion d acifs choisie. En effe, avec les paramères choisis : e j r, ( 1 + ) 1 = 0, 983 > = i Le aux d acualisaion es donc «rop élevé» (compe-enu des rendemens des acifs e du niveau de l augmenaion moyenne des prix) pour uiliser cee approche. Même avec un aux moyen d inflaion égal au rendemen espéré de l acif sans risque corrigé de l acualisaion : j = r ln(1+i) La probabilié de faire appel aux fonds propres es supérieure à 88% quelle que soi l allocaion d acifs choisie. 1 er juille 2004 Page 37

38 Revalorisaion des renes 1 ère approche 100% 8 98% % 5 94% 4 Temps 92% 3 90% P [ Tau<72] E [ Tau Tau<72] % 0 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 38

39 Revalorisaion des renes 1 ère approche L allocaion opimale déerminée par la maximisaion des fonds propres économiques θ=8,55% es rès légèremen inférieure à celle obenue sans revalorisaion θ=8,85% : 105% Avec revalorisaion Sans revalorisaion Provision mahémaique économique (en % de L0) 100% 95% 90% 85% 80% opima 75% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 39

40 Revalorisaion des renes 1 ère approche En revanche, la probabilié de ruine es largemen supérieure à celle obenue en l absence de revalorisaion : 100% 90% Avec revalorisaion Sans revalorisaion 80% 70% Probabilié de ruine 60% 50% 40% 30% 20% 10% 00% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 40

41 Revalorisaion des renes 2 ème approche Selon la deuxième approche, le monan des flux de presaion fuurs avec revalorisaion devien : k k k k 500 k 0 k er juille 2004 Page 41

42 Revalorisaion des renes 2 ème approche Cee suie de flux es rès volaile : le risque lié à l inflaion ne se muualise pas k k k k k 500 k 0 k Flux de presaions revalorisées Inervalle de confiance à 95% 1 er juille 2004 Page 42

43 Revalorisaion des renes 2 ème approche La prise en compe de la revalorisaion a pour conséquences : d augmener le monan de la provision mahémaique iniiale, augmenaion du niveau de capial requis (4% des PM) d augmener la duraion du passif. Cee approche apparaî donc comme plus prudene que la 1 ère. L augmenaion de la duraion du passif a un impac direc sur l allocaion d acifs. N.B. L espérance mahémaique présenée sur le graphe précéden inègre un aléa démographique (qui se muualise) e un aléa économique (qui ne se muualise pas); la volailié du passif augmene donc brualemen même pour un porefeuille imporan. 1 er juille 2004 Page 43

44 Revalorisaion des renes 2 ème approche L augmenaion du risque lié à la naure aléaoire du aux de revalorisaion peu êre observé grâce à la décomposiion du risque précédemmen proposée : ~ I F * I Λ = θ θ X + 1 Y En prenan la variance de porefeuille, on a : comme indicaeur du risque global du Où X es le cours de l acif risqué e I l indice de l inflaion. Alors : E V I [ V ( Λ X, I )] θ I [ E ( Λ X, I )] θ V θ = 1 ( ) I I I [ Λ ] = E [ V ( Λ X, I )] + V [ E ( Λ X, I )] θ I Λ θ θ représene le risque financier (acifs + inflaion), représene le risque lié à la moralié. 1 er juille 2004 Page 44 θ

45 Revalorisaion des renes 2 ème approche Par du risque financier dans le risque global Risque global 100% 7,0E+12 90% 80% 70% 6,0E+12 5,0E+12 60% 4,0E+12 50% 40% 3,0E+12 30% 20% 10% opimum 2,0E+12 1,0E+12 0% 0,0E+00 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 45

46 Revalorisaion des renes 2 ème approche La par du risque financier dans le risque global es supérieure à 80% quelle que soi le choix de porefeuille effecué. Par ailleurs, le risque global connaî un minimum pour θ dans [0,1]. Cela s explique par le fai que l assureur es obligé d invesir en acif risqué s il veu consiuer un porefeuille don le rendemen espéré sera supérieur à l évoluion espérée de l inflaion couplée de l acualisaion au aux echnique : e j r, ( 1 + ) 1 = 0, 983 > = i L assureur devra donc invesir 9,75% de son acif iniial en acif risqué pour minimiser le risque mesuré par la variance de la «provision économique». 1 er juille 2004 Page 46

