1 Cours Sciences Physiques MP. Analyse de Fourier

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1 Cours Sciences Physiques MP Analyse de Fourier En 86, le physicien e mahémaicien français Joseph Fourier (768-83) éudiai les ransfers hermiques. En pariculier, il chauffai un endroi de la périphérie d un anneau en fer e observai ensuie l évoluion de la empéraure sur la oalié de l anneau au cours du emps. À la recherche de foncions mahémaiques pouvan représener ses observaions, il eu l idée (sans doue, suggérée par la géomérie de l obje uilisé) de consruire ces foncions en composan des foncions périodiques de. C es ainsi qu il eu recours aux foncions sinus e cosinus. Cee recee foncionna au-delà de ses espérances si bien que le mahémaicien qu il éai développa une héorie beaucoup plus générale qui conduisi à la découvere des séries qu on appelle aujourd hui séries de Fourier. À l heure acuelle, les séries de Fourier e les ransformées de Fourier consiuen un des moyens mahémaiques les plus uilisés en physique. Elles donnen à leur aueur une place prépondérane parmi les mahémaiciens de 9ème siècle. Généraliés. Caracérisiques d une grandeur sinusoïdale Considérons une grandeur représenée par la foncion u() = U cosω e la même foncion avec un offse - encore appelé composane coninue - u() = U +U cosω. Cee grandeur es représenée à la figure. Sa période es T = e sa fréquence es f = ω ω. Son ampliude es U ou 2U - selon les habiudes de langage -, sa moyenne U. u() U U T Figure Grandeurs sinusoïdales.2 Noion de specre La grandeuru() = U cosω es une grandeursqualifiée de monochromaique. En effe, elle es caracérisée par la pulsaion unique ω ou par la fréquence f = ω /. Ce n es plus le cas de u() = U + U cosω puisque cee foncion compore une valeur moyenne non nulle appelée précédemmen composane coninue. Cee appellaion vien du fai que u() peu êre représenée par u() = U cosω + U cosω avec ω =. U es donc la composane de fréquence nulle du signal u(). Le specre d un signal représene l ensemble des fréquences présenes dans un signal. L ampliude es fournie en ordonnée soi en échelle linéaire, soi en échelle logarihmique. Le specre des ensions éudiées précédemmen es représené à la figure 2. U i U U ω Figure 2 Noion de specre ω

2 Sciences Physiques MP Cours 2.3 Représenaion emporelle, représenaion fréquenielle Considérons, par exemple, le signal u() = U +U cosω +U 3 cos3ω. Ce signal compore 3 pulsaions ω =, ω = ω e ω = 3ω. Il pourra êre représené soi sous la forme emporelle u(), soi sous la forme fréquenielle U i (ω). On obien alors les représenaion visibles sur la figure 3. u() U i U U U U 3 T U U 3 ω 3ω ω Figure 3 Représenaions emporelle e fréquenielle Le specre de ce signal es qualifié de discre car il es, ici, disconinu e consiué de fréquences muliples d une fréquence de base f = ω /. 2 Synhèse de Fourier 2. Observaion Sur la figure 4 son représenés successivemen les signaux f () = F cosω, f 3 () = F (cosω + 9 cos3ω ), f 5 () = F (cosω + 9 cos3ω + 25 cos5ω ) e f 7 () = F (cosω + 9 cos3ω + 25 cos5ω + 49 cos7ω ). Les foncions f i () représenées avan corresponden au débu d une série mahémaique enière infinie de la forme f() = F (2n+) 2 cos(2n+)ω. La figure 5 correspond au racé de la courbe faisan inervenir n= des ermes jusqu à n =. On consae aisémen que bien que la série soi infinie avec ermes, on obien une synhèse ou à fai saisfaisane de la foncion riangle. Ceci es dû en pariculier au fai que les ampliudes de la série décroissen en où p N es impair. Très vie, les conribuions von êre négligeables du poin de p2 vue physique. Dans une série, comme la précédene, on défini le fondamenal comme le erme de pulsaion ω e les harmoniques comme les composanes sinusoïdales de pulsaion pω. 2.2 La foncion créneau Cee foncion es une foncion assez souven renconrée en physique. Elle peu êre aussi synhéisée grâce à la série suivane : f() = F ( 2 + n= sinn π 2 n π 2 cosnω ) On observe successivemen la foncion avec, 3, e ermes dans la série, voir la figure 6. La synhèse de la foncion créneau es plus difficile que celle de la foncion riangle. Cela es dû au fai que les ampliudes des harmoniques décroissen, ici, en n au lieu de précédemmen. Il fau donc plus de n2 ermes pour avoir une bonne représenaion du créneau périodique. Ceci es aussi lié au fai qu il es difficile de consruire une foncion présenan une pene endan vers l infini pour le physicien ou une disconinuié enre la valeur haue e la valeur basse du créneau pour le mahémaicien.

