CHAPITRE 10 : CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE

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1 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE /7 CHAPITE : CICUITS LINEAIES EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE I. INTODUCTION Nous abordos das cette deuxème arte d électrocétque l étude des crcuts etreteus, almetés ar des géérateurs fourssat des sgaux susoïdaux. De tels sgaux ot ue grade mortace e électroque, la luart des géérateurs électrques fourssat ue teso susoïdale. Nous verros de lus e deuxème aée que l o eut rameer u sgal quelcoque à ue suerosto de sgaux susoïdaux s les équatos cocerées sot léares (décomosto de Fourer du sgal). Le régme de foctoemet corresodat est qualfé de forcé car, comme ous le verros, le courat das le crcut as que les tesos aux bores de ses dôles, arès ue certae érode trastore, varet à la fréquece mosée ar le géérateur. Notre étude sera grademet smlfée e rerésetat les gradeurs hysques ar des ombres comlexes. Cette méthode sera utlsée e hysque à chaque fos que l o sat qu ue gradeur évolue de maère susoïdale. II. GANDEUS SINUSOÏDALES ) Caractérstques d ue gradeur susoïdale L évoluto temorelle d ue gradeur X ( t) est susoïdale s elle eut s écrre sous la forme : X ( t ) X ( ωt+ φ ) cos Ue telle évoluto est rerésetée grahquemet e fgure.. X X T X cosϕ t Fgure.. : Evoluto susoïdale X est l amltude de la gradeur X exrmée das l uté de X et ostve ar coveto,.e. X est la valeur maxmale attete ar X au cours de so évoluto. Le terme ωt + ϕ das la focto cosus est la hase de la gradeur X. La costate φ est doc la hase à l orge de X, exrmée e radas, et chose gééralemet das l tervalle ] π, π ]. ω est la ulsato de la gradeur X, exrmée e radas ar secode. La ulsato et lée aux érode T (exrmée e secode) et fréquece f (exrmée e Hertz ou s -,.e. e ombre de érodes ar secode) de X ar les relatos :

2 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE /7 π ω π f T La hase s écrt doc e focto de la érode : π tt+ φ. emarquos que la hase à l orge e déed que de otre chox de l orge des tems, qu eut être fat arbtraremet. Elle a doc aucue sgfcato hysque. ) Dfférece de hase : déhasage Cosdéros mateat deux gradeurs X ( t) et ( t) même ulsato ω (ces deux gradeurs sot alors sychroes) : X ( t) Xcos( ωt+ φ) Y() t Y cos( ωt+ φ ) Y qu évoluet de maère susoïdale avec la Nous avos la lberté de chager arbtraremet l orge des tems de maère à ce que X ree ue valeur artculère à cette orge. Fasos le chagemet de «coordoée temorelle» t t φ ω, us reommos t e t. Les exressos c-dessus deveet : X () t X cos( ωt) Y() t Ycos( ωt+ φ φ) Ycos( ωt+ φ) où φ φ φ est le déhasage de la gradeur Y ar raort à la gradeur X (fgure..). La dfférece de hase etre deux gradeurs hysques a doc ue sgfcato hysque clare : elle dque le décalage etre les maxma de X et de Y. Y Y cos( ωt φ ) + X X ( ωt ) cos X augmete ecore lorsque Y attet u maxmum : Y est e t avace ar raort à X Fgure.. : Déhasage etre deux gradeurs hysques (utés arbtrares) Das l exemle de la fgure.., Y est e avace ar raort à X. E effet, lorsque Y attet u maxmum ( Y Y,.e. ωt + φ π avec eter ostf), X augmete etre X et X et a doc as ecore attet u maxmum (.e. π < ωt < π ). Le déhasage est doc ostf. X attedra so maxmum avec u retard t tel que ω t φ doc t φ ω. Deux stuatos artculères de déhasage sot rerésetées e fgures.3. : S o a chos de l exrmer das l tervalle ] π, π ].

