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1 mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires : Il est alors cou que dx dy = r dr dθ. Le ouveau domaie d itégratio est [, ] [, ]. Aisi, I = r [,] [,] + r drdθ. O applique le théorème de Fubii : r I = + r dr = [l( + r ] = l( Exercice : équatio différetielle { x = r cos(θ y = r si(θ. Sur l itervalle ], + [ l équatio (E se réécrit sous forme résolue y + a(x x y + b(x x y =. Les foctios x a(x x et x b(x x sot cotiues sur I et l équatio est liéaire homogèe d ordre. Doc par théorème, S + est de dimesio et de même, S est de dimesio.. Soit f Ker (ϕ. Alors f est ulle sur les itervalles I et J doc sur R. Par cotiuité de f e, f( =. Doc f = ce qui motre que Ker (ϕ = {}. ϕ état ue applicatio liéaire ijective, elle défiit u isomorphisme de S sur Im (ϕ. Or Im (ϕ est u sev de S S qui est u ev de dimesio + = 4. Doc Im (ϕ est u ev de dimesio fiie et dim(im (ϕ 4. Etat isomorphe à Im (ϕ, S est aussi de même dimesio fiie ce qui doe dim(s Soit I {I, J} (l u des deux itervalles... Sur I, l équatio est équivalete à y + { z x y = soit au système + (/x z = y = z La première équatio, liéaire, homogèe, d ordre a immédiatemet pour esemble solutio sur l itervalle I la droite vectorielle {x K x, K R}. Aisi, y est solutio de (E ssi K R, y = K x ssi (K, L R, y = K l( x + L. Coclusio : sur l itervalle I ou l itervalle J, l esemble { solutio est Vect (x, x l( x } x >, f(x = Soit f S. Alors il existe (k, k, k 3, k 4 R 4 k l(x + k tel que x <, f(x = k 3 l( x + k 4 f état cotiue e doc borée au voisiage de, o obtiet k = k 3 =. La cotiuité à gauche et à droite e impose alors k = f( = k 4. Doc f est ue foctio costate. Réciproquemet, il est immédiat de vérifier que les foctios costates sot élémets de f. Coclusio : S = Vect (x et dim(s =. 4. Notos f α la foctio défiie sur I par f α (x = x α. Alors f α est solutio de (E ssi x >, x α(α x α 6xαx α + x α = ssi x >, x α (α 7α + = 4 et 3 sot solutios de l équatio α 7α + doc les foctios x x 3 et x x 4 sot élémets de S +. La famille (x x 3, x x 4 est ue -liste libre (vérificatio immédiate d élémets de S + et S + est de dimesio. Doc c est ue base de S + et S + = Vect (x x 3, x x 4. O vérifie immédiatemet par le calcul que x x 3 et x x 4 défiisset deux foctios sur J solutios de (E. Elles formet égalemet ue -liste libre et dim(s =. Doc S = Vect (x{ x 3,{ x x 4. } k x O vérifie que S = x 3 + k x 4 si x k 3 x 3 + k 4 x 4 si x <, (k,.., k 4 R 4. Soit f S. D après ce qui précède, pour vérifier que S appartiet à l esemble proposé, il suffit de vérifier que f( =...

