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1 Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propositio P() dépedat de l etier () la propositio est vraie pour u etier, et Si () pour tout etier k, la propositio est vraie au rag ( k + ) dès qu' o la sup pose vraie au rag k Alors : la propositio P() est vraie pour tout etier aturel Exemples : a) Démotrer par récurrece l égalité P() suivate : ( + ) εn, P() : = b) Démotrer par récurrece εn, le ombre f ( ) = ( + ) est multiple de Pour = f ( ) = = doc multiple de La propositio est doc vraie au rag Soit p N, supposos que la propositio est vraie au p : il existe u etier aturel k tel que f ( p) = k Alors f ( p + ) = ( p + )( p + ) = p( p + ) + ( p + ) = f ( p) + ( p + ) f ( p + ) = k + ( p + ) = ( k + p + ) or, ( k + p + ) IN, doc f ( p + ) est multiple de Le pricipe de récurrece permet de coclure : εn, le ombre f ( ) = ( + ) est multiple de - Défiitio d ue suite : e suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) das R O la ote : ou ( ) ou ( ) IN : N R u () = u est le premier terme de la suite u u () = u est le deuxième terme de la suite u u () = u est le terme gééral de la suite u Exemples : Soiet les suites ( ) ; (V ) ; (W ) défiies par leur terme gééral : ( ) est telle que = + 5 ; (V ) est telle que V = ; (W ) est telle que W = Mode de défiitio d ue suite : e suite umérique peut se défiir de différetes faços a) Suites défiies par = f () : Ce sot des suites défiies par la doée explicite du terme gééral e foctio de Exemple : Soit la suite ( ) défiie par = Calculer les premiers termes Suites umériques Page sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

2 b) Suites récurretes : Ce sot des suites défiies par la doée de so er terme et d ue relatio de récurrece + = f ( ) liat deux termes cosécutifs de la suite : (où f est ue foctio) Exemple : Soit la suite ( ) défiie par = = + + Calculer ; ; ; et représeter graphiquemet les termes de cette suite Répose = = + = ; = = + = 5 ; = ; = Représetos les termes de cette suite graphiquemet Soit f : x a f ( x) = x + la foctio associée à la suite ( ) + = f ( ) = + et = ; = f ( ) = ; = f ( ) = 5 ; = f ( ) = ; = f ( ) = Das le pla mui d u repère orthoormé o trace la courbe (C f ) de f et la droite d équatio : y = x 6 y = x (C f ) f ( x) = x Suites umériques Page sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

3 Ses de variatio d ue suite : a) Défiitios : O dit que la suite ( ) est croissate sur N, si pour tout etier aturel o a : + ou + O dit que la suite ( ) est décroissate sur N, si pour tout etier aturel o a : + ou + O dit que la suite ( ) est costate sur N, si pour tout etier aturel o a : + = O dit que la suite ( ) est statioaire à partir du rag, si pour tout etier aturel dès que alors = O dit que la suite ( ) est à termes positifs, si pour tout etier aturel o a :, ε N Remarques : si > ε N + [ ( ) est croissate ] est décroissate + ; [ ( ) ] 5 Suites borées : O dit qu ue suite umérique ( ) est majorée s il existe u réel M tel que ε N, M M est u majorat de la suite ( ) O dit qu ue suite umérique ( ) est miorée s il existe u réel m tel que ε N, m m est u miorat de la suite ( ) e suite umérique ( ) est dite borée si elle est à la fois majorée et miorée C est à dire : ε N, m M Suites umériques Page sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

4 Exemple : Soit la suite défiie par sur N par : Motrer que est borée par et = = + = et + = ; ( est borée par et ) ( IN, ) Démotros ceci par récurrece = ; = o a : vraie Soit p ε N; supposos que : p ; motros que p+ avec p + = p ; p p p vrai à l ordre (p+) D après le pricipe du raisoemet par récurrece ( IN, ) D où la suite est borée par et II Suites Covergetes Suites divergetes: lim ( ( ) coverge ) ( = l ( l IR) ) + (Si l = + ou ou existe pas) Alors ( ) diverge III Propriétés des limites: a) Théorème : (admis) Si ( ) et (V ) sot deux suites covergetes respectivemet vers l et lʌ Alors o a : ( + V ) = l + lʌ avec lʌ lim + b) Théorème : (des gedarmes) Soiet ( ) ; (V ) et (W ) trois suites telles que ( ) et (V ) coverget vers l et W V, alors la suite (W ) coverge vers l c) Théorème : (admis) Toute suite croissate et majorée est covergete ; Toute suite décroissate et miorée est covergete Suites umériques Page sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

