Simulation de trajectoires de processus continus

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1 Simulaio de rajecoires de processus coius - Frédéric PLANCHET (Uiversié Lyo, Laboraoire SAF, JWA - Acuaires) - Pierre THEROND (Uiversié Lyo, Laboraoire SAF, JWA - Acuaires) (WP 04) Laboraoire SAF 50 Aveue Toy Garier Lyo cedex 07 hp://

2 SIMULATION DE TRAJECTOIRES DE PROCESSUS CONTINUS Frédéric PLANCHET Pierre THEROND α ISFA Laboraoire SAF Uiversié Claude Berard Lyo 43, boulevard du ovembre Villeurbae Cedex 9, rue Beaujo Paris JWA Acuaires 8, aveue Félix Faure Lyo RESUME Les processus sochasiques coius so des ouils largeme employés e fiace e e assurace, oamme pour modéliser aux d iérês e cours d acios. De ombreuses problémaiques amèe à la simulaio des rajecoires de els processus. La mise e œuvre praique de ces simulaios écessie de discréiser ces processus, d esimer les paramères e de géérer des ombres aléaoires e vue de géérer les rajecoires voulues. Nous abordos successiveme ces rois pois que ous illusros das quelques siuaios simples. MOTS-CLEFS : Simulaio, discréisaio de processus coius, schémas d Euler e de Milsei, esimaio par iférece idirece, gééraeur du «ore mélagé». CONTINUOUS TIME STOCHASTIC PROCESSES SIMULATION ABSTRACT Coiuous ime sochasic processes are useful models especially for fiacial ad isurace purposes. The umerical simulaio of such models is depeda of he ime discree discreizaio, of he parameric esimaio ad of he choice of a radom umber geeraor. The aim of his paper is o provide he ools for he pracical implemeaio of diffusio processes simulaio, paricularly for isurace coexs. KEYWORDS : Simulaio, Time discree approximaio, Euler ad Milsei Schemes, Idirec iferece esimaio, mixed orus radom umber geeraor. Mars 004 fplache@jwa.fr α pherod@jwa.fr 9/0/

3 SOMMAIRE. Iroducio Discréisaio de processus coius Discréisaio exace Discréisaio approximaive Schéma d Euler Schéma de Milsei Esimaio des paramères Le biais associé à la procédure d esimaio Pricipe de l esimaio par iférece idirece Les méhodes d esimaio «ad hoc» Illusraio das le cas du modèle de Vasicek Gééraio des rajecoires Deux gééraeurs de ombres aléaoires : Rd e l algorihme du ore Le gééraeur implémeé das Excel / Visual Basic La raslaio irraioelle du ore Quelques élémes de comparaiso Limies de l algorihme du ore Gééraeur du ore mélagé Descripif de l algorihme Choix de la procédure de mélage Coclusio Aexe : Tess d adéquaio à ue loi Tes du χ Tes de Kolmogorov-Smirov Tes d Aderso-Darlig /0/

4 . INTRODUCTION La fréquece des variaios de coaio des acifs fiaciers sur les marchés orgaisés a codui les fiaciers à cosidérer des processus sochasiques coius pour modéliser les évoluios de aux d iérê comme de cours d acios. Si les ouils mahémaiques sousjaces peuve, de prime abord, sembler plus complexes que leurs équivales discres, leur usage a oamme permis d obeir des formules explicies pour l évaluaio d acifs coiges (cf. les formules fermées de prix d opios européees obeues par Black e Scholes [973] lorsque l acif sous-jace sui u mouveme browie géomérique). Ces modèles so aujourd hui uilisés das de ombreux domaies, oamme e assurace. Leur mise e œuvre praique écessie de les discréiser, que ce soi pour l esimaio des paramères ou pour la simulaio des rajecoires. E effe les doées dispoibles éa discrèes, l esimaio des paramères des modèles e emps coiu es pas immédiae. De ombreux processus, els que le modèle de aux proposé par Cox, Igersoll e Ross [985], admea pas de discréisaio exace, l esimaio des paramères écessie souve ue approximaio discréisée. Les esimaios direces à parir du modèle discréisé s avéra, e gééral, biaisées lorsque le processus e dispose pas d ue versio discrèe exace, o es alors codui à uiliser des méhodes idireces comme la méhode par iférece idirece (cf. Gie [003]) ou ecore la méhode des momes efficies pour esimer le modèle. De plus, de ombreuses problémaiques implique que l o soi capable de simuler l évoluio de cours ou de aux modélisés par des processus coius ; la réalisaio praique de elles simulaios écessiera là ecore la discréisaio de ces processus. C es oamme le cas des problémaiques de ype DFA (cf. Kaufma, Gadmer e Kle [00] e Hami [003]) qui cosise e la modélisaio de ous les faceurs aya u impac sur les compes d ue sociéé d assurace o-vie das le bu d éudier sa solvabilié ou de déermier ue allocaio d acif opimale par exemple. Le ombre de variables à modéliser es alors rès impora : acifs fiaciers, siisralié de chaque brache assurée, iflaio, réassurace, cocurrece e dépedaces ere ces variables. Ceraies de ces variables sero modélisées par des processus à diffusio ; lorsque l équaio différeielle sochasique (EDS) cocerée Dyamic Fiacial Aalysis. 9/0/