2 O sait qu il existe k, k R tel que x >, f(x = k x 3 +k x 4. La cotiuité de f e doc à droite e doe immédiatemet f( = lim k x 3 + k x 4 =. Soit f das l esemble proposé. Alors il existe k,.., k 4 R vérifiat ce qu il faut... O vérifie que f est de classe C sur R : Soit α >. Au voisiage de α, f coïcide avec la foctio x k x 3 + k x 4. Doc f est deux fois dérivable e α, f (α = 3k x + 4k x 3 et f (α = 6k x + k x. De même, pour α <, f coïcide au voisiage de α avec x k 3 x 3 + k 4 x 4 doc f est deux fois dérivable e α et f (α = 3k 3 x + 4k 4 x 3, f (α = 6k 3 x + k 4 x. Aisi, f est deux fois dérivable sur R et sa dérivée secode f est clairemet cotiue e tout poit de R. Doc f est de classe C sur R. De plus, f est clairemet cotiue à droite et à gauche e doc cotiue e aisi qu e tout poit de R. Doc f est cotiue sur R, de classe C sur R. Il e reste qu à vérifier que f (x et f (x admettet ue même limite fiie e à droite et à gauche pour assurer, d après le théorème de prologemet de la classe, que f est de classe C sur R. D après les expressios précédemmet évoquées pour f et f, ces limites existet et sot. Coclusio : f est de classe C sur R. Les expressios détermiées plus haut pour f et f assuret immédiatemet que f est solutio de (E. Coclusio : o a bie l égalité souhaitée et S est clairemet de dimesio Cosidéros l équatio (E : x y + 4xy + y. Alors x x et x sot deux solutios de (E (vérificatio immédiate sur I et sur J. x Cette famille de foctios est clairemet libre. Doc comme précédemmet, S + et S sot egedrés par ces deux foctios. Soit f S ue solutio de (E sur R. Problème Alors il existe k, k, k 3, k 4 R tel que x >, f(x = k x + k x et x <, f(x = k 3 x + k 4 x. Alors x >, x f(x k x = k doc la cotiuité de f e à droite doe par passage à la limite e + : = k. Doc x >, f(x = k x d où x >, x f(x = k ce qui, par passage à la limite e doe = k. De même, la cotiuité de f à gauche e doe k 3 = k 4 =. Doc f = ce qui démotre que S est l espace vectoriel ul. Partie : covergece de séries par trasfo d Abel. Soit N. S = a k b k = a b + k= a k (B k B k = a b + a k B k a k B k. Das la derière somme, o effectue le chagemet d idice j = k. S = a b + a k B k a j+ B j = a b + (a k a k+ B k + a B a B j= = a b + (a k a k+ B k (a a B + a B a b = (a k a k+ B k + a B k=. (a Par théorème, la suite (a état covergete, la série k a k a k+ est égalemet covergete (c est même ue CNS. (b Vérifios que la suite (S des sommes partielles est covergete. D après la questio précédete, N, S = (a k a k+ B k + a B. k= Le secod terme (a B ted vers car produit d ue suite covergete vers et d ue suite borée. Le premier terme est ue somme partielle de la série de TG (a k a k+ B k. Notos M > u majorat de la suite ( B. Alors k N, (a k a k+ B k a k a k+ M = (a k a k+ M car (a k est ue suite décroissate. Aisi, (a k a k+ B k est domiée par ue le TG d ue série absolumet covergete. Doc (a k a k+ B k est lui même le TG d ue série AC ce qui termie la démostratio de cette questio. (c Soit (a k k N ue suite décroissate de limite ulle. Alors k ( k a k est ue série covergete. k=

3 ( Il suffit d appliquer le résultat de la questio précédete après avoir justifié que la suite (B = ( k est ue suite borée. O a N, B {, } doc N, B ce assure bie le résultat demadé. 3. (a O demade de calculer la somme des termes d ue suite géométrique de raiso e iθ. Notos que, par hypothèse, e iθ. Par théorème, e ikθ iθ eiθ eiθ/ ( i si(θ/ si(θ/ = e = eiθ = ei(+θ/ eiθ ( i si(θ/ si(θ/ (b Lorsque α >, la série de TG eiθ α e iθ/ est absolumet covergete doc covergete. Lorsque α, le module du terme gééral e ted pas vers doc la série est grossièremet divergete. Soit α ], ]. O va motrer que la série est covergete par applicatio du résultat de la questio b. Notos tout de même que le fait que la série commece à = à la place de = a pas d icidece. La suite (/ est clairemet décroissate et ted vers. D après la questio précédete, N, e iθ doc la suite des sommes partielles qui va bie est borée. si(θ/ Coclusio : la série est covergete. 4. Soit x R. Posos z = eix. / Lorsque x R\Z, la questio précédete assure la covergece de la série de TG z et le rappel de l éocé assure la covergece de la série de TG Im (z = si(x. Lorsque x Z, u (x = ce qui est bie le TG d ue série covergete. Coclusio : cette série de foctio coverge simplemet sur R. k= Partie : covergece uiforme de séries 5. (a O motre que la suite (a F cvu vers la foctio ulle sur A. z A, a F (z a M et cette majoratio par ue suite (idépedate de z qui ted vers assure que (a F cvu vers sur A. Notos comme précédemmet, que k N, a k a k+ = a k a k+ par décroissace de (a. Aisi, z A, (a k a k+ F (z (a k a k+ M et cette majoratio par le TG d ue série covergete (car la suite (a k est covergete idépedat de z assure que la série de foctio k (a k a k+ F k coverge ormalemet sur A. (b Il est cou qu ue somme de suites de foctios qui coverget uiformémet défiit ue suite de foctio qui coverge uiformémet. ( Aisi, (a F cvu sur A et (a k a k+ F k cvu sur A (d après ce qui précède. k= ( Doc la somme coverge uiformémet sur A et cette somme est la suite a k f k d après la traformatio d Abel. Aisi, la série a k f k cvu sur A. 6. (a O factorise e ix par e ix/ pour obteir le résultat souhaité. La suite (/ est décroissate et de limite ulle. Soit a ], [. Soit x [a, a]. Notos tout de suite ( que e ix car x R \ Z. Alors N, si(kx = Im e ikx e ikx = si(x/ si(x/ k= si(x/ = si( x /. Or x [a, a] doc (x/ [a/, a/]. Par hypothèse sur a, < a/ / a/ < doc les variatios de la foctio si doet < si(a/ = si( a/ si(x/ = si(x/. Coclusio : N, x [a, a], si(kx ce qui assure le caractère uiformémet boré de la série si(a/ 3

