( 1)n. 5 n = n. v n+1 = q u n + p v n
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- Alizée St-Amour
- il y a 5 ans
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1 Feuille d exercices 0 5: Suite Bio 02/03 Exercice Soiet a et b deux ombres réels tels que a < b Soit x [a, b] (a) Démotrer que pour tout etier il existe u etier aturelk uique vérifiat 0 k 2 et a + k 2 x < a + (k + ) 2 (b) E déduire que tout élémet de l itervalle [a, b] est limite d ue suite (u ) où les u sot de la forme : u = a + k 2 avec 0 k 2 Exercice 2 Etudier la suite : u = ( ) 5 = Exercice 3 Etudier la suite u = ( + a ) b où a, b R Exercice 4 Trouver (si elle existe) la limite de : ( l () u = ( l cos ( ) ) a ) ) cos ( b Exercice 5 Doer u équivalet simple e + de ( ) : E déduire sa limite v = l cos 2 ( 3 ) 2 4 +! Exercice 6 Soiet u O > 0, v 0 > 0, u 0 v 0 et 0 < q < p O pose : u + = p u + q v p + q et ( ) k 5 k v + = q u + p v p + q Motrer que ces deux suites sot adjacetes et détermier leur limite commue Exercice 7 [Suites homographiques] (a) Etudier la ature de la suite défiie par u + = 3 + 2u u + 4 (b) Motrer que les valeurs à éviter pour u 0 pour que la suite soit défiie formet ue suite (a ) défiie par : a + = 3 4a a 2 a 0 = 4 Exercice 8 Trouver la limite si elles existet des suites : (a) u = (b) v =! (c) w = 2! Exercice 9 Etudier la foctio f défiie par f(x) = 2x3 +2x 3 Soit (u ) la suite défiie par récurrece par u 0 R et u + = f(u ) Discuter la ature de (u ) suivat les valeurs de u 0 Exercice 0 Etudier la suite (2 iterviet fois) Exercice O défiit la suite (u ) par u R et u + = e u Etudier cette suite Exercice 2 Etudier la suite défiie par u 0 = 0, u = ; u +2 = (u + ) 2p+ + (u ) 2p+ où p est u etier o ul fixé Pour cela : (a) Motrer que (u ) est croissate (b) Chercher les limites possibles l de (u )
2 2 (c) Motrer que (u ) est majorée par u de ces réels l Exercice 3 p état u etier aturel o cosidère la suite de terme gééral : (u ) N = ( + ) p + ( + 2) p + + (2) p (a) Motrer que si p 2 alors lim u = 0 + (O cherchera u ecadremet simple de u ) (b) Das cette questio et la suivate, o pred p = motrer que la suite (u ) est croissate et majorée E déduire qu elle coverge (c) Soit (v ) N telle que pour N : v = si + + si si 2 E utilisat l iégalité (à motrer) : x R +, x x3 3 si x x motrer que (v ) coverge vers la même limite que (u ) Exercice 4 Soit (u ) la suite défiie par u = l() (a) Etudier les variatios de (u ) (b) Détermier la limite évetuelle de (u ) Exercice 5 (a) Démotrer e appliquat l iégalité des accroissemets fiis à la foctio x l(x) que : N oa, + < l( + ) < (b) Détermier e utilisat la questio précédete que la limite quad ted vers + de la suite (u ) défiie par : (c) O cosidère la somme : u = S,p = p (i) Utiliser la première questio pour trouver u ecadremet de S,p (ii) E déduire la limite de S,p quad ted vers + Exercice 6 O cosidère la suite (u ) telle que pour tout das N, u = 2 2 (a) Calculer S = u u (b) O pose pour N, v = e u Motrer que (v ) est ue suite géométrique covergete et doer sa limite quad ted vers + (c) O pose pour N : S = v k Calculer S e foctio de Calculer sa limite e + Exercice 7 O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies sur N par : (a) Motrer qu elles sot adjacetes u = + 2! + 3! + +! (b) Soit l la limite commue de ces deux suites O suppose que l est ratioel : l = p q, p, q N (i) Démotrer qu il existe u réel θ (0 < θ < ) tel que l = u q + θ qq! v = u +! (ii) Motrer que l u q est ue fractio ratioelle de déomiateur q! (iii) E déduire que l hypothèse l est ratioel est fausse E fait o a l = e et o viet de motrer que e Q
