FONCTION EXPONENTIELLE
|
|
- Adélaïde Pierre
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher la courbe d'ue foctio par des "petits" segmets. II. INTRODUCTION, DEFINITION E physique ou e biologie, o est souvet ameé à rechercher et à étudier les foctios f défiies et dérivables sur IR et vérifiat f ' = k f, c'est-à-dire les solutios de l'équatio différetielle y' = k y, k état u réel fixé. O peut remarquer qu'aucue des foctios recotrées jusqu'à préset (foctio polyômes, foctios ratioelles, foctio racie carrée, foctios sius et cosius...) e sot solutios d'ue telle équatio différetielle. O s'itéressera plus particulièremet au cas particulier k = 1. Théorème Il existe ue uique foctio f, défiie et dérivable sur IR, telle que f ' = f et f(0) = 1. Cette foctio est otée exp et appelée foctio expoetielle. Pour tous réels k et a, il existe ue uique foctio f, défiie et dérivable sur IR, telle que f ' = kf et f(0) = a. Cette foctio f est défiie par : f(x) = a exp(kx) pour tout x IR. Exercice 01 O cosidère u partage de l'itervalle [0 ; 1] e itervalles de même amplitude ( IN * ). 1. E utilisat les approximatios affies et la méthode d'euler, doer e foctio de ue approximatio de exp 1 et exp.. Démotrer que est ue approximatio de exp(1). 3. O cosidère la suite (u) défiie par u = Doer à 10-3 près les valeurs de u obteues avec ue calculatrice pour : = 10 ; = 100 ; = ; = ; = ; = E déduire ue valeur approchée de exp(1). - 1/8 -
2 1. O sait qu'ue approximatio affie de exp(x 0 + h) est exp(x 0 ) + exp'(x 0 ) h Comme la foctio expoetielle est égale à sa dérivée, o a : exp(x 0 ) + exp'(x 0 ) h = exp(x 0 ) + exp(x 0 ) h = exp(x 0 ) (1 + h) Ue approximatio de exp 1 est doc exp(0) E réitérat le procédé, o peut écrire que = exp = exp + 1 a pour approximatio exp doc Ue approximatio de exp est doc exp 3 = exp + 1 a pour approximatio exp doc o pourait démotrer que pour tout k {1,,}, ue approximatio de exp k est Or, exp(1) = exp, o e déduit que exp(1) a pour approximatio 3. La suite (u ) état défiie par u = , o obtiet u 10,594 u 100,705 u 1000,717 u 10000,718 u ,718 u , exp(1) a doc pour valeur approchée, k III. RELATION FONCTIONNELLE, NOTATION e x Propriété Pour tous réels x et y, o a : exp(x + y) = exp(x) exp(y) La foctio expoetielle est doc ue foctio trasformat ue somme e u produit. Démostratio : Soit y u ombre réel fixé, o a vu que exp(y) 0 Cosidéros la foctio g défiie par g(x) = exp(x + y) exp(y) Les foctios x exp(x + y) est dérivable sur IR doc, g est dérivable sur. O a alors [exp(x + y)]' = (x + y)' exp'(x + y) = exp(x + y). Doc, g'() = [exp(x + y)] ' = exp(x + y) = g(x) exp(y) exp(y) De plus o a g(0) = exp(0 + y) = exp(y) exp(y) exp(y) = 1 g est doc ue foctio défiie et dérivable sur IR, telle que g' = g et g(0) = 1 g est doc la foctio expoetielle O e déduit que pour tout réel