3 3 Cours Sciences Physiques MP f () f 3 () f 5 () f 7 () f() Figure 4 Synhèse d un signal périodique Figure 5 Signal périodique riangle 3 Série de Fourier d une foncion périodique 3. Définiion Le héorèmede Fourier énonce que oues les foncions périodiquesf() de périodet coninuesdérivables (ou bien présenan un nombre fini de disconinuiés...) e elles que +T f()d soi calculable peuven s écrire comme une somme de foncions sinusoïdales de pulsaion nω avec n enier naurel. Il es couran de proposer pour f() la forme suivane en noaion réelle : f() = a 2 + [a n cosnω +b n sinnω ] n=

4 Sciences Physiques MP Cours 4 f() f() n = n = 3 f() f() n = n = Figure 6 Signal périodique créneau Cee formulaion de la foncion f() es exrêmemen uile en physique, encore fau-il êre capable de déerminer les divers coefficiens a, a n e b n. Noussavonsquelamoyenned unefoncionsinusoïdaleesnulle:< cosnω >= e< sinnω >=.Dans ces condiions, on consae immédiaemen que < f() >= +T f()d = a T 2. a représene la moyenne 2 de la foncion f() ou encore sa composane coninue. Nous comprendrons plus loin pourquoi ce erme a éé posé sous cee forme. Prenons un exemple de forme de signal. Considérons la foncion appelée redressemen monoalernance qui peu inervenir en élecricié dans la ransformaion d une ension sinusoïdale en ension coninue. Sa représenaion emporelle es fournie à la figure 7, ainsi que sa représenaion fréquenielle. (a i,b i ) b f() représenaion emporelle représenaion fréquenielle ω 2ω 4ω 6ω ω T Figure 7 Foncion redressemen monoalernance La série de Fourier de cee foncion es : f() = F ( π + 2 sinω 2 π 3.2 Parié n= ) 4n 2 cos2nω. Danslescasoùlafoncionf()espaireparrapporà =,c es-à-direquef( ) = f(),ledéveloppemen en série de Fourier de cee foncion ne fera pas apparaîre de composane en sinnω, on aura oujours b n =, n. De la même façon, une foncion impaire f( ) = f() vérifiera a = e a n =, n. Pour une foncion quelconque, l ensemble des ermes apparaîron. Résumons dans un ableau : f() es paire n N b n = f() = a 2 + a n cosnω f() es impaire a =, n N a n = f() = f(+ T 2 ) = f() a =, n N a 2n = b 2n = f() = n= b n sinnω n= a 2p+ cos(2p+)ω +b 2p+ sin(2p+)ω p=

5 5 Cours Sciences Physiques MP 3.3 Noaion réelle e noaion complexe Il arrive qu on écrive la série de Fourier en réels selon : f() = a 2 + α n cos(nω +ϕ n ) n= avec α n = a 2 n +b 2 n e ϕ n el que anϕ n = b n a n L écriure en complexes se praique aussi, elle uilise alors les eniers de Z : f() = nde c n expinω Le lien s effecue avec l expression réelle si on prend c n = a n ib n e c 2 n = c n = a n +ib n. Cee dernière 2 expression fai inervenir des pulsaions négaives de la forme nω avec n <. Ces pulsaions n on pas de sens physique, elles ne son que la conséquence du passage à la noaion complexe. 3.4 Expression des coefficiens de la série de Fourier Le coefficien a qui représene le double de la valeur moyenne se calcule par : a = 2 +T f()d T On peu aussi calculer cee inégrale sur un inervalle de période T défini par [, +T ] où correspond à une dae quelconque. Il en va de même pour les calculs des coefficiens a n e b n : a n = 2 T +T f()cosnω d e b n = 2 T +T f()sinnω d Les coefficiens c n de l expression en complexes de la série de Fourier définie au paragraphe précéden se calculen selon : c n = +T f()exp inω d. T Dans ous les cas, que le calcul soi effecué en réels ou en complexes, un choix judicieux de la dae peu grandemen le facilier. Il faudra bien observer la forme de la foncion périodique don on recherche la série de Fourier avan de se lancer dans les calculs. 3.5 Jusificaion des expressions de calcul des coefficiens

