1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =?

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =?"

Transcription

1 COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Séries umériques. série géométrique et série téléscopique ? Figure. quelle est la logueur? Soit q > 0 (das l exemple ci-dessus q /2). Cosidéros Si q, multiplios par q: Alors s + q + q 2 + q q. ( q)s ( + q + q 2 + q q ) (q + q 2 + q q + ) q + Doc s { q + q si q + si q Comme lim q si q >, lim s existe pas si q >. De même, si q, alors lim s. Mais si q <, alors lim q 0 et doc lim s q. q / /2 2 O écrit et s + q + q 2 + q q + q + q 2 + q 3 + q j q j (série géométrique)

2 2 Defiitio.. Soit (a ) N ue suite de ombres complexes /réels. pose S a 0 + a + a a a k. La suite (S ) N s appelle série (associée à (a ), ou de terme gééral (a )). Cette série est otée par k0 a k (somme ifiie). (S )s appelle aussi la suite des sommes partielles. Si la suite (S ) admet ue limite S das C ou das R R {, + }, o ote a k lim S S. k0 O appelle S la somme ou valeur de la série k0 a k. O dit que la série k0 a k est covergete, si la suite (S ) est covergete; i.e. si la suite (S ) admet ue limite fiie (das R ou C). Sio, o dit qu elle est divergete. Si la série k0 a k coverge vers S, o dira aussi, soit S la série k0 a k. Bie sûr o peut oter la série aussi a, a,. m0 a m, N (différets symboles pour l idice). O écrit a b, si ces deux séries ot même ature. Propositio.. Soit q C. La série géométrique q est covergete si et seulemet si q <. O a alors Preuve. Soit q < alors S k0 q q. q k q+ q k0 q. (S ) diverge si q (voir ci-dessous, Théorème.8). Remarque O peut partir d ue suite (a ) 0, 0 N fixé, otatio: 0 a, 0 a. O pose alors S a 0 + a a, 0. O

3 Remarque 2 Cosidéros la série a et soit p N fixé. Pour N > p o a: N p N S N a a + S p + p+ N p+ Doc les séries a et p+ a ot même ature; i.e. si ue de ces séries est covergete, alors l autre est aussi covergete. De même pour la divergece. E cas de covergece o a: a a 3 O ote alors Doc S S p + R p. S : a S p + p+ a. R p : p+ a reste d ordre p. Propositio.2. Si ue série est covergete, alors lim p R p 0. Preuve. Soit S ue série covergete. Alors S S p + R p. Doc R p S S p S S 0 si p. Propositio.3. Soit q C et fixos 0 N. La série géométrique 0 q est covergete si et seulemet si q <. O a alors et 0 q 0 q q0 q, q + q 0 q. Preuve. Notos d abord que les séries q et 0 q ot même ature (remarque 2). Pour q, la série 0 q est doc aussi divergete. Soit N 0 et q <. Alors S N N 0 q q 0 + q q N q 0 ( + q + q q N 0 ) N q 0 q.

4 4 Propositio.4. Ue somme téléscopique est ue série de la forme (b + b ), où b C. Cette série est covergete si et seulemet si b : lim b existe et das ce cas o a : (b + b ) b b 0. Preuve. S N Exemple.5. ou N (b + b ) (b b 0 ) + (b 2 b ) + (b 3 b 2 ) + + (b N+ b N ) b 0 + b b + b 2 b b N b N + b N+ b N+ b ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ( ) + 3 +k ( 2 ( ) 2) /9 2/3 6, ) ( ) k 3 6. k2 ( ) Exemple.6. La série ( + )( + 2) est covergete et a la valeur, car S N N N ( + )( + 2) 6. ( + ) + 2 (somme téléscopique) N + 2 Par chagemet d idice o a aussi que les séries sot covergetes.. N (+) et 2 ( )

