2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis

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1 Exercice sur les itégrles Exercice 5 : les itégrles de Wllis O pose si xdx ) Clculer I et I ) Motrer que l suite ( ) coverge 3) Etblir ue formule de récurrece etre et 4) Motrer que le produit ( + ) + est costt 5) Clculer + I 6) Clculer et + sous forme de produit et e déduire ue suite de rtioels coverget vers. Correctio de l'exercice 5 ) I dx, I si xdx [ cos x] I si xdx O pose u x I si ( u) ( du) cos udu ( cos x + si x ) dx dx I Or cos udu + si xdx I peut être clculée églemet à l'ide de l formule de récurrece trouvée e ) Doc I I I 4 ) O cherche à motrer que l suite ( ) est décroisste et miorée de motrer qu'elle coverge. pour x [, ] o si x e multiplit pr si x, o obtiet pour x [, ] o si + x si x Doc, e itégrt sur [, ], o obtiet : si+ xdx si xdx D'où + L suite ( ) est décroisste et miorée pr, doc elle coverge. 3) si xdx si x si xdx O itègre pr prtie : si x si xdx [ cos x si x ] ( ) ( si x ) si xdx ( ) [ + cos x ( ) cos x si xdx pour pour si xdx ] si xdx ( ) ( ) Doc

2 4) pour { I + + e multiplit membre à membre, o : + + ( + ) + ( ) Némois, cette récurrece est d'ordre, doc o obtiet que : { ( + ) I + ( )... I I () ( ) 3... I I doc ( + ) + 5) d'près ), l, doc + l (+) doc O sit que l suite ( ) est décroisste et coverge vers, doc > Doc l suite u I + Comme l suite ( ) est décroisste, u O pose u u + Or u u est bie déie et est strictemet positive. I I d'où u u + + ( + ) ( + ) C'est ue récurrece d'ordre, émois, o e déduit que les suites (u ) et (u + ) sot décroisstes et miorées pr O pose Comme d'où u u et u + b puisque u u u + b et que et b o obtiet que b I + ( + ) + doc ( + ) + 6) d'près ) Doc I I Doc ( ) ( 3) () ( )... 4 I! () ( )...4 [] [ ( )]... [ ] [ ] Doc ()! (!) O e utilist que ( + ) + o trouve que + (!) Or o sit que I doc ( + ) + ( + )!

3 Doc ( + ) [ (!) ( + )! ] suite de rtioels Clcul de l primitive x + dx O multiplie pr l qutité cojuguée x + x ( x + ) ( x + ) D'où x + x dx x + + x dx + x dx F (x) G(x) Clcul de F (x) O pose u x x u dx udu F (x) x dx u ( u ) ( udu) F (x) u u du u + u du du + du u F (x) u + ( + u + ) du u + u l + u l u + C F (x) x + l + x l x + C Clcul de G (x) x + x x + x ( x) ( + x) O pose v dx dv G (x) x dx v v ( dv) F (v) F () Doc : dx x + x + + x l x l + +x + C +x 3 Exercice soiet f : [,b] R + et g : [,b] R, < b des pplictios cotiues 3

4 ) O pose h (x) b f (t) + xg (t) dt O suppose que z > tel que x [ z,z] h (x) h () Motrer que b g (t) dt ) Le résultt s'éted-il u cs f : [,b] R +? 4 Correctio de l'exercice ) L'hypothèse de cette questio implique que est u miimum locl de l foctio h. D'près l'éocé, l foctio f est strictemet positive et cotiue sur l'itervlle [,b] Doc o peut écrire que N if f (x) > x [,b] De même, g est cotiue sur [,b], doc M sup g (x) + existe. x [,b] L foctio x b f (t) + xg (t) dt b f (t) dt + x b miimum locl e si et seulemet si b g (t) dt g (t) dt est ue foctio liéire qui possède u Comme h () b f (t) dt b f (t) dt b N >, ous llos chercher u itervlle I [ y,y] [ z,z] pour x ds lequel ous sommes sûr que x I l foctio t f (t) + xg (t) est positive. D'où f (t) + xg (t) f (t) xg (t) N xg (t) N ym Pr coséquet, y mi ( N M,z) x [ y,y] t [,b] f (t) + xg (t) Doc pour x [ y,y] h (x) b f (t) + xg (t) dt b [f (t) + xg (t)] dt b f (t) dt + x b g (t) dt Or h (x) b f (t) dt + x b g (t) dt b f (t) dt h () x b b g (t) dt Comme l foctio x x g (t) dt est liéire, sur l'itervlle [ y,y], elle tteit s vleur miimle costt pour x y ou y. Mis d'près les hypothèses, sur l'itervlle [ y,y], l foctio h tteit so miimum pour x, pr coséquet b g (t) dt ) Soit ce résultt s'éted u cs R + uquel cs il fut le démotrer, soit ce résultt e s'éted ps u cs R + et il sut de trouver u cotre exemple. Ds l démostrtio, ous ous sommes servi du fit que N vri si f : [,b] R +. if f (x) > ce qui 'est ps toujours x [,b] L démostrtio e chgerit ps si f u lieu d'être strictemet positive étit strictemet égtive. Mis le ds le cs où f s'ule, le résultt est probblemet fux. 4

5 O choisit [,b] [,] f (x) x g (x) h (x) b f (t) + xg (t) dt t + x dt pour x [,] h (x) t + x dt + t + x dt h (x) (t + x) dt + (t + x) dt h (x) h (x) ] [ [ (t+x) + (t+x) ] ( + x) [ x x + + x + x + ] x + + ( + x) [(x ) + (x + ) ] L foctio h vérie bie x [,] h (x) h () vec g (t) dt Doc ce résultt e s'éted ps u cs R +. 5