6 Sciences Physiques MP Cours 6

7 7 Cours Sciences Physiques MP 3.6 Exemple de calcul Nous allons effecuer les calculs des coefficiens de la série de Fourier de la foncion den de scie représenée sur la figure 8. f() F /2 ω F /2 Figure 8 Foncion den de scie En effecuan un changemen de variable, on arrive à l expression : b n = F π 2 n 2 πn x sinxdx L inégraion s effecue par parie en uilisan la propriéé (fg) = f g +fg ce qui perme de passer à la relaion inégrale suivane fg = [fg] f g. Le développemen en série de Fourier de la den de scie es donc : f() = F n= cosnπ nπ sinnω

8 Sciences Physiques MP Cours Aspec énergéique Considérons une foncion périodique f() = a 2 + [a n cosnω +b n sinnω ] inervenan à raison de son carré dans une énergie en physique comme par exemple dans 2 Cu2 pour l énergie emmagasinée par un condensaeur, 2 kx2 pourl énergiepoenielleélasiqued unressoroubienencore 2 mv2 pourl énergiecinéique. Le calcul de la moyenne emporelle de l énergie va donc faire inervenir le carré de la valeur efficace de f() noée Feff 2. Compe enu des observaions faies dans la parie 3.5, on comprendra aisémen que dans le calcul de la moyenne du carré d un el développemen en série, seuls les carrés de chaque erme von conribuer puisque < sin 2 >=< cos 2 >=. Les doubles produis engendreron pour leur par des ermes périodiques de période 2 T /p où p es un enier. La valeur moyenne de ces ermes sera donc nulle. On pourra ainsi conclure que : n= L énergie sera proporionnelle à F 2 eff = L expression de Feff 2 consiue le héorème de Parseval. ( a ) 2 a 2 + n +b2 n 2 2 n= 4 Transformée de Fourier d une foncion non périodique 4. Un specre coninu L idée fondamenale de Fourier a éé de penser qu écrire une foncion périodique comme une série discrèe de foncions sinusoïdales pouvai se généraliser à des foncions non périodiques. Bien sûr, oues les foncions non périodiques ne possèden pas de ransformée de Fourier. Les foncions concernées doiven posséder un cerain nombre de propriéés qui ne seron pas précisées mais il es imporan de savoir que la rès grande majorié des foncions non périodiques renconrées en Physique possèden une ransformée de Fourier. On verra plus loin qu une foncion rès pariculière comme celle appelée impulsion ou pic de Dirac en possède une. Le pic de Dirac es ellemen pariculier que ce n es pas une foncion au sens mahémaique du erme mais une disribuion. La significaion de la noion de disribuion sera éudiée au niveau d une première année d École ou au niveau de la Licence L3. Nous avons vu qu une foncion périodique de période T = /ω présenai un specre discre consiué des pulsaions nω. Pour une foncion non périodique, le specre devien une foncion coninue de la pulsaion ω. C es cee foncion g(ω) qui es appelée ransformée de Fourier de la foncion f(). Ainsi, f() ne s écri plus comme une somme discrèe de foncions sinusoïdales mais comme une somme coninue, c es-à-dire une inégrale. Celle-ci es donnée par la formule : f() = ωde g(ω)expiωdω Les calculs son oujours conduis en complexes. La foncion f() apparaî, ici, comme une foncion complexe de la variable réelle. 4.2 Transformée de Fourier La ransformée de Fourier de la foncion f() es la foncion complexe g(ω) donnée par : Transformée de Fourier de f() : g(ω) = de f()exp iωd La foncion g(ω) pourra, compe enu du mode de calcul uilisan les complexes, faire apparaîre des pulsaions négaives qui n on pas de sens physique. On ne reiendra, dans ces cas-là, que les valeurs de g(ω) pour ω. On pourrai démonrer que si la foncion f() es réelle, alors sa ransformée de Fourier g(ω) es paire en ω. De la même façon, si la foncion f() es réelle e paire alors g(ω) es aussi réelle es paire.

