MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

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1 MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège social et cetre d exéditio : -3 rue de l Éée de Bois, 75 5 Paris tél : bureaux et accueil du ublic : 6 rue Sait Deis, 34 Motellier tél :

2 Quelques idicatios our votre Termiale e mathématiques (obligatoire) Référeces o Les exercices fot référece au livre : Maths TS Collectio Symbole Beli (Programme 22) Vous disosez : du livre de fiches récaitulat les riciaux oits du cours de corrigés d exercices du livre de 2 devoirs thématiques et de 3 devoirs de tye Bac blac à redre Lecture des fiches Les fiches suivet globalemet le découage du livre Les référeces au livre sot idiquées e italiques Remarque : il est idiqué certaies erreurs d éocé du livre Il est ossible que vous disosiez d ue éditio où ces erreurs ot déjà été corrigées Les défiitios et riciaux résultats sot idiqués avec le symbole : Á la fi de chaque fiche ou de certaies arties, o a idiqué les cométeces à avoir (issues du rogramme officiel) et les exercices du livre à faire qui sot corrigés ar les Cours PI Coseils de rogressio Pour chaque fiche : Commecer ar lire le livre aux ages idiquées Il est vivemet coseillé de lire égalemet les ages «Caacités attedues» Certaies démostratios sot exigibles Il est surtout imortat de bie les comredre et de reteir les méthodes Faire le maximum d exercices (si ossible tous!) Il est coseillé de faire égalemet les exercices corrigés du livre Calculatrice et iformatique Vous devez osséder our l eseigemet scietifique au lycée d ue calculatrice grahique de tye CASIO GRAPH 25+ ou CASIO GRAPH 35+ Il faut aredre à vous e servir Devoirs Les devoirs thématiques coceret des arties sécifiques du rogramme Les devoirs de tye-bac sot euvet faire ael à l esemble du rogramme Le momet où ils sot faisables est idiqué das le sommaire age suivate COURS PI

3 Mathématiques Termiale S Sommaire COURS PI

4 Fiche Suites et récurrece Chaitres et 2 Das la suite, o otera u, v, w, des suites et u, v, w, leur terme gééral resectif Sauf récisio cotraire, les suites serot défiies our tout Raisoemet ar récurrece O cosidère ue roriété P ( ) Si : P ( () ) est vraie (iitialisatio) (2) et our tout, P( ) vraie imlique P( ) vraie (hérédité), alors our tout, P ( ) est vraie E ratique sur u exemle : u et u u Soit la suite u défiie ar : ( )( 2) u Motrer que our tout : O écrit la roriété de récurrece : O ose : P( ) : u 2 O iitialise la récurrece : Iitialisatio : u Pour : doc P() est vraie 3 O vérifie la coditio d hérédité : Hérédité : u Soit u etier O suose que P ( ) est vraie O a doc : ( 2) u u = ( )( 2) ( )( 2) ( )( 2) ( ) ( )( 2) ( )( 2) 2 doc P ( ) est vraie 4 O coclut : coclusio : ar récurrece, o eut e déduire que our tout etier : u COURS PI Mathématiques Termiale S

5 Ses de variatio, suites majorées et miorées (Raels) Variatios d ue suite : u est croissate si o a our tout u u u est strictemet croissate si o a our tout u u u est décroissate si o a our tout u u u est strictemet décroissate si o a our tout u u u est costate si o a our tout u u u est strictemet mootoe si u est soit strictemet croissate soit strictemet décroissate Suite majorée, miorée, borée u est majorée ar M (réel) si o a our tout u u est miorée ar m (réel) si o a our tout u u est borée si elle est majorée et miorée M m Suites arithmétiques et géométriques Suites arithmétiques La suite u est ue suite arithmétique de raiso r (réel) si our tout : u u r u Terme gééral d ue suite arithmétique : u r Somme des + remiers termes d ue suite arithmétique : Nombre de termes ( remier terme derier terme) ( )( u u ) S u u u 2 2 Cas articulier : 2 3 ( ) ( ) 2 Ses de variatio et limite : Si r : u est strictemet croissate ; lim u Si r : u est strictemet décroissate ; lim u Si r : u est costate ; lim u u COURS PI Mathématiques Termiale S 2