3 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 3/7 X et Y sot e oosto de hase s à tout stat Y X, doc s φ π. X et Y sot e quadrature s Y lorsque X X et versemet, doc s φ ± π. X Y X Y t t Fgure.3.a. : X et Y e oosto de hase ( φ π ) Fgure.3.b. : X et Y e quadrature ( φ ± π ) (c Y est e retard, doc φ π ) III. CICUIT,C EN EGIME SINUSOÏDAL ) Equato dfféretelle O s téresse au crcut,c sére almeté ar u géérateur délvrat ue teso susoïdale (fgure.4.) (o a chos l orge des tems de maère à auler la hase à l orge du terme source et) () : ( ) ( ω ) et Ecos t K ( t) et () C + u( t) Fgure.4. : Crcut C almeté ar ue teso susoïdale O ferme l terruteur K à la date t. La lo de la malle s écrt : + u E cos( ωt) O obtet ue équato dfféretelle du remer ordre our la charge aux bores du codesateur e utlsat les relatos q et q Cu : q E q + cos( ωt) τ où τ C est la costate de tems du crcut. ) égme trastore La soluto géérale de l équato sas secod membre est : q t Ae τ (chatre 6).

4 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 4/7 Ue soluto artculère de l équato avec secod membre est : q acos( ωt) + bs ( ωt) (soluto artculère our laquelle l évoluto de la charge est susoïdale et sychroe avec la teso alquée ar le géérateur). La soluto géérale avec secod membre our la charge est doc : t τ q Ae + acos( ωt) + bs ( ωt) das laquelle la costate d tégrato A s obtet d arès les codtos tales, et les costates a et b s obteet ar detfcato (ous revedros sur ce ot lus bas). Comme ous le savos, le régme trastore durat lequel le terme exoetel a de l mortace e dure que edat quelques τ, la costate de tems auss aelée durée de relaxato état très brève (vor chatre 6). Le crcut foctoe arès cela e régme établ, ou forcé. Nous e ous téresseros das la sute qu au régme forcé des crcuts, das lequel les codtos tales e jouet aucu rôle. Af de faclter leur étude, ous cosacreros la rochae secto à l troducto de la otato comlexe. IV. NOTATION COMPLEXE ) Notato comlexe d ue gradeur susoïdale a. aels sur les ombres comlexes α Ecrtures d u ombre comlexe Les ombres comlexes s obteet e trodusat le ombre j tel que j et j (o utlse e mathématque la lettre mas o chage ces covetos e électroque our qu l y at as de cofuso avec le courat). aelos les dfféretes maères d écrre u ombre comlexe z : z : ( cosθ sθ) j z a+ jb r + j re θ Parte réelle de z a e( z) Parte magare b Im z de z : ( ) où a, b, r et θ sot réels. Notos au assage l detté due au mathématce Leohard Euler : j cosθ + j sθ e θ j j j j cos e θ e θ et s e θ θ + θ e θ j. emarquos qu l e découle les relatos : ( ) ( ) β erésetato das le la comlexe Module de z r z Argumet de z θ arg ( z) O eut reréseter u ombre comlexe ar u vecteur z das le la comlexe ( x, y) e e : l axe des abscsses est l axe réel et l axe des ordoées l axe magare (fgure.5.). L extrémté du vecteur est l mage de z das le la comlexe. O vot mmédatemet sur cette fgure les corresodaces : r a² + b² et taθ ba Atteto toutefos : la focto arctagete assoce à u ombre réel u ombre comrs etre π et π, alors que l argumet d u ombre comlexe est comrs etre π et π. La valeur déftve de l argumet se trouve doc avec les sges de a et b :