9 9 Cours Sciences Physiques MP 4.3 Un exemple : la foncion créneau soliaire Cee foncion es représenée sur la figure 9. C es une foncion nulle sauf sur la durée τ cenrée auour de la dae = où elle es consane. Nous allons voir qu elle peu êre décrie comme une somme coninue de composanes sinusoïdales d ampliudes données par la foncion g(ω) même si cela peu apparaîre surprenan a priori. f() F τ 2 τ 2 Figure 9 Foncion créneau soliaire

10 Sciences Physiques MP Cours 4.4 Éude de la foncion sinuscardinal

11 Cours Sciences Physiques MP 4.5 Relaion durée-fréquence On a pu observer dans le calcul précéden que le domaine de fréquence de la foncion créneau soliaire pour lequel les ampliudes éaien significaives s éendai sur un inervalle de pulsaion ω de l ordre quelques τ puisque le premier zéro e le second zéro du specre éaien donnés par : ω er zéro = e ω 2nd zéro = 4π τ τ. On ω. On peu passer à la fréquence par f =. On di que la foncion créneau soliaire écri donc que ω τ es caracérisée par un inervalle de fréquence f. Or la durée du signal créneau soliaire es = τ. On τ peu donc observer que l inervalle de fréquence caracérisique du signal es inversemen proporionnel à sa durée. Ce résula, vu dans un cas pariculier, es ou à fai général. On reiendra que : (durée inervalle de fréquence) es de l ordre de : f Anicipons un peu en ce qui concerne un signal sinusoïdal f() = a cosω e imaginons que son exisence ne soi pas limiée dans le emps. Si on pose la quesion du specre de f(), il es éviden pour ou le monde qu il n es composé que d une seule fréquence correspondan à la pulsaion ω. On di courammen qu il es monochromaique. Cee percepion es corroborée par la formule précédene puisque si alors f! 4.6 La foncion rain d ondes Cee foncion es représenée sur la figure. C es une foncion nulle sauf sur la durée τ cenrée auour de la dae = où elle es sinusoïdale de pulsaion ω. Nous allons voir que son specre n es pas composé de l unique pulsaion ω. Ce serai le cas uniquemen si τ. f() F τ/2 τ/2 Figure Foncion rain d ondes

12 Sciences Physiques MP Cours 2

13 3 Cours Sciences Physiques MP 5 Disribuions de Dirac 5. Pic de Dirac 5.. Définiion Ce obje mahémaique es rès pariculier comme vous allez pouvoir le consaer par sa définiion. On le noe δ() : δ() = si δ() si = e surou : + δ()d = Propriéé supplémenaire : + δ( u)f(u)du = f() La disribuion pic de Dirac es non nulle pour une seule valeur de sa variable, en l occurrence le emps. Pour obenir cee valeur non nulle à une dae différene de = comme par exemple à la dae, il suffi de décaler la variable de la disribuion de. On obien alors la disribuion écrie sous la forme δ( ) qui possède donc une valeur non nulle en = e une valeur nulle parou ailleurs ( ) Approche par un modèle simple Pour consruire une disribuion pic de Dirac, on peu êre ené de réduire la durée τ du créneau soliaire f() éudié avan. Cee soluion paraî inéressane mais il y a un écueil imporan : ( + ) lim f()d = F τ τ On peu alors approcher la disribuion de Dirac par la définiion : δ() = lim τ F τ f() 5..3 Transformée de Fourier On peu profier de la propriéé suivane des calculs de ransformées de Fourier : ( ) TF lim τ F τ f() = lim TF f() τ F τ

14 Sciences Physiques MP Cours Peigne de Dirac 5.2. Définiion Sa dénominaion es ou à fai adapée : il s agi d une succession de pics de Dirac régulièremen séparés dans le emps - on décri ici un peigne emporel mais la définiion peu se généraliser à une variable d espace pour créer un peigne spaial-. Dans le cas spaial, on parlera plus souven de réseau que de peigne. Comme pour le pic de Dirac, nous uiliserons l image du créneau de durée τ brève devan la période de répéiion du moif T τ. Sa représenaion es réalisée sur le graphique de la figure. f() F τ 2 τ 2 T 2T 3T Figure Foncion peigne de Dirac On considère un peigne composé de N pics de Dirac enre les daes = e = (N )T, en général N es relaivemen grand pour que l on parle vraimen de peigne Transformée de Fourier La définiion de la ransformée de Fourier nous perme d écrire que g(ω) = f()exp iωd. La foncion f() éan nulle sauf sur une brève durée auour des daes nt avec n [;(N )], l inégrale fai apparaîre une somme : ( g (ω) = F N nt+τ/2 n= nt τ/2 exp iωd ) Finalemen, on rouve : g (ω) = F τ sinc ωτ 2 N n= exp inωt

