Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

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1 SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette série est oté u ou plus simplemet u s il y a pas ambiguïté sur le premier terme. Pour 0, S est appelée somme partielle de rag de cette série. Remarque. Ue série est doc u cas particulier de suite. Exemple. O appelle série arithmétique toute série dot le terme gééral est le terme gééral d ue suite arithmétique. Par exemple, est ue série arithmétique. Sa somme partielle de rag est (+) 2. 0 Exemple.2 O appelle série géométrique toute série dot le terme gééral est le terme gééral d ue suite géométrique. Par exemple, 0 2 est ue série géométrique. Sa somme partielle de rag est 2. Exemple.3 O appelle série harmoique la série. Exemple.4 O appelle série télescopique toute série dot le terme gééral est de la forme u = v v. La somme partielle de rag de la série u est v v 0. Remarque. La suite des sommes partielles de la série u est croissate (resp. décroissate) si et seulemet si la suite (u ) 0 + est positive (resp. égative).

2 .2 Nature et somme d ue série Défiitio.2 Covergece et divergece O dit qu ue série coverge (resp. diverge) si la suite de ses sommes partielles coverge (resp. diverge). Remarque. La covergece d ue série e déped pas du premier rag i.e. les séries de même ature. Défiitio.3 Somme d ue série Si la série otée u. u et u sot u coverge, la limite de la suite des sommes partielles est appelée somme de la série et est Remarque. O a doc u = lim + u k. Remarque. Aussi surpreat cela puisse-t-il paraître, ue somme ifiie de termes, fusset-ils tous positifs peut se révéler être fiie. Attetio! La otatio u a de ses que si la série covergece de la série avat d employer cette otatio. u coverge. Il faut doc prouver la Propositio. Lie suite/série La série (u u ) et la suite (u ) sot de même ature (i.e. elles coverget toutes les deux ou elles diverget toutes les deux). De plus, si (u ) coverge vers ue limite l, u u = l u 0. Exercice. Nature et somme de la série ( + ). Exercice.2 Taylor-Lagrage A l aide de l iégalité de Taylor-Lagrage prouver la covergece et détermier la somme des séries suivates x.! pour x R ; 0 ( ) x 2 2. et ( ) x 2+ (2)! (2 + )! N N ( ) x 3. pour x [0, ]. pour x R. 2

3 .3 Divergece grossière Propositio.2 Soit u ue série covergete. Alors la suite (u ) coverge vers 0. Attetio! La réciproque est absolumet fausse. Par exemple, la suite de terme gééral tadis que la série harmoique diverge. coverge vers 0 Propositio.3 Nature d ue série géométrique Soit q C. La série géométrique q coverge si et seulemet si q <. Das ce cas, =0 q = q. Exercice.3 Nature et somme de la série N q. Défiitio.4 Divergece grossière Ue série u est dite grossièremet divergete lorsque la suite (u ) e coverge pas vers 0. Exemple.5 Si q, la série q diverge grossièremet. La série e diverge pas grossièremet..4 Reste d ue série covergete Défiitio.5 Reste d ue série covergete Soit u ue série covergete. Pour tout 0, la série u k est covergete et o appelle sa k + somme le reste de rag de la série u. Autremet dit, le reste de rag de la série u est k=+ u k. Propositio.4 Soit u ue série covergete. Alors pour tout 0 u k = u k + k=+ u k 3

4 Remarque. Si o ote S la somme partielle de rag, R le reste de rag et S la somme de la série, o a doc S + R = S pour tout 0. Exemple.6 Lorsque q <, le reste de rag de la série N q est q+ q. Corollaire. La suite des restes d ue série covergete coverge vers 0..5 Opératios sur les séries La propositio suivate est qu ue coséquece de la liéarité de la limite. Propositio.5 Liéarité de la somme Soiet u et v deux séries umériques covergetes et (λ, µ) K 2. Alors la série (λu + µv ) coverge et (λu + µv ) = λ u + µ v Remarque. E termes plus savats, les séries umériques covergetes formet u K-espace vectoriel et l applicatio qui à ue série covergete associe sa somme est ue forme liéaire sur cet espace vectoriel. Attetio! La réciproque est fausse e gééral. Par exemple, si (u + v ) coverge, o e peut rie dire de u et v (predre par exemple, u = v = 2 ). O évitera à tout prix d écrire des égalités du type la covergece des séries u et v. (u + v ) = u + v avat d avoir prouvé Propositio.6 Soit u ue série complexe. Alors u coverge si et seulemet si Re(u ) et Im(u ) coverget et das ce cas u = Re(u ) + i Im(u ) E particulier ( + ) ( + ) Re u = Re(u ) Im u = Im(u ) 4