6 Suites géométriques La suite u est ue suite géométrique de raiso q (réel) si our tout : u qu u Terme gééral d ue suite géométrique : uq Somme des + remiers termes d ue suite géométrique : ombre de termes raiso q S u u u remier terme u raiso q Cas articulier : q q q Ses de variatio et limite : 2 q q our u q i croissate, i croissate, Variatios décroissate croissate i décroissate i décroissate Limites as de limite our u q i croissate, i croissate, Variatios croissate décroissate i décroissate i décroissate Limites as de limite COMPETENCES Aliquer u raisoemet ar récurrece Détermier le ses de variatios d ue suite, et motrer qu ue suite est majorée, miorée ou borée e utilisat évetuellemet le raisoemet ar récurrece EXERCICES N 2 age 8 (Corrigé ) N 4 age 8 (Corrigé 2) N 7 age 8 (Corrigé 3) N age 9 (Corrigé 4) N 7 age 9 (Corrigé 5) N 2 age 9 (Corrigé 6) N 22 age 9 (Corrigé 7) N 28 age 2 (Corrigé 8) N 3a age 2 (Corrigé 9) N 4 age 2 (Corrigé ) N 43 age 2 (Corrigé ) N 47 et N 49 b et c age 22 (Corrigé 2) N 65 age 24 (Corrigé 4) COURS PI Mathématiques Termiale S 3

7 Covergece d ue suite I Ue suite u admet ue limite l si our tout itervalle ouvert ; u rag tel que : our tout o a u I Notatio : lim u coteat l, il existe Si ue suite admet ue limite, elle est covergete Ue suite o covergete est dite divergete Ue suite u admet ue limite (res ) il existe u rag tel que : our tout o a u I I si our tout itervalle A A ; (res ; ), Notatio : lim u lim u Ue suite est divergete si elle admet aucue limite ou qu elle admet ue limite ifiie Exemles u suite covergete : lim u u suite divergete : lim u u ( ) suite divergete : as de limite Les limites à coaître* : lim lim our, lim our q, lim q our q, lim q *il y e aura d autres ar la suite Oératios sur les limites Voir tableau age 36 Les formes idétermiées : 4 u 2 Exemle our la limite d ue suite ratioelle : u avec lim ( ) ( ) ( ) doc : 2 lim u lim COURS PI Mathématiques Termiale S 4

8 Théorèmes de comaraiso de suites Si à artir d u certai rag u v et lim v alors lim u Si à artir d u certai rag u v et lim v alors lim u Théorème «des gedarmes» : Si à artir d u certai rag, w u v avec lim v et lim w alors lim u Cas articulier : Si à artir d u certai rag, u v avec lim v alors lim u Ces théorèmes sot très utiles et ermettet de doer la limite (fiie ou ifiie) d ue suite Limites de suites mootoes Toute suite croissate majorée coverge Toute suite décroissate miorée coverge Remarque : il s agit de théorèmes d existece Le majorat ou miorat trouvé est as forcémet la limite! Si ue suite est croissate et a our limite l, alors elle est majorée ar l (et l est le lus etit majorat) Si ue suite est décroissate et a our limite l, alors elle est miorée ar l (et l est le lus grad majorat) COMPETENCES Coaître les défiitios des limites Coaître les oératios sur les limites et résoudre les cas des formes idétermiées Utiliser les théorèmes de comaraiso Motrer l existece d ue limite our les suites croissates majorées et décroissates miorées EXERCICES N 4 age 48 (Corrigé 2) N 9 age 49 (Corrigé 22) N 7 a,b,c,d,e age 49 (Corrigé 23) N 22 a,b age 5 (Corrigé 24) N 23 a,b age 5 (Corrigé 25) N 26 a,b age 5 (Corrigé 26) N 4 a,b age 5 (Corrigé 27) N 4 a age 5 (Corrigé 28) N 44 age 52 (Corrigé 29) N 52 age 53 (Corrigé 2) N 54 age 53 (Corrigé 2) N 57 age 53 (Corrigé 22) N 67 age 55 (Corrigé 23) N 68 age 55 (Corrigé 24) N 73 age 55 (Corrigé 25) COURS PI Mathématiques Termiale S 5

