Les codes demandés devront être clairement commentés! EXERCICE 1. La Française des Jeux est votre amie. (Tu parles!).

Transcription

1 Lycée Féelo Sate-Mare PC-PC*/PSI* Aée Iformatque Pour Tous 5 Javer 207 Durée : 2 heures Cocours blac Toute calculatrce autorsée. Le sujet comporte u total de 3 exercces que vous pouvez trater das l ordre de votre chox. Les codes demadés devrot être claremet commetés! EXERCICE. La Fraçase des Jeux est votre ame. (Tu parles!). O a reprodut c-dessous u bullet de jeu (recto-verso) du jeu «AMIGO» de la Fraçase des Jeux (FDJ das la sute du sujet). Le prcpe de ce jeu est le suvat : le joueur chost 7 uméros dstcts das l tervalle ;28 (l ordre des uméros choss est sas mportace). Das la sute, u tel chox sera appelé «combaso». A chaque parte, la FDJ chost au hasard u total de 2 uméros, tous dstcts les us des autres, das l tervalle ;28 : 7 uméros «bleus» et 5 uméros «bous». S le joueur possède, das sa combaso, u certa ombre de uméros «bleus» et u certa ombre de uméros «bous» (cf. le tableau des gas sur la fgure de drote c-dessus) alors l obtet le ga correspodat. - 7

2 Parte A : u peu de probablté et u calcul effcace d u coeffcet bomal O ote C(, j ) le ombre de combasos gagates comportat uméros «bleus» et j uméros «bous». Par exemple, s le joueur a chos les uméros et s le trage de la FDJ est (uméros «bleus») et (uméros «bous»), l dspose d ue combaso (, 2 ) pusque sa combaso comporte uméros «bleus» (7, 5, 22 et 25) et 2 uméros «bous» (2 et ).,, j». O ote p( j ) la probablté de l évéemet «le joueur a chos ue combaso ( ). Explquer pourquo o a : C(, j) = pus e dédure que l o a : j 7 j (, ) p j j 7 j = 28 7 Souhatat calculer les probabltés p(, j ) pour les couples (, ) j correspodat à des combasos gagates, o peut procéder de dverses faços pour évaluer l expresso c-dessus. Plus précsémet, o va s terroger sur la complexté du calcul du coeffcet! bomal =. O évalue c cette complexté comme le ombre de p p! ( p)! multplcatos requses et o la ote N(, p ). 2. Das cette questo, o suppose que l o évalue p factorelles apparassat das le coeffcet bomal. N, p. Doer alors ( ) e calculat chacue des tros ( ) ( ) ( ) 2... p+ 3. O a auss =. p p ( p ) ( p 2 )... 2 Doer N(, p ) lorsque l o procède de la sorte.. O a ef = p p. Doer alors N(, p). 5. Ecrre ue focto Pytho Cbom recevat e argumet deux eters et p et revoyat u eter correspodat à (o e cherchera pas à valder, das la focto, p que les eters et p vérfet : 0 p ) e effectuat u mmum de multplcatos. 2-7