x, g(x) = exp(x), c'est-à-dire exp(x + y) = exp(x) exp(y) D où : Pour tous réels x et y, o a exp(x + y) = exp(x) exp(y) Remarques E appliquat la relatio précédete avec y = x, o obtiet : exp(x) = [exp(x)] E appliquat de ouveau la relatio avec y = x, o obtiet : exp(3x) = exp(x) exp(x) = [exp(x)] 3 O peut alors démotrer que pour tout etier aturel, o a : exp(x) = [exp(x)] O e déduit e particulier que pour tout etier aturel, o a : exp() = [exp(1)] Si o ote e le ombre exp(1), alors pour tout etier aturel, o a : exp() = e - /8 -
3 Défiitio : O coviedra de oter pour tout réel x : exp(x) = e x où e = exp(1) La foctio expoetielle est alors défiie par exp : IR IR x α e x O trouve sur les calculatrices scietifiques ue touche correspodat à cette foctio. Remarques Le ombre e = exp(1) a pour valeur approchée,718. La otatio e a doc ue double sigificatio : soit le ombre e élevé au carré, soit le ombre exp(), ces deux ombres état égaux Propriétés a et b état deux réels et est u etier relatif o a : e b > 0 ea+b = ea.eb e b = 1 e b e a b = ea e b e a = (e a ) Quelques démostratios : x et y état deux réels, o a déjà démotré que exp(x + y) = exp(x) exp(y) Doc pour tous réels a et b o a : e a+b = e a.e b E preat a = -b, o obtiet e particulier e -b+b = e -b.e b c'est-à-dire e 0 = e -b.e b Or o sait que e 0 = 1, doc e -b.e b = 1 c'est-à-dire e -b = 1 pour tout b * eb O peut écrire e a-b = e a+(-b) = e a.e -b = e a. 1 e b = ea e b Exercice 0 : Écrire plus simplemet : 1. e x e 1-x ex+3. e x-1 3. (e x + e-x) 4. e -x - e x + 1 e x 1. e x e 1-x = e x + 1 x = e 1 = e. e x+3 e x-1 = e x+3-x+1 = e x+4 3. (e x + e -x ) = (e x ) + e x e -x + (e -x ) = e x + e x-x + e -x = e x + e 0 + e -x = e x + e -x + 4. e -x - ex + 1 e x = e -x - (e x + 1) e -x = e -x - (e x e -x + e -x ) = e -x - e x-x - e -x = e -x - e 0 - e -x = /8 -
4 Exercice 03 : O cosidère la foctio f défiie sur IR par : f(x) = x e x - 1 e x Vérifier que pour tout réel x : f(x) = x 1 - e-x 1 + e -x. Puis f(x) = x 1 + e x Motrer que f est dérivable sur IR, vérifier que : f '(x) = e x + 1 (e x + 1) = 1 + e -x (1 + e-x) 1. La foctio expoetielle état strictemet positive, e x pour tout x IR.Doc, f(x) existe pour tout réel x. f(x) = x e x e x e x = x e x + 1 e x = x e x (1 - e -x ) e x e x (1 + e -x = x 1 - e-x ) 1 + e -x. x 1 + e x = x e x e x = x e x e x = f(x) f est la somme et le quotiet de foctios dérivables sur IR, doc f est dérivable sur IR. f '(x) = 1 (e x 1)'(e x + 1) (e x 1)(e x + 1)' (e x + 1) = 1 e x (e x + 1) - (e x - 1)e x (e x + 1) = 1 e x + e x - e x + e x (e x + 1) = 1 e x (e x + 1) = (e x + 1) - e x (e x + 1) = e x + e x e x (e x + 1) = e x + 1 (e x + 1) = e x + 1 (e x + 1) = ex (1 + e -x ) [e x (1 + e -x )] = ex (1 + e -x ) e x (1 + e -x ) = 1 + e-x (1 + e -x ) IV. ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Propriétés La foctio expoetielle est défiie, cotiue, dérivable sur IR et (ex)' = ex. e 0 = 1 ; e 1 = e =,718 pour tout réel x, e x > 0 La foctio expoetielle est strictemet croissate sur IR. x > 0 e x > 1 et x < 0 0 < e x < 1 lim ex = + et lim e x = 0 x Le tableau de variatios de la foctio expoetielle est : Courbe représetative x exp 0-4/8 -
