Chapitre I Grandeur scalaires, grandeurs vectorielles, différentielles, différentielles vectorielles et équations différentielles

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1 Chapire I Grandeur scalaires, grandeurs vecorielles, différenielles, différenielles vecorielles e équaions différenielles I. Inroducion Une affirmaion scienifique es une affirmaion adhéré, prouvée comme vraie e accepé de manière universelle e inernaionale (Eemple : la physique es la même parou quelque soi le pays ou la langue). Une preuve correspond à une epérience reproducible, c'es à dire une epérience qui peu se refaire n'impore où e par n'impore qui e qui fournira les mêmes résulas. A parir de ces fais, on en dégage des lois qui ne son rien d'aure que des généralisaions, e à parir de ces lois, on en fai des raisonnemens logiques qui par d'une siuaion pour en arriver à une aure qui es prédicive. Mais alors, si on le prédi, on peu faire une epérience où il en résulera ce qui a éé prédi. Si cela es vérifié, alors, c'es une preuve scienifique. En conclusion : à parir de fais, on en dégage des lois, qui permeen des raisonnemens, qui permeen de prévoir des résulas, puis on vérifie ces prédicions par une epérience e si le ou es vérifié, alors, nous avons une preuve scienifique. II. Premier eemple : la viesse 1. Posiion d'un mobile Pour repérer un mobile dans l'espace, il nous fau : L'observaeur qui repère que l'on noera O Le mobile que l'on observe qui sera noé M On repère alors : une direcion définie par la droie, un sens de O vers M e une disance. ou ceci nous es fourni par l'ouil mahémaique : (La disance que l'on nomme inensié en physique correspond au module ). es alors appelé le veceur posiion Un veceur uniaire es défini comme sui : U om il possède les informaions suivanes : direcion de, même sens e de module 1. Il pore alors donc oue l'informaion vecorielle du veceur posiion sauf la disance. Alors : U om e de plus : donc en écriure courane : U om Une aure soluion consise à uiliser un repère (O; ; y; z) orhonormé (c'es à dire que le repère forme un rièdre rirecangle direce avec chaque veceur uniaire possédan le même module) pour décrire la posiion de M en foncion oujours, de l'observaeur, soi ici du cenre du repère. Cela nous donne : Physique Chapire I , Drois de copie, Aurélien Croc (AP²C)

2 M ; y ; z u y u y z u z, y e z don aussi les projecions de sur les aes o ; oy ; oz qui son aussi les composanes du veceur O ; u ; u y ; u z 2. L'horloge e la viesse Pour définir une viesse, il fau d'abord définir une horloge. A parir de cee horloge, on peu calculer la viesse moyenne qui es : v moy. Cependan, cela ne nous informe pas ' sur la direcion e le sens de la viesse ; alors pour parer à cela, nous pouvons ravailler avec le veceur viesse moyenne enre les poins M e M' se définissan comme sui : y moy v moy u Ceci es alors une représenaion graphique de la viesse. En conclusion, nous pouvons dire que la viesse v es une grandeur vecorielle possédan une direcion, un sens e une inensié, opposée à une grandeur scalaire qui n'a ni direcion, ni sens mais uniquemen une inensié. Voici quelques eemples de grandeur scalaires e vecorielles : Grandeur scalaire : emps, masse, longueur, ravail, ension élecrique Grandeur vecorielle : poids, viesse, champs élecrique, forces, accéléraion 3. Différenielle a. Définiion de la viesse insananée A parir de la formule de la viesse moyenne, nous pouvons en déduire la formule de la viesse insananée en un poin donné : v moy v moy ' lim v ' moy v ' ' u ' y ' y u ' y MO ' ' z ' z ' u z ' ' b. Rappel de calcul approimaif de la viesse insananée Pour comprendre commen calculer approimaivemen une valeur de la viesse insananée, prenons un eemple de rajecoire dans un repère à deu dimensions. Physique Chapire I , Drois de copie, Aurélien Croc (AP²C)

3 X D X' X A B angene à la courbe au poin A O = d ' Dans ce cas là, la viesse moyenne enre les poins A e B sera : ' v moy ' e donc v moy variable, soi () ). ' ' Par conséquen, pour calculer la viesse insananée au poin A : ' ' ( es une foncion de qui en es la qui correspond à la pene de la angene à la courbe au poin A mais comme ', alors 0 donc B A lim 0 ' Pour confirmer cela, il suffi de prendre un eemple de mahémaique : f 3 f f f 3 f 3 3 f f f Donc comme lim f 3 2 alors si es pei, on a : f f ' Physique Chapire I , Drois de copie, Aurélien Croc (AP²C)