5 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 5/7 ab, > θ arcta a >, b< θ arcta b a ( ba) ( ) ( ) ( ba) a<, b> θ π arcta b a ab, < θ π + arcta d arès la fgure.5. Fgure.5. : erésetato d u ombre comlexe das le la comlexe γ Nombre comlexe cojugué O aelle ombre comlexe cojugué de z le ombre z * a jb re jθ dot la rerésetato das le la comlexe est symétrque de celle de z ar raort à l axe des abscsses. U ombre réel * * * a la rorété z z et u ombre magare vérfe z z. Ef, zz r. b. Utlsato et térêt des ombres comlexes e régme susoïdal Lorsqu o étude ue équato dfféretelle léare et qu o sat que la gradeur hysque d térêt évolue temorellemet comme ue focto susoïdale à ue fréquece ω coue, o étudera à la lace l équato comlexe corresodate. Par exemle, o remlacera la gradeur susoïdale «teso délvrée ar le géérateur» de la secto III ar la gradeur comlexe assocée, que l o soulgera our la dstguer : j où E Ee φ Im ( z) y b ( + ) e E cos t+ e E e E e ( ω ϕ) r z j ωt φ jωt est l amltude comlexe de la teso délvrée ar le géérateur. L amltude et la hase à l orge de e euvet se retrouver ar les relatos : E E ; φ arg ( E) (à π rès, vor remarque du.a) L évoluto de e eut alors se reréseter ar u vecteur e tourat das le la comlexe (fgure.6.), la gradeur réelle corresodate s e dédusat ar rojecto sur l axe réel. θ z O e( z) x a e() t y et () ωt + φ φ e() x Fgure.6. : Gradeur susoïdale et vecteur tourat das le la comlexe Le grad térêt de la otato comlexe est de smlfer otablemet les dérvatos et les tégratos des gradeurs hysques. E effet, e utlsat les rorétés de la focto exoetelle :

6 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 6/7 e jωe, e ω ; e edt e jω Déveloos la dérvée e e otat e E cos( ωt+ φ) + js ( ωt+ φ) e jωe ωe jcos( ωt+ φ) s ( ωt+ φ) : ( ) j t E cos( t ) js ( t ) Ee ω + ω ω φ π ω φ π ω φ π où o a utlsé les relatos cosθ s ( θ + π ) et sθ cos( θ π ) + (qu se voet mmédatemet sur u cercle trgoométrque). La dérvée e d ue gradeur susoïdale e est doc e quadrature avace ar raort à e (fgure.7.). De même, déveloos la rmtve edt : E edt jcos( ωt φ) s ( ωt φ) ω E E j( t ) cos( ωt φ π ) js ( ωt φ π ) e ω + φ π ω ω où o a utlsé les relatos sθ cos( θ π ) et cosθ s ( θ π ). La rmtve d ue gradeur susoïdale e est doc e quadrature retard ar raort à e (fgure.7.). e () t y ωt + φ + π ωt + φ e() t ωt + φ π x e () tdt Fgure.7. : Déhasage etre ue gradeur susoïdale et ses dérvée et rmtve ) ésoluto d équato dfféretelles e otato comlexe Nous ous téresseros c aux régmes susoïdaux forcés,.e. aux équatos dfféretelles léares à coeffcets costats lotées ar u deuxème membre (u terme source) dot l évoluto temorelle est susoïdale. a. Equato dfféretelle du remer ordre Sot l équato dfféretelle suvate ortat sur la gradeur u( t ) (o a chos l orge des tems de maère à auler la hase à l orge du terme source) : u + au A cos( ωt) avec A > Nous cherchos ue soluto our la gradeur u de la forme : u u cos( ωt+ φ ) où u est l amltude de u et φ so déhasage ar raort au terme source. emlaços les gradeurs hysques ar des gradeurs comlexes : j t u + au Ae ω j t et jectos ue soluto susoïdale u ue ω :