15 5 Cours Sciences Physiques MP On peu passer au pic de Dirac en considéran comme précédemmen on pas la foncion f() mais la foncion : lim τ Sa ransformée de Fourier es donc donnée par : F τ f() g 2 (ω) = lim sinc ωτ τ 2 N n= exp inωt La limie de la foncion n inervien pas sur la somme mais seulemen sur le erme mis en faceur en sinuscardinal. On a donc finalemen : g 2 (ω) = N exp inωt n=

16 Sciences Physiques MP Cours Éude de la foncion de réseau La foncion g 2 (ω) 2 es qualifiée habiuellemen de foncion de réseau du fai de sa présence dans la héorie du réseau opique comme nous le verrons ulérieuremen. On éudie pluô le carré du module de g 2 (ω) pluô que la foncion elle-même car, comme nous l avons déjà vu, le carré es à l image de l énergie associée à la foncion. Dans nore cas, on pose ϕ = ωt e on éudie la foncion : R(ϕ) = sin 2 Nϕ 2 sin 2 ϕ 2 La représenaion de la foncion es réalisée sur le graphique de la figure 2. Comme seules les pulsaions posiives on un sens physique, la représenaion a éé réalisée esseniellemen pour ϕ >. Il a éé réalisé pour N = 2. R(ϕ) N 2 4π 6π ϕ Figure 2 Foncion de réseau R(ϕ)

17 7 Cours Sciences Physiques MP Specre du peigne de Dirac

18 Sciences Physiques MP Cours 8 6 Applicaions de l analyse de Fourier en Physique 6. Effe d un filre analogique linéaire Considérons le signal e() =,5+2cos+cos3 en Vol. Ce signal compore une composane coninue de,5v,une composaneàla fréquencehzd ampliude 2V e unecomposanede fréquence3hz d ampliude V. L allure de ce signal es représené sur la figure 3. Envoyons ce signal à l enrée d un filre passe-bas du premier ordre de ype RC de fréquence de coupure f = = Hz. La foncion de ransfer RC de ce filre s écri H(jω) = +j f. Quel sera le signal obenu en sorie du filre? Sa forme es donnée sur la f figure 3. Afin de comprendre son origine, il fau impéraivemen prendre en compe le fai que le circui es linéaire. C es-à-dire que le héorème de superposiion s applique. Le signal se sorie sera la somme des réponses apporées par le filre à chacune des composanes du signal d enrée. Le filre joue à la fois sur l ampliude e la phase du signal de chaque composane du signal d enrée par le biais du module e de l argumen de H(jω) qui son : H(ω) = H(jω) = + f2 f 2 e ϕ = arcan f f La composane de fréquence nulle en sorie es : s = H(f = )e =,5V puisqu à cee fréquence H =. La composane de fréquence Hz en sorie es : s = H(f )2 cos(+ϕ(f )). Ici, on voi facilemen qu à cee fréquence H(f ) = e que ϕ(f ) = π 2 4. La seconde composane de sorie es donc : s = π 2cos( 4 ). Pourlacomposanede fréquence3hz, on ah(3f ) =,32e ϕ = 5. Le signalde soriecorrespondan sera : s 3 =,32cos(3 5 ). Comparons pour erminer les deux signaux : Tension d enrée e() =,5+2cos+cos3 Tension de sorie s() =,5+,4cos( π 4 )+,32cos(3 5 ) f() e() s() s () e() R C s() Figure 3 Effe d un filre La figure 3 présene de plus l effe d un même filre passe-bas que le précéden mais de fréquence de coupure f = Hz. On peu voir sur la courbe s () qu il ne subsise alors plus que la composane coninue avec une assez faible oscillaion à Hz, la composane à 3Hz n éan plus percepible. On perçoi alors bien l effe de filre passe-bas. Les courbes de la figure 3 son représenées à l échelle.