5 Exercice 04 Résoudre das IR les iéquatios suivates : 1. e x 1 > 0. e x + 3 e x + 1 > 3. e x e x 0 4. e x+5 < e 1-x O sait que la foctio expoetielle est strictemet croissate sur IR.O a doc : e a > e b a > b. 1. e x 1 > 0 e x > 1 e x > e 0 x > 0 car la foctio exp(x) est strictemet croissate sur IR x > 0 doc S =] 0 ; + [. O a e x > 0, doc e x + 1 > 0. L'iéquatio e x + 3 e x > est doc défiie sur IR et o peut multiplier ses deux membres par e x + 1 qui est + 1 strictemet positif. e x + 3 e x > e x + 3 > e x + 3 > e x e x e x < 1 e x < e 0 x < car la foctio expoetielle est strictemet croissate sur IR doc, S = ] ; 0 [ 3. e x e x 0 e x (e x ) 0 e x (1 e x ) 0 1 e x 0 car e x > 0 e x 1 e x e 0 x 0 doc, S = [ 0 ; + [ 4. e x+5 < e 1 x x + 5 < 1 x car la foctio expoetielle est strictemet croissate sur IR 3x < 4 x < 4 3 doc, S = ] ; 4 3 [ Propriétés lim x 0 e x 1 x = 1. e x a pour approximatio affie 1 + x au voisiage de 0. lim e x x = + lim x ex = 0 x C'est-à-dire que, au voisiage de l'ifii, l'expoetielle de x l'emporte sur x. Démostratios Soit f(x) = e x f(x) f(0), f (0) = lim lim e x 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x Pour ue foctio f dérivable e x 0, l'approximatio affie de f(x 0 + h) est f(x 0 ) + f '(x 0 ) h L'approximatio affie de e h est doc e 0 + e 0 h = 1 + h Cela reviet à dire que la courbe de la foctio expoetielle a pour tagete au poit d'abscisse 0 la droite d'équatio y = x + 1 Exercice 05 Détermier les limites suivates : 1. lim e x 3x 5. lim + 3e x+1 3. lim e x - 3 e x + - 5/8 -
6 4. lim e x + 1 x 0 ex 5. lim 3xe-x 6. lim (x + 1)e x 7. lim e x - 5 3x 8. lim e x - 1 x 0 x3 9. lim e x + e-x 3 + e x lim x 3x 5 = + et lim e X = + doc lim e x 3x 5 = + X + lim x + 1 = or, lim e X = 0 doc lim e -x +1 = 0 et lim + 3e x +1 = X - lim e x = 0 doc lim e x 3 = 3 et lim e x + = doc lim e x - 3 e x = lim e x 0 x = e 0 = 1 doc lim e x 0 x = 1 et lim e x + 1 = doc lim e x + 1 x 0 x 0 e x = lim 3xe x coduit à ue forme idétermiée Or, xe x = x e x lim e x x = + doc,.. lim 3xe x = 0 lim (x + 1)e x cosuit à ue forme idétermiée o écrit : (x + 1)e x = xe x + e x lim xe x = lim xe x = 0 doc lim xe x = 0 D'autre part lim e x - 5 3x O sait que lim e x = 0 Doc lim (x + 1)e x = 0 coduit à ue forme idétermiée. O écrit : e x - 5 3x = e x 3 x 5 3x lim e x x = + et o a lim 5 3x = 0 doc lim e x 3 x 5 3x = + lim e x - 1 x 0 x 3 coduit à ue forme idétermiée. O peut écrire : e x - 1 x 3 = e x x x O sait que lim e x - 1 = 1 et o a x 0 x lim 1 x 0 x = + doc lim e x x 0 x x = + 9. O a lim e x = 0 et D autre part, lim 3 + e x = 3 Doc, Exercice 07 Résoudre das IR les équatios suivates : 1. ex+1 1 = 0. e x+1 e x-3 = 0 3. e x-1 e 3x+5 = 1 4. e x + e x - = 0 lim e x = lim e X = + doc lim e x + e x = + X + lim e x + e -x 3 + e x = + - 6/8 -