5 Exemple.7. Les séries ( + ) et 2 sot divergetes, car N S N N. N Théorème.8. Soit a ue série covergete. Alors lim a 0. Doc, si a 0, alors a diverge. Preuve. Soit S k0 a k lim k0 a k lim S. Alors a S S S S 0. Attetio il existe des séries a tel que lim a 0, mais diverge. L exemple le plus classique est la série harmoique: Plus précisemet, o a lim S. diverge 5 a Preuve. Soit M > 0. Choisir m N telque m 2M. Alors pour 2 m o a: S m m + 2 +( )+( )+( )+ +( m + 2 m) m 2 m m 2 M (le ombre de termes etre les parethèses est de 2 m (2 m + ) + 2 m 2 m 2 m ), et le ombre de sommads est m. Rappel Ue suite (a ) das C coverge si et seulemet si elle est ue suite de Cauchy; i.e. ε > 0 0 N : a a m < ε, m 0. Théorème.9 (critère de Cauchy). Ue série a coverge si et seulemet si ε > 0 0 N : a a m < ε m > 0. O pourra aussi formuler de la faço suivate: ε > 0 0 N : a a +p < ε 0, p N.

6 6 Preuve. S m S a a m Propositio.0. Soiet a et b deux séries covergetes de somme A et B et λ, µ C Alors la série (λa + µb ) est covergete et de somme λa + µb. O a doc λ a + µ b (λa + µb ). Preuve. A k0 a k A C, B k0 b k B C. Doc k0 (λa k + µb k ) λ a + µ b λa + µb. Exemple.. ( ( ) ( ) ) ( 5 ) + 4 ( ) ( ) 4 Rappel 2. séries à termes positifs Chaque suite (x ) R N croissate et borée coverge. Chaque suite (x ) R N croissate admet ue limite das R { }. Das ce cas o a: lim r sup{r : N} O dit qu ue série a est à termes positifs, si N : a 0. Propositio 2.. Chaque série à termes positifs admet ue somme das R +. Cette série est covergete si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée. Doc, si a 0, a coverge a <. E plus, a sup S. Preuve. S + S + a + S car a 0. Est-ce que les séries et 2! sot covergetes? (Notos que 0! et que pour,! 2 3 ). Méthode géérale Pour trouver la ature d ue série à termes positifs, o la compare avec des séries classiques simples au moye des théorèmes suivats:

7 Théorème 2.2. (théorème de comparaiso I) Soiet a et b deux séries à termes positifs. O suppose qu il existe 0 tel que 0 : a b. (O dit que la série b majore la série a ). Si la série b coverge, alors la série a coverge. Doc, si la série a diverge, alors b diverge. Preuve. La secode implicatio est la cotraposée de la première; doc il suffit de motrer la première. Supposos doc que b coverge. Les séries 0 x et 0 x ayat même ature, o peut predre s.p.g Pour tout o a: N N A N : a b : B N, i.e. 0 A N B N. D après la propositio 2., A : lim N A N et B : lim B N exsitet das R + et 0 A B. Comme b coverge, B < ; Aisi 0 A < ; doc a coverge. Corollaire 2.3. Soiet a et b deux séries à termes strictemet positifs. O suppose qu il existe 0 et 0 < m < M < tel que 0 : 0 < m a b M <. Alors les séries a et b ot même ature. Preuve. Supposos que b coverge. Alors Mb coverge. D après le théorème 2.2, a coverge. Supposos que a coverge. D après le théorème 2.2, coverge. Aisi b coverge. Soiet (a ) et (b ) deux suites strictemet positives. Alors a b def. lim a b 7 mb Corollaire 2.4. (théorème de comparaiso II) Soiet a et b deux séries à termes strictemet positifs. O suppose que a b. Alors les séries a et b ot même ature. Découle du corollaire précédet e remarquat que a b ε > 0 0 : a b < ε 0; doc e particulier, pour ε /2, 2 a b

