Lycée Galilée Gennevilliers. chap. 1. Jallu Laurent. I. Le condensateur... 2 Présentation... 2 Symbole... 2 Associations... 3

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1 Lycée Galilée Gennevilliers chap. 1 Jallu Lauren I. Le condensaeur... résenaion... Symbole... ssociaions... 3 II L échelon de ension... 4 Inerpréaion microscopiue... 4 Éude héoriue... 6 Soluion algébriue Soluion numériue Méhode d Euler... 7 emarues... 8 III. onsane de emps du dipôle, série... 9 nnexe Énergie du condensaeur... 11

2 I. Le condensaeur résenaion (en ) aracérisiue du condensaeur = u B armaures méalliues parallèles ondensaeur La charge à couran consan I Généraeur de couran I 0 u B B e U u B B (en V) B =U diélecriue x Lorsue l armaure B es soumise au poeniel négaif du généraeur de couran, elle «condense» les élecrons, sa charge es B = n ( e) es négaive («e» es la charge de l élecron, «e = 1, » la charge élémenaire e «n» le nombre d élecrons). L armaure se charge «par influence» de la uanié d élecricié conraire «= B» posiive : l arrivée d un élecron sur l armaure B provoue par répulsion élecrosaiue le dépar d un élecron de l armaure Il y a globalemen ciculaion d élecrons dans le circui même si ceux-ci ne franchissen pas le diélecriue isolan. ee circulaion du couran es produie par le généraeur de couran U consan de sore ue I = = consane (Le débi des élecrons es consan). La ension aux bornes du condensaeur augmene jusu à «la ension de charge U B = U» lorsue le phénomène s arrêe. La caracérisiue du condensaeur monre ue lorsu il es soumis à une ension u B alors la charge de son armaure posiive es = u B où es sa apacié mesurée en «Farad» ( es en oulomb e u en Vol). B ε S = d S surface d une armaure en m, d disance les séparan e ε consane diélecriue, ε 0 = 8, = celle du vide avec c viesse de la lumière c=, m.s 1 dans le vide c π SI Symbole i = d d Le condensaeur condense les charges en foncion de sa capacié. es une consane posiive caracérisiue du condensaeur ui ne dépend ue de sa réalisaion. Elle mesure «la uanié de oulombs par Vol ( )» ue socke le condensaeur. Il ne fau cependan pas H I / 11

3 ex : apacié plus grande dépasser la «ension de clauage» correspondan à une surcharge suscepible de percer le diélecriue par une éincelle. = 1µF = F socke = par Vol. Soien µ sous V, 10µ sous 10V = 15nF = F socke = par Vol. Soien 30n sous V, 150n sous 10V = pf = 10 1 F socke = 10 1 par Vol. Soien 44p sous V, 110p sous 5V 1 (appel : 1 correspond à = 0, élecrons). 1, ssociaions i = d Dipôles éuivalens : d 1 3 i = d d = 1 3 «On cumule les capaciés». apacié plus peie 1 i = d d 1 i = d d = «On cumule les incapaciés». II. Lors de l éablissemen du couran dans un circui comporan une lampe en série avec un condensaeur, on consae un reard à l allumage. Le sysème ainsi consiué a donc une évoluion emporelle pariculière. Les caracérisiues d une lampe son celles d une résisance avec l éclairemen en moins. On éudie alors «le dipôle,» Lampe Généraeur de ension E H I 3 / 11

4 pour comprendre le comporemen précéden. L échelon de ension Y II u = i 5V GBF u Y I = avec i = d d = E avec E = 0 ou 5 V = u = = u On observe ce reard déjà évoué, à l éablissemen de la ension ou à son exincion par rappor au généraeur en. La ension u en, image à près du couran i circulan dans le circui, présene une disconinuié en changean de signe ui reflèe la présence du condensaeur. La ension aux bornes du condensaeur sui celle imposée par le généraeur mais avec une ceraine «leneur». Le couran élecriue présene cee même «leneur» en plus du sau de disconinuié lorsu il change de sens. u bou d un cerain emps il ne circule plus, hors les basculemens du généraeur. Inerpréaion microscopiue La ension es l image à 1/ près de la charge du condensaeur ( = ) : - Lorsue la ension en du généraeur impose une circulaion posiive du couran i sous 5 V, les élecrons circulen en sens inverse e chargen le condensaeur (paries gauches des oscilloscopes). Le couran es non nul. Il le H I 4 / 11