7 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 7/7 j t ω + j u au Ae ω a jω u A A ( a+ jω ) ( a + ω ) j t où o a smlfé ar e ω et fat assé j au umérateur. Fasos aaraître le module et l argumet de l amltude comlexe soluto de l équato dfféretelle : A u e( u) + Im ( u) a + ω Im ( u ) arg ( u ) arcta arcta ( ω a) e( u ) O obtet les gradeurs hysques réelles ar detfcato : A ( ) arcta ω a (s a ) u u et φ > a + ω arcta ( ω a) π (s a < ) la soluto réelle du roblème est alors : u ( t ) u cos ( ωt+ φ ) Exemle : eveos sur le crcut C sére vue das la secto III. L équato dfféretelle q E E jωt q + cos( ωt) devet q + q e τ τ j( ωt+ φ) jωt e otato comlexe. E cherchat ue soluto susoïdale du tye q q e q e, l vet l équato algébrque : τ E jωτ τ E q + jωτ + ω τ O e dédut l amltude comlexe du courat traversat le crcut : ωτ + j ωτ E I q I jωq + ωτ Le module et l argumet de cette amltude comlexe s écrvet : ωτ E I I et φ arg ( I ) arcta + ω τ ωτ ωτ E sot : () t I cos( ωt+ arg ( I) ) cos ωt+ arcta + ωτ ωτ L obteto des costates est doc mmédate e otato comlexe. Etudos les comortemets asymtotques du courat das ce crcut (fgures.8.) : Lorsque la fréquece est très fable (.e. ωτ ) : ωτ E I() t π cos ωt+ Le courat traversat le crcut est doc roortoel à la fréquece et e quadrature avace ar raort à la teso exctatrce. A la lmte où ω (.e. e régme cotu), : o retrouve be que le codesateur se comorte comme u terruteur ouvert. Lorsque la fréquece est grade (.e. ωτ ) : E () t cos( ωt) Il faut toutefos vérfer que cette codto est comatble avec l AQS,.e. qu o eut avor : π c L ω τ. E ratque, la durée de relaxato du crcut est de l ordre de la mllsecode et Lc s das u crcut C. 9 -, ce régme exste doc

8 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 8/7 A haute fréquece, l amltude du courat est doc déedat de la ulsato et e hase ar raort à la teso exctatrce. I (ma) φ ωτ Fgure.8.a. : Courat e focto de la fréquece das u crcut C ( τ ms ) ωτ Fgure.8.b. : Déhasage du courat ar raort à la teso exctatrce das u crcut C ( τ ms ) b. Equato dfféretelle du secod ordre Sot l équato dfféretelle suvate ortat sur la gradeur u( t ) : u + au + bu A cos( ω ) t avec A > emlaços les gradeurs hysques ar des gradeurs comlexes : j t u + au + bu Ae ω j t E cherchat des solutos de la forme u ue ω, l vet : ( b ω jωa) ( ) ( ) A u A ( ω + b+ jωa) b ω + ωa Le module et l argumet de cette amltude comlexe sot : A ωa u ; arg( u) arcta b ( b ω ) + ( ωa ω ) O e dédut les gradeurs hysques d térêt : u u et φ arg ( u ) (à π rès) d où, falemet : u ( t ) u cos ( ωt+ φ ). où la hase à l orge se déterme exactemet d arès les sges de ω a et ω b. emarque : O vot be das ces résultats que le crcut «ouble» ses codtos tales : l aaraît aucue costate d tégrato à ajuster. Ce héomèe est caractérstque des oscllateurs etreteus, l évoluto du système est e effet forcée ar l évoluto du terme source. Pluseurs cocets ouveaux s troduset aturellemet lors de la résoluto d ue telle équato dfféretelle, ous cosacreros doc la rochae secto à l étude d u exemle : le crcut,l,c sére e régme forcé. V. APPLICATION AU CICUIT,L,C SEIE ) Lo de la malle e otato comlexe O étude e régme susoïdal forcé le crcut,l,c sére de la fgure.8.