8 8 Exemple coverge (ex- coverge parce que 2 2 (+) et que emple.6) (+) 0! coverge parce que! ( ) pour 2 et que 2 coverge (exemple.6). log Exemple 2.6. (avacé) diverge, parce que log log tah coverge car: i) 0 < tah e e < ; e + e ii) lim tah ; iii) lim x 0 log(+x) x (oté par log( + x) x 0 x ); iv) tah + (tah ) + 2e e + e v) log tah 2e 2 +e 2 2e 2 ; ( ) pour 3 et que diverge. 2e 2 + } + {{ e 2 } 0 vi) e 2 (e 2 ) coverge car e 2, 7828 >. Pour résoudre les probèmes de covergece/divergece de séries, o utilisera fréquemmet les cocepts suivats: Soit x 0 R et f et g deux foctios défiies das u voisiage V poité de x 0. Supposos que g 0 sur V. Alors o écrit f(x) x x 0 O(g(x)) pour dire que De plus, o écrit f(x) x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) 0. g(x), pour dire que f(x) lim x x 0 g(x). Lemme 2.7. Supposos que g 0. Alors f(x) x x 0 g(x) + O(g(x)) f(x) x x 0 g(x). Preuve. Soit f(x) g(x) + O(g(x)) si x x 0. Supposos que g 0. Alors Aisi f(x) g(x). f(x) g(x) g(x) + O(g(x)) g(x) + O(), x x 0

9 9 D autre part, si f g, alors 0 lim ( f(x) f(x) g(x) ) lim, x x0 g(x) x x 0 g(x) Doc f(x) g(x) O(g(x)). Aisi f(x) g(x) + O(g(x)). Exemple 2.8. ( + ) coverge car: i) x foctio croissate e x; doc + ; ii) a : + ( + }{{} ); aisi a +. ii) log( + x) x + O(x); e x + x + O(x) si x 0; iii) + ( + )/ exp( log(+ ) ) exp( +O( ) ) exp ( 2 + O( 2 ) ) O( 2 ) iv) O( 2 ). v) a 2. vi) La série 2 état covergete, o e déduit la covergece de a. 3. séries alterées Soit u 0. La série ( ) u s appelle ue série alterée. O a le critère de covergece suivat: Théorème 3. (critère de Leibiz).. Soit (u ) ue suite décroissate de ombres positifs. Supposos que lim u 0. Alors la série alterée ( ) u coverge. Si S est la somme de cette série, alors S S 3 S 5 S S 4 S 2 S 0. E plus, si R p S S p p+ ( ) u est le reste d ordre p, alors o a R p u p+. Preuve. S 2+ S 2 u 2 u 2+ 0, S 2 S 2 2 u 2 u 2 0. Doc (S 2+ ) est croissate et (S 2 ) est décroissate. Comme S S 2+ S 2 u 2+ S 2 S 0, ces deux suites sot aussi borées. Aisi (S 2+ ) et (S 2 ) coverget. Soit S lim S 2. Dû a l egalité S 2+ S 2 u 2+ et au fait que u 2+ 0, o obtiet que lim S 2+ S + 0 S. O coclut que (S ) coverge vers S et que S 2+ S S 2 pour tout.

10 0 E plus, 0 R 2p S S 2p S 2p+ S 2p u 2p+ et 0 R 2p S S 2p S 2p S 2p u 2p. Aisi R p S S p u p+. Exemple 3.2. La série harmoique alterée ( ) ± coverge. De même pour ( ). O e peut pas laisser tomber la coditio de mootoie de la suite (u ) das le critère de Leibiz: Exemple 3.3. La série ( ) + ( ) 2 est ue série alterée, dot le terme gééral ted vers 0, mais elle e coverge pas. E effet, soit u +( ) ; alors u 0 et u 0. Notos que u. u 2 u (2+) ( 2 + ) ( 2 + ) ( 2 + ) ( 2 + ) ( 2 + ) ( 2 + ) < 0. Comme et > o obtiet u 2+ u 2 Doc ( 2 + ) ( 2 + ) (2 + ). ( ) u 2N+ 2 N 2 2(2 + ) N. Aisi S 2N+ diverge. Doc la série alterée diverge. Ceci est pas ue cotradictio au critère Leibiz, car (u ) est pas décroissate: o a u 2 < u 2+ (voir ci-dessus)