4 de foctios qui va bie. Aisi, d après les questios précédetes, la série de foctios si(kx coverge uiformémet sur le segmet [a, a]. k k Les foctios état cotiues sur R par les théorèmes gééraux, la covergece uiforme assure la cotiuité de la limite sur le domaie de covergece. Aisi, U est cotiue sur tous les segmets [a, a] pour a ], [. Doc U est cotiue sur la réuio de ces segmets qui forme l itervalle ], [ tout etier. (b D après les éocés précédets, il suffit de démotrer que la suite des sommes partielles si(kx si(px est uiformémet borée sur [, ]. D après les calculs précédets, x ], ], A (x = si(kx si(px = si(x/ si(px si(x/. Pour x ], ], o a d après l éocé, < x si(x/ ce qui, par décroissace de la foctio iverse sur ], + [ doe < si(x/ x. Aisi, N, x ], ], A (x si(px. x Or, il est bie cou que si(t t pour tout t réel. Doc N, x ], ], A (x p x = p. x Cette iégalité est ecore valable pour x = car la somme est ulle. Aisi, la somme partielle qui va bie est uiformémet borée. De plus, (/ est décroissate de limite ulle doc v (x (c cvu sur [, ]. i. Notos que la foctio U est clairemet périodique. Admettos les idetités proposées (elles se démotret par liéarisatio des expressios trigo. La foctio U est clairemet impaire doc p N, a p (U =. Soit p N. Par imparité, b p (U = si(pxu(x dx = si(x si(px dx = si(px si(x dx. La covergece uiforme de la série si(px si(x = sur le segmet [, ] permet ue iterversio série - itégrale. Aisi, b p (U = si(px si(x dx = p d après le résultat doé par l éocé. ii. U état périodique, à valeurs réelles et supposée cotiue par morceaux sur [, ] doc cotiue par morceaux sur R par imparité et périodicité, le théorème de Parseval doe l égalité a (U + a p (U + b p (U = U(t dt. L égalité ci-dessus se réécrit alors p= p = D où la cotradictio qui motre que U est pas cotiue par morceaux sur [, ]. Partie 3 : covergece uiforme d ue série etière p= U(t dt R ce qui est absurde car la série de TG est divergete. p 7. La série etière coverge uiformémet sur tout disque fermé de cetre iclus das le disque ouvert D(, R ie de la forme {z C z r} avec r ], R[. 8. (a Supposos que la série etière x cvu sur ], [. Alors o a covergece uiforme sur [, [. D après le critère de Cauchy uiforme, ε >, N, (p, q N q x, p q x [, [, ε. Soit ε >, u tel, p, q vérifiat p q. q x Alors x [, [, ε ce qui, par passage à la limite quad x ted vers q doe ε. =p =p =p 4

5 O a doc ε >, N, (p, q N q, p q =p ( N Doc la suite = de TG est divergete. ε. est ue suite réelle qui vérifie le critère de Cauchy. Doc elle coverge ce qui est absurde car la série Coclusio : la série etière x e coverge pas uiformémet sur [, [ doc sur ], [. (b D α est le disque fermé de cetre de rayo privé d ue "calotte"... (c L écriture proposée de D α e pose pas de problème. Notos égalemet que das R (e dimesio fiie, doc, toutes ormes sot équivaletes... { { R Posos ϕ : R R (x, y x + y et ϕ : R (x, y x. Par les théorèmes gééraux, ϕ et ϕ sot clairemet cotiue sur R. De plus, les esembles ], ] et ], cos(α] sot deux fermés de R. Doc les images réciproques par ϕ et ϕ sot des fermés de R par théorèmes (image réciproque d u fermé par ue applicatio cotiue... Ue itersectio (quelcoque de fermés est fermée doc D α = ϕ (], ] ϕ (], cos(α] est fermé. D α est u fermé d après ce qui précède et boré (par e orme euclidiee... E dimesio fiie, u fermé boré est u compact. Doc D α est u compact. (d / D α car cos(α < (par hypothèse sur α... Soit z D α et N. Alors z ce qui permet d écrire que F (z = z+ z = z+ z z Il reste à miorer le déomiateur par x. O a z = ( x + y ( x > car x cos(α <. Doc z x = x cos(α > (toujours car x cos(α <... Par passage à l iverse, z x cos(α. Aisi, par multiplicatio par le réel positif : F (z x cos(α + z + z (e Soit α ], /[. La suite (/ est décroissate ( et ted vers doc pour appliquer le résultat de la questio 3.5.b., il suffit de motrer que la suite des sommes partielles z k est uiformémet borée sur D α. Ceci est assuré par la majoratio précédete car est idépedat de z et de. cos(α Coclusio : la série etière z coverge uiformémet sur D α. 5

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