Juin 2014 MATHEMATIQUES

Transcription

1 Jui ères S MATHEMATIQUES Voici ue série d exercices sur différets thèmes abordés e classe de première S. Ils vous permettrot de repredre cotact avec les mathématiques avat d aborder la classe de Termiale S. Ce travail, bie que facultatif, est coseillé L esemble des corrigés de ces exercices sera dispoible sur le site du lycée dès le ludi 5 août 014. Mais avat tout, boes vacaces à tous. Exercice 1 Etude d ue foctio : 1 O cosidère la foctio f défiie sur par 1. Calculer la dérivée f de f.. Etudier le sige de la dérivée f. 3. E déduire le tableau de variatios de la foctio f. (O précisera les évetuels extrémums). 4. Détermier, par u calcul, les coordoées des poits d itersectio de la courbe représetat la foctio f avec l axe des abscisses. 1) ) est du sige de a (a = 3) à l extérieur des racies et. x + f( ) D après le théorème qui lie le sige de la dérivée aux variatios de la foctio, o obtiet : x + Variatios de f 0 Exercice Etude d ue foctio : 6x Soit f la foctio défiie sur par f x. x 1 Soit C la courbe représetative de f das u repère orthoormal O, i, j (uité : cm).

2 1. Calculer et étudier so sige sur l itervalle.. E déduire le tableau de variatios de f. 3. Détermier l équatio réduite de la tagete T à la courbe C au poit d abscisse Etudier la positio de la courbe C par rapport à la tagete T. 5. Costruire C et T das le repère spécifié e début d exercice. 1) O pose u f avec u( 6x u '( 6 v ( x² 1 et v ( x v 6 1) 6x x f ( 1) 6x² 6 1x² f ( 1) 6x² 6 f ( 1) 6 1) f ( 1) 6( x 1)( x 1) f ( 1). Or f uv uv, doc v ) x x x f ( O e déduit les variatios de f. x Variatios de f ) 6x x 1 6( x 1)( x 1) 1) 6(0 1)(0 1) et 6 (0² 1) L équatio de la tagete est : Le poit de coordoées (0 ; 0) est u poit de T doc Coclusio : T : 4) O étudie le sige de la différece. 6x x 1 6x x 1

3 6x x 3 1 est du sige de Coclusio : 5) 3 6x. pour x > 0 doc la courbe C est située sous la tagete T sur l itervalle [ 0 ; 6 ]. pour x < 0 doc la courbe C est située au-dessus de la tagete T sur l itervalle [ -6 ; 0 ]. Exercice 3 Probabilités et Variable Aléatoire U jeu cosiste à lacer simultaémet deux dés parfaits. U joueur mise 1 sur le uméro 5. Si ce uméro est obteu sur chacu des deux dés, le joueur reçoit 4. S il apparaît sur u seul des deux dés, il reçoit 3. Das tous les autres cas, il perd sa mise. Le gai algébrique du joueur est la somme reçue dimiuée de la mise : c est ue variable aléatoire X. 1. Quelles sot les valeurs prises par X?. Doer la loi de probabilité de X. 3. Calculer l espérace et l écart-type de X. 1) X pred les valeurs -1, ou 3. ) O rappelle les issues possibles das le tableau à double-etrée ci-dessous (1;1) (1;) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) (;1) (;) (;3) (;4) (;5) (;6) 3 (3;1) (3;) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) 4 (4;1) (4;) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) 5 (5;1) (5;) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) 6 (6;1) (6;) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6) 36 issues possibles Le joueur reçoit 4 s il réalise l issue (5 ; 5) de probabilité (le gai algébrique est alors de 3 ) Le joueur reçoit 3 s il réalise u seul 5. La probabilité de le réaliser est de (le gai algébrique est alors de ) Das tous les autres cas, il perd sa mise (le gai algébrique est alors de -1 ). La loi de probabilité de X est doc :