11 Exemple 3.4. La série ( ) si est pas ue série alterée, car si oscille etre les valeurs et. E effet, si ] π + 2kπ, 2kπ[; alors si < 0 et si ]2kπ, π + 2kπ[, si > 0 (k Z). Notos que chacu de ces itervalles I k a ue logueure de π 3, 459 ; doc il y a au mois 2 etiers das chaque I k. Est-ce que cette série coverge? No, car si e ted pas vers 0: supposos au cotraire que si 0. Alors si( + ) 0. Comme si( + ) si cos +cos si o obtiet (cos si ) 2 (si(+) si cos ) 2 0. Mais (cos ) 2 (si ) 2 0. Ue cotradictio. 4. séries absolumet covergetes Défiitio O dit qu ue série a de ombres complexes est absolumet covergete, si la série a est covergete. O dit qu ue série a de ombres complexes est semi-covergete, si elle est covergete sas être absolumet covergete. ( ) La série harmoique alterée motre qu il existe des séries semicovergetes. Théorème 4.. Toute série absolumet covergete est covergete. Preuve. Utilisos le critère de Cauchy. Soit a absolumet covergete. Soit ε > 0 fixé. N N N, p 0: Par suite, pour N, p 0 o a: a + a a +p < ε. a + a a +p a + a a +p < ε. Doc, d après.9, a est covergete. Par exemple e if() est absolumet covergete pour toute foctio f : N 2 R, car le module du terme gééral de cette série est, et la série 2 2 coverge. Das la suite, o va établir des critères de covergece absolue. Théorème 4.2 ( critère du majorat/miorat).. Soiet (a ) ue suite de ombres complexes et b 0. ) Si a b pour tout N, et si b coverge, alors a coverge absolumet. 2) Si a b 0 pour tout N et si b diverge, alors a est pas absolumet covergete.

12 2 (voir aussi le théorème 2.2). Preuve. () D après le critère de Cauchy.9, ε > 0 0 > N, tel que 0, p N: b b +p < ε. Pour ces idices o aura doc aussi a a +p b b +p < ε. Aisi a est absolumet covergete. (2) découle de () (cotraposée). ( ) 3 e i 2 + Exemple coverge absolumet car le module du terme gééral est égal à 2 +, qu o peut majorer par. 2 ( ) est pas absolumet covergete, car la série (+) + as- sociée au miorat du module a (+) + diverge. Cepedat cette (+) série alterée coverge d après le critère de Leibiz. Doc ( ) est semi-covergete. Rappel: Soit x R R {, + }. R est u esemble totalemet ordoé,i.e. x, y R o a x y ou y x. Toute partie o-vide das R admet ue bore supérieure et iférieure. Notatio: lim sup x lim sup k if x k (limite supérieure de la suite (x )) lim if x lim x k (limite iférieure de la suite (x )) k O a: lim if x lim sup x et (x ) coverge vers x R si et seulemet si lim if x lim sup x x. lim if x est le plus petit poit d accumulatio de la suite (x ) das R, lim sup x est le plus grad poit d accumulatio de la suite (x ) das R. exemple: lim if 2( ) + et lim sup 2( ) + 3. Théorème 4.4 (Règle de Cauchy, critère de la racie).. Soit (a ) ue suite das C. ) Supposos qu il existe q ]0, [ tel que a q < pour tout N; i.e. lim sup a <. Alors la série a est absolumet covergete. 2) Supposos que a pour ue ifiité d idices. Alors a diverge. 3) Si lim sup a o e peut rie coclure. Notos que l hypothèse (2) est satisfaite si par exemple lim sup a >. Cette derière coditio état plus forte cepedat (voir exemple a pour tout ).