3 6. Ecrre ue focto Pytho Comb recevat e argumet deux eters et j et revoyat C, j (o e cherchera pas à valder, das la focto, que le u flottat correspodat à ( ) couple (, j ) correspod à ue combaso gagate). Votre focto utlsera la focto Cbom de la questo précédete. Parte B : ue commucato effcace mas La FDJ aoce «chace sur 3,05 de gager» (cf. la fgure de gauche de la premère page). 7. Das u scrpt Pytho, o dspose de la lge suvate : TCG = ((7,0,25000),(6,,600),(5,2,0),(,3,05),(3,,00), (2,5,00),(6,0,500),(5,,55),(,2,20),(3,3,5),(2,,5), (,5,5),(5,0,0),(,,8),(3,2,3),(2,3,3),(,,3),(0,5,3), (,0,5),(3,,2),(2,2,2),(,3,2),(0,,2)) TCG est u tuple de tuples de la forme (, j, GB(, j )) où le couple (, ) combaso gagate et GB (, j ) au ga brut assocé pour ue mse de 2. O rappelle qu u tuple Pytho est dexable au même ttre qu ue lste. As, TCG[][2] correspod à la valeur 600. Ecrre u code Pytho permettat, à partr de TCG, de calculer : j correspod à ue la probablté de gager (.e. la probablté que le joueur at chos ue combaso gagate quelle qu elle sot.). l espérace du ga et du jeu AMIGO pour ue mse de 2. Pour formato : u jeu est équtable lorsque l espérace du ga et est ulle. Le calcul précédet four, pour l espérace du ga et, ue valeur approchée de -0,65. Le jeu AMIGO est doc absolumet pas u jeu équtable O e s e étoera pas mas la FDJ se garde be de dffuser ce gere d formato Parte C : ue smulato O cherche désormas à valder les résultats précédets à l ade d ue smulato. Pour ce fare, o vous demade d écrre u scrpt qu : demade à l utlsateur le ombre de joueurs effectuat u chox de 7 uméros. Ce ombre sera stocké das la varable Njoueurs. effectue u trage aléatore de 2 uméros deux à deux dstcts das l tervalle ;28 (o utlsera la focto radt du module radom). Ces 2 uméros représeterot le trage de la FDJ. effectue Njoueurs chox de 7 uméros das l tervalle ;28 (c ecore, o utlsera la focto radt du module radom). Pour chacu de ces chox, o détermera le ombre de uméros «bleus» et le ombre de uméros «bous» 3-7

4 obteus. O e dédura alors le ga brut correspodat (pour ue mse de 2 ), ue combaso o gagate codusat à u ga brut ul. calcule et affche, après les Njoueurs chox : o pour chaque ga brut o ul apparassat au recto du bullet (et das le tuple TCG) : sa fréquece et la probablté assocée. o la proporto des chox ayat doé u ga brut o ul et la probablté de gager. o le ga et moye (pour ue mse de 2 ) et l espérace du ga et. EXERCICE 2. Le problème du drapeau holladas (ou : Djkstra, le retour). Comme vous le savez, Edsger DIJKSTRA état holladas. Vous avez pu fare sa coassace à travers so célèbre algorthme de détermato d u plus court chem etre deux sommets d u graphe podéré. Le revoc, mas cette fos à l orge d u bel algorthme de tr C est le drapeau de so pays (le ôtre aurat tout autat fat l affare ) qu lu a spré le problème suvat : «Sot ue lste d objets algés das le désordre et uquemet colorés e bleu, blac ou rouge. Commet trer ces objets de sorte que les objets bleus soet stués à gauche, les objets blacs au cetre et les objets rouges à drote?» Par exemple s la stuato tale est la suvate (O utlse les lettres B, W et R pour désger les couleurs bleu, blac et rouge respectvemet car l mpresso or et blac costtue u réel obstacle à l llustrato de la stuato ) : R R B W R B W W R B R alors l algorthme devra fourr la stuato fale suvate : B B B W W W R R R R R Ue mplémetato de l algorthme recevra e fat e etrée ue lste de eters e preat que les valeurs 0 (pour le bleu), (pour le blac) ou 2 (pour le rouge). Remarque : u ou deux couleurs peuvet parfatemet être absetes de la lste! Par exemple, pour la stuato tale c-dessus, la lste passée e argumet sera : L = [2,2,0,,2,0,,,2,0,2] Le tr dot se fare e place et e pas utlser de tableau(x) auxlare(s). Pedat l exécuto de l algorthme, la lste comporte zoes (de la gauche vers la drote) : ue zoe dot tous les élémets sot bleus (des 0), ue zoe dot tous les élémets sot blacs (des ), ue zoe dot les élémets sot de couleur quelcoque (ce sot les élémets o trés) et, ef, ue zoe dot tous les élémets sot rouges (des 2). - 7