5 dispose d ue soluio explicie, comme c es le cas pour le modèle de Vasicek [977], la discréisaio s impose à l uilisaeur. Lorsqu ue elle expressio es pas dispoible, l uilisaeur pourra se ourer oamme vers les schémas d Euler ou de Milsei qui so des développemes d Iô-Taylor à des ordres plus ou mois imporas de l EDS cosidérée. L approximaio sera d aua plus saisfaisae, au ses du crière de covergece fore (cf. Kloede e Plae [995]), que l ordre du développeme es élevé. Par ailleurs, la performace des simulaios éa codiioée par le gééraeur de ombres aléaoires uilisé, ue aeio pariculière doi êre porée à so choix. Nous comparos ici deux gééraeurs : le gééraeur pseudo-aléaoire Rd d Excel / Visual Basic e le gééraeur quasi-aléaoire obeu à parir de l algorihme de la raslaio irraioelle du ore préseé par Jacquemi e Plache [004]. L algorihme du ore s avère eeme plus performa que Rd mais souffre de la dépedace erme à erme des valeurs géérées qui idui u biais das la cosrucio de rajecoires. Pour remédier à ce problème, ous proposos u gééraeur du ore mélagé qui coserve les boes propriéés de répariio de l algorihme du ore e peu êre uilisé pour cosruire des rajecoires de maière efficace. L objecif du prése aricle es de proposer au praicie quelques guides méhodologiques lui permea d effecuer de maière efficace des simulaios de processus coius, plus pariculièreme das le coexe des problémaiques d assurace. Nous abordos doc les rois éapes clé que so l esimaio des paramères, la discréisaio du processus e la gééraio de ombres aléaoires.. DISCRETISATION DE PROCESSUS CONTINUS Preos le cas d u processus défii par l EDS suivae : ( X, ) d + σ( X, ) dx = μ db () X = x 0 Où B es u mouveme browie sadard. La mise e oeuvre praique de ce processus va écessier la discréisaio de celui-ci. Pour 9/0/

6 cela o me l équaio () sous sa forme iégrale : X = + μ x 0 ( X, s) ds + σ ( X, s) s 0 s db s () Si le processus cosidéré e dispose pas d ue discréisaio exace, u développeme d Iô- Taylor de l équaio () ous perme de disposer d ue versio discréisée approximaive (voir le paragraphe. ci-dessous). Cee approximaio es d aua plus précise que le développeme iervie à u ordre élevé. DISCRETISATION EXACTE Pour cerais processus, o dispose d ue discréisaio exace, c es le cas du mouveme browie géomérique reeu par Black e Scholes pour modéliser le cours d ue acio ou ecore celui du processus d Orsei-Ulhebeck reeu par Vasicek [977] pour modéliser le aux d iérê isaaé r : dr = a ( b r ) d + σ db (3) L équaio () s écri das ce cas : a a a as r = r e + b( e ) + σe e db 0 s (4) 0 Les propriéés de l iégrale d ue focio déermiise par rappor à u mouveme browie coduise à la discréisaio exace : aδ ( e ) aδ aδ r = r e + b + σ e ε (5) + δ a Où : ε es ue variable aléaoire de loi ormale cerée réduie. δ es le pas de discréisaio reeu. 9/0/

