Probabilité conditionnelle 4 ème Sciences Avril 2010
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- Félix Martineau
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1 Probabilité coditioelle 4 ème Scieces vril 200 LTOUI Raels { e e e } Ω=, 2,, est l uivers des ossibles (esemble des évetualités) associé à ue éreuve, exériece, u jeu, Exemles : Lacer d ue ièce de moaie : exériece aléatoire à deux issues { ile, face} Ω= Tirage simultaée de deux boules d ue ure coteat quatre boules b, b, b et b Ω= Card {{ b, b} ;{ b, b} ;{ b, b} ;{ b, b} ;{ b, b} ;{ b, b} } Ω= 6 = C = = Toute artie de Ω ( ( ) 2! 2 P Ω ) est aelée évèemet Si = Ω alors est u évéemet certai Si = alors est u évéemet imossible Tout sigleto { e i } Ω est u évèemet élémetaire Soiet et B deux évèemets de Ω L évéemet «et B» oté «B» Si B = alors et B sot deux évèemets icomatibles L évéemet «ou B» oté «B» L évéemet cotraire de das Ω est =Ω \ = C Ω,,, formet u système comlet d évèemets de Ω si : 2 =Ω i i= = si i jet i ; j i j Loi de robabilité : Soit { e, e2,, e} Ω= l uivers des ossibles associés à ue éreuve ( ) évèemets O aelle loi de robabilité défiie sur (, P( )) : ( Ω) R P + vérifiat : () ( Ω ) = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) B, P Ω P Ω, B = B = ( ) + B ( ) Le réel ositif () s aelle la robabilité de l évéemet Proriétés : P( ) Ω Ω toute alicatio Ω, o a =Ω et = ( ) ( ) ( ) E articulier ( ) ( ) P( ) = Ω = 0 P Ω est l esemble des = + = ( ) ( ) Ω, ( ) 0 et ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) Probabilité d ue réuio (formule des robabilités comlètes) : P Ω et B P Ω = \ B B (réuio disjoite) - ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) = ( \ B) + ( B) ( \ B) = ( ) ( B) - B = ( \ B) B(réuio disjoite) ( B) = ( \ B) + B ( ) ( B) = ( ) + B ( ) ( B) = Cours : Probabilité coditioelle 4 ème Scieces 09 0 wwwesacemathscom
2 Coséqueces : e, e2,, e Ω= alors ( e ) ( e ) ( e ) = e, e2,, e alors ( ) ( ) ( ) Si { } Si { } Cas d équirobabilité (robabilité uiforme) Ω= { e, e2,, e} ; CardΩ= = 2 e + e + + e = ( ) 2 O se lace das le cas où toutes les évetualités ot la même robabilité alors ( e ) = ( e ) = = ( e ) 2 = Das ce cas est ue loi de robabilité uiforme Card Nombre de cas favorables à et o a : ( ) = = CardΩ Nombre de cas ossibles Exemle : O lace deux fois de suite u dé équilibré à six faces Il y a résultats ossibles (de (, ) à (6, 6) : ce sot des coules car o différecie le résultat du remier lacer de celui du deuxième) et o suose que tous ces résultats ot la même robabilité (car le dé est équilibré) elos l évéemet : «le résultat du remier lacer est» et B l évéemet : «le résultat du deuxième lacer est» L évéemet B est doc : «le résultat de l u au mois des lacers est» O a : ( B) = ( ) + B ( ) ( B) 6 6 Or, = ( ) De même, B ( ) = L évéemet B e se réalise que si le tirage est (, ), c est à dire das u seul cas, doc ( B) = 6 6 Doc ( B) = + = O eut aussi calculer la robabilité de l évéemet cotraire à B Cet évéemet cotraire est : «il y a eu i au remier cou i au deuxième» Il y a doc 5 ossibilités our le remier cou (de 2 à 6) et 5 our le secod Il y a doc 25 cas favorables et ( B) = Doc : ( B) = = Dé Dé (,) (2,) (3,) (4,) (5,) (6,) 2 (,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 2 Cours : Probabilité coditioelle 4 ème Scieces 09 0 wwwesacemathscom