5 Exercice.4 Soit x R. Motrer que la série (ix) coverge et a pour somme e ix. E déduire la covergece des séries! N ( ) x 2 et ( ) x 2+ et leurs sommes. (2)! (2 + )! N N Propositio.7 Cojugaiso Soit u ue série umérique. Alors les séries E cas de covergece, u = u. u et u sot de même ature. 5

6 2 Comparaiso à ue itégrale Méthode Comparaiso à ue itégrale O cosidère ue série 0 f() où f est ue foctio cotiue et mootoe sur R +. O peut comparer les sommes partielles S à ue itégrale pour détermier la ature de la série. Si, par exemple, f est croissate, o e déduit que pour tout k N et t [k, k + ] : Puis par itégratio sur [k, k + ], f(k) f(k) f(t) f(k + ) k+ k f(t)dt f(k + ) Efi, e sommat l iégalité de gauche pour 0 k et celle de droite pour 0 k, o obtiet via la relatio de Chasles 0 f(t) dt + f(0) S + 0 f(t) dt O a des résultats aalogues lorsque f est décroissate. Les ecadremets obteus permettet évetuellemet de détermier u équivalet de la suite des sommes partielles. E modifiat légèremet la techique, o peut égalemet obteir u équivalet de la suite des restes (e cas de covergece). Graphiquemet, la méthode correspod à ecadrer l itégrale de f sur u itervalle par ue somme d aires de rectagles d où le om de méthode des rectagles. Cas d ue foctio croissate Cas d ue foctio décroissate Remarque. Il e s agit pas de reteir des formules par cœur mais de reteir la méthode permettat d obteir des ecadremets des sommes partielles et des restes. 6

7 Exemple 2. Équivalet de la série harmoique La foctio t t est décroissate sur R +. O e déduit que pour tout k N et tout t [k, k + ], k + t k Par itégratio, k+ k + dt k t k E sommat coveablemet, o obtiet pour tout N ou ecore + dt t l( + ) k= k= k + dt t + l() k L iégalité de gauche permet de coclure que la série harmoique diverge. L ecadremet permet même d affirmer que doer u équivalet des sommes partielles k= l. k Propositio 2. Séries de Riema Soit α R. La série coverge si et seulemet si α >. α Remarque. Si α 0, la série diverge grossièremet. α Remarque. Pour α <, o ote ζ(α) = =. La foctio ζ est appelée foctio ζ de Riema. α 7

8 Exemple 2.2 Équivalet du reste de la série 2 La foctio t t 2 est décroissate sur R +. O e déduit que pour tout k N et tout t [k, k + ], (k + ) 2 t 2 k 2 Mais e sommat l ecadremet précédet, o a égalemet pour N > ou ecore Par passage à la limite N+ + dt t 2 + N + + N k=+ + k=+ N k=+ N k 2 dt t 2 k 2 N k 2 O obtiet aisi u équivalet de la suite des restes de la série 2. k=+ k 2 + Exercice 2. Détermier u équivalet de la somme partielle de la série lorsque α >. lorsque α < et u équivalet de so reste α 3 Séries à termes positifs Ue série u est dite à termes positifs si les u sot positifs. 3. Résultats gééraux Le théorème de la limite mootoe permet d éocer le résultat suivat. Propositio 3. Ue série à termes positifs coverge si et seulemet si la suite de ses sommes partielles est majorée. Das le cas cotraire, elle diverge vers +. Corollaire 3. Soit u et v deux séries réelles telles que 0 u v à partir d u certai rag. (i) Si v coverge, alors u coverge. (ii) Si u diverge, alors u diverge. 8