5 devien lorsue les élecrons on fini de circuler, ue le condensaeur a aein sa charge maximale sous la «ension de charge» désormais celle du 5V E i u condensaeur (u = i = 0 puisue alors i = 0). Y II Y I Le condensaeur se charge : Le emps nécessaire es foncion de la capacié du condensaeur, mais aussi de la résisance ui «résise» aux déplacemens des élecrons. croi harge du condensaeur i > 0 5V E max En fin de charge la ension aux bornes du condensaeur es non nulle, elle a rejoin la valeur imposée par le généraeur. La ension nulle aux bornes de la résisance la rend inexisane. max = E Y II Y u I = E - Lorsue la ension en du généraeur bascule à 0 V (paries droies des oscilloscopes) il s efface laissan derrière lui un condensaeur déséuilibré par les charges max e max de ses armaures respecives e. Les élecrons sockés sur l armaure on devan eux une voie ceres encombrée par la résisance, mais permean le rééuilibre du condensaeur. Ils se remeen en circulaion mais dans le sens posiif de circulaion. Le couran i, précédemmen nul, es brualemen resauré négaivemen jusu à sa prochaine exincion à la décharge complèe du condensaeur. Y II décroi Y II Y u I = 0 En fin de décharge la ension aux bornes du condensaeur es nulle, ideniue à celle du généraeur. La ension es de nouveau nulle aux bornes de la résisance. Décharge du condensaeur i < 0 max i Le condensaeur se décharge : Le emps nécessaire es foncion des mêmes capacié e résisance caracérisiues du circui u Y u I = E H I 5 / 11

6 Éude héoriue u = = u B u B = u GBF B u Or u = i e = Donc = i omme i = d d e = E, À ou insan E = d d. - Éuaion différenielle du 1 er ordre en () ; - Évoluion emporelle de la charge (). vec E = consane (5 V ou O V). Soluion algébriue y y = 0 d d = E/ ou d d y = y E = 0. y y = 1 y = k x La foncion y(x) es ici la charge (). De la «HGE» : E = 5 V, Le condensaeur es iniialemen déchargé (0) = 0. ar ailleurs, y = E. E = k or (0) E = k à = 0 s, donc k = E e = E (1 ) = = E (1 ) u (en V) 5 Évoluion des grandeurs élecriues lors de la charge E = u i = d E = d u = i = E 0 1 = Ω = 1 µf E = 5 V (en ms) H I 6 / 11

7 de la «DÉHGE» : E = 0 V, Le condensaeur es iniialemen chargé par la précédene ension de charge (E 0 = 5 V) à (0) = E 0. ar ailleurs, y =. = k or (0) = k à = 0 s, donc k = E 0 e = E 0 = = E 0 i = d E = 0 e d u (en V) 5 Évoluion des grandeurs élecriues lors de la décharge 0 = u = Ω = 1 µf E = 0 V u = i = E (en ms) Soluion numériue Méhode D Euler ou «pas» Δ () = E E = 0. Éa de la charge à l insan. ( ) E Δ () = ( )Δ ( Δ) = () Δ () Éa de la charge ( Δ) à l insan Δ. ( ) Δ ( Δ) = ( vec (0) = 0 e E = 5 V en harge, e (0) = E 0 e E = 0 V en Décharge, E )Δ H I 7 / 11