3 3 et Exercice 8 Soiet a et b deus réels tels que 0 < a < b O défiit deux suites (u ) et (v ) par u 0 = a, et v 0 = b u + = 2uv u +v, et v + = u+v 2 (a) Motrer que N, u < v (b) Motrer que la suite (u ) est croissate et que la suite (v ) est décroissate (c) Motrer que N, (v + u + ) < 2 (v u ) (O utilisera le fait que (u ) est croissate) E déduire que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes O appelle l leur limite commue (d) Motrer que N, u v = ab E déduire la valeur de l e foctio de a et b Exercice 9 O défiit la suite (u ) par : u 0 = 2 et N, u + = 2 + u + 2u (a) Motrer que (u ) est bie défiie sur N Etudier les variatios de (u ) (b) Motrer que N, u (c) Motrer que la suite (v ) de terme gééral v = u +u est ue suite géométrique dot o calculera la raiso (d) exprimer v puis u e foctio de (e) Chacue des suites (u ) et (v ) admet-elle ue limite quad ted vers +? Si oui laquelle? Exercice 20 O défiti les suites réelles (u ) et (v ) par u0 = 2 N, u + = u2 +5 2u Nv = u 5 u + 5 (a) Motrer que pour tout 0 o a v + = v 2 E déduire la relatio v = v0 2 pour tout 0 (b) Motrer que v 0 = (2+ et e déduire la majoratio v 5) 0 < 2 6 Détermier alors la limite de la suite (v ) puis celle de la suite (u ) Exercice 2 O cosidère la suite de ombres réels (u ) défiie par u 0 = 2 3 et pour tout etier aturel = u + = u (a) Calculer u, u 2 (b) Soit la suite (v ) défiie par : N, v = u 2 Motrer que (v ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme (c) Calculer v puis u e foctio de La suite (u ) coverge-t-elle? (d) O cosidère la suite S de terme gééral : Calculer S e foctio de S = u Exercice 22 Le paradoxe de Zéo Le philosophe grec Zéo proposait le paradoxe suivat : Achile e rattrapera jamais la tortue qui marche devat lui car auparavat il doit atteidre la place d où est partie la tortue ; quad il y sera parveu la tortue aura quitté cette place et aura elle-même progressé Le raisoemet se répète aisi idéfiimet ; la tortue sera toujours au devat d Achile Ce raisoemet peut s exprimer de la faço suivate : supposos qu Achile et la tortue se déplacet sur ue même droite das le même ses, à des vitesses costates respectivemet égales à V et v ; à l istat 0 o suppose qu Achile est au poit d abcisse 0 et la tortue au poit M 0 d abcisse x 0 Soit t 0 le temps mis par Achile
4 4 pour aller de O à M 0 ; pedat ce temps la tortue arrive au poit M d abcisse x etc O défiit aisi ue suite de poits M (x ) et ue suite de réels t tels que t désige le temps mis par Achile pour aller de M à M et lorsque Achile est e M, la tortue est e M + O défiit ue suite (y ) par y 0 = x 0 et y = x x (si ) Exprimer t e foctio de y et y + e foctio de t E déduire que les suites (t ) et (y ) sot des suites géométriques et détermier leur raiso Soit T = t 0 + t + + t le temps mis par Achile au poit M Calculer T e foctio de est du rapport k = V v ; motrer que (T ) est covergete (o suppose V > v) Coclure sur le paradoxe de Zéo Exercice 23 Le ombre d Or (a) Das l atiquité o cosidérait qu u rectagle était harmoieux si sa logueur a était la moyee géométrique etre sa largeur b et la somme de sa logueur et de sa largeur Détermier la valeur du quotiet q = a b pour u rectagle hramoieux ; q était appelé ombre d or (rappel : la moyee géométrique de x, y 0 est le réel xy) (b) O cosidère u rectagle harmoieux R de logueur a et de largeur b A partir de R o costruit u rectagle R 2 e supprimat u carré de côté b Calculera b e foctio de b et e déduire que le rectagle R 2 aisi obteu est harmoieux ; o ote sa logueur a 2 et sa largeur b 2 (c) Par le procédé décrit au uméro précédet o costruit ue suite de rectagles harmoieux (R ) N O ote a et b respectivemet la logeur et la largeur du rectagle R (i) Motrer que les suites a et b sot des suites géométriques dot o détermiera la raiso ; e déduire l expressio de a e