7 DISCRETISATION APPROXIMATIVE Lorsque la discréisaio exace exise pas, il covie de se ourer vers des approximaios discrèes du processus coiu sous-jace. Les schémas d Euler e de Milsei so les procédés de discréisaio les plus répadus. Tous deux so des développemes d Iô-Taylor de l équaio () à des ordres différes (ordre pour Euler, ordre pour Milsei). Das la suie, ous feros référece au crière de covergece fore pour classer les procédés de discréisaio. Ue discréisaio approximaive X ~ coverge foreme vers le processus coiu X lorsque l erreur commise sur la valeur fiale (à la dae T) de la rajecoire obeue par le processus discréisé es e moyee égligeable. T ~ δ [ X T X ] = 0 > 0, lim E (6) δ 0 T La viesse de covergece de l équaio (6) ous perme d iroduire u ordre ere les procédés de discréisaio. Aisi le processus discréisé X ~ coverge foreme à l ordre γ vers le processus X si : K ~ δ γ ], δ ] E[ X X ] K δ > 0, δ > 0, δ T T (7) Schéma d Euler Le procédé de discréisaio d Euler cosise e l approximaio du processus coiu X par le processus discre X ~ défii, avec les mêmes oaios que précédemme, par : ( X ) δ + σ( X ) δε ~ ~ ~ ~ X = X + μ, (8), + δ Kloede e Plae [995] prouve que sous ceraies codiios de régularié, le schéma d Euler présee u ordre de covergece fore de 0,5. Par exemple das le modèle de Cox, Igersoll e Ross (CIR), le aux d iérê isaaé es O oera que ce crière e fai pas référece à la covergece uiforme 9/0/

8 soluio de l EDS : dr ( b r ) d + σ r db = a (9) Aussi le processus discre r ~ déermié par le schéma d Euler peu s écrire : ( b r ) δ + σ r δ ε r ~ = r~ + a ~ ~ * (0) +δ Schéma de Milsei Le schéma de Milsei es obeu e alla plus ava das le développeme d Iô-Taylor. Le processus discre X ~ es alors défii par : ~ X ~ = X + μ ~ ~ ( X, ) δ + σ( X, ) + δ σ δε + x ~ ~ ( X, ) σ( X, ) δ ( ε ) () Où ( X ~ x, ) ~ e ( X, ). σ désige la dérivée par rappor au premier argume de la focio σ(.,.) évaluée Ce procédé de discréisaio présee, e gééral, u ordre de covergece fore de. Remarquos que si la volailié σ es ue cosae, les procédés de discréisaio d Euler e de Milsei coduiro à la même discréisaio, c es le cas pour les modèles de Vasicek e de Hull e Whie (cf. Hull [999]). E revache pour le modèle de CIR, il vie : ( ~ ) r ~ * δ ε b r δ + σ + σ δ( ε ) ~ r = r~ + a + δ () 4 E développa à des degrés supérieurs l équaio (), il es possible d obeir des processus discréisés d ordre de covergece plus élevé. Touefois ils écessiero des calculs plus ombreux e peuve faire ierveir plus d ue variable aléaoire ce qui sigifie des emps de simulaio plus imporas. E oure, le schéma de Milsei pose des problèmes praiques de mise e œuvre e dimesio 9/0/

9 supérieure ou égale à. Le graphique suiva perme de comparer les évoluios moyees de la diffusio défiie par (3) selo le schéma de discréisaio reeu pour les paramères : r = 4% b = 5% a = 0, 5 σ = 0% 0 5,5% 5,00% 4,75% 4,50% Schéma d'euler 4,5% Discréisaio exace Espérace 4,00% Fig. : Evoluio moyee du aux modélisé par Vasicek selo le procédé de discréisaio reeu Les discréisaios exace e selo le schéma d Euler so relaiveme proches graphiqueme. L écar es e pariculier égligeable lorsqu o s iéresse aux évoluios moyees d u bo de capialisaio qui évolue selo les aux simulés pour effecuer le graphique : 9/0/

10 6 5 4 Schéma d'euler Discréisaio exace Espérace Fig. : Evoluio moyee d u bo de capialisaio do le aux évolue selo le modèle de Vasicek selo le procédé de discréisaio reeu 3. ESTIMATION DES PARAMETRES L esimaio des paramères es ue éape délicae das la simulaio de rajecoires d u processus coiu car elle peu êre l origie d u biais. E effe, le praicie peu se voir cofroé à deux problèmes : le processus adme pas forcéme de discréisaio exace, la variable modélisée es pas oujours direceme observable. E effe si le processus cosidéré adme pas de discréisaio exace, il sera impossible d esimer les paramères du modèle par la méhode du maximum de vraisemblace. Par ailleurs il es souve impossible d exprimer de maière exace les desiés rasioires ere deux observaios. Il faudra alors se ourer vers des méhodes simulées elles que l iférece idirece pour esimer les paramères. 9/0/