9 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 9/7 u u + C L u L e(t) Fgure.8. : Crcut,L,C e régme forcé La lo de la malle s écrt, avec les otatos habtuelles : d + L + u E cos( ) ωt dt Nous cherchos comme das le cas du crcut,c l équato dfféretelle qu régt la charge accumulée sur ue armature du codesateur : q cos( ) ω E q + Lq + E ωt sot q + q + ω q cos( ωt) C Q L où o a utlsé les relatos q et q u C us osé ω LC la ulsato rore du crcut, τ Lsa costate de tems lée à la bobe, et Q ωτ so facteur de qualté (sas dmeso). emarquos l égalté : L Q ωτ LC ωc Passos mateat e otato comlexe : ω E jωt q + q + ω q e Q L j t j( t ) Cherchos ue soluto susoïdale de la forme q q e ω q e ω + φ j t. E smlfat ar e ω, o obtet l équato algébrque : E QE q q ωω ω L L ω + j ω Q j Q + e osat la ulsato rédute ωω et e factorsat le déomateur ar ω Q. Falemet : Q j E E q ω ω Q j + Q + usque Q ωτ et τ L. O e dédut l amltude comlexe du courat traversat le crcut : + Q E q jωq I + Q L homogéété du résultat est c claremet vsble.

10 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE /7 ) ésoace e courat a. Phéomèe de résoace Les modules et argumets de l amltude comlexe du courat das le crcut,l,c sére sot : E I Q + ; arg ( I ) arcta Q L amltude du courat est maxmale lorsque :.e. our ωr ω Ce héomèe, lorsqu ue gradeur hysque d u système e régme forcé asse ar u maxmum lorsque la fréquece d exctato est égale à ue fréquece caractérstque du système, est aelé résoace (c résoace e courat du crcut,l,c sére). L dce r fgurat das l exresso veut doc dre «à la résoace». A la résoace, l amltude du courat est égale à E et le courat est e hase avec la teso exctatrce : E r () t cos( ωt) Les grahes rerésetat l évoluto de l amltude et du déhasage du courat e focto de la fréquece de la teso exctatrce sot doés e fgures.9. O rerésete e gééral ar la lettre ϕ la dfférece etre la hase à l orge de la teso et celle du courat. E I π φ ϕ largeur de la courbe de résoace ω ω ω ω π Fgure.9.a. : Varato de l amltude du courat Fgure.9.b. : Varato du déhasage du courat b. Imortace de la résoace O caractérse l mortace de la résoace ar la fesse de la courbe I f ( ω) coveto à l ordoée I I. Calculos cette largeur : r E I Q Q Q + O garde les solutos ostves : ± ±, mesurée ar

11 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE /7 + + ; + + Q 4Q Q 4Q d où ω ω ; ω ω. La largeur ω ω ω de la courbe est doc égale à : ω ω Q τ L La résoace est doc d autat lus fe (lus sélectve e fréquece) que le facteur de qualté Q du crcut est élevé (fgures..). E I Q,35 Q ωω Fgure.. : Allure de la courbe de résoace e testé our dfféretes valeurs du facteur de qualté c. Comortemet asymtotque Etudos le comortemet asymtotque de l exresso du courat das les deux cas lmtes : ω ω O a alors : E I et arg ( I ) ( ) Q arcta Q + π L amltude du courat est doc roortoelle à la fréquece aux basses fréqueces. Elle ted vers zéro aux très basses fréqueces (.e. e régme cotu) : o retrouve le rôle d terruteur ouvert joué ar le codesateur e régme cotu. ω ω 3 O a alors : E I et arg ( I ) ( ) Q arcta Q π + L amltude du courat est doc versemet roortoelle à la fréquece aux hautes fréqueces. Elle ted auss vers zéro aux très hautes fréqueces : cela est du au rôle d terruteur ouvert joué ar la bobe e régme rademet varable (résultat que ous démotreros e deuxème aée). 3) ésoace e teso aux bore du codesateur O obtet faclemet l amltude comlexe de la teso aux bores du codesateur à artr de l exresso de la charge emmagasée sur ses armatures : Q Q 3 π c 3 Il faut toutefos rester das le domae de valdté de l AQS,.e. avor ω L