13 3 Résumé: lim sup a < covergece de a ; lim sup a > divergece de a ; lim sup a??? Preuve. () N: a q a q. q est ue majorate qui coverge. Doc a covergete. (2) a pour a. Doc, (a ) e coverge pas vers 0; aisi a diverge. (3) a, b ; a 2 et b ; mais a diverge et b coverge. Exemple 4.5. Détermier tous les z C tel que la série ( ) + 2 z soit absolumet covergete. Soit a ( + ) 2 z. a ( + ) z e z < z < e. Doc la série a est covergete si z < e (disque ouvert de cetre 0 et de rayo e ). Si z > e, o a: ε : ( + ) z e z >. Doc ε pour presque tous les. Aisi a ε ( + ) 2 z pour presque tous les. Doc a diverge pour z > e. Si z e a o obtiet: ( + ) 2 ( ) ( log a 2 log + ) + log e e [ log( + ) ] [( 2 Doc a e 2 [ ( ) 2 ( + ) ) ] 2 + ] 2 + [ 3 + ] Aisi a diverge. Théorème 4.6 ( Règle d Alembert, critère du quotiet).. Soit (a ) ue suite das C \ {0}. () Supposos qu il existe q ]0, [ tel que a + a q < pour tout N; i.e. lim sup a + a <. Alors la série a est absolumet covergete.

14 4 (2) Supposos que a + a pour tout N. Alors a diverge. (3) Si lim sup a + a o e peut rie coclure. Notos que l hypothèse (2) est satisfaite si lim if a + a >. Cette derière coditio état plus forte cepedat (exemple a pour tout ). Résumé: lim sup a + a < covergece de a ; lim if a + a > divergece de a ; lim sup a + a??? Attetio Il existe des séries a qui coverget absolumet quoiqu o a lim sup a + a >. Voir exemple 4.0. Preuve. () N : a + a q a N+ q a N a N+2 q a N+ q 2 a N. Par récurrece p N: a N+p q p a N. Aisi N: a :N+p ( an q N) q. }{{} :C Maiteat Cq est ue majorate qui coverge. Doc a covergete. (2) Hypothèse a p a p+ a p+2. Doc (a ) e coverge pas vers 0. Aisi a diverge. (3) a, b 2. Exemple 4.7. Trouver tous les z C tel que la série ( 3) z soit absolumet covergete. Soit a ( 3) z. Alors q : a + a ( + ( 3 3 ) z + ) z (+)( ) 3! ( )( 2) 3! + 2 z z. Doc q q < pour presque tous les idices si z <. (ou bie lim sup q z < z < ). Doc la série a coverge si z <. Si z, alors a + a z 2 pour tout. Doc la série a diverge. Comparaiso des règles de Cauchy et d Alembert: z

15 Theorem 4.8. Soit (a ) ue suite de ombres complexes. Alors lim if a + a lim if a lim sup a lim sup a + a. Preuve. Soit a lim if a +. a Si a 0, rie est à motrer. Soit doc a 0. Choisir 0 < ε < a. Hypothèse N tel que a + a > a ε N. Alors, pour ces idices o a: a a a a N+ > (a ε)( N). Doc a N a a 2 a N a > (a ε) a N (a ε). N Comme C pour tout C > 0, o a lim if a a ε. Comme ε > 0 est arbitraire, o peut laisser tedre ε 0 et doc lim if a a lim if a + a. Aalogue pour lim sup. Exemple 4.9. Détermier lim! Soit a!. Alors Aisi e lim if Doc a e. a + a a +. ( + )! a ( + ) +! ( ) + ( + ) ( + ) + ( + ) e. lim if a lim sup a lim sup a + a e. Exemple 4.0. Voici u exemple d ue suite (a ) où lim a existe, mais pas la limite du quotiet a + a. Soit a, b R tel que 0 < a < b. Posos a 2 a b + et a 2+ a + b +. Alors 2 a 2 a /2 b /2+/(2) ab 2+ a2+ a (+)/(2+) b (+)/(2+) ab. 5 D où a ab. Mais a 2+ a 2 a et a 2 a 2 b. Doc a + a a pas de limite.

