EXPOSE 73 : FORMULES DE TAYLOR. APPLICATIONS. Pré-requis : Intégrale, intégration par parties Théorème de Rolle Règle de L Hôpital.
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- Martial Savard
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1 ETIENNE Sylvi PLC, groupe EXPOSE 73 : FORMULES DE TAYLOR APPLICATIONS Niveu : Complémetire Pré-requis : Itégrle, itégrtio pr prties Théorème de Rolle Règle de L Hôpitl I INTRODUCTION Ett doé u polyôme P de degré, ue formule permet de clculer P( qud l vleur de P et de ses premières dérivées e est coue Si P est, o plus u polyôme de degré, mis ue foctio quelcoque, ce résultt est plus ect Nous vos toutefois ue formule logue, vec u terme supplémetire, ppelée formule de Tylor II FORMULE DE TAYLOR RESTE INTEGRAL Soit I [, ] A ENONCE Théorème : Alors : = u itervlle fermé, où et sot des réels tels que < Soit f : I ue foctio de clsse ( C + sur I, où est u etier turel f ( = f ( + f ( + f ( +!! ( ( ( t ( + + f ( f ( t dt! +! Démostrtio : Nous llos fire ue démostrtio pr récurrece sur ( ( ( ( + ( t f = f + f + + f f t dt!! +! Pour =, l formule ( se réduit à : f f f t dt = + Or l dérivée de f est cotiue, doc P est vrie ( Soit P, l propositio : Soit Supposos que P soit vrie, lors motros que P + est vrie Pour cel, supposos que f dmet des dérivées cotiues jusqu à l ordre + sur I Pge
2 ETIENNE Sylvi PLC, groupe Ue itégrtio pr prties doe : + + ( t + ( t ( ( + ( t ( + ( f t dt = f t f ( t dt,! ( +! (! ( ( + ( t ( + = f ( + f ( t dt +! +! Aisi, e remplçt ds ( le derier terme pr l vleur précédete, ous oteos l récurrece u rg + et P + est vrie D près le pricipe de récurrece, comme P est vrie, ous vos pour tout : ( ( ( t ( + f = f + f + + f ( f ( t dt!! +! Corollire : Iéglité de Tylor-Lgrge Soit f : I ue foctio de clsse turel Alors : si M = sup f : I ( C + sur I, où est u etier + f ( f ( + f ( + + f M (!! ( +! Démostrtio : Si, ous vos : ( ( ( ( ( ( t + t + f t dt f t dt,!! ( t! Mdt, + + ( t ( M + ( + M =!! De même, si, il viet: + t + ( f t dt M! +! ( E ppliqut l formule (, le corollire est motré Corollire 3 : formule de Mcluri Si f est de clsse C + sur u itervlle fermé d etrémités et, e remplçt ds ( pr, et pr, ous oteos : (!!!! ( t ( + ( f = f + f + f + + f f t dt + (3 Pge
3 ETIENNE Sylvi PLC, groupe B APPLICATION Tylor-Reste Itégrl est prtique ds le ses où il est plutôt isé de mjorer (et/ou miorer ue itégrle Nous llos voir ue démostrtio de l irrtiolité de e Soit f :[, ], e et u etier turel, f est de clsse C sur[, ], doc stisfit les hypothèses du théorème Soit [,] E ppliqut l formule (3, ous vos : e ( t!!!! t = e dt t t Et pour = : e= e dt!!! +! Aisi, ous oteos l mjortio suivte : < e < !!!!!!! p Supposos e rtioel, ie : e = vec p q = E multiplit les trois memres de q l iéglité pr!, ous oteos : p!! <! <! !!! q!!!! u Or u est u etier et il e est de même pour! p à prtir d u certi rg, d où : q p u <! < u + Cotrdictio q u III FORMULE DE TAYLOR-LAGRANGE A ENONCE Théorème 4 : sur ], [ Soit f : I, de clsse Alors, il eiste c ], [ tel que C sur I, telle que l dérivée (+-ième de f eiste ( ( ( ( + ( + f ( = f ( + f ( + + f + f ( c (3!!! + Pge 3