7 1. e x+1 1 = 0 e x+1 = 1 e x+1 = e 0 x + 1 = 0 x = 1. e x+1 e x 3 = 0 e x+1 = e x 3 x + 1 = x 3 x = 4 3. e x 1 e 3x+5 = 1 e x 1+3x+5 = e 0 e 4x+4 = e 0 4x + 4 = 0 x = 1 4. e x + e x = 0 (e x ) + e x = 0-7/8 - Si o pose X = e x, l'équatio deviet X + X = 0. Cette équatio a pour solutios X 1 = 1 et X = O e déduit que e x + e x = 0 e x = 1 ou e x = O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive, doc l'équatio e x = 'a pas de solutio D'autre part e x = 1 e x = e 0 x = 0 Propriétés Si u est ue foctio dérivable sur u itervalle I, la foctio exp o u = eu (x) est dérivable sur I, et o a : (exp o u)' = u'.exp o u ou ecore (eu)' = u'.eu Exercice 07 Justifier que chacue des foctios est dérivable sur IR, calculer la dérivée et étudier so sige. 1. f(x) = ex+1. g(x) = (x + 1)e x+1 3e 3. t(x) = x ex f est la composée de la foctio polyôme x + 1 et de la foctio expoetielle qui dérivables sur IR. Par coséquet, f est dérivable sur IR. f '(x) = (x + 1) ' e x +1 doc : f '(x) = 4x e x +1 La foctio expoetielle est strictemet positive, doc f '(x) est du sige de 4x O a doc f '(x) < 0 pour x ]- ; 0[ et f '(x) > 0 pour x ]0 ; + [. g est le produit de foctios dérivables sur doc g est dérivable sur IR. g'(x) = (x + 1)' x e x+1 + (x + 1)(e x+1 )' = e x+1 + (x + 1)(x + 1)'(e x+1 ) = e x+1 + (x + 1)(e x+1 ) = e x+1 (1 + x + 1) = (x + )e x+1 = 4(x + 1)e x+1 O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive, doc g'(x) est du sige de x + 1 g'(x) < 0 pour x ]- ; 1[ et g'(x) > 0 pour x ] 1 ; + [ 3. La foctio t le quotiet et la composée de foctios dérivables sur IR et e x 1 e s'aule pas sur IR. Doc, t est dérivable sur IR. Exercice 08 t'(x) = 3(e x )' x (e x + 1) - 3e x x (e x + 1)' (e x + 1) = 3(e x ) x (e x + 1) - 3e x x (e x ) (e x + 1) = 3e 3x + 3e x - 6e 3x (e x + 1) t'(x) = 3e x - 3e 3x (e x + 1) = 3e x (1 - e x ) (e x + 1) = 3e x (1 - (e x ) ) (e x + 1) = 3e x (1 - e x )(1 + e x ) (e x + 1) O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive, doc e x, (1 + e x ) et (e x + 1) sot strictemet positifs pour tout réel x. Doc, t'(x) est du sige de 1 e x 1 e x > 0 e x < 1 x < 0. O a doc t'(x) > 0 pour x ]- ; 0[ et t'(x) < 0 pour x ]0 ; + [ 1. Étudier les variatios de la foctio f défiie par f(x) = ex - 1 ex Dresser so tableau de variatios. 3. Soit (C) la courbe représetative de f, doer l'équatio de la tagete T à (C) au poit d'abscisse 0. Tracer (C) et T. 4. Démotrer que l'équatio f(x) = 1 a ue solutio uique α das IR. Doer ue valeur approchée de alpha à 10 - près.