4 x i -1 3 Total p X x ) 1 ( i Exercice 4 La loi biomiale O s itéresse à ue livraiso importate de compositios florales d u certai type, destiée à ue chaîe d hypermarchés. O ote D l évéemet : «Ue compositio florale prélevée au hasard das la livraiso est défectueuse.» O suppose que. O prélève au hasard 1 compositios das la livraiso pour vérificatio. La livraiso cotiet assez de compositios pour que l o puisse assimiler les tirages idetiques et idépedats. O cosidère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvemet aisi défii, associe le ombre de compositios défectueuses. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale dot o détermiera les paramètres.. Calculer la probabilité que, das u tel prélèvemet, il y ait exactemet deux compositios défectueuses. 3. Calculer la probabilité que, das u tel prélèvemet, il y ait au mois ue compositio défectueuse. 1) Les prélèvemets au hasard sot assimilés à des tirages idetiques et idépedats. Chaque prélèvemet réalise u succès (cas où la compositio est défectueuse, de probabilité 0,05) ou u échec : il s agit d ue épreuve de Beroulli de paramètre 0,05. La répétitio de 1 prélèvemet costitue doc u schéma de Beroulli de paramètre = 1 et p = 0,05. La variable aléatoire X qui, à tout prélèvemet aisi défii, associe le ombre de compositios défectueuses sui doc la loi biomiale B(1 ; 0,05). ) 3) Exercice 5 Etude d ue suite : 1 O cosidère la suite u défiie par : u0 1 1 u 1 u 3 1. Calculer u 1 et u.. La suite u est-elle arithmétique? géométrique? 3. O pose u 3 v. Démotrer que terme. 4. Exprimer v e foctio de. E déduire u e foctio de. 5. Calculer la somme S v0 v1 v10. v est ue suite géométrique de raiso 3 1 et préciser so premier

5 doc la suite u est pas arithmétique. doc la suite u est pas géométrique. 3) Le premier terme est 1 doc la suite v est géométrique de raiso 3 1 4) v est ue suite géométrique de raiso et de premier terme, doc, pour tout etier aturel, 3 doc Or, v u 3 doc doc 5) S v0 v1 v10 est la somme des 11 premiers termes d ue suite géométrique doc, d après le cours : Exercice 6 Etude d ue suite : u est la suite défiie par :. Démotrer, de deux maières différetes, que la suite u est décroissate à partir du rag = 3 : a. à partir de l étude d ue foctio b. e étudiat le sige de a) où f est la foctio défiie par O étudie les variatios de la foctio f sur l itervalle x 0 f ( + 0 f ( La foctio f est décroissate à partir de x =,5, doc la suite u est décroissate à partir du rag = 3. b) pour >, doc la suite u est décroissate à partir du rag = 3.

6 Exercice 7 Produit scalaire ABCD est u carré de côté égal à 4. I et J sot les milieux respectifs des cotés [AD] et [CD]. 1. Démotrer que :. E déduire le produit scalaire 3. Démotrer que 4. Détermier alors la valeur approchée (au degré près) de la mesure de l agle. Or : car les vecteurs sot orthogoaux (méthode du projeté orthogoal) Doc ) car I est le milieu de [AD] De même, Doc 3) doc. De même 4) Doc, Doc Exercice 8 Cercles et tagetes Le pla est mui d u repère orthoormé. C est le cercle d équatio :. T est le poit de coordoées (3 ; 4 ). 1. a. Détermier les coordoées du cetre Ω du cercle C et so rayo.

7 b. Tracer das le repère le cercle C et placer le poit T.. O mèe, à partir du poit T, les deux tagetes au cercle C et o ote A 1 et A les poits de cotacts de ces tagetes avec le cercle C. a. Démotrer que A 1 et A appartieet au cercle C 1 de diamètre [ ΩT]. b. Détermier ue équatio du cercle C 1 c. Calculer les coordoées des poits A 1 et A. 1.a) Il s agit du cercle de cetre et de rayo R =. 1.b).a) La droite (TA 1 ) est tagete au cercle C doc l agle de diamètre [ ΩT]. Même raisoemet pour le poit A. est u agle droit. Le poit A 1 appartiet doc au cercle.b) Soit I le cetre du cercle C 1. I est le milieu du segmet [ ΩT]. Les coordoées de I sot : doc Le rayo du cercle C 1 vaut : Ue équatio du cercle C 1 est doc :.c) A 1 et A sot les poits d itersectio des cercles C et C 1. O résout le système suivat :

8 Coclusio :