11 LE BIAIS ASSOCIE A LA PROCEDURE D ESTIMATION O repred ici la cas simple de la modélisaio du aux à cour erme par u processus d Orsei-Ulhebeck, comme das l équaio (3) ; la discréisaio exace (5) codui à u processus auo-régressif d ordre, AR(). L esimaio des paramères du modèle s effecue classiqueme e régressa la série des aux cours sur la série décalée d ue période, que l o écri sous la forme usuelle : Y = + β X + σ ε α (3) Avec a = lβ, b = α e β lβ σ = σ β (4) L esimaeur du maximum de vraisemblace coïcide avec l esimaeur des moidres carrés ; o obie aisi les esimaeurs suivas des paramères du modèle d origie : aˆ exac = lβˆ, b ˆ = αˆ e exac β ˆ lβˆ σˆ exac = σˆ βˆ (5) O cosae e pariculier que ces esimaeurs, s ils so EMV, so biaisés. Ceci peu êre gêa, oamme das le cas où les paramères du modèle o ue ierpréaio das le modèle, comme par exemple b das le cas prése, valeur limie du aux cour. O voi sur ce exemple qu o sera doc codui à mere e œuvre des procédés de réducio du biais. PRINCIPE DE L ESTIMATION PAR INFERENCE INDIRECTE Cee méhode es uilisée lorsque le processus adme pas de discréisaio exace ou que sa vraisemblace, rop complexe, e perme pas d implémeer la méhode du maximum de vraisemblace. Elle cosise à choisir le paramère θ ˆ qui miimise (das ue mérique à défiir) la disace ere l esimaio d u modèle auxiliaire sur les observaios e l esimaio de ce même modèle auxiliaire sur les doées simulées à parir du modèle de 9/0/

12 base pour θ = θˆ. Le modèle auxiliaire éa ue discréisaio approximaive de (), le schéma d Euler es souve uilisé pour servir de modèle auxiliaire. Cee méhode codui à des esimaios bie plus précises que celles obeues à parir d esimaios «aïves» des paramères du modèle auxiliaire sur les doées observées. Gie [003] éudie l impac du choix du procédé de discréisaio uilisé pour fourir le modèle auxiliaire sur l esimaio par iférece idirece e more qu uiliser u procédé d ordre de covergece plus élevé (comme la schéma de Milsei par rappor au schéma d Euler) perme de réduire cosidérableme le biais sur l esimaio des paramères. LES MÉTHODES D ESTIMATION «AD HOC» E praique, das les problèmes assuraiels, la gradeur modélisée par u processus coiu es pas la gradeur d iérê : ypiqueme, le aux cour es supposé modélisé par u processus de diffusio, mais das le cadre d ue problémaique d allocaio d acif pour u régime de reiers e il sera déermia que le modèle représee correceme les prix des obligaios d échéaces logues. L idée es alors d esimer les paramères pour miimiser ue disace (par exemple la disace quadraique) ere les prix prédis par le modèle e les prix observés sur le marché. Cee méhode es oamme uilisée das Fargeo e Nissa [003]. De plus, e praique o pourra s ierroger sur les paramères que l o esime e les paramères que l o fixe arbiraireme compe eu de la coaissace que l o peu avoir du coexe par ailleurs. Aisi, das l exemple évoqué, l esimaio simulaée des paramères a, b e σ codui à ue courbe des aux quasi déermiise (σ es pei), ce qui peu apparaîre irréalise. O es aisi codui à fixer arbiraireme σ, puis à esimer les paramères resas. ILLUSTRATION DANS LE CAS DU MODELE DE VASICEK A parir de la courbe des aux publiée par l Isiu des Acuaires, ous avos esimé les 9/0/

13 paramères du modèle de Vasicek selo la méhode du maximum de vraisemblace e selo l approche «ad hoc» décrie supra : Maximum de vraisemblace : Nous avos cosidéré les aux zéro-coupo à chaque échéace mesuelle de mois à 0 as. Esimaio «ad hoc» : Nous avos recosiué le prix des zéro-coupos d échéaces de 6 mois à 0 as avec u pas de 6 mois, l écar à miimiser éa l écar quadraique ere les prix des zéro-coupos observés e les prix recosiués à parir des aux géérés par le modèle. 3 L esimaio des paramères du modèle de Vasicek doe des résulas rès différes selo l approche reeue : Maximum de vraisemblace Esimaio Ad hoc Paramères esimés a, b e σ a, b e σ a e b a e b â = 0, 0,337 0,349 0,50 bˆ = 0,053 0,0569 0,0748 0,0667 σˆ = 0,089 0,0000 0,0500 0,000 r = 0,007 0,007 0,007 0,007 0 Tab. : Paramères du modèle de Vasicek esimés selo les echiques d esimaio des paramères Avec les oaios de (3), P() le prix e 0 d u zéro-coupo d échéace es doé par la formule classique : [ a b σ ( b σ r )( e ) ( e ) )] a { } P( ) = exp * σ a a a 0 (6) 4a La figure 3, qui idique le prix des zéro-coupos, e focio de leur échéace, selo les différees méhodes d esimaio des paramères, ous perme d observer que l esimaio des paramères par la méhode du maximum de vraisemblace peu s avérer iadapée si les aux simulés so esuie uilisés pour obeir des prix d obligaios zéro-coupo. 3 Das ce paragraphe, ous avos cosidéré des zéro-coupos versa à la dae d échéace. 9/0/