12 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE /7 Q j Q j q q E u U QE C C C Q + Q + Q ωτ ω C. O e dédut : usque ( ) ω U Q ( ) + QE ; arg ( U ) arcta Q emarquos de lus que e( U ) > lorsque <, et e( U ) > lorsque >, o a doc : arcta Q ( ) φ arcta Q π ( ) Le déhasage etre la teso aux bores du codesateur et la teso exctatrce vare doc etre et π lorsque vare etre et + : elle est toujours e retard. De lus, u est e quadrature retard ar raort à e à la résoace e courat ( ) (fgure..b.). L amltude de la teso est alors égale à : Ur QE ( ω ωr ω ) A la résoace e courat, l amltude de la teso ted doc vers l f das le cas lmte Q (.e. as d amortssemet) et e quadrature retard ar raort à la teso exctatrce. Quat aux comortemets asymtotques, o vot que : ω ω : U E E Q E ω ω : U à l ordre le lus fable e. O retrouve les rôles d terruteurs ouvert joués ar le codesateur à très basse fréquece et ar la bobe à très haute fréquece. Calculos mateat la ulsato ω s our laquelle l amltude de la teso aux bores du codesateur est extrémale : d d 4 Q ( ) Q ( Q ) Q d + d + + sot Q ce qu est ossble que s Q >. O eut de lus vérfer que cet extremum est u maxmum de U e motrat que la dérvée secode est ostve et doc que l extremum du déomateur est u mmum. As, à la codto que Q >, l exste u héomèe de résoace e teso aux bores du codesateur, ou surteso : ωs ω ( Q > ) Q as de surteso ( Q < ) S la surteso exste, la valeur rse ar le module de U est :

13 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 3/7 QE Us U s ( ω ω s ) 4 Q emarquos de lus que, s le facteur de qualté du crcut est grad : ωs ω et Us QE La fgure..a. motre l allure de la courbe u f ( ) our dfféretes valeurs du facteur de qualté. U E /,35 Fgure..a. : Allure de la courbe u f ( ) our dfféretes valeurs de Q π φ Fgure..b. : Allure de la courbe φ f ( ) our Q VI. LOIS DES CICUITS LINEAIES EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE ) Admttace et médace comlexe d u dôle assf Les relatos courat-teso des dôles assfs obteues au chatre 5 sot du tye (,, ) f udt u u. Elles se traduset doc, e régme forcé et e otato comlexe, ar des relatos de roortoalté etre et u. E régme susoïdal forcé, o trodut les admttace comlexe Y (e Semes S ) et médace comlexe Z (e Ohm Ω, ou S - ) d u dôle assf soums à ue teso ou u courat susoïdal de fréquece ω : Yu et u Z avec Z Y Pour les dôles,l,c, les médace et admttace comlexes se déduset mmédatemet des relatos courat-teso : ésstace Les relatos Gu et u deveet smlemet e otato comlexe : Gu et u d où : Z et Y G ( G) Les médaces et admttaces d ue résstace sot doc des ombres réels. Le courat et la teso sot e hase das ue résstace. Bobe déale La relato u L d dt devet e otato comlexe : u jωl d où Z L jωl et Y L jωl Les médaces et admttaces d ue bobe sot doc des ombres magares. Le courat das ue bobe déale, s exrmat comme la rmtve de la teso, est e quadrature retard ar raort à la teso aux bores de la bobe. Codesateur La relato Cu devet e otato comlexe :