9 Fiche 2 Limites d ue foctio Chaitre 3 Limites e + ou - et asymtotes horizotales O cosidère ue foctio f (o suosera que so esemble de défiitio e ose as de roblème e + ) f admet ue limite (ou ted vers) L e + si our tout itervalle ouvert I ; coteat l, il existe u ombre x tel que : our tout x x (res x x) o a f ( x) I Notatio : lim f ( x) L lim f ( x) L x x f ted vers + e + (res e I A; il existe u ombre x tel que : our tout x x (res x x ) o a f ( x) I Notatio : lim f ( x) lim f ( x) x x I f ; B ombre x tel que : our tout x x (res x x ) o a f ( x) I Notatio : lim f ( x) lim f ( x) x x il existe u Asymtote horizotale : si f admet ue limite fiie L asymtote horizotale à la courbe rerésetative de f y L est ue f est ue foctio avec lim f ( x ) x et lim f ( x ) x Sa courbe rerésetative admet ue asymtote horizotale d équatio : y COURS PI Mathématiques Termiale S 6

10 Limites e u réel et asymtotes verticales f I e a si our tout itervalle A; O cosidère ue foctio f défiie sur a r; a existe u ombre x tel que : our tout x x a o a f ( x) I xa Notatios : O arle de limite à gauche de f e a I (res ; B lim f ( x) ou lim f ( x) lim f( x) ou lim f( x) xa xa xa xa xa O eut défiir de la même maière des limites à droite Si ue foctio admet ue limite ifiie à gauche et/ou à droite e u oit a, la courbe rerésetative de f admet ue asymtote verticale d équatio x a ) il f est défiie sur ; ; ar lim f ( x) lim f ( x) x x x x f( x) x Sa courbe rerésetative admet ue asymtote verticale d équatio : x O e cherche des asymtotes que our x tedat vers ou vers u oit our lequel la foctio est as défiie lim lim our, lim our q, lim q our q, lim q Les limites à coaître* : *il y e aura d autres ar la suite Oératios sur les limites Elles sot similaires aux oératios sur les limites de suite Les formes idétermiées : Limites des foctios comosées : lim u( x) b et lim f ( x) c lim f ( u( x)) c xa xb xa O a les mêmes résultats our a, b et c ifiis ou réels COURS PI Mathématiques Termiale S 7

11 Comaraisos et limites O suose que our tout x de ;, f ( x) g( x) si lim g( x) alors lim f ( x) x x si lim f ( x) alors lim g( x) x x O suose que our tout x de ;, f ( x) g( x) si lim f ( x) alors lim g( x) x x si lim g( x) alors lim f ( x) x x Théorème «des gedarmes» : O suose que our tout x de ;, h( x) f ( x) g( x) si lim g( x) et lim h( x) alors lim f ( x) x x x O a les mêmes résultats our les ifiis ou our u réel a COMPETENCES Détermier les asymtotes d ue courbe Utiliser les théorèmes des limites sur la somme, u roduit, et u quotiet de foctios Utiliser les théorèmes de comaraiso our détermier des limites Calculer les limites des foctios comosées EXERCICES N 2 age 82 (Corrigé 3) N 6 age 82 (Corrigé 32) N 9 age 82 (Corrigé 33) N 8 age 83 (Corrigé 34) N 2/27 a et b age 84 (Corrigé 35) N 3 age 85 (Corrigé 36) N 35 age 85 (Corrigé 37) N 44 age 86 (Corrigé 38) N 57 age 87 (Corrigé 39) N 67 age 88 (Corrigé 3) N 73 a age 89 (Corrigé 3) N 75 a age 89 (Corrigé 32) N 76 age 89 (Corrigé 33) N 78 age 9 (Corrigé 34) N 9 age 92 (Corrigé 35) COURS PI Mathématiques Termiale S 8