4 c. Définiion de la différenielle! On appelle applicaion linéaire angene ou encore différenielle de f, l'applicaion qui, à un accroissemen d quelconque fai correspondre l'accroissemen df mesuré non pas sur la courbe mais sur la angene à la courbe au poin d'abscisse. Par définiion : Alors : si Donc : Donc v lim 0 df f ' d es pei, on a : d d e v y dy d d d e v z f f ' dz d alors v df d d d u dy d u y dz d u z. ous avons alors là la dérivée d'un veceur. ous définissons donc une différenielle vecorielle comme sui : d d d d u dy d u z dz d u z d d u dy u z dz u z Y M M' O X u d v u La différenielle vecorielle de : d es porée par la angene à la rajecoire en M. d es dans le sens du mouvemen ( si d 0 ) e ayan M comme poin d'applicaion. III. Second eemple : la décroissance radioacive 1. Éablissemen d'une équaion différenielle Une équaion différenielle peu êre comparé au principe de causalié. En effe, ce dernier di Physique Chapire I , Drois de copie, Aurélien Croc (AP²C)

5 : les mêmes causes donnen les mêmes effes. Une équaion différenielle radui alors mahémaiquemen le principe de causalié. La radioacivié peu êre décomposé en rois classes : : radioacivié par epulsion d'un noyau d'hélium : radioacivié par epulsion d'un neuron ou d'un posion : radioacivié par epulsion d'un rayonnemen de phoon Ils on ous les rois la même probabilié de se désinégrer par seconde. Soi : : la probabilié de désinégraion par seconde : le emps pendan lequel on observe la désinégraion : le nombre de désinégraion Alors : = probabilié de désinégraion pendan lim 0 donc : ' d d Il fau alors faire l'approimaion que es un nombre réel rès grand. Une aure soluion aurai éé de passer par les différenielles comme ci : d : d : d d d 2. Dérivaion de quelques foncions Foncion primiive Dérivé de la foncion Différenielle "! 1 # sin cos cos d cos ' sin ( sin d an 1 ) an 2 ou 1 cos 2 $&% 1 d 1 ) an 2 d ou d cos 2 e e e d ln 1 d Physique Chapire I , Drois de copie, Aurélien Croc (AP²C)

6 Foncion primiive Dérivé de la foncion Différenielle uv u ' v uv ' vdu udv u v u ' v uv ' vdu udv v 2 v 2 f u u ' f ' u df du 3. Résoluion de l'équaion différenielle Mainenan que l'on a rouvé l'équaion différenielle e que nous avons revu quelques dérivaions de foncion, il ne rese plus qu'a résoudre cee équaion. Pour ce faire, nous avons deu echniques de résoluion : 1 ère echnique : d d d d d d 0 d d (correspond à l'évoluion du sysème) 0 d d 0 d ln 0 ln ln 0 donc 0 e du d Donc : 0 e 2 ère echnique : d d d d C ln C 0 donc ln 0 0 ln ln 0 ln 0 0 e C donc! Aenion : ne pas oublier de calculer la consane!! Physique Chapire I , Drois de copie, Aurélien Croc (AP²C)

7 4. Propriéé de la foncion eponenielle Mainenan que nous avons résolu l'équaion différenielle, nous allons pouvoir nous servir du résula pour rechercher des grandeurs physiques comme par eemple la période don la définiion es : : 2 A quoi correspond alors la période? 0 e 0 e e e 1 2 Donc : e ln 1 2 ln 2 Par conséquen : ln 2 La possession de la période perme d'uiliser les élémens radioacifs comme horloge naurelle (Comme le carbone 14). En pariculier, le carbone 14 es rès uile au scienifique, puisqu'il perme de daer avec précision de la maière qui a éé vivane, selon la quanié de carbone 14 qu'il rese. IV. Conclusion Ce chapire d'inroducion de la physique pour les classes de DEUG Sciences de la Maière 1 ère année a permi d'inroduire des ouils mahémaiques de base nécessaire à la compréhension e à la poursuie de l'éude de la physique. ous y avons revu les différens ypes de grandeur (scalaires, vecorielles), les différenielles, les différenielles vecorielles, le ravail sur les veceurs, la mise en équaion différenielle, la résoluion d'une équaion différenielle de premier degré e enfin l'uilisaion du résula de l'équaion différenielle. Physique Chapire I , Drois de copie, Aurélien Croc (AP²C)

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