4 ETIENNE Sylvi PLC, groupe Démostrtio : Nous llos utiliser le théorème de Rolle ppliqué à l foctio suivte : + ( ( ( ϕ = f f f f ( A!! +! Nous vos ie : ϕ( ϕ( d près le théorème de Rolle, il eiste c ], [ = = etϕ est de clsse C sur [, ], et A tel que ϕ ( = C + sur ], [, doc tel que ous vos l formule (3 Remrques : Si =, ous retrouvos le théorème des ccroissemets fiis L formule reste vrie si > L formule de Tylor-Lgrge fourit u résultt sur le comportemet glol de l foctio Corollire 5 : formule de Mcluri Soit f : I, de clsse sur ], [ et supposos que I Alors [, ], θ ],[ C sur I, telle que l dérivée (+-ième de f eiste tel que : + ( ( f = f + f + + f + f!!! ( + ( + ( θ Démostrtio : Il suffit de remplcer ds l formule (3 pr, et pr Et ds ce cs, ous θ, vos ] [ il viet : B APPLICATIONS c Or e sur Compriso epoetielle/polyôme e, ous vos lim =+ + E effet, soit, ppliquos Tylor-lgrge à l foctio [ ] + e = f c!!! +, et lim + ( + ( + ( + pour u certi c ], [ +! =+, ce qui doe le résultt f :;, e ; et ( + f c e c = Autre eemple Si f est C de ds, et vec lors ous vos : M MM M pour {,, } i i défii comme le sup de ( i f, Pge 4
5 ETIENNE Sylvi PLC, groupe E effet, pr Tylor-Lgrge, ous vos f ( + = f ( + f ( + f ( c f ( + f ( c, +, d où f ( = f ( c, et doc M M f ( +, miiml pour = M M pour u certi ] [ IV FORMULE DE TAYLOR-YOUNG A ENONCE Théorème 6 : Soit f : I ue foctio dmettt ue dérivée -ième e Alors : ( ( ( ε f ( = f ( + f ( + + f +,!! limε = (4 où Démostrtio : Démostrtio pr récurrece sur ( * ( ( ε Soit Q : f ( = f ( + f ( + + f +, où!! limε = Pour =, ous retrouvos l formule de l dérivée de f e, ie : f ( f ( lim f = ( Aisi Q est vrie Soit Supposos que Q soit vrie, lors motros que Q + est vrie Pour cel, supposos que f dmet ue dérivée + -ième e L eistece de l dérivée de f d ordre + e, suppose l eistece d u itervlle J sur lequel f est fois dérivle k + ( ( k Cosidéros les foctios défiies sur J : ϕ : f ( f (, k! ϕ( ψ ( = = ϕ et ψ sot dérivles sur J Sur J, ous vos : ϕ ψ e s ule ps sur J \{} et ( ( k = + ψ : +! k ( ( k+ f f =, et ψ ( k = k! ( =! Pge 5
6 ETIENNE Sylvi PLC, groupe E utilist l hypothèse de récurrece à l ordre pour l foctio f, ous oteos : k ( ( k + f f ( = ( ε (, vec limε ( = k = k! ϕ ( Ce qui ous doe : lim = ψ Nous sommes ds les coditios d pplictio de l règle de L Hôpitl et isi : ϕ ( lim = ψ D où ous déduisos l eistece de ε + telle que : + ( ( + + f ( = f ( + f ( + + f + ε +! +! où ( lim = ε + Q + est isi démotrée Doc d près le pricipe de récurrece, comme Q est vrie, lors, ous vos : ( ( ( = ( ε ( et ε ( f f f f!! Remrque : L formule de Tylor-Youg fourit u résultt locl sur l foctio f B APPLICATIONS, lim = Approimtio successive Avec l clcultrice, ous fisos des pproimtios successives de l ordre, 3, 5, 7 et 9 Cel doe : si à Lie vec les développemets limités Si f est de clsse C e, lors elle dmet u développemet limité d ordre e L réciproque est fusse : cotre-eemple : si si, f : sio f u développemet limité d ordre e, mis est ps deu fois dérivle e Pge 6
7 ETIENNE Sylvi PLC, groupe 3 Allure d u grphe u voisige d u poit Soit f, ue foctio défiie sur u itervlle ouvert I, et u poit de I Nous f, f e supposos que f est idéfiimet dérivle ds I, et que les omres ( sot ps tous uls Soit le plus petit etier tel que f (le plus souvet, = E ppliqut l formule, ous oteos : h ( f ( + h = f + hf + f ( + ε ( h! vec ε h h Soit M, f ( L équtio de l tgete e + h est ( ( + = + g h f h f Nous vos doc : h ( f ( + h g + h = f ( + ε ( h! vec ε h h f + h g + h est du sige de h f Aisi pour h suffismmet petit, Nous pouvos distiguer qutre cs : f > Alors Cs : pir, f ( h g( h + + pour h ssez petit Cs : impir, ( f ( h g( h f > Alors + + est du sige de h pour h ssez petit Cs : pir, ( f < Alors f + h g + h pour h ssez petit Cs : impir, ( f ( h g( h f > Alors + + est du sige de -h pour h ssez petit V CONCLUSION Nous vos vu qu il y vit trois formules de Tylor qui restet différetes qut à leurs hypothèses et à leurs pplictios Cette otio permet d étudier «loclemet» des foctios ; elle s utilise ussi ds le développemet limité ou e théorie des séries etières Pge 7
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