16 6 E preat a 2 3 et b 4 3, o obtiet 2 3 lim if a + a < lim a 8 9 < < lim sup a + a 4 3 ; Doc la série a coverge (d après le théorème de la racie de Cauchy), quoique lim sup a + a >. O a le rafiemet suivat de la règle d Alembert. Théorème 4. (Critère de Raabe).. Soit (a ) ue suite das C \ {0} et soit β >. () Si 0 o a a + a β, alors la série a est absolumet covergete. (2) Si 0 o a a + a, alors la série a est pas absolumet covergete. Attetio Il existe des séries semi-covergetes, quoique E effet, preos a ( ). Alors a + a a + a Preuve. () Hypothèse a + a β a 0. Aisi (β ) a ( ) a a +. β > 0 < ( ) a a + ( ) a > a + ( a + ) 0 décroissate et borée iférieuremet. Doc lim a + existe. Aisi la série téléscopique [( ) a a + ] coverge. Comme (β ) a ( ) a a +, la série (β ) a coverge et doc aussi a. (2) Hypothèse a + ( ) a > 0 0. Doc ( a + ) 0 croissate a + ε > 0 0 a + ε + 0. Doc a diverge, car + diverge. Applicatios Propositio 4.2 (séries de Riema).. Soit α > 0. Alors la série coverge si et seulemet si α >. α

17 Preuve. Notos d abord qu o e peut pas appliquer les règles de Cauchy et d Alembert, car α et α α/ (+). α Motros cepedat que si α > alors il existe β > et 0 tel que α () : ( + ) β α 0. Fixos α > et soit < β < α. Posos x / et cosidéros la foctio f(x) ( + x) + βx. α Alors f est cotiûmet différetiable sur [0, [, f(0) et f() 2 α +β >. Comme f (0) β α < 0, o voit que f est décroissate sur [0, x 0 ] pour u certai x 0 avec 0 < x 0 <. Aisi f(x) sur [0, x 0 ] ce qui etraie que () + β f( ) pour 0. Doc () β et o peut appliquer le critère de Raabe pour déduire que α coverge si α >. Réciproquemet, si 0 < α, alors est ue miorate de diverge. Doc α diverge. 5. sommatio partielle d Abel Itégratio par parties: b a u vdx + b a uv dx (uv)(b) (uv)(a) versio discrète: Propositio 5.. Soit S 0, S, S 2,..., S p C, a 0, a,..., a p, a p+ C. Alors p p S (a + a ) + a (S S ) S p a p+ S 0 a 0. E particulier, si S b 0 + b + + b, alors p p a b S (a a + ) + S p a p+ Preuve. p S (a a + ) + S p a p. p S j (a j+ a j ) j+ p S j a j+ p+ S a p S j a j p S a p a (S S ) + S p a p+ S 0 a 0. α 7 qui