14 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 4/7 jωcu d où Z C et YC jωc jωc Les médaces et admttaces d u codesateurs sot doc auss des ombres magares. Le courat das u codesateur, s exrmat comme la dérvée temorelle de la teso, est e quadrature avace ar raort à la teso aux bores du codesateur. ) Los de Krchhoff e régme forcé Les los de Krchhoff (.e. l esemble de la los des œuds et de la lo des malles) se gééralset trvalemet aux otatos comlexes : Lo des œuds : k ε k k où k est l testé comlexe crculat das la brache k et : ε k + s le courat k est oreté vers l téreur du œud ε s le courat k est oreté vers l extéreur du œud k Lo des malles m où u est la teso comlexe aux bores du -ème dôle et : ε + s la teso u est mesurée das le ses d oretato de la malle ε s la teso u est mesurée das le ses oosé au ses d oretato de la malle 3) Théorème de Mllma ε u Le théorème de Mllma est ue reformulato de la lo des œuds e termes de otetels qu eut s avérer utle. Cosdéros la stuato de la fgure.. : le œud K, de otetel V K cou ar raort à la lge de masse du crcut, est commu à braches, et o orete tous les courats vers le œud K. V η V η Y Y Y η V V K Y η V Fgure.. :Notatos our établr le théorème de Mllma au œud K O eut alors écrre que la somme des courats arrvat au œud est ulle (lo des œuds) :

15 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 5/7 k Y ( V V K) η ( ) + avec V V K u la dfférece de otetel aux bores de la brache cosdérée, Y l admttace de cette brache et η le courat débté vers le œud ar les sources déales de courat résetes das cette brache. O e dédut l exresso du otetel au œud K e focto des otetels aux extrémtés des braches : V K Y V + η ( ) Le otetel au œud K s écrt doc comme le barycetre des otetels aux extrémtés des braches affectés d u «ods» égal à l admttace de la brache. Notos que l admttace Y de la brache dot fgurer au déomateur même s le otetel V est ul. Y Exemle : V η K V u C C Fgure.3. Cosdéros la stuato de la fgure.3. E oretat tous les courats vers le œud K et e alquat le théorème de Mllma, l vet : η + Y V + η + V uc V K V V m K Y + Y C + jcω Le courat crculat das le codesateur est alors : η + V C Y C uc jcω + jcω 4) Assocato de dôles a. Assocato e sére Etat doée la roortoalté etre les teso et courat comlexe aux bores d u dôle assf e régme forcé, leurs assocato se tratet comme les assocatos de résstaces e vues au chatre 5. L addtvté des tesos ermet d écrre la teso u aux bores d u grouemet de dôles e sére (fgure.4.a.) comme : où V m u u Z Z Z Z est l médace équvalete du grouemet de dôles.

16 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 6/7 b. Assocato e arallèle La lo des œuds ermet d écrre das le cas d u grouemet de dôles e arallèle (fgure.4.b.) : Y u Yu où Y Y est l admttace équvalete du grouemet de dôles. L médace équvalete Z vérfe quat à elle la relato : Z Z. Z u Z k Z u k u Fgure.4.a. : Assocato de dôles e sére u Y Y k Y k Fgure.4.b. : Assocato de dôles e arallèle u 5) Théorème de suerosto La somme de deux solutos d ue équato léare est ecore soluto de cette équato. As, o eut réalser l étude d u crcut léare comortat luseurs géérateurs e résolvat tour à tour les équatos dfféretelles corresodat aux dfférets crcuts à u seul géérateur (les autres état étets : court-crcut our u géérateur de teso et terruteur ouvert our u géérateur de courat). Exemle : η u C L e Fgure.5. O cosdère le crcut de la fgure.5., o cherche la teso u aux bores de la résstace. D arès le théorème de suerosto, elle est la somme des tesos u et u calculées das les crcuts des fgures.6.a. et.6.b. où l o a étet l u des géérateurs :

17 PCSI CHAPITE : CICUITS LINEAIE EN EGIME SINUSOÏDAL FOCE 7/7 u η u C L e C L Fgure.6.a. Fgure.6.b. Das le cas a., l médace équvalete du crcut est : e Z + jωl u e Z + jω L où ω est la ulsato du sgal délvré ar le géérateur de teso. Das le cas b., l médace équvalete de l assocato /L e dérvato est : jlω Z + jlω + jlω où ω est la ulsato du sgal délvré ar le géérateur de courat. La teso aux bores de ce dôle équvalet est : jlω u Zη η jlω + La teso mesurée aux bores de la résstace s écrt doc : jlω u u+ u e+ η + jω L jlω +