19 9 Cours Sciences Physiques MP 6.2 Filrage analogique d un signal créneau On envoie dans un filre passe-bande une ension créneau paire de fréquence fondamenale f e = Hz e évoluan enre V e 3V dans un filre passe-bande. La fréquence cenrale du filre es f = 3Hz, son faceur de qualié Q = 2 ou Q = e sa valeur maximale. La forme canonique du filre es donc : H(jω) = +jq( f f f f ) avec f = 3Hz e Q = 2 ou Q = La ension présene le développemen en série de Fourier : e() = 3 ( 2 + Le signal es assez bien décri par le débu de son développemen en série : n= sinn π 2 n π 2 cosnf e e() =,5+,64cos,2cos3+,3cos5,9cos7+... Fréquence Hz Hz 3 Hz 5 Hz 7 Hz H,8,42,25 ϕ H,4,9,5 ϕ La ension de sorie s() calculée pour un faceur de qualié Q = 2 possède alors l expression suivane : ) s() =,2cos( π),2cos3+,6cos(5 π),2cos( π)+... On peu facilemen éablir la même expression pour la ension de sorie lorsque le faceur de qualié es Q = : s () =,3cos( π),2cos3+,cos(5 8 8 π)+... Comme on peu le consaersur la figure 4, dans le cas où Q =, le filragepar un filre passe-bandede la foncion créneau périodique donne une ension que l on peu assimiler à l harmonique de fréquence f = 3 Hz de façon ou à fai saisfaisane. On noera que, sur la figure 4, les ensions s() e s () qui ne possèden pas de composane coninue, on éé représenées à l échelle mais décalées vers le hau afin de pouvoir mieux apprécier leur forme. f() e() s() s () Figure 4 Filrage d une ension créneau La sélecion d une harmonique dans un développemen en série sera d auan plus aisée que le faceur de qualié sera élevé. Il faudra, bien sûr, aussi choisir de façon inelligene la fréquence cenrale du filre passebande. Un filre passe-bande peu êre réalisé avec un circui RLC série où la ension de sorie s() es prélevée aux bornes de la résisance. 6.3 Uilisaion du pic de Dirac 6.3. Aspec héorique En praique, le pic de Dirac es une impulsion rès coure. Considérons, par exemple, un filre passe-bas RC qui possède une durée caracérisique RC. Sa foncion de ransfer H(iω) es de module H(ω) = +R2 C 2 ω 2 e sa phase ϕ(ω) = arcanrcω. On envoie grâce à un généraeur d impulsions, une impulsion de durée en enrée, voir le schéma de la figure 5. Cee impulsion sera considérée comme rès coure lors que RC, par

20 Sciences Physiques MP Cours 2 exemple RC/. On peu alors raier cee impulsion comme un pic de Dirac, c es-à-dire comme un ensemble d ondes monochromaiques d ampliudes ideniques quelle que soi la pulsaion ω : g(ω) = g. Dans ce qui sui, on ne se préoccupe pas de la valeur de cee consane. u e () R C u s () Figure 5 Filre e impulsion de Dirac Considérons, comme ci-dessus, un circui linéaire e une ension d enrée u e () = g e (ω)expiωdω où g e (ω) es la ransforméede Fourier de u e (). Si on isoledans la décomposiion de Fourier, une composane monochromaique de pulsaion ω, elle correspond à une ension g e (ω)exp iω. Cee ension es raiée par le filre qui donne la réponse : H(iω)g e (ω)exp iω. Du fai de la linéarié, la ension de sorie correspond à la superposiion de oues les ensions correspondan au specre. On pourra écrire que : u s () = H(iω)g e (ω)expiωdω Or, nous sommes dans le cas où g e (ω) = g ω correspond à l impulsion de Dirac. On peu réécrire l équaion précédene donnan u s () selon : u s () = g H(iω)expiωdω On consae donc que le calcul de la ransformée de Fourier de u s () es à une consane près (g ) la foncion de ransfer H(iω) puisque : Aspec praique H(iω) = u s ()exp iωd Onéudielefilrepasse-basRC derésisancer = kωec = µf.saconsanedeempsesrc = 3 s. En TP, on dispose de généraeurs de foncion qui peuven délivrer des impulsions de forme créneau de durée ns, c es-à-dire 7 s. On envoie cee impulsion de ension dans le filre passe-bas en éan bien dans la siuaion RC : le modèle mahémaique de Dirac es adapé. À l aide soi d un oscilloscope numérique, soi d une care d acquisiion reliée à un ordinaeur, on enregisre le signal u s (). Il ne rese plus qu à programmer le calcul du module de la ransformée de Fourier de la ension de sorie u s () pour obenir une courbe correspondan à H(ω) = voir la figure 6. L obenion de la ransformée de Fourier de +R2 C 2 ω2, u s () es prévue dans le module de calcul d un oscilloscope numérique ou dans le logiciel de gesion de la care d acquisiion. La manière don es programmé le calcul, es appelée ransformée de Fourier rapide ou en anglais Fas Fourier Transform souven idenifiée par le sigle FFT. H(ω) = TF(u s ()) ω Figure 6 Impulsion de Dirac e ransformée de Fourier

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