18 8 Théorème 5.2 (Règle d Abel-Dirichlet).. Soiet a 0 et b C tel que i) la suite (a ) est décroissate et lim a 0; ii) M > 0, m 0 : b + b b m M. Alors la série a b est covergete et q : R q Ma q+. Preuve. Soit S b 0 + b + + b,. Alors S p : p a b a p S p + p S (a a + ). a p S p a p M 0 si p ; p S (a a + ) M p (a a + ) M(a 0 a p ) Ma 0. Doc la série S (a a + ) est absolumet covergete, doc covergete. O déduit que S p est covergete; i.e. a b coverge. E commeçat avec l idice q < p (au lieu de 0), o obtiet de la même faço que p a b a p S p + Ma q+. q+ Avec p, o obtiet R q Ma q+. Remarque () Le critère de Leibiz cocerat les séries alterées est u cas spécial: E effet, si b ( ) alors m j b j 2. Doc b a coverge si a 0. (2) La règle d Abel-Dirichlet est ue règle pour étudier la covergece de séries dot le terme gééral chage le sige ou est o réel. E effet si a 0 et b 0, alors l hypothèse b + b b m M doe immédiatemet la covergece de la série a b, car q q S q a b a 0 b a 0 M. La suite (S ) est doc majorée et croissate; doc elle coverge et o retrouve aussi R q a q+ M. Exemple 5.3. Soit α R. Détermier tous les θ R pour lesquels la série αeiθ coverge. Preuve. Soit b e iθ. Pour m o a : b + b b m e iθ + e (+)iθ + + e miθ e iθ + e iθ + e 2iθ + + e (m )iθ

19 Si θ / 2πZ, o a e (m +)iθ e iθ si eiθ. b + b b m 2 e iθ : C Doc, d après la règle d Abel-Dirichlet, la série e iθ coverge si α > α 0 et θ / 2πZ. Cette série est absolumet covergete si α > et semicovergete si α ]0, [. Comme α 0 si α 0, la série diverge das ce cas. Bie sûr, o peut remplacer das l exemple précédet α par a, si a 0 et a 0. 9 Corollaire 5.4. Soit (a ) ue suite décroissate de ombres positifs tel que a 0. Alors les séries de Fourier a cos(θ) et a si(θ) coverget θ / 2πZ. Preuve. Utilisos que (x + iy ) coverge x et y coverget (x, y R) et que e is cos s + i si s, s R. 6. produits de deux séries (a 0 + a )(b 0 + b ) a 0 b 0 + a 0 b + a b 0 + a b ; ( a j) (b 0 + b ) a jb 0 + a jb ; ( a j ) ( b j ) ( k0 a j b k ) k0 a j b k Ces somme s écrivet aussi sous la forme d ue somme double: S : a j b k a j b k a j b k. 0 j 0 k 0 j,k j,k0 a j b k. gééralisatio: soit (a j,k ) 0 j,k ue matrice carrée d ordre + de ombres complexes. Notos que j est l idice lige et k est u idice coloe. Alors la somme sur tous ces ( + ) 2 ombres s écrit: s a j,k (additio d abord de tous les ombres das la k-me coloe, k0 puis additio de ces sommes) k0

20 20 s 2 a j,k (additio d abord de tous les ombres das la j-me coloe, k0 puis additio de ces sommes) m s 3 a i,m i (additio selo les diagoales). m0 i0 Q 3 m0 m a i,i+ m. Alors s s 2 s 3 + Q 3. i0 a 0,0 a 0, a 0,2 a 0,k a 0, a,0 a, a, a, a 2,0.. a j,0 a j,k a j, a,2... a, a,0 a, a,k a, a, Si maiteat a j,k a j b k o obtiet O a aussi S ( a j ) ( b k ) k0 S 0 m 0 p,q p+qm m0 m a i b m i + i0 a p b q + + m 2 m0 0 p,q p+qm m a i b i+ m Defiitio 6.. Soiet a et b deux séries sur C. O appelle série produit (ou somme resp. série de Cauchy) la série c où c a j b j. Théorème 6.. Si les séries a et b de ombres complexes sot absolumet covergetes, alors la somme de Cauchy i0 a p b q c a j b j das la litérature o dit produit de Cauchy

21 2 coverge absolumet et l o a: ( ) ( ) c a b. Preuve. S a a, S S, T b b, T T, P c c. A motrer que P ST. Cas : a 0, b 0. D òu c 0. O a P S T ST. La suite (P ) est croissate et majorée, doc covergete: P P. O a P S T P 2. Figure 2. sommatio lelog les diagoales Doc e faisat, o a: P ST P. Doc P ST. Cas 2 : a C, b C. O pose S a a, S S, T b b, T T, P c c où c p0 a pb p. D après le premier cas, P P avec P S T. Aisi S T P 0 p,q p+q> a p b q 0 p,q p+q> S T P S T P 0. Or, P S T (S T P ) ST 0 ST. a p b q