5 IV Suites Arithmétiques: - Défiitio : O appelle suite arithmétique toute suite ( ) défiie par so premier terme et ue relatio de récurrece de la forme : + = + r ; où r est u réel appelé raiso de la suite ( ) = Exemples : a) Soit ( ) défiie par + = + Calculer les ciq premiers termes de la suite ( ) b) Détermier la suite de raiso r = dot le terme d idice égale à Remarque : ue suite arithmétique ( ) est croissate si r est positive et décroissate si r est égative - Expressio du terme gééral : Soit ue suite arithmétique ( ) de er terme et de raiso r = + r = + r = + r = + r = + r 5 = + r = + r p ε N, p < o a : = p + ( p) r p = ( p) r Si le er terme est alors = + r Si le er terme est alors = + ( ) r Exemples : a) Trouver le 5 è terme de la suite arithmétique : ; 6 ; ; b) Trouver le ième terme de la suite : ; ; 5 ; 7 ; ; Somme des termes cosécutifs d ue suite arithmétique : Nous avos démotré par récurrece que pour tout etier aturel, o a : = ( + ) Soit ( ) ue suite arithmétique de er terme et de raiso r Posos : S = S = + ( +r) + ( +r) + ( +r) + + ( +r) S = ( ) r S = ( + ) ( + ) fois S = (+) + ( + ) [ + r ] ou S = ( + ) (Somme des + premiers termes) [ + ] Suites umériques Page 5 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

6 Si le er terme est alors o a : S = [ + ( ) r ] ou S = [ + ] (Somme des premiers termes) Exemple : Calculer la somme des dix premiers termes de la suite arithmétique : ; 6 ; 8 ; ; V Suites géométriques: - Défiitio : O appelle suite géométrique toute suite ( ) défiie par so premier terme et ue relatio de récurrece de la forme : + = q où q est u réel appelé raiso de la suite Expressio du terme gééral : Soit ( ) ue suite géométrique de er terme et de raiso q ; q = q = q = q = q = q p ε N, p < o a : = p q p Si le er terme est alors = q ; (p=) Si le er terme est alors = q ( ) ; (p=) Exemple : Détermier le sixième terme de la progressio géométrique: ; ; ; Somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique : Soit ( ) ue suite géométrique de er terme et de raiso q Posos : S = qs = q + q + q + + q ( q) S = q + q + + q ( q) S = o q ( q) S = o q q ( q) S = o ( q + ) S = q q + avec q Suites umériques Page 6 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

7 Si le er terme est alors : S = q q avec q D ue maière géérale o a la formule S = p q q p + avec q Si q = alors o a : S = Limites d ue suite géométrique : Soit ue suite géométrique de raiso q et de terme gééral Si q < alors ( ) coverge et lim = ; + Si q > alors ( ) diverge 5 Limites de la somme des termes d ue suite géométrique : Si q = alors S = u et lim = + + ; Si q > alors S = u q q et lim S = + ; + Si q < alors lim = S + q 6 Progressios Arithmétiques et Géométriques : Soit la progressio de trois termes x ; y ; z (x ; y ; z sot e progressio arithmétique) ( x + z = y ) (x ; y ; z sot e progressio géométrique) ( x z = y ) Suites umériques Page 7 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

8 VI Tableau de Formules des suites arithmétiques et géométriques: Nature de la suite Si le er terme est Terme Gééral Somme des termes ( ) est ue suite Arithmétique de raiso r p (p = ) = p + ( p)r = + r S = S = ( + ) [ + r] ou ( + ) [ + ] (p = ) = + ( ) r S = [ +( )r] ou S = [ + ] p = p q p S = p q q p + ( ) est ue suite Géométrique de raiso q (p=) = q S = q + q avec q (p=) = q S = q q avec q Si q = alors S = Suites umériques Page 8 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

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