14 ,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 a, b e Vol. esimés Ad hoc a e b esimés Ad hoc, Vol. = 0,05 Observé EMV 0, Fig. 3 : Prix des zéro-coupos e focio de leur échéace e de la méhode d esimaio des paramères E revache, cee echique d esimaio des paramères perme de géérer des aux isaaés eeme plus proches e espérace de la courbe des aux origielle que ceux obeus par la méhode «ad hoc» : 8% 7% 6% 5% 4% a, b e Vol. esimés Ad hoc 3% a e b esimés Ad hoc, Vol. = 0,05 EMV Observé % Fig. 4 : Taux isaaés espérés e focio de leur échéace e de la echique d esimaio des paramères 9/0/

15 Les aux espérés obeus à parir des paramères esimés par la méhode «ad hoc» peuve paraîre éloigés des aux observés, cepeda il covie de rappeler que le paramère de volailié ere pas das le calcul de l espérace des aux alors que ce paramère a u impac sur le prix de l obligaio zéro-coupo. E effe : a( s) a( s) [ ] = r e + b( e ) E r Φ (7) s s Aussi si les aux obeus par la méhode «ad hoc» so, e espérace, éloigés des aux observés, ils permee éamois de mieux approcher le prix des zéro-coupos qu ue esimaio du maximum de vraisemblace direce. Aisi, e praique, o sera codui à privilégier pour ue problémaique d allocaio d acifs d u régime de rees l approche «ad hoc». 4. GENERATION DES TRAJECTOIRES La gééraio des rajecoires passe écessaireme par la gééraio de ombres aléaoires. De maière praique, il s agi de géérer des réalisaios de variable aléaoire de loi uiforme sur le segme [0, ]. E effe, si u es ue elle réalisaio, F (u) peu s appareer à ue réalisaio d ue variable aléaoire de focio de répariio F. La echique d iversio de la focio de répariio perme aisi à parir de réalisaios de variables uiformes, d obeir de simuler des réalisaios d aures variables aléaoires. Lorsqu o e dispose pas de formule explicie pour F -, o uilisera des algorihmes d approximaio de cee focio ou des algorihmes spécifiques à la loi que l o souhaie raier Par exemple, pour simuler ue réalisaio d ue loi de Poisso de paramère λ, o géérera ue suie (V i ) de réalisaios de variable aléaoire expoeielle de paramère. E effe de Poisso de paramère λ. = If + N V i > λ sui ue loi i= Les modélisaios reeues e fiace e e assurace faisa souve ierveir des mouvemes browies, il es écessaire de simuler des réalisaios de variables aléaoires N(0,). O e dispose pas de formule exace de l iverse de la focio de répariio iverse de la loi ormale cerée réduie, mais l algorihme de Box-Muller perme à parir de deux 9/0/

16 variables uiformes idépedaes sur [0,] de géérer deux variables idépedaes N(0,). E effe, si U e U so des v.a. U[0,] idépedaes alors e posa : X X = = lu cos lu si ( πu ) ( πu ) (8) X e X so idépedaes e suive ue loi gaussiee cerée réduie. Cee echique (exace) es ouefois relaiveme logue à mere e œuvre e écessie l idépedace des réalisaios uiformes géérées. Augros e Moréo [00] présee divers algorihmes pour approximer l iverse de la focio de répariio de la loi ormale cerée réduie. Das la suie, ous uiliseros l algorihme de Moro (cf. Plache e Jacquemi [004]) qui allie rapidié e précisio. DEUX GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES : RND ET L ALGORITHME DU TORE Le gééraeur implémeé das Excel / Visual Basic Le gééraeur implémeé das Excel (Rd) es u gééraeur cogrueiel, c es à dire u gééraeur périodique issu d ue valeur iiiale 4. Chager de valeur iiiale perme de chager de suie de ombres. Le leceur se réfèrera à Jacquemi e Plache (004) pour plus d iformaios sur l implémeaio iformaique de els gééraeurs. La raslaio irraioelle du ore Ce gééraeur mulidimesioel doe à la -ème réalisaio de la d-ème variable aléaoire uiforme à simuler la valeur u : Où : p d es le d-ème ombre premier, [.] désige l opéraeur parie eière. 4 O parle égaleme de «graie» du gééraeur. u d [ p ] = p (9) d 9/0/