22 22 Doc la série c est covergete et sa somme est ST. E plus, c c. La covergece de c implique doc la covergece absolue de c. Remarque. Si les séries a et b e coverget pas absolumet, alors la série de Cauchy peut être divergete. Exemple 6.2. a b ( ),. Alors a et b sot sémicovergetes. O a c a p b p+ p p p ( ) p ( ) p p p( p + ). p ( ) p p + Or, pour x R, x( x + ) ( + ) 2 /2. D où p( p + ) ( + )/2. Aisi 2 c p( p + ) Doc c 0. Doc c diverge. versio du: FIN DU CHAPITRE

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Introduction : Mesures et espaces de probabilités Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

Module 3 : Inversion de matrices

Module 3 : Inversion de matrices Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe 1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

Solutions particulières d une équation différentielle...

Solutions particulières d une équation différentielle... Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod

Plus en détail

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique

Plus en détail

Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières

Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude

Plus en détail

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-

Plus en détail

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet. Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1 Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques

Plus en détail

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

Un nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction

Un nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés

Plus en détail

Intégrales dépendant d un paramètre

Intégrales dépendant d un paramètre [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4

Plus en détail

Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie

Plus en détail

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR

Plus en détail

Le marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.

Le marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble. II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café

Plus en détail

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières

Plus en détail

Probabilités et statistique pour le CAPES

Probabilités et statistique pour le CAPES Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

DETERMINANTS. a b et a'

DETERMINANTS. a b et a' 2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

Etude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?

Etude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Chaînes de Markov. Arthur Charpentier

Chaînes de Markov. Arthur Charpentier Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.

Plus en détail

Les algorithmes de tri

Les algorithmes de tri CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers) Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie

Plus en détail

Contribution à la théorie des entiers friables

Contribution à la théorie des entiers friables UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

RÈGLES ORDINALES : UNE GÉNÉRALISATION DES RÈGLES D'ASSOCIATION

RÈGLES ORDINALES : UNE GÉNÉRALISATION DES RÈGLES D'ASSOCIATION RÈGLES ORDIALES : UE GÉÉRALISATIO DES RÈGLES D'ASSOCIATIO SYLVIE GUILLAUME ALI KHECHAF 2 RÉSUMÉ: La plupart des mesures des règles cocere les variables biaires et écessite pour les autres types de variables

Plus en détail

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

La tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison

La tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison ANNALES D ÉCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N 58 2000 La tarificatio hospitalière : de l eveloppe globale à la cocurrece par comparaiso Michel MOUGEOT * RÉSUMÉ. Cet article cosidère différetes politiques de

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Statistique Numérique et Analyse des Données

Statistique Numérique et Analyse des Données Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques

Plus en détail

Développement en Série de Fourier

Développement en Série de Fourier F-IRIS-5.ex Développeme e Série de Fourier Développer e série de Fourier les focios de période T défiies aisi : a b { f impaire T = f = si ] ; { f paire T = f = si ; ] Faire das chaque cas ue représeaio

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Opérations bancaires avec l étranger *

Opérations bancaires avec l étranger * Opératios bacaires avec l étrager * Coditios bacaires au 1 er juillet 2011 Etreprises et orgaismes d itérêt gééral Opératios à destiatio de l étrager Viremets émis vers l étrager : viremet e euros iférieur

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Tempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation

Tempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation Tempêtes : Etude des dépedaces etre les braches Automobile et Icedie à l aide de la théorie des copulas Topic Risk evaluatio Belguise Olivier Charles Levi ACM Guy Carpeter 34 rue du Wacke 47/53 rue Raspail

Plus en détail

INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï

INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1 UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau

Plus en détail

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester

Plus en détail