3 Exercices : Ex : Ue ure cotiet 3 boules rouges, 4 boules blaches et 5 boules vertes O tire simultaémet et au hasard 3 boules de l ure O suose que les tirages sot équirobables Détermier la robabilité de chacu des évèemets suivats : : «tirer 3 boules blaches» B : «obteir aucue boule rouge» C : «tirer 3 boules tricolores» D : «tirer au mois ue boule verte» E : «tirer au lus ue boule rouge» Ex 2 : Ue ure cotiet 5 boules rouges et 3 boules blaches idiscerables au toucher O extrait successivemet et sas remise 3 boules de l ure Détermier la robabilité de : «obteir 3 boules de même couleur» B : «obteir 2 boules rouges et boule blache» Ex 3 : U sac cotiet 9 jetos umérotés de à 9 O tire successivemet et avec remise 3 jetos du sac Calculer la robabilité des évèemets suivats : : «tirer 3 jetos ayat des uméros airs» B : «tirer 3 jetos dot la somme des uméros est aire» Raelos que : Tyes de tirages Ordre Réétitios d élémets Déombremet Successifs avec remise Successifs sas remise Simultaés O tiet comte de l ordre L ordre iterviet as U élémet eut être tiré lusieurs fois U élémet est tiré qu ue fois C ( - listes ) arragemets ( ) combiaiso s ( ) = ( )( 2)( + ) ; C Remarque : O eut oter aussi! = =!( )!! C ar, o aura! C = = =!( )!! 3 Cours : Probabilité coditioelle 4 ème Scieces 09 0 wwwesacemathscom
4 Probabilité coditioelle : ctivité Le tableau ci-dessous doe le ombre de fumeurs et de o fumeurs, hommes ou femmes das ue etrerise de 00 ersoes Hommes Femmes Fumeurs 40 0 No fumeurs O choisit au hasard ue ersoe armi les cet ) a) Calculer la robabilité de chacu des évéemets suivats : «la ersoe choisie est u fumeur» H : «la ersoe choisie est homme» b) Quelle est la robabilité de choisir u homme fumeur 2) a) Calculer la robabilité de l évéemet E : «la ersoe choisie est u fumeur sachat que c est u homme» La robabilité de E est la robabilité coditioelle de sachat que H et réalisé et o la ote H () ou (/H) Comarer (/H) et ( H ) H ( ) b) Sachat que la ersoe choisie est ue femme, quelle est la robabilité qu elle soit fumeur Défiitio : désige ue robabilité sur u uivers fii Ω et B état deux évéemets de Ω, B état de robabilité o ulle O aelle robabilité coditioelle de l évéemet sachat que B est réalisé le réel oté P ( B) ( / B) = B ( ) Le réel ( /B) se ote aussi B () et se lit aussi robabilité de sachat B Remarque : Si et B sot tous deux de robabilité o ulle, alors les robabilités coditioelles (/B) et (B/) sot toutes les deux défiies et o a : ( B) = (/B)(B) = (B/)() C est le ricie des robabilités comosées rbres odérés Lorsqu o est e résece d ue situatio de coditioemet, il est coseillé d établir u arbre de robabilité Règles de costructio La somme des robabilités des braches issues d'u même œud est La robabilité de l'évéemet corresodat à u trajet est le roduit des robabilités des différetes braches comosat ce trajet L arbre de robabilités ci-arès modélise la situatio de l activité récédete 4 Cours : Probabilité coditioelle 4 ème Scieces 09 0 wwwesacemathscom