17 Quelques élémes de comparaiso Les ess saisiques élémeaires 5 (es d adéquaio du χ, de Kolmogorov-Smirov e d Aderso-Darlig) permee d apprécier la supériorié de répariio de la suie géérée par le ore par rappor à celle géérée par Rd. Fig. 5 : Répariio e ess saisiques du gééraeur Rd Fig. 6 : Répariio e ess saisiques du gééraeur du ore 5 Les rois ess do il es quesio so préseés e aexe. 9/0/

18 Par ailleurs, pour comparer les performaces des deux gééraeurs, ous avos éudié la précisio de l esimaio empirique du prix d u call europée sur ue acio modélisée par u mouveme browie géomérique : ds = rs d + σs db (0) Ce processus dispose d ue discréisaio exace : {( r σ ) δ + σ δ ε } S = S exp () +δ Où ε es ue variable aléaoire de loi N(0,). Par ailleurs, ous disposos d ue formule fermée pour le prix e d u Call europée de prix d exercice K e d échéace T sur ce ire : C r( T ) ( S, K, T) = S N( d ) K e N( ) () d Où : d ( r + σ )( T ) S l + = K σ T d d σ T =,, N désige la focio de répariio de la loi ormale cerée réduie. Nous pouvos doc mesurer la performace des gééraeurs par le biais de l erreur d esimaio du prix de l opio cosidérée. E effe, si es la prix du ire cosidéré à la dae T das la i-ème simulaio, l esimaeur aurel du prix de l opio e es : i s T ( S, K T, ) e ( T ) i [ s K ] T r ˆ + = (3) i= C, L erreur relaive d esimaio peu doc s écrire : 9/0/

19 ( S, K, T, ) C ( S, K, T ) C ( S, K, T ) Cˆ ρ = (4) Le graphique suiva présee l évoluio de ρ selo le ombre de simulaios effecuées pour ue acio de volailié 0 % e u Call d échéace 6 mois. % 0% % Algorihme du ore (p = 5) Gééraeur Rd -% -3% Fig. 7 : Erreur d esimaio e focio du ombre de simulaios L esimaio à parir des valeurs géérées par Rd es biaisée de maière sysémaique de prés de 0, % alors celle effecuée à l aide du ore coverge rapideme vers la valeur héorique : à parir de simulaios, l erreur relaive es iférieure à 0, %. Il ressor des ces différees comparaisos que le gééraeur du ore semble plus performa que Rd. So uilisaio coaî ouefois u cerai ombre de limies. LIMITES DE L ALGORITHME DU TORE Les valeurs géérées par le ore e so pas idépedaes erme à erme, ceci peu géérer des erreurs o égligeables. Par exemple ous avos gééré rajecoires, avec u pas de discréisaio de, sur 0 as d u mouveme browie géomérique de volailié 0 % e avos comparé l évoluio moyee du cours esimée à parir des simulaios e l évoluio 9/0/

20 moyee héorique. E effe,si i s es le cours du ire à la dae das la i-ème simulaio, l esimaeur empirique du cours moye à la dae, s es doé par : i = s i= s (5) Le graphique suiva présee les deux rajecoires obeues Espérace Moyee empirique à parir des rajecoires géérées par le ore (p=5) Fig. 8 : Trajecoires espérée e moyee des rajecoires simulées par le ore d u mouveme browie géomérique A parir de =, les rajecoires géérées à parir de l algorihme du ore so e moyee rès e dessous de la rajecoire moyee. Ce algorihme es doc pas uilisable e l éa pour géérer des rajecoires. Ce biais s explique par la dépedace erme à erme des valeurs géérées par le ore que ous perme d observer le corrélogramme de la suie géérée par ce gééraeur. 9/0/