8 on obien : Décharge harge Éa en s () en () en () en () en 1 0,00E00 5,00E-06-5,00E-07 0,00E00 5,00E-07 1,00E-04 4,50E-06-4,50E-07 5,00E-07 4,50E-07 3,00E-04 4,05E-06-4,05E-07 9,50E-07 4,05E ,00E-04 3,65E-06-3,65E-07 1,36E-06 3,65E ,00E-04 3,8E-06-3,8E-07 1,7E-06 3,8E ,00E-04 (en,95e-06 µ) harge -,95E-07 e décharge,05e-06 du condensaeur,95e-07 par la 7 6,00E-04,66E-06 -,66E-07 méhode,34e-06 d Euler,66E ,00E-04,39E-06 -,39E-07,61E-06,39E ,00E-04,15E-06 -,15E-07,85E-06,15E ,00E-04 1,94E-06-1,94E-07 3,06E-06 1,94E ,00E-03 1,74E-06-1,74E-07 3,6E-06 1,74E ,10E-03 1,57E-06-1,57E-07 3,43E-06 ourbe d Euler, 1,57E ,0E-03 1,41E-06-1,41E-07 3,59E-06 ourbe algébriue. 1,41E ,30E-03 1,7E-06-1,7E-07 3,73E-06 1,7E ,40E-03 1,14E-06-1,14E-07 3,86E-06 = Ω 1,14E ,50E-03 1,03E-06-1,03E-07 3,97E-06 = 1 µf 1,03E-07 E = 5 V e 0 V Δ = s (en ms) 0 1 emarues = u es devenu E = d d. On peu égalemen éablir comme i = d du du =, E = u d d d éuaion d évoluion de la ension aux bornes du condensaeur e conduire une éude analogue de la précédene vers les mêmes conclusions Soluion praiue : Les expressions algébriues des différenes grandeurs élecriues ne son pas à reenir. Elles son souven données e ne demanden u à êre vérifiées. Vérifions par exemple ue «= E (1 )» es bien soluion de l éuaion différenielle «E = d d». H I 8 / 11

9 d d = d E (1 e ) d = E (1 ) = E 1 E E (1 ) = E. L éuaion es bien vérifiée! III. onsane de emps du dipôle, série Quelle ue soi la courbe observée, il apparaî clairemen un comporemen semblable des différenes grandeurs élecriues. Elles varien duran un cerain emps puis deviennen consanes. eci perme de disinguer deux «régimes de foncionnemen» : «Le régime ransioire» duran leuel ces grandeurs varien, e «le régime permanen» où elles son consanes. égime ransioire harge croî de 0 à E, croî de 0 à E, i posiive décroî de E à 0, Décharge décroî de E à 0, décroî de E à 0, i négaive croî d E à 0, u décroî de E à 0. u croî d E à 0. = max = E, a = 0, égime permanen = E, i = 0, u = 0. = 0, i = 0 u = 0 - harge e décharge son physiuemen semblables. Les caracérisiues e son ideniues dans les deux cas. ependan, il es inéressan de remaruer ue les régimes permanens des charge e décharge, lorsue le couran ne circule plus, ne diffèren ue par la ension aux bornes du condensaeur. hargé, celui-ci se compore comme un vériable H I 9 / 11

10 généraeur suscepible de générer une circulaion de couran lorsue le circui exérieur es fermé. - L évoluion emporelle de la charge () conien les expressions des régimes ransioire e permanen : uisu à ou insan d d = E, le régime permanen es aein lorsue es consane e d = 0, alors d = E e «= E» (charge E = 5V, décharge E = 0V). le régime ransioire dure an ue le faceur d es non négligeable devan d. Définiion : On appelle «consane de emps» du dipôle, série, le produi de sa résisance par sa capacié. τ = (en F) (en s) (en Ω) - τ es un emps, foncion des seules caracérisiues du dipôle : En effe, par «analyse dimensionnelle», [ τ ] = [ ] = [ ] [] = [ u i ] [ u ] «dimension de au égale» = u i u = i = d d [ τ ] = d = T τ es un emps.! = d ou par l éuaion différenielle, d d = E = d don chacun des ermes d es homogène à une ension e donc τ à un emps. - À = τ, = 1 = 0,37. À ce insan, le condensaeur es à (1 0,37) = 63 % de sa charge oale ou il lui rese 37 % en décharge. e n es u au bou d environ 5τ, ue le régime permanen es aein (1 5 ) = 99 %. d H I 10 / 11

11 - τ peu êre déerminé graphiuemen : (en V) 5 asympoe régime permanen égime ransioire 3, = 0,63 * 5,0 = Ω = 1 µf E = 5 V τ = 1 m s égime permanen onsane de emps du dipôle, série 0 angene : y = a x b = a x = τ E (1 e ) x = = 0 E e x = E x = E (à x = = τ). = 0 aisonnemen analogue en décharge. (en ms) nnexe Énergie du condensaeur à un insan, l énergie élecriue aux bornes du condensaeur es : d 1 () (0) E = d = u i d = d = d = = d avec la puissance élecriue du condensaeur. u erme de la charge d un condensaeur iniialemen déchargé, l énergie emmagasinée par le condensaeur es E max = E. À la fin d une décharge oale d un condensaeur, l énergie libérée es E max E =. () u () Globalemen à un insan uelconue : E () = =. H I 11 / 11