Synthèse de cours (Terminale S) Lois de probabilité

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1 Sythèse de cours (Termiale S) Lois de robabilité Elémets de déombremet Factorielle d u etier aturel Soit u etier aturel. Si est o ul, o aelle «factorielle» ou «factorielle de», l etier, oté!, égal au roduit de tous les etiers o uls iférieurs ou égaux à : O ose :! = ! = 1 Remarque : c est le ombre de listes sas réétitio de élémets d u esemble à élémets (ue telle liste est aelée «ermutatio»). Nombre de listes de élémets d u esemble de élémets Das ce qui suit, l esemble cosidéré cotiet élémets ( 1). Listes avec réétitio A artir d u esemble à élémets, o eut costruire avec réétitio.... = (où 1) listes facteurs Listes sas réétitio A artir d u esemble à élémets, o eut costruire! ( 1) ( 1 )... ( + 1) = (où 1 ) listes sas réétitio.! facteurs PaaMaths [1-7] Jui 2009

2 Combiaiso Défiitio Soit u etier aturel et E u esemble à élémets. Soit u etier aturel iférieur ou égal à. O aelle «combiaiso de élémets de E» toute artie de E comortat élémets. Nombre de combiaisos Le ombre de combiaisos de élémets d u esemble E à élémets vaut :! =! ( )! se lit «armi» et est aelé «coefficiet biomial» (voir lus loi). Exemles fodametaux : u esemble à élémets e cotiet qu ue artie à 0 élémet (la artie vide) et ue artie à élémets (lui-même). O a doc : = = 1 0 Proriétés Pour tout etier aturel et tout etier aturel iférieur ou égal à : = Remarque : cette égalité reose sur le fait que das tout esemble à élémets, toute artie de élémets admet u uique comlémetaire qui comte, lui, élémets. Pour tout etier aturel o ul et tout etier aturel o ul iférieur ou égal à : 1 1 = + 1 O disose aisi d ue relatio de récurrece. Il s agit de la relatio de Pascal. PaaMaths [2-7] Jui 2009

3 Triagle de Pascal Le relatio de récurrece ci-dessus ermet, otammet, de costruire raidemet les remières valeurs de et o obtiet le triagle de Pascal : = 0 1 = = = = = La symétrie du triagle illustre la remière roriété metioée ci-dessus. O eut égalemet adoter la disositio suivate : = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 0 1 = = = = = Formule du biôme de Newto Pour tous a et b comlexes et tout etier aturel, o a : a+ b = a b k = 0 k k k Soit : ( 1) a+ b = a b + a b + a b a b + a b ( 1) = b + ab + a b a b + a C est de cette formule que roviet la déomiatio «coefficiet biomial» our. PaaMaths [3-7] Jui 2009

4 Remarque : e choisissat a = b= 1, o obtiet la belle égalité : k = 0 = 2 k Aisi, la somme des élémets de la lige du triagle de Pascal est égale à 2. D u oit de vue esembliste, ce résultat s iterrète comme suit : das u esemble à élémets, il y a u total de 2 arties. Loi de Beroulli Loi biomiale Loi de Beroulli Défiitio O aelle «exériece de Beroulli» toute exériece aléatoire dot l uivers comte deux issues. Traditioellemet l ue est aelée «succès» et l autre «échec». Remarque : les déomiatio de «succès» et d «échec» sot historiques et e doivet as être iterrétées systématiquemet! O aelle «loi de robabilité de Beroulli» (ou «loi de Beroulli») la loi de robabilité associée à ue exériece de Beroulli. A l issue «succès» o associe la valeur 1 de robabilité et à l issue «échec» o associe la valeur 0 de robabilité q= 1. O dit alors que la loi de Beroulli est ue «loi de Beroulli de aramètre». Ue loi de Beroulli est doc arfaitemet défiie ar u tableau du tye : x 1 0 X = x 1 Esérace et variace d ue loi de Beroulli L esérace d ue loi de Beroulli de aramètre vaut : E = La variace d ue loi de Beroulli de aramètre vaut : ( 1 ) V = = q PaaMaths [4-7] Jui 2009

5 Loi biomiale Schéma de Beroulli O aelle «schéma de Beroulli», la réétitio de exérieces de Beroulli idéedates de même aramètre. Loi biomiale A u schéma de Beroulli, o associe la variable aléatoire X doat le ombre de succès obteus. X eut redre toutes les valeurs etières iférieures ou égales à. La loi de robabilité de la variable aléatoire X est aelée loi biomiale de aramètres et B ;. et o la ote : Pour tout etier aturel k iférieur ou égal à, o a : X k k k ( = ) = ( 1 ) Exemle tyique : lacers d ue ièces de moaie équilibrée. Chaque lacer est ue exériece de Beroulli de aramètre 1. Le ombre de «PILE» obteu à l issue des 2 k lacers suit ue loi biomiale 1 B ;. 2 Esérace et variace d ue loi Biomiale B vaut : L esérace de la loi biomiale ( ; ) La variace de la loi biomiale ( ; ) E = B vaut : ( 1 ) V = B à artir Remarque : o obtiet doc l esérace et la variace d ue loi biomiale ( ; ) de l esérace et de la variace d ue loi de Beroulli de aramètre e les multiliat resectivemet ar. PaaMaths [5-7] Jui 2009

6 Lois cotiues Itroductio Das cette artie, o s itéresse à des variables aléatoires reat des valeurs das des itervalles de o réduits à u oit et de logueur o écessairemet fiie. La loi de robabilité associée à ue telle variable aléatoire sera dite «cotiue». Si la variable aléatoire est défiie sur u itervalle I, o s itéresse aux évéemets de la forme : X [ ; β ] ([ β ; ] I ) si I est de la forme [ ab ; ] ; X [ ; β ] ([ β ; ] I ) ou X [ ; + ] ([ ; + ] I ) si I est de la forme [ ; ] O otera : ( X [ ; β] ) = ( [ ; β] ) et ( X [ ; [) ( [ ; [) + = +. a + ; Remarque : ( [ ; β] ) = ( [ ; β[ ) = ( ] ; β] ) = ( ] ; β[ ) et ( [ ; [) ( ] ; [) + = +. Notio de desité O dit qu ue loi de robabilité cotiue défiie sur l itervalle I admet our «desité» la foctio f si : f est défiie, ositive et cotiue sur I ; f () t dt = 1 ; I Pour tout itervalle [ ; β ] iclus das I : ([ ; ]) () β β = f t dt. Remarque : lorsque I = [ a; + ], l écriture «f ( t) dt» corresod à () I + a f t dt. Cette x itégrale est égale à la limite, lorsqu elle existe, de f () t dt quad x ted vers +. a PaaMaths [6-7] Jui 2009

7 Loi uiforme Soit a et b deux réels ( a < b). O aelle «loi uiforme sur l itervalle [ ab, ]» la loi cotiue dot la desité f est costate sur cet itervalle. O a : 1 x [ a; b], f ( x) = b a O a alors, our tout itervalle [ β ; ] iclus das [, ] ([ β ; ]) β ab : dt β = = b a b a Loi exoetielle O aelle «loi exoetielle de aramètre λ ( λ > 0 )» la loi cotiue dot la desité est défiie ar : [ 0; ], x + f x = λe λx O a alors, our tout itervalle [ β ; ] iclus das [ 0; + ] : Et our tout réel ositif : β λt λ λβ ([ β ; ]) = λe dt = e e ([ [) ([ ]) λt 0; = λe dt = 1 e + ; t t + = λe dt = 1 λe dt = e 0 0 λ 0 λ λ λ PaaMaths [7-7] Jui 2009