21 00% 75% 50% 5% 0% % -50% Fig. 9 : Corrélogramme de la suie géérée par le ore (p = 5) Rappelos que le h-ème erme du corrélogramme ρ h s écri : ρ h = ( u u )( u u ) k k + h k = (6) ( u u ) k k = Où u désige la moyee empirique de la suie u. Le «es du poker» perme égaleme de mere e évidece cee faille de l algorihme du ore. L idée de ce es es de comparer les fréqueces héoriques des mais au poker avec les fréqueces observées sur les simulaios effecuées. De maière praique, ce es cosise à predre des lises de quare chiffres irés aléaoireme, de maière à observer les «combiaisos de valeurs» puis à effecuer u es d adéquaio du χ pour voir si les fréqueces observées correspode aux fréqueces héoriques. O disigue aisi ciq cas : les quare chiffres so ous différes, la lise coie ue e ue seule paire, la lise coie deux paires, 9/0/

22 la lise coie u brela 6, la lise coie u carré 7. E cosiua les lises e prea les chiffres das l ordre où ils so simulés, o obie les fréqueces suivaes : Tab. : Tes du poker sur réalisaios géérées par l algorihme du ore Les p-valeurs des ess d adéquaio du χ so proches de, ouefois quel que soi p, le ore e codui jamais à l obeio d u carré, i d u brela, i d ue double paire alors que ces rois siuaios représee 6,4 % des cas. GENERATEUR DU TORE MELANGE Pour coourer le problème posé par la dépedace erme à erme des valeurs géérées par l algorihme du ore, ous proposos ue adapaio qui cosise à «mélager» ces valeurs ava de les uiliser. Descripif de l algorihme Noos ( u ) la suie géérée par le ombre premier p. Au lieu d uiliser la ombre u lors du -ème irage de la loi uiforme sur [0, ], ous proposos d uiliser u m où m es choisi de maière aléaoire das N. 6 Trois chiffres ideiques. 7 Quare chiffres ideiques. 9/0/

23 Le gééraeur aisi obeu présee les mêmes boes caracérisiques globales que l algorihme du ore sas la dépedace erme à erme. Il écessie ouefois davaage de emps de simulaio du fai du irage de l idice m. Nous proposos l algorihme suiva lorsque l o souhaie géérer N réalisaio de variables uiformes : u = uϕ (7) m () Où : [ α * N * u +] ϕ( ) = ~ (8) Où : [.] désige l opéraeur parie eière, α, u ~ es la réalisaio d ue variable aléaoire de loi uiforme. Le faceur α de l équaio (3) a pour vocaio de réduire le ombre de irages qui doeraie lieu au même idice e doc au même ombre aléaoire. E effe, plus α es grad plus la probabilié de irer deux fois le même ombre aléaoire es faible. Das la praique, α = 0 es saisfaisa. Choix de la procédure de mélage Pour la gééraio de u ~, ous avos reeu le gééraeur Rd ou ou aure gééraeur cogrueiel aya ue période imporae. E effe, uiliser l algorihme du ore pour effecuer le mélage e rédui pas la corrélaio observée comme le more le corrélogramme suiva. 9/0/

24 00% 75% 50% 5% 0% % -50% Fig. 0 : Corrélogramme de la suie géérée par le ore (p = 5) mélagé par le ore (p = 9) E revache l uilisaio de Rd perme de réduire cosidérableme les corrélaios : 00% 75% 50% 5% 0% % -50% Fig. : Corrélogramme de la suie géérée par le ore (p = 5) mélagé par Rd La figure ous perme de cosaer que le mélage a praiqueme fai disparaîre la corrélaio erme à erme, le gééraeur du ore mélagé coserva éamois les propriéés 9/0/

25 de boe répariio globale e de rapidié de covergece du ore. De plus le ore mélagé par Rd saisfai de maière saisfaisae le es du poker puisque oues les «mais» so représeées das des proporios proches des fréqueces héoriques : Tes du poker sur réalisaios géérées par le ore mélagé par Rd Efi les rajecoires géérées à parir du ore mélagé so saisfaisaes : Espérace Moyee empirique à parir des rajecoires géérées par le ore mélagé (p=5) Fig. : Trajecoires espérée e moyee des rajecoires simulées par le ore mélagé d u mouveme browie géomérique 9/0/