5 2/3 ( H) = 2/5 3/5 H /3 ( H )= /5 2/5 /4 ( H ))= /0 H 3/4 ( H ) = 3/0 H : «la ersoe choisie est ue femme» : «la ersoe choisie est o fumeur» Exercice O jette ue ièce de moaie Si o obtiet ile, o tire ue boule das l ure P coteat boule blache et 2 boules oires Si o obtiet face, o tire ue boule das l ure F coteat 3 boules blaches et 2 boules oires ) Costruire l arbre odéré de cette exériece aléatoire 2) Quelle est la robabilité d obteir ue boule oire sachat qu o a obteu ile 3) Quelle est la robabilité d obteir ue boule oire 4) Sachat qu o a tiré ue boule oire, quelle est la robabilité que l o a obteu ile Exercice 2 : «Efficacité d u test» Ue maladie atteit 3% d ue oulatio doée U test de déistage doe les résultats suivats : Chez les idividus malades, 95% des tests sot ositifs et 5% égatifs Chez les idividus o malades, % des tests sot ositifs et 99% égatifs O choisit u idividu au hasard ) Costruire l arbre odéré de cette exériece aléatoire 2 ) Quelle est la robabilité a) qu il soit malade et qu il ait u test ositif? b) qu il e soit as malade et qu il ait u test égatif? c) qu il ait u test ositif? d) qu il ait u test égatif? 3 ) Calculer la robabilité a) qu il e soit as malade, sachat que le test est ositif? b) qu il soit malade, sachat que le test est égatif? INDÉPENDNCE Évéemets idéedats Défiitio : et B sot 2 évéemets de robabilité o ulle et B sot idéedats lorsque la réalisatio de l u e chage as la réalisatio de l autre et B sot idéedats si et seulemet si (/B) = () ou (B/) = (B) Théorème : Deux évéemets et B de robabilité o ulle sot idéedats si et seulemet si ils vérifiet ue des trois coditios : (/B) = () ou (B/) = (B) ou ( B) = ()(B) 5 Cours : Probabilité coditioelle 4 ème Scieces 09 0 wwwesacemathscom
6 Démostratio : Par défiitio, les deux remières sot équivaletes si (/B) = () comme ( B) = (/B)(B) alors ( B) = () (B) si ( B) = ()(B), comme (B) 0, ( B) ( B) = () c est-à-dire B () = () Remarque : Ne as cofodre évéemets idéedats et évéemets icomatibles 2 évéemets et B sot idéedats si ( B)= ()(B) 2 évéemets et B sot icomatibles si B= Exercice 3 O extrait au hasard u jeto d u sac coteat six jetos : trois rouges umérotés, 2 et 3, deux jaues umérotés et 2, et u bleu uméroté O désige resectivemet ar R, U et D les évéemets : «le jeto est rouge», «le uméro est» et «le uméro est 2» Les évéemets R et U sot-ils idéedats? Et les évéemets R et D? Probabilités totales Défiitio : Soiet Ω u uivers associé à ue exériece aléatoire et u etier 2 Les évéemets, 2,, formet ue artitio de Ω si les trois coditios suivates sot réalisées : our tout i { ; 2 ; ; }, i our tous i et j (avec i j) de { ;2 ; }, i j = 2 = Ω Formule des robabilités totales Soiet, 2,, ue artitio de l uivers Ω costituée d évéemets de robabilités o ulles et B u évéemet quelcoque coteu das Ω lors : (B) = (B ) + (B 2 ) + + (B ) Ou (B) = (B) ( ) + (B) ( ) + + (B) ( ) 2 2 Démostratio : B = (B ) (B 2 ) (B ), Les évéemets (B ), (B 2 ),, (B ) sot 2 à 2 icomatibles doc la robabilité de leur réuio est la somme de chacu d etre eux, o e déduit : (B) = (B ) + (B 2 ) + + (B ) et e utilisat que, our tout i de { ; 2 ; ; }, (B i )= i (B) ( i ), o obtiet : (B)= (B) ( ) + (B) ( ) + + (B) ( ) Exercice 4 : O disose de deux ures U et U 2 idiscerables U cotiet 4 boules rouges et trois boules vertes, U 2 cotiet 2 boules rouges et boule verte O choisit ue ure au hasard et o tire ue boule de cette ure Calculer la robabilité our qu elle soit rouge Cours : Probabilité coditioelle 4 ème Scieces 09 0 wwwesacemathscom
c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
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