foctio de a et celle de b e foctio de et de b (ii) O ote A l aire du rectagle R ; calculer A e foctio de A et de Soit S = k= Motrer que A k lim + S = qa Exercice 24 Suite de Fiboacci O cosidère la suite de Fiboacci (F ) défiie par : F 0 = 0 et F = ; N, F + = F + F (a) (i) Calculer les 0 premiers termes de la suite (ii) Motrer que N, F + F F 2 = ( ) (iii) Motrer que (F ) est strictemet croissate pour 2 et que N, F E déduire que (F ) est divergete (b) Soit (u ) N la suite de terme gééral u = F+ F (i) Calculer les 0 premiers termes de cette suite Qu e déduit-o ituitivemet sur sa covergece? (ii) Motrer que : u = N u + = + u (iii) Tracer la courbe C représetat la foctio f défiie sur R par f(x) = + x Costruire les poits M ( N ) de C d abcisse u ; qu e déduit-o ituitivemet sur la covergece de (u )? (iv) Soit l la solutio positive de l équatio x = + x Calculer l (i) Motrer par récurrece que N, F + lf = ( ) l E déduire que : N, u l = ( ) F l (ii) Déduire à l aide de la questio (aiii) que lim u = l + Vérifier que la limite obteue correspod aux résultats ituitifs des questios précédetes Exercice 25 Etude de la suite (x ) N où x R (a) o suppose que x > et o pose x = +a Motrer par reccurece que pour 2 o a (+a) > +a E déduire que la suite (u ) N a la limite + lorsque ted vers + (b) O suppose 0 < x < Motrer que lim + u = 0 (c) Etudier les cas x = et x = 0
5 5 Exercice 26 Soiet a et b deux réels strictemet positifs Etudier la suite u = a b a + b Idicatio : O pourra cosidérer les cas a > b > 0, a = b > 0 et 0 < a < b et factoriser le umérateur et le déomiateur par a ou b suivat le cas Exercice 27 Soiet a, b deux réels tels que a < b Soit x u élémet de l itervalle fermé [a, b] (a) Motrer que pour tout etier il existe u etier k uique vérifiat 0 k 2 et : a + k 2 x < a + (k + ) 2 (b) E déduire que tout élémet x de l itervalle [a, b] est limite d ue suite (u ) où les u sot de la forme Exercice 28 u = a + k 2 avec 0 k 2 (a) Soit (u ) ue suite de ombre réels O suppose qu il existe u ombre réel k > et u etier 0 tels que u 0 > 0 et u + ku pour tout etier 0 Démotrer que lim + u = + (b) Soit (v ) ue suite de ombres réels O suppose qu il existe u ombre réel k et u etier 0 tels que 0 < k < et v + k v si 0 Démotrer que lim + v = 0 Exercice 29 [*]Soiet l u ombre réel et (u ) ue suite de ombre réels o uls tels que : u + lim = l + u O se propose d étudier la covergece de la suite (u ) suivat les valeurs de l (a) O suppose que 0 l < Démotrer qu il existe u ombre réel k et u etier 0 tel que : < k < et u + u < k pour tout etier 0 Détermier la limite de la suite (u ) lorsque ted vers + E déduire la limite de la suite u lorsque (u ) lorsque < l 0 (b) O suppose que l >, étudier la limite de la suite (u ) (c) Doer des exemples de suites covergetes et de suites divergetes telles que u + lim = x + u (d) Soiet k u etier relatif et x u ombre réel o ul Etudier la suite (u ) = ( k x ) Exercice 30 [**] Théorème de Césaro Soit (u ) ue suite de ombres réels coverget vers u ombre réel l Le but de cet exercice est de démotrer que la suite (v ) défiie par : v = (u + + u ) pour tout etier, est covergete et admet pour limite l (a) Soit ɛ u ombre réel strictemet positif Démotrer qu il existe u etier p tel que pour tout etier p o ait : u p l + u p+ l + + u l < ɛ 2 (b) L etier p état celui trouvé précédemmet, démotrer qu il existe u etier q tel que pour tout etier q o ait : (u l) + (u 2 l) + + (u p l) < ɛ 2 (c) Déduire de ce qui précède que lim + v = l Exercice 3 Motrer que l o a les relatios suivates : (a) 2 = o( ) (b) l = o( α ) pour tout α > 0 (c) Soit a > et α > 0 Alors α = o(a )
x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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