8 1. O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive sur IR, doc e x pour tout x IR La foctio f est doc défiie sur IR. O a lim e x = 0 doc, lim e x = 0 et par coséquet lim ex - 1 e x + 1 D'autre part, o peut écrire f(x) = ex (1 - e -x ) e x (1 + e -x = 1 - e-x ) 1 + e -x O a lim -x = et lim e X = 0 doc X - lim e x = 0 = -1 1 doc lim f(x)= 1 O e déduit lim 1 - e-x 1 + e -x = 1 doc lim f(x) = 1 f est somme, quotiet et composée de foctios dérivables sur IR, doc f est dérivable sur IR f '(x) = (ex - 1)'(e x + 1) - (e x - 1)(e x + 1)' (e x + 1) = ex (ex + 1) - (ex - 1)(ex ) (e x + 1) = e4x + e x - e 4x + e x (e x + 1) doc f '(x) = 4e x (e x + 1) pour tout x IR O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive, doc f '(x) > 0 pour tout x IR. O peut alors dresser le tableau de variatios de f : x - + f'(x) + 1 f La tagete T à (C) au poit d'abscisse 0 a pour équatio y = f '(0)(x - 0) + f(0) avec f '(0) = 4e 0 (e 0 + 1) = 4 4 = 1 et f(0) = e0-1 e 0 = Doc, T a pour équatio y = x 1 x α T (C) 4. La foctio est strictemet croissate et cotiue de das ] 1 ; 1 [. Or, 1 ] 1 ; 1 [. D après le théorème des valeurs itermédiaires, l équatio f(x)= 1 admet ue uique solutio sur. O peut doer ue valeur approchée de alpha e remarquat que f(0) = 0 et f(1) 0,76 et e procédat par la méthode de balayage : O obtiet f(0,54) 0,49 et f(0,55) 0,5005. Comme 0,5 ] 0,49 ; 0,5005[, alors o peut predre α 0,55-8/8 -
Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailRégulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique
Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailMESURE DE L'INFORMATION
MESURE DE L'INFORMATION Marc URO TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION... 3 INCERTITUDE D'UN ÉVÉNEMENT (OU SELF-INFORMATION)... 7 INFORMATION MUTUELLE DE DEUX ÉVÉNEMENTS... 9 ENTROPIE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détailExponentielle exercices corrigés
Trmial S Foctio potill Ercics corrigés Fsic 996, rcic Fsic 996, rcic 3 3 Fsic 996, rcic 4 4 Fsic, rcic 6 3 5 Fsic, rcic 4 3 6 Baqu 4 4 7 Epo + air, Amériqu du Nord 5 5 8 Basiqu, N Calédoi, ov 4 7 9 Basiqus
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailRésolution numérique des équations aux dérivées partielles (PDE)
Résolutio umérique des équatios au dérivées partielles (PDE Sébastie Charoz & Adria Daerr iversité Paris 7 Deis Diderot CEA Saclay Référeces : Numerical Recipes i Fortra, Press. Et al. Cambridge iversity
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailDéveloppement en Série de Fourier
F-IRIS-5.ex Développeme e Série de Fourier Développer e série de Fourier les focios de période T défiies aisi : a b { f impaire T = f = si ] ; { f paire T = f = si ; ] Faire das chaque cas ue représeaio
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailChap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R.
Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Démonstration : Soit la fonction %:& %&!= &!, elle est dérivable sur R et & R, %. &!= &! = &! = %&! gaelle.buffet@ac-montpellier.fr
Plus en détailLa tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison
ANNALES D ÉCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N 58 2000 La tarificatio hospitalière : de l eveloppe globale à la cocurrece par comparaiso Michel MOUGEOT * RÉSUMÉ. Cet article cosidère différetes politiques de
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailPetit recueil d'énigmes
Petit recueil d'éigmes Patxi RITTER (*) facile (**) mois facile (***) pas facile (****) il faudra de l aide Solutios e rouge. 1) Cryptarithme (**) Trouvez la valeur de A, B et C satisfaisat l équatio suivate.
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailTempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation
Tempêtes : Etude des dépedaces etre les braches Automobile et Icedie à l aide de la théorie des copulas Topic Risk evaluatio Belguise Olivier Charles Levi ACM Guy Carpeter 34 rue du Wacke 47/53 rue Raspail
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail?,i- ' ^/mmmmmm. CACU ^..""'V ii\teimmies EîiiEsmmii ''?A y? K 1^ 1 - r Par le Moyede Formules Algébriques ) v-^' ET A 'AIDE DES OGARITHMES.../v:?i.'?Xi:: F, X, BURQUE, Ptr. Professeur de MatJu'matiques,
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailLes algorithmes de tri
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....
Plus en détailMécanique non linéaire
M MN9 Mécaique o liéaire Zhi-Qiag FENG UFR Sciece et Techologies Uiversité d Evry Val d Essoe TABLES DES MATIERES INTRODUCTION Chapitre : CONCEPTS ELEMENTAIRES. Pricipales propriétés des matériaux. Coaissace
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailRESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *)
RESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *) *) Uiversité de Blida Faculté des scieces Départemet de Mathématiques. BP 270, Route de Soumaa. Blida, Algérie. Tel &
Plus en détail