9 Remarque. E cas de covergece et si u v pour N, alors u =N =N v. Exemple 3. La série arcta 2 coverge. La série l diverge. 3.2 Absolue covergece Défiitio 3. Absolue covergece Ue série umérique (réelle ou complexe) u est dite absolumet covergete si u coverge. Théorème 3. Ue série absolumet covergete est covergete. Das ce cas, =0 u =0 u. Attetio! La réciproque est fausse. La série ( ) + coverge tadis que la série diverge. Exemple 3.2 La série si 2 coverge absolumet. Exercice 3. Sommatio d Abel Soiet (a ) 0 et (B ) 0 deux suites complexes. O défiit deux suites (A ) 0 et (b ) 0 de la maière suivate : 0, A = a k, b = B + B. Motrer que a k B k = A B A k b k pour tout Utiliser la questio précédete pour étudier la covergece de si. 3. De maière géérale, motrer que si (B ) coverge vers 0, si (A ) est borée et si covergete, alors a B est covergete. b est absolumet 9

10 3.3 Relatios de comparaiso Propositio 3.2 Soiet u et v deux séries umériques. O suppose v à termes positifs à partir d u certai rag. Si u = O (v ) et si v coverge, alors u coverge (absolumet). Remarque. Les résultats restet vrais si o remplace le O par u o puisque la égligabilité implique la domiatio. Attetio! Ecore ue fois, il est essetielle que la série v soit à termes positifs. Posos u = et v = ( ). La série v coverge et u = O (v ) mais u diverge. Propositio 3.3 Soiet u et v deux séries umériques dot l ue des deux est à termes positifs à partir d u certai rag. Si u v, alors u et v sot de même ature. Remarque. Si u v, u et v sot de même sige à partir d u certai rag. Exemple 3.3 La série e coverge. La série l diverge. La série si est covergete. Attetio! Il est essetiel que les des deux séries soit à termes positifs (du mois à partir d u certai rag). Par exemple, e posat u = ( ) v diverge. et v = ( ) +, o a bie u v mais u coverge tadis que Exercice 3.2 Règle de d Alembert Soit N u ue série à termes strictemet positifs.. Motrer que si la suite de terme gééral u + u admet ue limite l <, alors N u coverge. 2. Motrer que si la suite de terme gééral u + u admet ue limite l >, alors N u diverge. 3. Motrer à l aide de deux exemples que l o e peut pas coclure si la suite de terme gééral u + u admet pour limite. 4. Étudier la ature de la série N!. 0

11 4 Développemet décimal d u réel Propositio 4. Développemet décimal d u réel Soit x R. Il existe ue uique suite (x ) N telle que x 0 Z ; x 0, 9 pour tout N ; la suite (x ) N est pas statioaire e 9 (i.e. est pas costate égale à 9 à partir d u certai rag) ; x = =0 x 0. Cette écriture s appelle le développemet décimal propre du réel x. Remarque. L etier x 0 est la partie etière de x et la suite (x ) N est la suite des décimales de x. Remarque. Si o impose plus à la suite (x ) de e pas être costate égale à 9 à partir d u certai rag, tout ombre décimal admet deux développemets décimaux. Par exemple 0, = 0, La secode écriture s appelle u développemet décimal impropre. Le développemet décimal d u réel o décimal est toujours propre : la coditio de o statioarité e 0 est doc superflue pour garatir l uicité du développemet décimal propre das ce cas. Remarque. Soit N N. Le réel de x à 0 N près. O peut remarquer que N = N = x 0 N 0 = x 0 N. x s appelle la trocature de x à N décimales. C est ue approximatio 0 Exercice 4. Soit x R. Motrer que x est ratioel si et seulemet si so développemet décimal est périodique à partir d u certai rag. Algorithme Développemet décimal Doées : u réel x u etier aturel N Résultat : ue liste L coteat la partie etière suivie des N premières décimales de x L L L, x a x x Pour variat de à N Faire L L, 0a a 0a 0a Fi Pour O peut proposer l algorithme suivat e Pytho.

12 from math import floor def decimal(x,n): L=[floor(x)] a=x floor(x) for i rage(n): L.apped(floor(0 a)) a=0 a floor(0 a) retur L Implémetatio de l algorithme e Pytho Remarque. Tout ce qui précède a été établi e base 0 mais reste vrai, mutatis mutadis, e base quelcoque. 2