26 5. CONCLUSION Das ce aricle ous avos préseé les rois éapes idispesables à la gééraio praique de rajecoires de variables modélisées par des processus coius : l esimaio des paramères, la discréisaio du processus e la gééraio de ombres aléaoires. L éape de discréisaio codui à arbirer ere précisio e emps de calcul à mois qu ue discréisaio exace peu coûeuse e calculs soi dispoible. Lorsque ce es pas le cas, o préfèrera le schéma de Milsei au schéma d Euler car il demade le même ombre de irages de ombres aléaoires pour ue meilleure précisio. L esimaio des paramères doi faire l obje d ue aeio pariculière du fai des biais auxquels coduirai ue esimaio «aïve». Il covie de préférer la méhode d esimaio par iférece idirece à ue esimaio direce souve poreuse de biais. Le pricipe de l esimaio «ad hoc» permera égaleme d esimer des paramères saisfaisas lorsque la variable d iérê es pas direceme la variable simulée, ce qui es le plus souve le cas das les problémaiques d assurace. Efi ous recommados l uilisaio du ore mélagé pour oue cosrucio pas-à-pas de rajecoires. Ce gééraeur, simple à mere e place, doe des résulas rès saisfaisas, oamme comparé au Rd d Excel. 9/0/

27 ANNEXE : TESTS D ADEQUATION A UNE LOI Le leceur rouvera u descripif plus déaillé de ces ess das Sapora [990] pour les deux premiers e das Parra [003] pour le derier. TEST DU χ Soi X ue variable aléaoire à valeurs das E de loi P X icoue e P 0 ue loi coue sur E. Soi A,,A d ue pariio de E elle que [ ] 0 π k = P A > pour ou k. Nous disposos d u -échaillo idépeda e ideiqueme disribué (X,,X ) de X. Soi N k le ombre de variables aléaoires X i das A k. Si P X = P 0 (H 0 ) cosidéros la saisique D défiie comme sui : 0 k ( N π ) k k D (9) = d k = πk D es asympoiqueme disribuée comme ue variable de χ d. La p-valeur de ce es es doc doée par : [ χ > ] d αˆ = P (30) D TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Si * F es la focio de répariio empirique d u -échaillo d ue variable aléaoire de focio de répariio F, alors la saisique disribuée comme sui : D = Sup F * ( x) F( x) es asympoiqueme k [ D < y] ( ) exp{ k y } P (3) 9/0/

28 La saisique D es idépedae de F e le résula () ous perme de eser : H H α 0 : F( x) = F ( x) 0 : F( x) F ( x) 0 (3) TEST D ANDERSON-DARLING Ce es repose sur l écar d Aderso-Darlig A défii comme sui : A ( F * ( x) F( x) ) F( x) ( F( x ) = ) 0 df (x) 0 (33) Ce écar perme de eser (), l expressio opéraioelle de A éa : A = ( i ) x i ) i= { l F( + [ ( ]} ) l ) ( ) (34) F x( i+ Où x (i) désige la i-ème plus peie réalisaio de X das l échaillo. O rejeera H 0 si i ) { l F ( x ) + l[ F ( ) ]} ( x 0 i) 0 ( i+ ) i= ( es supérieur à ue valeur que la variable aléaoire A a ue probabilié α de dépasser. 9/0/

29 BIBLIOGRAPHIE AUGROS J.C., MORENO M. [00] Les dérivés fiaciers e d assurace. Ecoomica. BLACK F., SCHOLES M. [973] The pricig of opios ad corporae liabiliies. Joural of Poliical Ecoomy, 8 (3), p COX J.C., INGERSOLL J.E., ROSS S.A. [985] A heory of he erm srucure of ieres raes. Ecoomerica, 53, p FARGEON L., NISSAN K. [003] Recherche d u modèle acuariel d aalyse dyamique de la solvabilié d u porefeuille de rees viagères. Groupe de ravail ENSAE. GIET L. [003] Esimaio par iférece idirece des équaios de diffusio : l impac du choix du procédé de discréisaio. Docume de ravail 03A5 du GREQAM. HAMI S. [003] Les modèles DFA : préseaio, uilié e applicaio. Mémoire d acuaire ISFA. HULL J. [999] Opios, fuures ad oher derivaives, 4 h ediio. Preice-Hall. JACQUEMIN J., PLANCHET F. [004] Méhodes de simulaio. Bullei Fraçais d Acuaria, à paraîre. KAUFMANN R., GADMER A., KLETT R. [00] Iroducio o Dyamic Fiacial Aalysis. ASTIN Bullei, 3 (), p KLOEDEN P., PLATEN E. [995] Numerical Soluio of Sochasic Differeial Equaios, d Ediio. Spriger-Verlag. PARTRAT C. [003] Assurace dommages. Cours ISFA de 3 ème aée. SAPORTA G. [990] Probabiliés, aalyse des doées e saisique. Ediios Techip. VASICEK O. [977] A equilibrium characerizaio of he erm srucure. Joural of fiacial Ecoomics, 5, p /0/