Ch.5. Le modèle d évaluation par arbitrage et les modèles multifactoriels

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1 Unversté ars-dauphne aster 4 Evaluaton d'actfs Ch.5. e modèle d évaluaton par arbtrage et les modèles multfactorels oton d arbtrage Théorème fondamental d évaluaton par arbtrage AT et modèles multfactorels usuels Secton. a noton d arbtrage Défnton Une opportunté d arbtrage est la possblté de former un portefeulle d actfs sans mse de fonds ntale et procurant des paements postfs ou nuls mas amas négatfs. Exemple Actf A se vend au prx de 2 et peut s acheter au prx de. ortefeulle vente à découvert de ttres A et achat de ttres A Coût ntal et gan certan 2 nfn / Retour aux prx d équlbre Restrcton sur l utlté Utlté margnale postve Secton 2. e théorème fondamental d évaluaton par arbtrage Ross (976), référence [38] Hypothèses 2 dates :, actfs rsqués échangés à la date lux aléatore à la date : ( ) Ω rx : matrce des conséquences (paements aléatores) : vecteur des prx

2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ortefeulle d arbtrage ( ) ( ) ( ) ( ) Ω > > '. '. Actfs d Arrow-Debreu AD Théorème d évaluaton en l absence d opportunté d arbtrage Théorème Il y a absence d opportunté d arbtrage ss l exste un vecteur de prx d état qu supporte les prx des actfs fnancers, c-a-d tel que : ( ) ' avec exstence d un mode postf d évaluaton lnéare entraîne l absence d opportunté d arbtrage. ( ),..,,. Ω >, Unversté ars-dauphne aster 4 Evaluaton d'actfs

3 Unversté ars-dauphne aster 4 Evaluaton d'actfs reuve emme de arkas (Roger, 99, p.3) Sot X une matrce de dmenson (,). Un vecteur de R satsfat l négalté. > pour tout vecteur de R tel que X. >, ss l exste un vecteur de R dont toutes les composantes sont postves et tel que X... ortefeulle ne rapportant que des flux postfs. > X. > (s on pose X ) 2. Il exste (composantes postves) tel que. X. emme de arkas. > (pas de portefeulle d arbtrage) Implcatons pour l évaluaton des actfs observés détermnaton mplcte des Evaluaton de tout actf à partr des flux contngents et des S prx théorque prx coté arbtrage rx d équlbre Illustraton 2 états de la nature, 3 actfs rsqués 2 Actf 4 Actf Actf 3 5 5? + 2 4, ,2 3,2 5 +,

4 Unversté ars-dauphne aster 4 Evaluaton d'actfs Illustraton sute 2 états de la nature, 3 actfs rsqués 2 Actf 4 Actf Actf ortefeulle d arbtrage Achat de actfs Achat de 2 actfs 2 Vente de actfs 3 (tf) lux 2 ( + 5) Dans la pratque Actfs d Arrow-Debreu facteurs sous-acents à tous les ttres tels que ~ ( ) D ~ acteurs communs + facteur spécfque (dosyncratque) n ~ ~ a + b I + ~ e Secton 3. évaluaton par arbtrage (AT) et les modèles multfactorels Verson famlère de l AT Théorème 2 Sous l hypothèse que les flux aléatores des actfs rsqués sont décrts par le modèle factorel précédent et qu l exste un actf sans rsque payant r f, en l absence d opportunté d arbtrage, les espérances de rentablté des actfs rsqués vérfent : n r rf + β( ri r ) f où r est l espérance de rentablté du ème I facteur commun. 4

5 Unversté ars-dauphne aster 4 Evaluaton d'actfs Exemple odèle à deux facteurs r~ α + β ~ Y ~ + β2y ~ + ε ortefeulle Rentablté espérée βp β p 2 A 5%..6 B 4%.5. C %.3.2 D 3%.6.6 E 5%.6.6 Exemple - sute Données du portefeulle d arbtrage ontant de lux fnal l'nvestssement espéré βp β p 2 D E ortefeulle d'arbtrage 2.. dentfcaton des facteurs Analyse factorelle Estmaton des facteurs et des coeffcents de sensblté ombre de facteurs ortefeulles réplquant les facteurs Roll et Ross (98), référence [3] 42 groupes de 3 actons Données quotdennes de ullet 962 à décembre facteurs communs 3 explquent sgnfcatvement les prx d équlbre 5

6 Unversté ars-dauphne aster 4 Evaluaton d'actfs éthode alternatve a spécfcaton a pror des facteurs communs Chen, Roll et Ross (986), référence [3] Inflaton Ecart taux longs taux courts rme de rsque de défaut Crossance de la producton ndustrelle Tests Corrélatons avec les facteurs ssus de l A Rentablté et sensblté aux varables macro-économques Concluson Evaluaton par arbtrage (AT) et EDA (CA) Compatblté Dfférences 6

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