47 Revalorisaion des renes probabilié de ruine 80% 70% Avec revalorisaion Sans revalorisaion 60% Probabilié de ruine 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 47

48 Revalorisaion des renes Fonds propres économiques 82% Avec revalorisaion Sans revalorisaion Provision mahémaique économique (en % de L0) 81% 80% 79% 78% 77% 76% 75% opimum opimum 74% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Par d'acif risqué 1 er juille 2004 Page 48

49 Approche en emps coninu L approximaion de la suie de flux presaions par un polynôme peu permere une éude en emps coninu du crière de maximisaion des «fonds propres économiques» : k k k y = 3E-07x 6-5E-05x 5 + 0,0035x 4-0,0535x 3-1,6068x 2-9,8818x ,3 R 2 = k 500 k 0 k er juille 2004 Page 49

50 Approche en emps coninu (ébauche) L allocaion sraégique es alors donné par le programme d opimisaion suivan : f * I u u θ = ArgMin E du ( ) θ X + θ Y 1 Où f u es le flux (coninu) de presaions versé à l insan u. On remarquera égalemen que l acif du régime sui le dynamique : da A dr ~ = ~ R Où R ~ désigne le rendemen aléaoire du porefeuille financier à l insan. df A I 1 er juille 2004 Page 50

51 Conclusion Le crière d allocaion d acifs «fonds propres économiques» proposé : es aisé à mere en œuvre, es adapable à des porefeuilles financiers complexes grâce à l appor des echniques de Mone-Carlo, ne nécessie pas de paramère exerne don la déerminaion n es pas évidene (ex: le niveau de la probabilié de ruine : 0,1%, 1%, 5%?), es robuse aux diverses varianes de la modélisaion. Enfin, rès sensible à la variabilié des acifs, l allocaion déerminée par le crière de maximisaion des fonds propres économiques nécessie une bonne connaissance de la volailié des acifs financiers. 1 er juille 2004 Page 51

52 Perspecives d évoluion du modèle Les développemens suivans son en cours : Inégrer la dépendance enre l évoluion de l inflaion e celle de l acif risqué (direcemen dans le modèle exisan ou via une modélisaion ad hoc «à la Wilkie»). Uiliser le crière de maximisaion des fonds propres économiques comme indicaeur pour des réallocaions. Adaper le crière de maximisaion des «fonds propres économiques» à un régime en phase de consiuion (avec des acifs). Inégrer une analyse du surplus au erme pour mesurer la «prime de risque» associée à l acivié d assurance. 1 er juille 2004 Page 52

53 Quelques références BATTOCHIO P., MENONCIN F., SCAILLET O. [2004] «Opimal asse allocaion for pension funds under moraliy risk during he accumulaion and decumulaion phases», forhcoming in Annals of Operaions Research. BOYLE P., WINDCLIFF H. [2004] «The 1/n pension invesmen puzzle», soumis au Norh American Acuarial Journal. FARGEON L., NISSAN K. [2003] «Recherche d un modèle acuariel d analyse dynamique de la solvabilié d un porefeuille de renes viagères», Mémoire d acuaria ENSAE. JACQUEMIN J., PLANCHET F. [2003] «Méhodes de simulaion en assurance», Bullein Français d Acuaria, Vol. 6, n 11. LAMBERTON D., LAPEYRE B. [1997] Inroducion au calcul sochasique appliqué à la finance, 2 nde édiion. Paris : Ellispes. MARKOWITZ H. [1952] «Porfolio Selecion», Journal of Finance, Vol.7, n 1. PLANCHET F., THEROND P. [2004] «Simulaion de rajecoires de processus coninus», Working Paper ISFA. PLANCHET F., THEROND P. [2004] «Allocaion d acifs d un régime de renes en cours de service», documen de ravail JWA. 1 er juille 2004 Page 53

54 Conacs Frédéric PLANCHET Acuaire Associé Pierre THEROND Acuaire JWA Acuaires Bureau de Paris 9, rue Beaujon Paris Bureau de Lyon 18, avenue Félix Faure Lyon er juille 2004 Page 54