Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice.

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1 Podchéry Avrl 04 Sére S Exercce Le pla complexe est mu d u repère orthoormé ( O; uv, ) Pour tout eter aturel, o ote A le pot d affxe z déf par : O déft la sute ( ) z z 0 = et + = + z 4 4 r par r = z pour tout eter aturel Doer la forme expoetelle du ombre complexe b E dédure l expresso de r e focto de c Que dre de la logueur OA lorsque ted vers +? a Motrer que la sute ( r ) est géométrque de raso O cosdère l algorthme suvat : Varables eter aturel R réel P réel strctemet postf Etrée Demader la valeur de P Tratemet R pred la valeur pred la valeur 0 Tat que R > P pred la valeur + R pred la valeur R F tat que Sorte Affcher a Quelle est la valeur affchée par l algorthme pour P = 0,5? b Pour P = 0,0 o obtet = Quel est le rôle de cet algorthme? PaaMaths [ - 9 ] Avrl 04

2 4 a Démotrer que le tragle b O admet que z = re Détermer les valeurs de pour lesquelle l axe des ordoées e OA A + est rectagle e s A + A est u pot de c Compléter la fgure doée e aexe, à redre avec la cope, e représetat les pots A, A, A8 et A 9 Les trats de costructo serot apparets PaaMaths [ - 9 ] Avrl 04

3 Aalyse Sas préseter de dffculté majeure, l exercce, coforme, de ce pot de vue, à ue tedace certae, aborde ue varété de thèmes écesstat des méthodes de résoluto elles-mêmes varées Les questos et coduset à des mapulatos algébrques sur des complexes, otammet les termes d ue sute complexe La questo est l grédet algorthmque de l exercce La questo 4 permet de se rappeler que l algèbre et la géométre etreteet des les étrots et que mapuler les complexes e églgeat la géométre est ue be trste chose! Icdemmet, cette questo dot fare peser les caddat(e)s à se à se mur, pour l épreuve, d u crayo paper, d u compas et d ue gomme! Résoluto Questo O commece par détermer le module de : 9 + = + = + = = D où : + = = Il vet alors : + = = O detfe faclemet : = cos et = s Falemet : + = cos s e = + = + = e 4 4 PaaMaths [ - 9 ] Avrl 04

4 Questo a Pour tout eter aturel, o a : r = z D où, e teat compte du résultat de la questo précédete : r + = z + = + z z e z e z z r 4 4 = + = = = = 4 4 = La sute ( r ) est be géométrque de raso La sute ( r ) est ue sute géométrque de raso Questo b D après le résultat de la questo précédete, o a, pour tout eter aturel : r = r0 Or z 0 = O e tre mmédatemet : r 0 = z 0 = = Falemet :, r = Questo c Comme z est l affxe du pot Or, o a : ] ;[ A, o a mmédatemet : OA = z = r = O e dédut mmédatemet : lm r = 0 et, falemet : + lm OA = 0 + PaaMaths [ 4-9 ] Avrl 04

5 Questo a Fasos «tourer l algorthme à la ma» avec P = 0,5 : R R (valeur exacte) (valeur approchée à 0 R> P ) 0,000 Ou 4 5 = = 0,5 4 = = = 0, = 0,8 Ou 0,50 Ou 0,50 Ou 0,5 Ou 0,48 No L algorthme va doc affcher la derère valeur de la varable N, à savor 5 Pour P = 0,5 l algorthme affche la valeur 5 Questo b La boucle «Tat que» s terrompt dès que la codto «R> P» est plus vérfée, c'est-à-dre, dès que l o a : «R P» L algorthme affche alors la valeur courate de la varable E d autres termes, la valeur courate de la varable R correspodat à r (valeur tale égale à et multplcato par fourt la plus pette valeur de telle que r Avec P = 0,0 o a : à chaque passage das la boucle), l algorthme P < 0car < ( ) l 0, 0 r P 0, 0 l l ( 0, 0) l PaaMaths [ 5-9 ] Avrl 04

6 l ( 0, 0) Or :,0 > L algorthme affchera doc la valeur comme metoé das l l éocé Pour u réel P strctemet postf doé, l algorthme affche la plus pette valeur de l eter aturel telle que r = sot féreur ou égal à P Questo 4a Sot u eter aturel quelcoque Nous allos c comparer O a : OA et OA + A A ( + ) + = + = = = = = OA r r = + = + = + = + AA AA z z 4 4 z z 4 4 z 4 = + z = + r = + r = r = r 4 D où : OA+ + AA + = r + r = r = OA 4 4 Comme OA + A A = OA, la récproque du théorème de Pythagore ous permet de + + coclure que le tragle OAA + est rectagle e A + Pour tout eter aturel, le tragle OAA + est rectagle e A + Questo 4b Pour tout eter aturel, o a : z = re, c'est-à-dre : z = z e O e dédut mmédatemet que est u argumet de z PaaMaths [ - 9 ] Avrl 04

7 O a alors : A est u pot de l axe des ordoées s, et seulemet s, = + k où k est u eter A PRIORI quelcoque Mas pusque est u eter aturel, o dot se lmter à k eter aturel égalemet ( + k k ) Le pot A est u pot de l axe des ordoées s, et seulemet s, = + k avec k Questo 4c Avec =, ous avos z = re = re = r O va doc smplemet obter le pot A e projetat perpedcularemet le pot A 5 sur l axe des abscsses : o obtet be as u tragle OA5A rectagle e A (cf fgure c-dessous) La costructo est smple et utlse le fat que les dagoales d u losage se coupet perpedcularemet Les sommets de losage se costruset à l ade d arcs de cercles (e OA (dot la logueur est celle des quatre côtés du rouge sur la fgure) à partr du segmet [ ] 5 losage) Le pot A est alors le pot d tersecto des dagoales du losage Pour les pots A et A 8, les costructos sot mos mmédates PaaMaths [ - 9 ] Avrl 04

8 Nous détallos u peu le prcpe d ue costructo du pot A Comme z = r e et ( + ) z+ = r+ e, ous pouvos dre que l agle AOA + admet pour mesure Comme o peut faclemet costrure la bssectrce d u agle, ous allos e fat costrure u tragle équlatéral à partr du segmet [ OA ], sot c [ ] OA (deux arcs de cercles, respectvemet cetrés e O et e A suffset (e rouge sur la fgure c-dessous)) : ous otos B le trosème sommet de ce tragle Le pot A est alors obteu, das le tragle OAB, comme ped de la hauteur ssue du sommet O (rappelos que das u tragle équlatéral la hauteur, la bssectrce et la médae ssues d u sommet sot cofodues) La costructo du pot A se fat alors comme précédemmet (fodametalemet à partr d u losage) PaaMaths [ 8-9 ] Avrl 04

9 Les pots A 8 et A 9 se costruset alors respectvemet comme les pots A et A PaaMaths [ 9-9 ] Avrl 04

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