5 O va gérer e permaece tros varables : b, correspodat à l dce du premer élémet de la lste qu est pas bleu. w, correspodat à l dce du premer élémet de la lste qu est pas blac. r, correspodat à l dce du derer élémet de la lste qu est pas rouge. Zoe bleue (trée) Zoe blache (trée) Zoe o trée Zoe rouge (trée) Elémet d dce b Elémet d dce w Elémet d dce r Italemet, les zoes trées sot vdes (tous les élémets sot cosdérés comme o trés) et, e teat compte de l dexato des lstes Pytho, o aura : b=0, w=0 et r=- O a alors l algorthme : Tat que w <= r fare : S L[w] = blac alors : w = w + So : s L[w] = bleu alors : Echager L[w] et L[b] b = b + w = w + so : Echager L[w] et L[r] r = r F Tat que. Ecrre ue focto Pytho DutchFlag qu code cet algorthme. 2. Pourquo l algorthme se terme-t-l? Das cet algorthme, les prcpaux élémets de complexté sot les tests et les échages. O ote la logueur de la lste à trer et b, ( ) ( w ) et ( c ) les ombres d élémets respectvemet bleus, blacs et rouges das la lste. O a be sûr : = ( b) + ( w) + ( r). O ote égalemet t( ) et e( ) le ombre de tests et d échages effectués pour trer ue telle lste. 5-7

6 e das le melleur et le pre des cas (o doera à chaque fos u exemple correspodat à la stuato).. Evaluer la complexté moyee e termes de tests pus e termes d échages. Das u premer temps, o pourra cosdérer que l o a : ( b) = ( w) = ( r) =. 3 N b, 3. Evaluer t( ) et ( ) Das u secod temps, o cosdèrera que l o a : = N( b) + N( w) + N( r) où ( ) N( w ) et N( r ) sot des varables aléatores d espéraces égales à. 3 EXERCICE 3. Des quadrlatères das des graphes Das cet exercce, o cherche à détermer le ombre de «quadrlatères vras» présets das u graphe smple o oreté, c est-à-dre le ombre de cofguratos du type : B A C D où A, B, C et D sot quatre sommets du graphe, deux à deux dstcts. Notos, classquemet : l ordre du graphe cosdéré. Pour tout eter aturel das 0; D la somme des degrés des sommets : ( ) ( ) 0 A = a j sa matrce d adjacece. Pour tout eter aturel p, ( p) ( ) p A a j 6-7, d le degré du sommet S. D = d. 0 = la pussace p-ème de la matrce A. O ote alors Q( ) le ombre de «quadrlatères vras» d u tel graphe. Pour évaluer ( ) trace de la matrce ( ) Q, ous allos ous téresser, légtmemet ( ), à ( ) A. Tr A = a, la 0

7 . Explquer pourquo la cotrbuto de Q( ) à ( ) 2. Les autres cofguratos cotrbuat à Tr( A ) sot : B Tr A est égale à 8 Q( ). B S S C C Avec les chaîes : Cofgurato de gauche : S -B-S -C-S et S -C-S -B-S, sachat que das ce type de cofgurato, o peut avor B = C. Cofgurato de drote : S -B-C-B-S, sachat que das ce type de cofguratos, o a B C. a. Motrer que la cotrbuto des cofguratos de gauche à Tr( A ) vaut : b. Motrer que la cotrbuto des cofguratos de drote à Tr( A ) vaut : ( 2) aj 3. Dédure des questos précédetes :, j j 2 ( 2) Q( ) = Tr( A ) d a j 8, j j 2 ( 2) = Tr( A ) d aj + D 8, j. Ecrre ue focto Pytho NumOfQ qu reçot e argumet la matrce d adjacece A d u graphe smple o oreté et e revoe le ombre de «quadrlatères vras». O rappelle que : La focto dot de la bblothèque umpy permet de calculer le produt de deux matrces (tableaux umpy). La focto shape (équvalete à la méthode shape) de la bblothèque umpy permet d obter les dmesos d ue matrce (tableaux umpy). Cette focto revoe u tuple. d 2 7-7